2025《衡中學(xué)案》高考一輪總復(fù)習(xí)數(shù)學(xué)提能訓(xùn)練練

案［21］含答案提能訓(xùn)練練案［21］

6A組基礎(chǔ)鞏固9

1.設(shè)函數(shù)?x)=e*—ax—2.

(1)求兀0的單調(diào)區(qū)間；

(2)若a=l,k為整數(shù),且當(dāng)x>0時(shí)，(x—Q)+無(wú)+1>0,求左的最大值.

［解析］(DHx)的定義域?yàn)镽,f(x)=e~a.

當(dāng)aWO時(shí)，/'(x)>0恒成立，所以?c)的單調(diào)遞增區(qū)間為(一8,十8),無(wú)

單調(diào)遞減區(qū)間.

當(dāng)a>0時(shí),令，(x)<0,得x<lna,

令，(x)>0,得x>lna,

所以Hx)的單調(diào)遞減區(qū)間為(一8,Ina),單調(diào)遞增區(qū)間為(Ina,+°°).

(2)由題設(shè)可得(%一左)(8—l)+x+1>0,

V—I—1

即kx+晟三"(xX))恒成立，

X—I-1e%—1—(y+1)己%己%—v—2)

令g(x)=n+x(x>0)，得g'(x)=J+1=1)2%>0).

CJLIC1JIC1J

由(1)的結(jié)論可知，函數(shù)/z(x)=ex—x—2(x>0)是增函數(shù).

又因?yàn)橐?)<0,力(2)>0,

所以函數(shù)/z(x)的唯一零點(diǎn)a?(l,2)(該零點(diǎn)就是/z(x)的唯一零點(diǎn)).

當(dāng)x@(0,a)時(shí),g'(x)<0；

當(dāng)尤￡(a,+8)時(shí)，g'(x)>0,

a-1-1

所以g(%)min=g(〃)=e。_］+a

又/z(?)=eoc—?—2=0,

所以ea=?+2且(1,2),

則g(X)min=g(Q)=1+4￡(2,3)，

所以上的最大值為2.

2.已知函數(shù)次x)=e%.

(1)若兀02奴+1,求實(shí)數(shù)。的取值范圍；

(2)若g(x)=x+lnx,求證：g(x)—xe*+lWO.

［解析］(l)?x)》ax+l,化為e^—ax—lNO,

令u(x)=ex—ax-l,

則u'(x)=ex—a,

當(dāng)aWO時(shí)，u'(x)=ex-a>0,函數(shù)M(X)在R上單調(diào)遞增，

而M(0)=1—1=0,因此x<0時(shí)，z/(x)<0,不符合題意，舍去.

當(dāng)a>0時(shí)，令(x)=e%—a=0,解得x=lna,

x?(—8,in0時(shí)，u'(x)<0,此時(shí)，函數(shù)M(X)單調(diào)遞減，x?(lna,+°°)

時(shí),(X)>O,此時(shí)，函數(shù)M(x)單調(diào)遞增，

所以x=lna時(shí)，函數(shù)M(X)取得極小值即最小值，

所以M(lna)=a—alna—1^0,

令v(a)=a—tzlna—1,

則o'(a)=l—Ina—1=-Ina,

可得o(a)在(0,1)上單調(diào)遞增，在(1,+8)上單調(diào)遞減，。=1時(shí)，0(0取得極

大值。(1)=1-0—1=0,可得a=l時(shí)滿(mǎn)足題意.

所以實(shí)數(shù)a的取值范圍為{1}.

(2)令/z(x)=g(x)—泥*+1=%+111%—泥*+1,xG(0,+°°),

h'(x)=1+/-(x+l)ex=(x+l)g-ej,

令y=；—ex,則函數(shù)y=；—ex在xG(0,+8)上單調(diào)遞減，

又y(D=l-e<0,丁七］=2-五>0,

所以存在唯一零點(diǎn)1］星(0,+8),

使得exo=-,即xo=—Inxo.

xo

xo是/z(x)的極大值即最大值，

h(xo)=xo—xo—1+1=0,

所以/i(x)W/i(xo)=O,

因此g(x)—xex+1W0.

