試卷第=page11頁，共=sectionpages33頁試卷第=page11頁，共=sectionpages33頁黑龍江省哈爾濱第三中學校2025屆高三下學期第二次模擬考試數學試題學校:___________姓名：___________班級：___________考號：___________一、單選題1．已知集合A=x|x2?4A．x?3<C．x?3<2．已知平面向量a=1,?2，b=?A．5 B．5 C．37 D．373．已知m，n是兩條不同的直線，α，β，γ是三個不同的平面，則下列命題中正確的是（

）A．若n?α，n//β，則α//β C．若α⊥β，β⊥γ，則α//γ 4．復數z1，z2在復平面內對應的點關于直線y=x對稱，且z1A．?1 B．1 C．i D．5．對于銳角α，滿足3sinα=41A．45 B．35 C．346．正項等差數列an中，a4=1，則A．92 B．5 C．527．已知函數fx=logax（a>0，a≠1A．0<a<12 B．a>8．已知函數fx=32sinxcosx?12A．29π3 B．32π3 C．二、多選題9．某高中為了解該校學生的體質情況，對全校同學進行了身體素質測試，現隨機抽取所有測試同學中的100名，經統(tǒng)計這一部分同學的體測分數均介于40至100之間；為進一步分析該校學生體質情況，現將數據整理得到如下所示頻率分布直方圖，則下列結論正確的是（

）A．a=0.010C．估計樣本的40%分位數為66分 D．該組數據的平均數大于眾數10．已知Px0,y0為雙曲線C:x24?y212=1上一點，FA．x0=6 B．C．PF1=14 11．如圖，已知側棱長為2的直三棱柱ABC?A1B1C1中，∠A．當AB=23時，異面直線AB．當AB=2時，直線ARC．AR的最大值是D．三棱錐A1?三、填空題12．若在(1+ax)513．已知隨機事件M，N．若PN=25，PMN14．在△ABC中，△ABC的面積為2，且四、解答題15．設函數fx=a(1)若fx在x=1處切線為y(2)是否存在實數a，使得當x∈0,2時，函數16．為研究某籃球運動員對球隊的貢獻情況，現統(tǒng)計某賽季該球員出場情況與比賽結果的數據如下表：球隊贏球球隊輸球總計參加301242未參加202040總計503282(1)根據小概率值α=(2)為進一步研究該球員對球隊的影響作用，現從他參賽的10場比賽（其中贏球場次3場，輸球場次7場）中隨機抽取2場，用隨機變量X表示贏球的場數．求隨機變量X的分布列，數學期望與方差．參考公式：χ2=nP0.100.050.0250.010x2.7063.8415.0246.63517．已知數列an滿足a1=5，an(1)求證：bn(2)設cn=2n+1bn，數列cn的前n18．已知等腰△ABC中，∠B=2π3，AB=BC=4，D是線段AC上一點，現將△(1)若D為AC中點，求證：D(2)若AD=①求平面BCD和平面②設E為BD的中點，過E作平面截三棱錐A19．橢圓E:x2a2(1)求橢圓E的方程；(2)設A，B分別為橢圓E的左右頂點，F為橢圓的右焦點，K為橢圓E上動點（異于A，B），直線KF與橢圓E交于另一點H．若直線AK與HB交于點P，求證：點P(3)在（2）的條件下，設直線KB與直線l交于Q點，橢圓E在點K處的切線l′與l交于①求證：KP②求△KPQ面積S答案第=page11頁，共=sectionpages22頁答案第=page11頁，共=sectionpages22頁《黑龍江省哈爾濱第三中學校2025屆高三下學期第二次模擬考試數學試題》參考答案題號12345678910答案CBDABBCCABCAD題號11答案ACD1．