微拓展2蒙日?qǐng)A與阿基米德三角形

[考情分析]在近幾年全國(guó)各地的解析幾何試題中可以發(fā)現(xiàn)許多試題涉及蒙日?qǐng)A與阿基米德三角形，這些

問題聚焦了軌跡方程、定值、定點(diǎn)、弦長(zhǎng)、面積等解析幾何的核心問題，難度為中高檔.

考點(diǎn)一蒙日?qǐng)A

22

在橢圓泌＞0)上，任意兩條相互垂直的切線的交點(diǎn)都在同一個(gè)圓上，它的圓心是橢圓的中心，半

徑等于橢圓長(zhǎng)半軸與短半軸平方和的算術(shù)平方根，這個(gè)圓叫蒙日?qǐng)A.

例1(1)已知橢圓M的方程為亍+、2=1,過平面內(nèi)橢圓〃外的點(diǎn)尸作橢圓M的兩條互相垂直的切線，

則點(diǎn)月的軌跡方程為()

A.x2+y2=5B.x1+y2=4

CM+y2=3DM+y2=|

答案A

解析設(shè)點(diǎn)P(xo,加),當(dāng)切線斜率存在且不為0時(shí)，府#2,y(#±l,

設(shè)切線方程為y-yo=Mx-%o),

聯(lián)立[7+y=L

,y-y0=k(x-&),

消去y得(4乃+l)x2+8(yo-fcro)fct+4(yo-fcvo)2-4=O,

則/=64產(chǎn)(yo-fcto)2-4x(44+l)[4(yo-fcto)2-4]=O,

即(4-就點(diǎn)+2和證+1-羽=0,兩切線垂直，故其斜率之積為一1,則由根與系數(shù)的關(guān)系知蹙=-1,即詔+詔=5.

4To

當(dāng)切線斜率不存在或?yàn)?時(shí)，此時(shí)點(diǎn)P坐標(biāo)為(2,1),(-2,1),(-2,-1),(2,-1),滿足方程就+無=5,故

所求軌跡方程為/+y2=5.

(2)(多選)已知焦點(diǎn)在無軸上的橢圓C的長(zhǎng)軸長(zhǎng)為4,離心率為e=%P為蒙日?qǐng)A上任一點(diǎn)，則以下說法

正確的是()

A.過點(diǎn)尸作橢圓C的兩條切線PA,PB,則有PALM

B.過點(diǎn)尸作橢圓的兩條切線，交橢圓于點(diǎn)A,B,。為原點(diǎn)，則kOP必B=[

C.過點(diǎn)尸作橢圓的兩條切線，切點(diǎn)分別為A,B,則SMPB的取值范圍為卷，y]

D.過點(diǎn)P作橢圓的兩條切線，切點(diǎn)分別為A,B,O為原點(diǎn)，則SAAOB的最大值為VI

答案ACD

解析由題意知橢圓C：馬+昌=1（4泌＞0）的長(zhǎng)軸長(zhǎng)為4,離心率為e=l,

故a=2,-=l,

a2

所以C=1,加=〃2_/=3,

22

則橢圓方程為千+5=1蒙日?qǐng)A”的方程為/+/7.

43

對(duì)于A,由蒙日?qǐng)A的定義知PAVPB,A正確；

對(duì)于B,設(shè)AS,力），B（X3,第），貝IPA的方程為資+等=1,

P3的方程為卓+第=1,

43

兩切線過點(diǎn)尸（羽，-），故竽+胃1=1,等+第=1,

4343

即點(diǎn)A,B在直線號(hào)+第=1上，因?yàn)閮牲c(diǎn)確定一條直線，

43

故直線AB的方程為等+號(hào)=1,則N二等,

434yl

而kop^—,故kop-kAB=-~,B錯(cuò)誤；

工14

27

對(duì)于C,由于直線A3的方程為等+箸=1,聯(lián)立,

得（3者+4yH-24xix+48-16資=0,

J=（24xi）2-4（3%i+4yf）（48-16yf）

=64資（3以+4無-12）＞0,

貝IJ%2+%3=,

3若+4比2

故|AB|=J1+歐（無2+久3尸一軌2K3

3好+4*

又點(diǎn)P到直線AB的距離小」3：:4比-121,

」9好+16比

故S^APB=^AB\di

9*+16y/3好+4光-125宣+4*-12|

3好+4弁

一12)13好+4光一12

3好+4及

又％田+*=7,故令03說+4比-12=Jy/+9,

貝IJS^APB=-^=T^2.