3.設(shè)函數(shù)八x)=e2x—(2a+2)ex+2ax.

(1)當(dāng)。<0時(shí)，討論函數(shù)人X)的單調(diào)性；

(2)若汽x)有兩個(gè)零點(diǎn)，求實(shí)數(shù)a的取值范圍.

［解析］(l)f(x)=2e2x-(2a+2)ex+2a=2(ex-l)(ex-a),

"."a<0,

e%—<7>0,

令/(x)=0,解得x=0,

當(dāng)x>0時(shí)，f(x)>0,當(dāng)x<0時(shí)，f(x)<0,

二函數(shù)在(一8,o)上單調(diào)遞減，在(o,+8)上單調(diào)遞增.

(2)由(1)知，①當(dāng)。<0時(shí)，函數(shù)人X)在(一8,0)上單調(diào)遞減，在(0,+8)上

單調(diào)遞增，

=A0)=l-(2a+2)+0=-2tz-l,

當(dāng)為一一8時(shí)，1》)—+8,當(dāng)+8時(shí)，汽x)f+oo,

..7")有兩個(gè)零點(diǎn),

.*.y(x)min=-2a—1<0,解得一］<a<0,

②當(dāng)a=0時(shí)，>(x)=e2x—2ex=0,解得x=ln2,只有一個(gè)零點(diǎn)，不符合題意，

③當(dāng)。>0時(shí)，由(1)知，(x)=2(ex—l)(ex—a),

當(dāng)—8時(shí)，—8,當(dāng)X—十8時(shí)，五X(qián))一+8,

令，(x)=0,解得x=0,或x=lna,

當(dāng)0<tz<l時(shí),Ina<0,

在(-8,ina),(0,+8)上單調(diào)遞增，在(Ina,0)上單調(diào)遞減，

.極小值—y(0)=—2a—1<0,五％)極大值=y(lna)=一/一2a+2alna<0,

二函數(shù)兀0只有一個(gè)零點(diǎn)，不合題意，

當(dāng)<7>1時(shí)，Ina>Q,

在(一8,0),(Ina,+8)上單調(diào)遞增，在(0,Ina)上單調(diào)遞減，

極大值=/(0)=—2a—1<0,函數(shù)“￥)只有一個(gè)零點(diǎn)，不合題意，

當(dāng)a=l時(shí)，f。)=2(3一l)(e》一1)三0恒成立，

??/x)在R上單調(diào)遞增，函數(shù)五x)只有一個(gè)零點(diǎn)，

綜上所述：汽X)有兩個(gè)零點(diǎn)，則a的取值范圍為(一；，0；

B組能力提升

1.(2023河北邢臺(tái)一模，21)已知函數(shù)外)=。。+1—2j+資一5

⑴當(dāng)a=l時(shí)，求人為的極小值；

(2)若人x)有兩個(gè)零點(diǎn)，求實(shí)數(shù)a的取值范圍.

［解析］(1求>)的定義域?yàn)?一8,十8),

當(dāng)a=1時(shí)，f(x)=2e2x+1—2ex+1+2e%—2

=T(eJl)(4e'+1+1),

令，(x)=0,解得x=0.

當(dāng)x變化時(shí)，f(x),於)的變化情況如表:

X(—8,0)0(0,+°0)

f(x)—0+

1

於)單調(diào)遞減2-e單調(diào)遞增

因此，當(dāng)x=o時(shí)，1工)有極小值，極小值為y(o)=T—e.

(2)f(x)=2tze2x+1—2ev+1+^ex—1=,1(tzex—l)(4e'+1+1),

①若aWO,則，(x)<0,所以/(x)在(一8,+8)上單調(diào)遞減，八工)至多有一

個(gè)零點(diǎn).

②若。>0,令/(x)=0,解得x=—Ina

當(dāng)x@(—8,一也公時(shí)，，(%)<0；當(dāng)xG(—Ina,+8)時(shí)，，(x)>0,所以

八工)在(一00,—Ina)上單調(diào)遞減，在(一Ina,+8)上單調(diào)遞增.

11

所以當(dāng)％=—In〃時(shí)，危)取得極小值，即最小值，為八一lna)=1—,e+］lnQ.

