專題01二次根式5種壓軸題型全攻略【考點(diǎn)導(dǎo)航】目錄TOC\o"1-3"\h\u【典型例題】 ③當(dāng)時(shí)，原式=；綜上所述，可知的取值范圍是【考點(diǎn)四分母有理化和完全平方公式的綜合應(yīng)用】【例題4】已知，求的值．【答案】【詳解】解：∵，，∴【變式1】已知：x＝，y＝，求x2+xy+y2的平方根．【解析】∵x＝＝（）2＝5+2，y＝＝5﹣2，∴x+y＝10，xy＝1，∴x2+xy+y2＝（x+y）2﹣xy＝102﹣1＝100﹣1＝99．∴x2+xy+y2的平方根為±3．【變式2】已知，，求的值．【答案】．【解析】∵，，∴．∴．【變式3】“分母有理化”是我們常用的一種化簡(jiǎn)的方法，如：，除此之外，我們也可以用平方之后再開(kāi)方的方式來(lái)化簡(jiǎn)一些有特點(diǎn)的無(wú)理數(shù)，如：對(duì)于，設(shè)，易知，故，由，解得，即．根據(jù)以上方法，化簡(jiǎn)后的結(jié)果為（）A． B． C． D．【答案】D【分析】根據(jù)題中給的方法分別對(duì)和進(jìn)行化簡(jiǎn)，然后再進(jìn)行合并即可.【詳解】設(shè)，且，∴，∴，∴，∴，∵，∴原式，故選D．【點(diǎn)睛】本題考查了二次根式的混合運(yùn)算，涉及了分母有理化等方法，弄清題意，理解和掌握題中介紹的方法是解題的關(guān)鍵.【考點(diǎn)五二次根式的綜合運(yùn)用提高】【例題5】已知非零實(shí)數(shù)a，b滿足，求代數(shù)式的值．【答案】3【詳解】解：非零實(shí)數(shù)a，b滿足，由題意可知，，，，，，．【變式1】設(shè)為的小數(shù)部分，為的小數(shù)部分，則值為．【答案】【分析】運(yùn)用完全平方公式化簡(jiǎn)，后估算法確定整數(shù)部分和小數(shù)部分，最后分母有理化計(jì)算即可．【詳解】∵，且，為的小數(shù)部分，∴；∵，且，為的小數(shù)部分，∴；∴，故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查了完全平方公式，二次根式的性質(zhì)，無(wú)理數(shù)的估算，分母有理化，二次根式的加減運(yùn)算，熟練掌握完全平方公式，二次根式的性質(zhì)，無(wú)理數(shù)的估算，分母有理化是解題的關(guān)鍵．【變式2】我國(guó)南宋時(shí)期數(shù)學(xué)家秦九韶曾提出利用三角形的三邊求面積的公式，即三角形的三邊長(zhǎng)為、、，記，那么其面積．如果某個(gè)三角形的三邊長(zhǎng)分別為，，時(shí)，其面積介于整數(shù)和之間，那么的值是______．【答案】【詳解】∵三角形的三邊長(zhǎng)為、、，記，面積，∴當(dāng)三角形的三邊長(zhǎng)分別為，，時(shí)，，∴面積，∵，，∴，∴，∵介于整數(shù)和之間，∴．故答案為：．【過(guò)關(guān)檢測(cè)】一．選擇題1.下列各根式中，與是同類二次根式的是（）A． B． C． D．【解析】A、＝，與為同類二次根式；B、＝與不是同類二次根式；C、＝4與不是同類二次根式；D、＝2與不是同類二次根式；故選：A．2.下列不是同類二次根式的一組是（