C【分析】解一元二次不等式求出集合A，再根據補集、交集的定義計算可得.【詳解】由x2?4x≤所以A=x|x2又B=x?故選：C2．B【分析】由向量共線的坐標表示及模長公式即可求解.【詳解】b?因為a?可得：1×x+1=所以b=故選：B3．D【分析】根據空間中線面、面面的位置關系一一判斷即可.【詳解】對于A：若n?α，n//β，則對于B：若m//n，n//α，則對于C：若α⊥β，β⊥γ，則對于D：若m⊥α，m?故選：D4．A【分析】首先求出z2【詳解】因為z1=?又點?1,1關于直線y=x所以z1故選：A5．B【分析】由三角函數的二倍角公式化簡已知條件可得3cosα2=4【詳解】3根據二倍角公式可得：3×化簡得6sin因為α是銳角，所以0<α2等式兩邊同時除以2sinα3cos又因為sin2聯立方程組①②可得：sin2α因為0<α2則sinα故選：B.6．B【分析】設公差為dd≥0，由a4=a1【詳解】正項等差數列an中，設公差為d因為a4=a1+3d所以35所以3=61+當且僅當61+3故選：B7．C【分析】根據題意化簡整理，將問題轉化成討論一元二次方程有正根，利用根的判別式以及韋達定理討論根的情況即可求出a的取值范圍.【詳解】由題意，2fax則ax2=根據函數定義域可知，x>0，且a≠因為Δ=9a則x當0<a<1時，當a>1時，x1所以0<故選：C.8．C【分析】由輔助角公式將方程轉化成sin2【詳解】fx則fx=1即sin∵x∈π6令θ=2x函數y=sinθ由圖可知，y=sinθ所以：其中θ1即2x1+解得x1所以x1故選：C9．ABC【分析】結合頻率分布直方圖逐項判斷即可.【詳解】對于A：由0.005+可得：a=對于B：樣本中得分不低于80分的頻率0.01+故樣本中得分不低于80分的同學有100×對于C：第一個矩形面積為0.1，第二個矩形面積為0.15，第三個矩形面積為0.25，0.1+0.15=所以樣本的40%分位數：60+對于D：平均數為：45×眾數為：75，故D錯誤；故選：ABC10．AD【分析】不妨設點P在第一象限，Px0,y0，根據已知條件，由內切圓的性質以及雙曲線的定義，求出x0=6，y0=4【詳解】不妨設點P在第一象限，D，E，F分別為⊙I與△由切線長定理以及雙曲線的定義，得2=x∴xD=a設Px0,y0，由G把x0=6代入雙曲線C：x∴PF∴PF所以S△若點P在第二象限，則2a=PF2設△PF1則S△又S△∴16r=16故選：AD.11．ACD【分析】連接A1B，利用余弦定理即可判斷A；證明AB⊥平面BCC1B1，即可得到∠ARB為直線AR與平面BCC1B1成角，即可判斷B；取BC的中點M【詳解】在直三棱柱ABC?A1B1C1中，CC1⊥平面AB對于A：當AB=23時，又所以AC=23，連接A1所以∠A1C1B為異面直線A即異面直線AC與BC1對于B：當AB=2即12=AC2+所以AB2+BC2=AC2，即AB又BC∩CC1=C，B所以∠ARB為直線AR與平面BC則∠ARB=π4，所以直線對于C：取BC的中點M，連接RM、AM，則R又CC1⊥平面ABC，所以RM⊥平面A由余弦定理BC2=所以AC2+AB因為AM==1所以AMmax=3，又所以AR的最大值是1對于D：過點B作BD⊥AC交AC于點D，因為CC1⊥平面又AC∩CC1=C，A又BD所以VA由C可知AC?AB≤故選：ACD12．2【分析】利用展開式的通項公式求出第r+1項，令x的指數為3得【詳解】(1+a令x=3的展開式中x3∵展開式中x3的系數為80，∴10a∴a=故答案為：2.13．