當(dāng)〃=e時(shí)，由于八一lna)=0,故火x)只有一個(gè)零點(diǎn)；

lei

當(dāng)〃￡(e,+8)時(shí)，由于￡+/lna>(),即八一lna)>0,故危)沒(méi)有零點(diǎn)；

當(dāng)〃￡(0,e)時(shí)，2—,+1ln〃<0,即—lna)<0.

2

Ina<l,即一Ina>—1>—2且—2)=^3+^2+1—~>0,

故於)在(一8,—In〃)有一個(gè)零點(diǎn).

l2e

且

In-a>—Ina,

先證x>0時(shí)In1.

設(shè)機(jī)a)=in%一(1—1),則機(jī)/(x)=

當(dāng)0<x<l時(shí)，m'(x)>0,當(dāng)x>l時(shí)，m'(x)<0,

故皿x)在(0,1)上單調(diào)遞增，在(1,+8)上單調(diào)遞減.

當(dāng)％=1時(shí),機(jī)(x)取到最大值皿1)=0,

故x>0時(shí)Inx^x~1.

(2e\4e3—4e2,12e^4e3—4e2,l<2e、4e3—4e2—e.

J\—aJ-----a-----+e-712n—a2------a-----+e—2\—a—1)=--------a-------+e

+T>0,

因此於)在(一ln〃，+8)上有一個(gè)零點(diǎn).

綜上，。的取值范圍為(0,e).

%2

2.(2023?廣東茂名二模，21)已知函數(shù)於尸5+lnx—2依，〃為常數(shù)，且Q>0.

(1)判斷火防的單調(diào)性；

⑵當(dāng)0<〃<1時(shí)，如果存在兩個(gè)不同的正實(shí)數(shù)相，〃且加n)+/(〃)=1—4〃，證

明：m+n>2.

［解析］(1)?.7(x)=E+lnx-2ax,

.?1x2—2tzx+1?

f(x)=x+~—2a—~,x￡(0,+°°),

記g(x)=x2—2(2%+1,

①當(dāng)』=4Q2—4W0,即0<QW1時(shí)，g(x)=x1—2ax-\-1^0恒成立，所以

fa)eo在(o,+8)上恒成立,

所以八工)在(0,+8)上單調(diào)遞增.

②當(dāng)』=44—4>0,即〃>1時(shí)，方程有兩個(gè)不等實(shí)根，

2〃一444一4/—：2〃+74〃2—4/—r

且％1=2=a—y^a—1>0,X2=?=a+^cr—1>0

\/x^(0,。一7。2一1),X2—2(7%+1>0,f(x)>0,火工)單調(diào)遞增,

Vx(<7—y］a2—l,a+y/a2—1),x2—2ax+l<Q,f(x)<0,?x)單調(diào)遞減,

Vx((2+yja2—1,+°°),x2—2(2%+1>0,f(x)>0,?x)單調(diào)遞增.

綜上所述：①當(dāng)0<QW1時(shí)，八%)在(0,+8)上單調(diào)遞增，

②當(dāng)a>l時(shí)，火幻在(0,Q一1/―1)和(〃+?！?—1,+8)上單調(diào)遞增，在(Q

—yja2—1,〃+，〃2一1)上單調(diào)遞減.

(2)證明：=3—2d

/.^?)+?=1-4?=2/(1),

由⑴可知0<a<l時(shí),於)在(0,+8)上單調(diào)遞增,

故不妨設(shè)0<"2<1<72,

要證根+〃>2,即證〃>2—m>l,

又：當(dāng)0<。<1時(shí)，於)在(0,+8)上單調(diào)遞增,

只需證火〃)次2—m),

又+洲〃)=1一4。，

?,?只需證1—4a——m),

即證/(m)+/(2—m)<l—4a(0<m<1),

記尸(1)=%)+八2一%)，xe(0,l),

112(%—1)3

F(%)=/(%)―/(2—%)=%+、-2Q—(2—X)—-x(2—x)'

.??當(dāng)xG(0,l)時(shí)，/(x)>0恒成立，R(x)單調(diào)遞增,

/.F(x)<F(l)=2/(l)=l-4o,

???原命題得證，即加+〃〉2提能訓(xùn)練練案［22］

A組基礎(chǔ)鞏固f

一、單選題

1.若a是第一象限角，則下列各角中屬于第四象限角的是(C)

A.90°—aB.90°+a

C.360°-aD.180°+a

［解析］由題意逐一考查所給選項(xiàng)即可求得最終結(jié)果.若a是第一象限角，

則：90。一a位于第一象限，90。十&位于第二象限，360。一a位于第四象限，180。

+a位于第三象限，故選C.