tt3

令財(cái)*券，顯然曲在［3,4］上單調(diào)遞減，

故V=r4在［3,4］上單調(diào)遞增,

則(Sz\AP3)min=7^W

八”/

1_16

(%AP8)max=

7(4)7'

即SAAPB的取值范圍為E，黑，C正確；

對(duì)于D,由C的分析可知

29好+16免3好+4比一12

\AB\=-

3好+4光

1-121

而點(diǎn)。到直線AB的距離d2=,

9好+16—

故S/\AOB=^AB\d2

916*J3+4*—12

好+好|T2|

3好+4弁

4+16比

123*+4*-12

3好+4比

又以+資=7,

故令Z=J3M+4資-12='資+9,fC[3,4],

12t12

則S^AOB='

t2+12-t+^，

而f+y^2V12-4V3，當(dāng)且僅當(dāng)仁芳，即Z=2V3G［3,,等號(hào)成立，

=

故SAAOB=~^2-^^V3,即SAAOB的最大值為V5,D正確.

［規(guī)律方法］（1）設(shè)P為蒙日?qǐng)A上任一點(diǎn)，過點(diǎn)P作橢圓的兩條切線，交橢圓于點(diǎn)A,B,。為原點(diǎn).

性質(zhì)1PA.LPB.

u2

性質(zhì)2kop'kAB---^2-

性質(zhì)3kOA-kpA=-^,%0B?腔B=*（垂徑定理的推廣）?

性質(zhì)4P。平分橢圓的切點(diǎn)弦A區(qū)

性質(zhì)5延長(zhǎng)PA,PB分別交蒙日?qǐng)A。于兩點(diǎn)C,。，則CD//AB.

性質(zhì)6&AOB的最大值為學(xué)，&AOB的最小值為黑.

2az4-Dz

n4L.4

性質(zhì)7SaAPB的最大值為-―^2，S/XAPB的最小值為W—Q

a2+Z?2az+bz

（2）蒙日?qǐng)A在雙曲線、拋物線中的推廣

22

雙曲線'翥=1（°>6>0）的兩條互相垂直的切線PA,PB交點(diǎn)尸的軌跡是蒙日?qǐng)A：/+盧，22（只有當(dāng)a>b時(shí)才

有蒙日?qǐng)A）.

⑶拋物線/2夕助>0）的兩條互相垂直的切線PA，尸3交點(diǎn)P的軌跡是該拋物線的準(zhǔn)線：尸?可以看作半

徑無窮大的圓）.

22

跟蹤演練1（多選）已知橢圓C：2+-=1，。為原點(diǎn)，則下列說法中正確的是（）

54

A.橢圓C的蒙日?qǐng)A方程為x2+y2=9

B.過直線/：x+2y-3=0上一點(diǎn)P作橢圓C的兩條切線，切點(diǎn)分別為M,N,當(dāng)NMPN為直角時(shí)，直線

OP的斜率為一

C.若尸為蒙日?qǐng)A上一點(diǎn)，過點(diǎn)P作橢圓C的兩條切線，切點(diǎn)分別為M,N,則尸O平分橢圓的切點(diǎn)弦

MN

D.若尸為蒙日?qǐng)A上一點(diǎn)，過點(diǎn)尸作橢圓C的兩條切線，切點(diǎn)分別為N,且0,尸到的距離分

別為di,必，則d\d2=-^-

答案ACD

22

解析對(duì)于A,橢圓C:》一二1的蒙日?qǐng)A方程為x*2+*y2=9,A正確；

54

對(duì)于B,依題意，點(diǎn)尸是直線/與蒙日?qǐng)A的交點(diǎn)，則—V

解得尸(Y'蔡)或尸(3，0),

直線。尸的斜率為?或0,B錯(cuò)誤；

對(duì)于C,設(shè)P點(diǎn)坐標(biāo)為(松，外)，直線OP斜率ko/,

x0

由切點(diǎn)弦公式得到腦V的方程為警+督=1,-孕,kop-kMN=--^,

zz2z

abay0a

由點(diǎn)差法可知,PO平分MN,C正確；

對(duì)于D,設(shè)P(Va2+b2cos9,Va2+b2sin9),

則直線MN的方程為xZ?2Va2+b2cosd+ycP^Ja2+/72sin3-a2b2=0,

則原點(diǎn)O到直線MN的距離

7___________a2b2____________

1J(a2+b2)(a4sin2e+b4cos2e)'