）．A．與 B．與C．與 D．與【答案】D【詳解】解：A選項(xiàng)：∵，，∴與是同類二次根式，故A不符合題意；B選項(xiàng)：∵，，∴與是同類二次根式，故B不符合題意；C選項(xiàng)：∵，，∴與是同類二次根式，故C不符合題意；D選項(xiàng)：∵，∴與不是同類二次根式，故D符合題意．故選D．3.在中，最簡(jiǎn)二次根式的個(gè)數(shù)為（）A．1個(gè) B．2個(gè) C．3個(gè) D．4個(gè)【分析】根據(jù)二次根式的性質(zhì)化簡(jiǎn)，根據(jù)最簡(jiǎn)二次根式的概念判斷即可．【解析】＝3，＝3，＝，＝，都不是最簡(jiǎn)二次根式，是最簡(jiǎn)二次根式，故選：A．【點(diǎn)評(píng)】本題考查的是最簡(jiǎn)二次根式的概念，最簡(jiǎn)二次根式的概念：（1）被開(kāi)方數(shù)不含分母；（2）被開(kāi)方數(shù)中不含能開(kāi)得盡方的因數(shù)或因式．4．（2022春?閔行區(qū)校級(jí)期中）若化簡(jiǎn)|1﹣a|﹣的結(jié)果是2a﹣5，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是（）A．a(chǎn)為任意實(shí)數(shù) B．a(chǎn)≥1 C．a(chǎn)＜4 D．1≤a≤4【分析】利用二次根式與絕對(duì)值的性質(zhì)化簡(jiǎn)得出|1﹣a|﹣|a﹣4|＝2a﹣5，然后根據(jù)題意得出，解不等式組即可．【解析】∵|1﹣a|﹣＝|1﹣a|﹣|a﹣4|＝2a﹣5，∴應(yīng)該滿足|1﹣a|﹣|a﹣4|＝（a﹣1）﹣（4﹣a），∴，∴1≤a≤4．故選：D．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了二次根式的性質(zhì)與化簡(jiǎn)及解一元一次不等式組，正確得出a﹣1與4﹣a的符號(hào)是解題關(guān)鍵．5．（2021秋?奉賢區(qū)校級(jí)期中）代數(shù)式+1的有理化因式可以是（）A． B． C． D．﹣1【分析】根據(jù)平方差公式求解．【解析】∵（+1）（﹣1）＝（）2﹣12＝k2﹣1，∴+1的有理化因式可以是﹣1．故選：D．【點(diǎn)評(píng)】本題考查二次根式的有理化計(jì)算，解題關(guān)鍵是掌握平方差公式．6.一個(gè)等腰三角形的兩邊長(zhǎng)分別為，則這個(gè)三角形的周長(zhǎng)為（）A．3 B．6 C．6+4 D．3+4或6【分析】分2是腰長(zhǎng)和底邊兩種情況討論求解即可．【解析】①2是腰長(zhǎng)時(shí)，三角形的三邊分別為2、2、3，能組成三角形，周長(zhǎng)＝2+2+3＝4+3，②2是底邊時(shí)，三角形的三邊分別為2、3、3，能組成三角形，周長(zhǎng)＝2、3、3＝2+6；綜上所述，這個(gè)三角形的周長(zhǎng)為：4+3或2+6．故選：D．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了二次根式的應(yīng)用，等腰三角形的性質(zhì)，主要利用了二次根式的加減，難點(diǎn)在于要分情況討論．二.填空題7.化簡(jiǎn)二次根式：＝（x≥0）．【分析】根據(jù)二次根式有意義的條件判斷y的取值范圍，然后利用二次根式的性質(zhì)進(jìn)行化簡(jiǎn)．【解析】∵≥0，且x≥0，∴y＞0，∴原式＝＝，故答案為：．【點(diǎn)評(píng)】本題考查二次根式的性質(zhì)與化簡(jiǎn)，理解二次根式有意義的條件和二次根式的性質(zhì)是解題關(guān)鍵．8．若y＝++2，則xy＝．【分析】根據(jù)二次根式的被開(kāi)方數(shù)是非負(fù)數(shù)求得x、y的值；然后代入求值．【解析】根據(jù)題意知：3x﹣2≥0且2﹣3x≥0．所以2＝3x，所以x＝．所以y＝2．則xy＝（）2＝．故答案為：．