2.(2024.吉林長(zhǎng)春模擬預(yù)測(cè))2022年北京冬奧會(huì)開(kāi)幕式倒計(jì)時(shí)環(huán)節(jié)把二十四

節(jié)氣與古詩(shī)詞、古諺語(yǔ)融為一體，巧妙地呼應(yīng)了今年是第二十四屆冬奧會(huì)，更是

把中國(guó)傳統(tǒng)文化和現(xiàn)代美學(xué)完美地結(jié)合起來(lái)，彰顯了中華五千年的文化自信.地

球繞太陽(yáng)的軌道稱(chēng)為黃道，而二十四節(jié)氣正是按照太陽(yáng)在黃道上的位置來(lái)劃分

的，當(dāng)太陽(yáng)垂直照射赤道時(shí)定為“黃經(jīng)零度”，即春分點(diǎn)，從這里出發(fā)，每前進(jìn)

15度就為一個(gè)節(jié)氣，從春分往下依次順延，清明、谷雨、立夏等等.待運(yùn)行一

周后就又回到春分點(diǎn)，此為一回歸年，共360度，因此分為24個(gè)節(jié)氣，則今年

高考前一天芒種為黃經(jīng)(B)

春分

寸有谷雨嚶㈣水立春一曲

小滿(mǎn)立基.Q-Q-

芒%Q-0小寒

Q

夏至6?冬至

小暑0F.

大雪

大暑-O-''O--O--o—O--二公小雪

立秋處暑白露晶寒露霜降立冬

A.60度B.75度

C.270度D.285度

［解析］春分往下依次順延，清明、谷雨、立夏、小滿(mǎn)、芒種，所以芒種為

黃經(jīng)15X5=75度.故選B.

3.已知點(diǎn)P(tana,cosa)在第三象限，則角a的終邊在(B)

A.第一象限B.第二象限

C.第三象限D(zhuǎn).第四象限

［解析］由題意知tana<0,cosa<0,根據(jù)三角函數(shù)值的符號(hào)規(guī)律可知，角a

的終邊在第二象限.故選B.

4.已知扇形的周長(zhǎng)為100cm,則該扇形的面積S的最大值為(B)

A.100cm2B.625cm2

C.1250cm2D.2500cm2

［解析］由扇形的周長(zhǎng)和面積公式都和半徑和弧長(zhǎng)有關(guān)，可設(shè)出半徑和弧

長(zhǎng)，表示出周長(zhǎng)和面積公式，利用配方法即可求解，也可以應(yīng)用均值定理求解.方

法一：設(shè)扇形半徑為「，弧長(zhǎng)為/,則周長(zhǎng)為2r+/=100,面積為5=權(quán)因?yàn)镾

=1/r=1(100—2r)r=-r2+50r=—(r—25)2+625,所以當(dāng)r=25時(shí)，5max=625；

11(SQ—r+八

方法二(應(yīng)用均值定理)：S=]>=1(100—2r)r=(50—J2=625,當(dāng)且

僅當(dāng)50—r=r,即廠(chǎng)=25時(shí)等號(hào)成立，故選B.

5.已知角a的終邊經(jīng)過(guò)點(diǎn)（如—2m）,其中mW0,則sina+cosa=（B）

A.巖B.土半

［解析］...角a的終邊經(jīng)過(guò)點(diǎn)（加，—2m）,其中mWO,

m1

當(dāng)m>0時(shí),cosa-r--=/—,

75m75

sina+cosa

當(dāng)m<0時(shí),sina=

m1

,sinot+cosa—5，

sina+cosa=±*-,故選B.