則點(diǎn)尸到直線MN的距離

j|b2(a2+b2)cos20+a2(a2+D2)sin20-a2b2|

Cl2---------/-------

7(a2+b2)(a4sin20+b4cos20)

_a4sin20+b4cos2O

224242

y/(a+b')(<asin0+bcosd')

_la4sin20+b4cos20

[a2+b2'

故did2=2#,D正確.

az+bz9

考點(diǎn)二阿基米德三角形

拋物線的弦與過弦的端點(diǎn)的兩條切線所圍成的三角形叫做阿基米德三角形.

例2⑴過拋物線尤2=2°加>0)上一點(diǎn)M(x0,則)的切線方程為.

答案xox=p(y+y(i)

2

解析產(chǎn)在，y'T,由導(dǎo)數(shù)的幾何意義得所求切線的斜率少,

‘2p'pp

.??所求的切線方程為y-y0=^x-X0）,

艮口x?x=Xo+py-pyo,又就=2pyo,

.，.過拋物線上一點(diǎn)M（xo,州）的切線方程為xox=p（y+yo）.

（2）（多選）已知A8,%）,3（X2,>2）是拋物線丁=20必9>0）上的兩點(diǎn)，在兩點(diǎn)處的切線相交于點(diǎn)。，則下

列說法中正確的是（）

A.當(dāng)阿基米德三角形的頂角為直角時(shí)，阿基米德三角形頂點(diǎn)的軌跡為蒙日?qǐng)A

B.若M為弦A3的中點(diǎn)，則加。與x軸平行（或重合）

C.若弦A3過拋物線的焦點(diǎn)，則點(diǎn)。在拋物線的準(zhǔn)線上

D.若阿基米德三角形的底邊A3過焦點(diǎn)，V為弦A3的中點(diǎn)，則該三角形的面積最小值為2P

答案ABC

解析對(duì)于A,由蒙日?qǐng)A的定義知A正確；

對(duì)于B,過A的切線方程為y\y-p{x+xi）,

過8的切線方程為yiy=p（.x+x2）,

yl—2P久i，

聯(lián)立方程，諺=2p久2,解得兩切線交點(diǎn)°（箸，等），又〃（弩，江產(chǎn)），

與x軸平行（或重合），B正確；

對(duì)于C,設(shè)Q（xo,To）,則直線AB的方程為yoy=p（x+xo）,又直線AB經(jīng)過焦點(diǎn)FQ,0）,

，0=0（|+尤0）,,C正確；

對(duì)于D,若底邊AB過焦點(diǎn)，則。點(diǎn)的軌跡方程是,易驗(yàn)證總4?38=-1,即QA±QB,故阿基米德三角

形為直角三角形，且。為直角頂點(diǎn)，

署+§=城羋,由B項(xiàng)分析可知，與x軸平行（或重合），

224P24p2

QMIy1-竺1邦QM?JI212P之，當(dāng)且僅當(dāng)乃=-小時(shí)，等號(hào)成立，

2

.??阿基米德三角形面積的最小值為p,D錯(cuò)誤.

［規(guī)律方法］（1）阿基米德三角形的常見性質(zhì)

性質(zhì)1阿基米德三角形底邊上的中線平行(或重合)于拋物線的對(duì)稱軸.

性質(zhì)2若阿基米德三角形的底邊即弦過拋物線內(nèi)的定點(diǎn)C,則另一頂點(diǎn)。的軌跡為一條直線.

性質(zhì)3拋物線以C點(diǎn)為中點(diǎn)的弦平行于。點(diǎn)的軌跡.