【點(diǎn)評(píng)】考查了二次根式的意義和性質(zhì)．概念：式子（a≥0）叫二次根式．性質(zhì)：二次根式中的被開(kāi)方數(shù)必須是非負(fù)數(shù)，否則二次根式無(wú)意義．9．實(shí)數(shù)a，b在數(shù)軸上的位置如圖所示，化簡(jiǎn)﹣＝a+b．【分析】依據(jù)數(shù)軸即可得到a+1＞0，b﹣1＜0，即可化簡(jiǎn)．【解析】由題可得，﹣1＜a＜0，0＜b＜1，∴a+1＞0，b﹣1＜0，∴|原式＝a+1﹣1+b＝a+b．故答案為：a+b．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了二次根式的性質(zhì)與化簡(jiǎn)，解決問(wèn)題的關(guān)鍵是掌握二次根式的性質(zhì)以及絕對(duì)值的性質(zhì)．10．若二次根式是最簡(jiǎn)二次根式，則x可取的最小整數(shù)是﹣2．【分析】根據(jù)最簡(jiǎn)二次根式的定義解答即可．【解析】∵二次根式是最簡(jiǎn)二次根式，∴2x+7＞0，∴2x＞﹣7，∴x＞﹣3.5，∵x取整數(shù)值，當(dāng)x＝﹣3時(shí)，二次根式為＝1，不是最簡(jiǎn)二次根式，不合題意；當(dāng)x＝﹣2時(shí)，二次根式為，是最簡(jiǎn)二次根式，符合題意；∴若二次根式是最簡(jiǎn)二次根式，則x可取的最小整數(shù)是﹣2．故答案為：﹣2．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了最簡(jiǎn)二次根式的定義，熟記定義是解答此題的關(guān)鍵．11.若兩最簡(jiǎn)根式和是同類二次根式，則的值的平方根是______．12.如果0≤x≤1，化簡(jiǎn)：﹣|﹣3+x|＝﹣2．【分析】根據(jù)0≤x≤1，得到x﹣1≤0，x﹣3＜0，根據(jù)＝|a|化簡(jiǎn)，根據(jù)絕對(duì)值的性質(zhì)化簡(jiǎn)即可得出答案．【解析】∵0≤x≤1，∴x﹣1≤0，x﹣3＜0，∴原式＝|x﹣1|﹣|x﹣3|＝1﹣x+x﹣3＝﹣2．故答案為：﹣2．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了二次根式的性質(zhì)與化簡(jiǎn)，掌握＝|a|是解題的關(guān)鍵．13．（2022春?楊浦區(qū)校級(jí)期中）若＝4﹣x，則x的取值范圍是x≤4．【分析】對(duì)已知條件進(jìn)行整理，再利用二次根式的化簡(jiǎn)的方法進(jìn)行求解即可．【解析】∵＝4﹣x，∴＝4﹣x，∴x﹣4≤0，解得：x≤4．故答案為：x≤4．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查二次根式的化簡(jiǎn)，解答的關(guān)鍵是對(duì)相應(yīng)的運(yùn)算法則的掌握．14．（2022春?徐匯區(qū)校級(jí)月考）計(jì)算：＝+1．【分析】直接利用分母有理化將原式化簡(jiǎn)即可．【解析】＝＝+1．故答案為：+1．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查分母有理化，解題的關(guān)鍵是掌握平方差公式．15．（2021春?金壇區(qū)期末）比較大?。海迹ㄌ顚憽埃尽被颉埃健被颉埃肌保痉治觥扛鶕?jù)分母有理化分別化簡(jiǎn)，即可得出答案．【解析】∵＝＝＝＝1+，＝＝＝，∴1+＜+1，故答案為：＜．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了分母有理化，實(shí)數(shù)的比較大小，分母有理化常常是乘二次根式本身（分母只有一項(xiàng)）或與原分母組成平方差公式．