6.（2023?濟(jì)南市三中摸底）設(shè)。是第三象限角，且cos|=-cos，，則,是（B）

A.第一象限角B.第二象限角

C.第三象限角D.第四象限角

/□g

［解析］...。為第三象限角，???5為第二或第四象限角.又?:cos2=-cos

2.Icos,vO,...￥是第二象限角.

「律，—!!在角。的終邊上，且。引0,2兀）,

7.（2023?山東威海月考）已知點(diǎn)

則e的值為（c）

A5兀2兀

A?TB.T

1171571

C.~6~D.T

［解析］因?yàn)辄c(diǎn)尸庫(kù)，一日在第四象限，所以根據(jù)三角函數(shù)的定義可知tan。

1

=/=一坐，又。?［0,2兀)，所以。=野.

2

8.(2024.浙江杭州市模擬)達(dá)?芬奇的經(jīng)典之作《蒙娜麗莎》舉世聞名，畫(huà)中

女子神秘的微笑數(shù)百年來(lái)讓無(wú)數(shù)觀賞者入迷，某愛(ài)好者對(duì)《蒙娜麗莎》的同比例

影像作品進(jìn)行了測(cè)繪，將畫(huà)中女子的嘴唇近似看作一個(gè)圓弧，在嘴角A,3處作

.2冗

圓弧所在圓的切線(xiàn)，兩條切線(xiàn)交于點(diǎn)C,測(cè)得A3=12.6cm,ZACB=y,則《蒙

娜麗莎》中女子嘴唇的長(zhǎng)度約為(單位：cm)(C)

A.12.6B.4兀

C.4.2兀D,4.3兀

［解析］畫(huà)中女子的嘴唇近似看作一個(gè)圓弧，如圖，設(shè)圓心為。，依題意,

OA±AC,OB±BC,O,A,C,3四點(diǎn)共圓，

2兀兀

'/ZACB=~Y，ZAOB=y

'：OA=OB91.△AOB為等邊三角形，：.OA=AB=12.6cm.

7T

：.《蒙娜麗莎》中女子嘴唇的長(zhǎng)度約為。4><w=4.27i(cm).故選C.

二、多選題

9.下列各式中結(jié)果為正值的是(ACD)

37.37

A.sin1125°B.tan五msm五兀

C.:由?D.sin|-1|

tan5,1

[解析]確定一個(gè)角的某一三角函數(shù)值的符號(hào)關(guān)鍵要看角在哪個(gè)象限，確定

一個(gè)式子的符號(hào)，則需觀察構(gòu)成該式的結(jié)構(gòu)特點(diǎn)及每部分的符號(hào).

對(duì)于A,因?yàn)?125。=1080。+45。，所以1125。是第一象限角，所以sin1

125°>0；

對(duì)于B,因?yàn)閨|兀=2兀+畏，則H兀是第三象限角，

37

所以tan故tan適msin

對(duì)于C,因?yàn)?弧度的角在第四象限,

sin5

所以sin5<0,tan5<0,故翟7>°；

IdllJ

jrjr

對(duì)于D,因?yàn)閃<1<2，所以sin|T|>0.

10.(2023?吉林長(zhǎng)春普通高中模擬改編)若角a的頂點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，始邊在x

軸的非負(fù)半軸上，終邊在直線(xiàn)x+y=0上，則角a的取值集合是(AD)

A.=或a=2far+竽，左?z]

B.jaa=2Mr+普，左?z]

C.laa=kn~\~^,Zj

D.jota=kn—^,左?z[

3兀

[解析]因?yàn)橹本€(xiàn)尤+y=0的傾斜角是彳，所以終邊落在直線(xiàn)尤+y=0上的

角的取值集合為jaa=2kji—^或a=2kii+彳，或

jota=kn—^,左?z].故選AD.

11.在平面直角坐標(biāo)系xOy中，角a以x的非負(fù)半軸為始邊，且終邊經(jīng)過(guò)點(diǎn)

P(—Lm)(/7i>0),則下列各式的值一定為負(fù)的是(CD)

A.sinot+cosaB.sincosa

sma

C.sinacosatana

［解析］由已知得r=\OP\=yJm2+l,則

<0,tana=—m<0,則sina+cosa的符號(hào)不確定，sina—cosa>0,sinotcosa<0,

sina八u、小―

而/cosa<0.故選CD.