性質(zhì)4若直線/與拋物線沒有公共點(diǎn)，以/上的點(diǎn)為頂點(diǎn)的阿基米德三角形的底邊過定點(diǎn).

性質(zhì)5底邊為。的阿基米德三角形的面積最大值為叁.

性質(zhì)6若阿基米德三角形的底邊過焦點(diǎn)，則頂點(diǎn)Q的軌跡為準(zhǔn)線，且阿基米德三角形的面積最小值為爐.

(2)橢圓和雙曲線也具有多數(shù)上述拋物線阿基米德三角形類似性質(zhì).

(3)當(dāng)阿基米德三角形的頂角為直角時(shí)，阿基米德三角形頂點(diǎn)的軌跡為蒙日?qǐng)A.

跟蹤演練2若直線/與拋物線沒有公共點(diǎn)，以/上的點(diǎn)為頂點(diǎn)的阿基米德三角形的底邊過定點(diǎn)，若直

線I方程為ax+by+c=O,則定點(diǎn)的坐標(biāo)為.

答案仁，_越)

解析任取直線I:ax+by+c=O上的一點(diǎn)Q(xo,加),則有axo+byo+c=O,即yo=-，o?,①

過點(diǎn)。作拋物線產(chǎn)=2抄的兩條切線，切點(diǎn)分別為A,B,則弦A3所在的直線方程為先產(chǎn)p(xo+x),把①式

代入可得(-￡%0-￡)y=p(xo+x),

即(一打-P)o=px+,，

令-%N=0且Px+”=。，

可得弦A3所在的直線過定點(diǎn)仔，-巧.

\aa/

—I思維提升拓展練習(xí)

1.已知。0：/+/1,若在直線廣花+2上總存在點(diǎn)P,使得過點(diǎn)P的。。的兩條切線互相垂直，則實(shí)數(shù)上

的取值范圍為()

A.[l,+co)B,(l,+co)

C.[2,+oo)D.(2,+oo)

答案A

解析由題分析可知的蒙日?qǐng)A方程為好+戶2,即點(diǎn)P的軌跡方程為好+戶2,又點(diǎn)尸在直線產(chǎn)花+2

上，所以直線產(chǎn)花+2與圓%2+/=2必有交點(diǎn)，即島WVI,解得kA.

22____

2.已知雙曲線上存在一點(diǎn)過點(diǎn)M向圓爐+貨=1作兩條切線M4，MB,若M4砒=0,則實(shí)

數(shù)a的取值范圍是()

A.(l,V2)B.(l,V21

C.[V2,+00)D.(V2,+00)

答案B

22

解析雙曲線%%im>l)上存在一點(diǎn)M,過點(diǎn)“向圓好+戶:!做兩條切線MA,MB,

若.麗=0,可知M4O8是正方形，MO=y[2,

所以雙曲線的實(shí)半軸長(zhǎng)的最大值為近，

所以。的取值范圍是(1,V2].

3.若經(jīng)過拋物線步=?的焦點(diǎn)的一條弦為AS“阿基米德三角形”為△PAB且點(diǎn)尸的縱坐標(biāo)為4,則直

線A3的方程為()

A.x-2y-1=0B.2x+y-2=0

C.x+2y-1=0D.2x-y-2=Q

答案A

解析設(shè)拋物線的焦點(diǎn)為產(chǎn)，

由題意可知，拋物線/=心的焦點(diǎn)坐標(biāo)為F(1,0),準(zhǔn)線方程為x=-l,

因?yàn)椤鱌A3為“阿基米德三角形”，且線段A3經(jīng)過拋物線V=4x的焦點(diǎn)，

所以點(diǎn)尸必在拋物線的準(zhǔn)線上，

因?yàn)辄c(diǎn)尸的縱坐標(biāo)為4,

所以點(diǎn)P(-l,4),

所以直線PF的斜率為上上=2.

-1-1

又因?yàn)镻F1AB,

所以直線A3的斜率為2,

所以直線AB的方程為y-0=|(x-l),即x-2y-l=0.