三．綜合題16.先化簡(jiǎn)，再求值：，其中.【答案】，【分析】首先對(duì)第一個(gè)式子的分子利用平方差公式分解，第二個(gè)式子利用完全平方公式分解，然后約分，合并同類二次根式即可化簡(jiǎn)，然后代入數(shù)值計(jì)算即可．【詳解】解：原式當(dāng)時(shí)，原式【點(diǎn)睛】本題考查了二次根式的化簡(jiǎn)求值，正確理解平方差公式和完全平方公式對(duì)分子進(jìn)行變形是關(guān)鍵．17．已知且，請(qǐng)化簡(jiǎn)并求值：【答案】【分析】解方程得出，再分母有理化，化簡(jiǎn)得出原式=，最后代入x求值即可.【詳解】解：∵∴∴【點(diǎn)睛】本題主要考查二次根式的化簡(jiǎn)求值，難度較大，熟練掌握相關(guān)知識(shí)點(diǎn)是解題關(guān)鍵.18．已知求：的值．【答案】77【分析】先逆用完全平方公式將原式進(jìn)行變形，再通過(guò)x求出的值，最后將它們同時(shí)代入變形后的式子中求解即可．【詳解】解：原式=．故原式的值為77．【點(diǎn)睛】本題考查了二次根式的加減乘除和乘方運(yùn)算，解題關(guān)鍵在于先對(duì)原式進(jìn)行變形再代入，以簡(jiǎn)化計(jì)算，化簡(jiǎn)過(guò)程中涉及到了完全平方公式的逆用，計(jì)算過(guò)程中用到了因式分解法以及二次根式的分母有理化等內(nèi)容，要求考生不僅要熟練掌握運(yùn)算規(guī)則，同時(shí)還要具備觀察和分析問(wèn)題的能力，這樣才能快速準(zhǔn)確的計(jì)算出答案．19．（2022秋·上?！ぐ四昙?jí)專題練習(xí)）閱讀材料：小明在學(xué)習(xí)二次根式后，發(fā)現(xiàn)一些含根號(hào)的式子可以寫成另一個(gè)式子的平方，如，善于思考的小明進(jìn)行了以下探索：若設(shè)（其中a、b、m、n均為整數(shù)），則有．這樣小明就找到了一種把類似的式子化為平方式的方法，請(qǐng)你仿照小明的方法探索并解決下列問(wèn)題：(1)若，當(dāng)a、b、m、n均為整數(shù)時(shí)，用含m、n的式子分別表示a、b，得：a=，b=；(2)若，且a、m、n均為正整數(shù)，求a的值；(3)化簡(jiǎn)：．【答案】(1)(2)28或12(3)【分析】（1）根據(jù)完全平方公式展開(kāi)，即可用m、n表示出a、b；（2）利用完全平方公式展開(kāi)可得到，6＝2mn，利用a、m、n均為正整數(shù)得到m＝1，n＝3或m＝3，n＝1，然后由分別計(jì)算即可；（3）令，兩邊平方并整理得，然后利用（1）中的結(jié)論化簡(jiǎn)得到，從而可求出t的值，即為原式化簡(jiǎn)的結(jié)果．【詳解】（1）∵，∴，∴．故答案為：，；（2）∵，∴，6=2mn，∴mn=3．∵a、m、n均為正整數(shù)，∴m=1，n=3或m=3，n=1．當(dāng)m=1，n=3時(shí)，；當(dāng)m=3，n=1時(shí)，．∴a的值為28或12；（3）令，則∴．【點(diǎn)睛】本題考查二次根式的混合運(yùn)算，完全平方公式的計(jì)算，正確理解被開(kāi)方數(shù)的變化方式及完全平方公式的計(jì)算法則是解題的關(guān)鍵．20.先閱讀下列的解答過(guò)程，然后再解答：形如的化簡(jiǎn)，只要我們找到兩個(gè)正數(shù)a、b，使a+b＝m，a?b＝n，使得＝m，，那么便有：＝＝（a＞b）．例如：化