三、填空題

12.2025。角是第三象限角,與2025。角終邊相同的最小正角是225。，

最大負(fù)角是一135。.

［解析］因?yàn)?025。=6乂360。―135。，所以2025。角的終邊與一135。角的終

邊相同.所以2025。角是第三象限角，與2025。角終邊相同的最大負(fù)角是一135。.

又一135。+360。=225。，故與2025。終邊相同的最小正角是225。.

13.已知角a的終邊在如圖所示陰影表示的范圍內(nèi)（不包括邊界），則角a用

集合可表示為Jg<a<2E+景.?z］_.

［解析］:.在［0,2兀）內(nèi)，終邊落在陰影部分角的集合為仔，焉，..?所求角的

集合為"2防r+曰<a<2防i+/,%￡Z

14.如圖所示，角的終邊與單位圓交于第二象限的點(diǎn)A^osa,I）,則cosa

7

=

—sina=5

一

2

［解析］由題意得以九2。+仁『=1,cosa=^.Xcosa<09所以cosa=—g,

3、7

又sin。=5，所以cos?—sina=一1

15.《九章算術(shù)》是我國(guó)古代數(shù)學(xué)成就的杰出代表作，其中《方田》章給出

計(jì)算弧田面積所用的經(jīng)驗(yàn)公式；弧田面積=；（弦X矢十矢2）.弧田（如圖）由圓弧

和其所對(duì)弦所圍成，公式中，“弦”指圓弧所對(duì)弦長(zhǎng)，“矢”等于半徑長(zhǎng)與圓心

2兀

到弦的距離之差.現(xiàn)有圓心角為冷，半徑等于4nl的弧田，則矢是2m,所得

弧田面積是4、石+2nA

［解析］根據(jù)題意畫(huà)出圖形，結(jié)合圖形利用直角三角形的邊角關(guān)系求出矢和

2兀

弦的值，代入公式計(jì)算求值即可.如圖所示，由題意可得：ZA0B=y,0A=4,

JT7TI1

在中，可得：ZAOD=^。=。=可得：

39ZDAO=oT,027A25*4=2,

矢=4-2=2,由AD=AOsing=4X坐=2#,可得：弦=2A￡）=44,所以：

弧田面積=；（弦X矢+矢2）=|X（4V3X2+22）=4小+2.

16.函數(shù)y=^/2sinx—1的定義域?yàn)開(kāi)26兀+,，2防r十m（左?Z）

［解析］'/2sin%—120,/.sin

由三角函數(shù)線(xiàn)畫(huà)出x滿(mǎn)足條件的終邊范圍（如圖陰影部分）.

兀5兀

?二%￡2E+不2kn~\~石（kRZ）.

B組能力提升

1.（多選題）下列結(jié)論中正確的是（BCD）

4

A.若角a的終邊過(guò)點(diǎn)P（3匕4左）（左W0）,則sina=5

B.若a是第一象限角，則段為第一或第三象限角

C.若扇形的周長(zhǎng)為6,半徑為2,則其圓心角的大小為1弧度

D.若0<a<5，貝!Jsina<tana

4

［解析］當(dāng)左=—1時(shí)，P（—3,-4）,則sina=一5，故A錯(cuò)誤；

兀

?：2kii<a<2kji+1,左GZ,

?二左兀<,<左兀+^，k^Z,

若為第一或第三象限角，故B正確；

I6—4.

\a\-~——2-=1，故C正確；

兀sincc

，臺(tái)臺(tái),故正確.

0<a<z5sina<tanasina<cosacosa<lD

2.設(shè)集合〃="=亨180。+45。，kGZA^=|xk=1180o+45°,左?Z；,

那么（B）

A.M=NB.MUN

C.N匚MD.MCN=0

［解析］由于〃中，龍=/180°+45°=k90°+45°=（2左+1）45°,2k+l是奇

數(shù);而N中，工=亨180°+45°=左45。+45。=（1+1）45°,左+1是整數(shù),因此必有

M屋N.

3.（多選題）（2023?唐山模擬）函數(shù)危尸翡+苦言+器的值可能為（BC）

A.1