25/【分析】根據條件概率求出PMN，再由和事件的概率公式求出【詳解】因為PN=25，又PM所以PM所以PN故答案為：214．6【分析】設AB=xx>0，則BC【詳解】設AB=x由S△AB由余弦定理得AC令y=10?即82+y所以sin(B+得y2≥36，解得y≥6或y解得AC≥6或AC≤故答案為：615．(1)5(2)a=【分析】（1）求導，由f′1=a?2=0求出（2）求定義域，求導，分a≤0，a>【詳解】（1）f′fx在x=1處切線為y=b故fx=2x?所以a+（2）存在a=fx的定義域為0,+當a≤0時，f′故fx在x所以fxmin=當a>0時，令f′x>0得，若a>1，則2a<2，故f故fxmin=若0<a≤1，則2a故fxmin=綜上，a=16．(1)該球隊贏球與該球員參賽有關聯；(2)分布列見解析；數學期望EX=【分析】（1）設零假設，求出χ2（2）利用古典概型結合組合數計算，求出對應的概率，寫出分布列，再根據數學期望和方差公式計算求解.【詳解】（1）設零假設為H0則χ2根據小概率值α=0.05的獨立性檢驗，我們推斷（2）由題意，隨機變量X所有可能取值為0則PPP所以，隨機變量X的分布列為：X012P771數學期望E方差D17．(1)證明見解析(2)?【分析】（1）證明bn+1bn（2）先求出cn，根據cn通項公式的特征，采用錯位相減法求其前n項和Sn，題設化簡為?1n【詳解】（1）由已知，∵a∴an+1=又∵a1=∴數列bn中任意一項不為0,b∴數列bn是首項為2,公比為2的等比數列，b（2）由第（1）問知，bn則cn=2n+12所以Sn12所以①-②可得：12所以Sn由?1nλ化簡得?1當n為奇數時，有?λ<5而5×12當n為偶數時，有λ<而5?5×綜上，λ的取值范圍為?518．(1)證明見解析(2)①255；②【分析】（1）由D為AC中點，得到BD⊥A′D,（2）①在由AD=2DC，得到A′D,DC得到長，由余弦定理求得BD=433，得到所以△BCD為等腰三角形，且∠DBC=π6，再由②以B為原點，建立空間直角坐標系，設三棱錐A′?BCD的外接球的球心為O，求得球心的坐標為(2,23,2)，半徑為【詳解】（1）證明：如圖（1）所示，在等腰△A因為AB=BC=4，且D為又因為A′D∩DC=D，且A因為A′C?平面A（2）解：①在等腰△ABC中，∠B=因為AD=2DC在△BCD中，由余弦定理得BD2所以△BCD所以∠A′B又因為平面A′BD和平面BCD所成的二面角為θ因為A′B?平面A′BD，且平面A′又因為CD?平面BC如圖所示，過點B作BH⊥CD，因為A′所以CD⊥平面因為A′H?平面A所以∠A′HB為平面在直角△BCH在直角△A′HB中，可得所以平面BCD和平面A②以B為原點，以BD,BA′分別為y軸，z軸，以在平面BCD則A′設三棱錐A′?B則球心O在底面BCD上的投影為△B球心O在yOz上的投影點為直角△A′B所以球心的坐標為(2,2又由E為BD的中點，可得E(0當OE與過點E設所截小圓的半徑為r，則r=所以過E作平面截三棱錐A′?B19．(1)x(2)證明見解析(3)①證明見解析；②2【分析】（1）結合圖形可得a,（2）聯立直線KH與橢圓方程，由韋達定理可得關系式3(y1+y2)=（3）①求出切線l′方程，依次求出R,P,Q坐標，得R為PQ中點，進而由向量極化恒等式可證；②利用點【詳解】（1）圓M:(x?6圓N:x2+(由題意橢圓E與兩圓都外切，結合圖形可知，a=故橢圓E的方程為x2（2）由橢圓E的方程為x24+由題意知，KH不垂直于y軸，故可設直線K由焦點F在橢圓內，則直線KH設K(聯立直線