4.(2024?六安模擬)在圓(x-4)2+(y-3)2=/(r＞0)上存在點(diǎn)P,使得過點(diǎn)尸能作橢圓＜+岸=1的兩條相互垂直的切

線，則r的取值范圍是()

A.[l,7]B.[l,9]

C.[3,7]D.[3,9J

答案C

解析根據(jù)題意可知橢圓f+?=l的蒙日?qǐng)A方程為x2+y2=4,圓心為原點(diǎn)，半徑為2,

圓(%-4)2+(y-3)2二戶(廠＞0)的圓心為(4,3),半徑為r,

則圓(x-4)2+(y-3)2=/(r＞0)與x2+y2=4必有交點(diǎn)才符合題意，

即兩圓圓心距d=d(4—0)2+(3-0)2=5,

貝iJ|r-2|WdW|r+2|,故/的取值范圍是[3,7].

5.(多選)若橢圓八?+/=1(4泌＞0)的蒙日?qǐng)A為C：x2+/=|a2,過C上的動(dòng)點(diǎn)”作「的兩條切線，分別與C

交于P,。兩點(diǎn)，直線尸。交「于A,5兩點(diǎn)，貝取)

A.橢圓廠的離心率為亨

B.AMPQ面積的最大值為

C.M到「的左焦點(diǎn)的距離的最小值為(2-/加

D.若動(dòng)點(diǎn)。在「上，將直線D4,的斜率分別記為自，心，貝丘伏2=]

答案ABD

解析由蒙日?qǐng)A的定義可知a2+b2=^a2,得a2=2b2,

所以橢圓廠的離心率e=?=J1—合乎，故A正確；

因?yàn)辄c(diǎn)M,P,。都在圓C上，且/尸河。=90。，所以尸。為圓C的直徑，

所以|PQ|=2xJl^=y/6a,

所以△MP。面積的最大值為:|PQ|x反=粵、國(guó)=%2，故B正確；

2Al22Al22

設(shè)M（x0,泗），廠的左焦點(diǎn)為F（-c,0）,

因?yàn)?二/一加二1次，

所以|A/bF=(%o+c)2+y1=就+光+2%0(?+(?2=|次+2]0*呼〃+、2=2層+魚〃配,又-當(dāng)aWxoW乎a,

所以（2-8）42二|.|2名（2+百加2,

則〃到廣的左焦點(diǎn)的距離的最小值為歧浮，故C不正確；

由直線PQ經(jīng)過坐標(biāo)原點(diǎn)，易得點(diǎn)A,B關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，設(shè)A（xi,%）,D（X2,J2）,

則5（8,乎）‘白言考'fe=-”+丫2

%1+比2

磊+餐=1,

又

彘+*L

所以芽+討=。,

2b2b2

所以M一禿二%一乃為+%=」

好一媛X1~X2%1+%22

所以kik?=T'故D正確?

6.（多選）（2024?廊坊模擬）如圖，ARAB為阿基米德三角形.拋物線r=2外仍＞0）上有兩個(gè)不同的點(diǎn)4（即，%）,

3（X2,m），以A,3為切點(diǎn)的拋物線的切線尸A,P5相交于點(diǎn)P.給出如下結(jié)論，其中正確的為（）

A.若弦AB過焦點(diǎn)，則AABP為直角三角形且ZAPB=90°

B.點(diǎn)尸的坐標(biāo)是（李，券）

C.APAB的邊AB所在的直線方程為（%1+尤2）%-2刀-乃%2=0

D.APAB的邊AB上的中線與y軸平行（或重合）

答案ACD

解析由題意設(shè)A&,,B(X,g)

2,X1<X2,

2

由x2=2/?y,得y=f-,貝IJy'=；,

所以kpA=—,kpB=—,

PP

若弦AB過焦點(diǎn)，設(shè)AB所在直線為y=kx-^,聯(lián)立％2=2py，得x2-2pkx-p2=0,

__2

則X1X2=~P2,所以kpA-kpB=-n^-=-l,

所以PA,尸3，故A正確；

以點(diǎn)A為切點(diǎn)的切線方程為y-^（x-xi）,以點(diǎn)3為切點(diǎn)的切線方程為廣學(xué)=這（尤國(guó)），

J2ppJ2pp

聯(lián)立消去y得產(chǎn)警，

將11詈代入瑤李苫為），

得號(hào),

所以「（中,詈），故B錯(cuò)誤；

設(shè)直線AB的斜率為

X2_xl

:丫2-yj2p2pdl+02

x2-xrx2-xr2p，

故直線AB的方程為y-f|=^（x-xi）,

化簡(jiǎn)得（xi+%2）x-2〃y-xiX2=0,故C正確；

設(shè)N為拋物線弦A3的中點(diǎn)，N的橫坐標(biāo)為以=亨，因此直線PN平行于y軸（或與y軸重合），故D正確.

7.已知雙曲線C：馬弓|=1（4>力0）的離心率為咚，若過點(diǎn)出1,0）的雙曲線C的兩條切線互相垂直，則雙曲

線C的標(biāo)準(zhǔn)方程為.

2

答案yV=l

解析由蒙日?qǐng)A的定義得點(diǎn)￡的軌跡方程為d+盧內(nèi)加，點(diǎn)￡在圓（+產(chǎn)出方上，則42_/=1,因?yàn)?/p>

e=J1+%=孚,所以〃=2,b2-l.

故其標(biāo)準(zhǔn)方程為羨-V=i

8.過拋物線y2=8xg>0）的焦點(diǎn)/作拋物線的弦，與拋物線交于A,3兩點(diǎn)，分別過A,3兩點(diǎn)作拋物線的切

線伍/2相交于點(diǎn)尸，則△PA3的面積的最小值為.

答案16

解析由題意知三角形為阿基米德三角形，根據(jù)性質(zhì)可知三角形面積的最小值為16.

9.如圖，過點(diǎn)尸（加，力作拋物線C：/=2小0>0）的兩條切線PA,PB,切點(diǎn)分別是A,B,動(dòng)點(diǎn)。為拋物線

C上在43之間的任意一點(diǎn)，拋物線C在點(diǎn)。處的切線分別交PA,PB于點(diǎn)M,N.

(1)^AP±PB,證明：直線AB經(jīng)過點(diǎn)(0,Q；

(2)若分別記△A3Q的面積為N,S2,求詈的值.

⑴證明設(shè)A(xi,以)，B(X2,"),直線AB的方程為y=kx+b,

由02=2pyf

[y=kx+b,

消去y并整理得x^-Zpkx-2Pb=0,有xix?=-2pb,

令拋物線C：%2=2〃y在點(diǎn)A處的切線方程為y-y\=t{x-x\),

由y-％=七(汽一％1),

1%2=2py,

消去y并整理得x2-2ptx+2ptx\-2pyi=0,

則有/=4〃2己4(20即-2川D

-4p2t2-4(2ptxi-%i)=0,解得仁藁,

同理，拋物線C:42刀在點(diǎn)8處的切線斜率為溫，

因?yàn)锳P±PB,則有包這二邛二1,

pppz

解得b=l,

所以直線AB：戶&+強(qiáng)過定點(diǎn)(0,Q.

⑵解由(1)知，切線PA的方程為

y-yi=^x-xi),

整理得丫=,平，

同理切線尸3的方程為產(chǎn)手x-竺,

設(shè)點(diǎn)2(xo,yo),則切線MN的方程為y=^-x-yo,

而點(diǎn)P(m，幾)，即有n=—m-y\,n=—m-y2,

pp

因此直線A5的方程為y=^x-n,

2

有IABI=JI+g\X]-X2\,

點(diǎn)Q(%o,yo)至1)直線AB的距離

_^x0-y0-n\

2-Tir

n

貝|JS2=||Xl-X2||^%0-yo-\>

=x0x-py0,

=xx—py

Crlf

解得點(diǎn)”的橫坐標(biāo)羽尸中.

同理點(diǎn)N的橫坐標(biāo)網(wǎng)=中.

有1四川=Ji+C、I—x0-n-y0|

,點(diǎn)P(m,〃)到直線MN的距離片耳：,

則Si=jxi-Q|片-y0-?|>

所以我q

、22

22

10.已知圓。：/+/5,橢圓C：方會(huì)l(a>6>0)的左、右焦點(diǎn)分別為B，F(xiàn)2,過萬(wàn)1且垂直于X軸的直線被

橢圓和圓所截得弦長(zhǎng)分別為1和2近.

(1)求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程;