PAGE1-第3講概率、統(tǒng)計(jì)與統(tǒng)計(jì)案例的交匯問(wèn)題1．(2024·長(zhǎng)春市質(zhì)量監(jiān)測(cè)(二))某探討機(jī)構(gòu)隨機(jī)調(diào)查了A，B兩個(gè)企業(yè)各100名員工，得到了A企業(yè)員工月收入(單位：元)的頻數(shù)分布表以及B企業(yè)員工月收入(單位：元)的統(tǒng)計(jì)圖如下．A企業(yè)員工月收入的頻數(shù)分布表月收入/元人數(shù)[2000，3000)5[3000，4000)10[4000，5000)20[5000，6000)42[6000，7000)18[7000，8000)3[8000，9000)1[9000，10000]1B企業(yè)員工月收入的統(tǒng)計(jì)圖(1)若將頻率視為概率，現(xiàn)從B企業(yè)中隨機(jī)抽取一名員工，求該員工月收入不低于5000元的概率；(2)(i)若從A企業(yè)的月收入在[2000，5000)的員工中，按分層抽樣的方式抽取7人，而后在此7人中隨機(jī)抽取2人，則這2人月收入都不在[3000，4000)的概率是多少？(ii)若你是一名即將就業(yè)的高校生，依據(jù)上述調(diào)查結(jié)果，并結(jié)合統(tǒng)計(jì)學(xué)相關(guān)學(xué)問(wèn)，你會(huì)選擇去哪個(gè)企業(yè)就業(yè)？并說(shuō)明理由．解：(1)由題中B企業(yè)員工月收入的統(tǒng)計(jì)圖知100人中月收入不低于5000元的有68人，故所求概率為eq\f(68,100)＝0.68.(2)(i)A企業(yè)月收入在[2000，3000)，[3000，4000)，[4000，5000)的人數(shù)比為1∶2∶4，則按分層抽樣的方法抽取的7人中，月收入在[3000，4000)的人數(shù)為2，設(shè)月收入在[3000，4000)的2人分別為A，B，其余5人分別為a，b，c，d，e，從這7人中抽取2人共有21種狀況，分別為(A，B)，(A，a)，(A，b)，(A，c)，(A，d)，(A，e)，(B，a)，(B，b)，(B，c)，(B，d)，(B，e)，(a，b)，(a，c)，(a，d)，(a，e)，(b，c)，(b，d)，(b，e)，(c，d)，(c，e)，(d，e)，符合抽取的2人月收入都不在[3000，4000)的狀況有(a，b)，(a，c)，(a，d)，(a，e)，(b，c)，(b，d)，(b，e)，(c，d)，(c，e)，(d，e)，共10種，故所求事務(wù)的概率為eq\f(10,21).(ii)A企業(yè)員工的平均月收入為eq\f(1,100)×(2500×5＋3500×10＋4500×20＋5500×42＋6500×18＋7500×3＋8500×1＋9500×1)＝5260(元)．B企業(yè)員工的平均月收入為eq\f(1,100)×(2500×2＋3500×7＋4500×23＋5500×50＋6500×16＋7500×2)＝5270(元)．參考答案1：選B企業(yè)，B企業(yè)員工的平均月收入高．參考答案2：選A企業(yè)，A企業(yè)員工的平均月收入只比B企業(yè)低10元，但是A企業(yè)有高收入的團(tuán)體，說(shuō)明發(fā)展空間較大，獲得8000元以上的高收入是有可能的．參考答案3：選B企業(yè)，B企業(yè)員工的平均月收入高，且低收入人數(shù)少．2．(2024·蘭州市診斷考試)“一本書，一碗面，一條河，一座橋”曾是蘭州的城市名片，而現(xiàn)在“蘭州馬拉松”又成為了蘭州的另一張名片，隨著全民運(yùn)動(dòng)健康意識(shí)的提高，馬拉松運(yùn)動(dòng)不僅在蘭州，而且在全國(guó)各大城市漸漸興起，參與馬拉松訓(xùn)練與競(jìng)賽的人數(shù)逐年增加．為此，某市對(duì)人們參與馬拉松運(yùn)動(dòng)的狀況進(jìn)行了統(tǒng)計(jì)調(diào)查．其中一項(xiàng)調(diào)查是調(diào)查人員從參與馬拉松運(yùn)動(dòng)的人中隨機(jī)抽取200人，對(duì)其每周參與馬拉松長(zhǎng)跑訓(xùn)練的天數(shù)進(jìn)行統(tǒng)計(jì)，得到以下統(tǒng)計(jì)表：平均每周進(jìn)行長(zhǎng)跑訓(xùn)練天數(shù)不大于23或4不少于5人數(shù)3013040若某人平均每周進(jìn)行長(zhǎng)跑訓(xùn)練天數(shù)不少于5，則稱其為“熱情參與者”，否則稱為“非熱情參與者”．(1)經(jīng)調(diào)查，該市約有2萬(wàn)人參與馬拉松運(yùn)動(dòng)，試估計(jì)其中“熱情參與者”的人數(shù)；(2)依據(jù)上表的數(shù)據(jù)，填寫下列2×2列聯(lián)表，并通過(guò)計(jì)算推斷是否能在犯錯(cuò)誤的概率不超過(guò)0.01的前提下認(rèn)為“熱情參與馬拉松”與性別有關(guān)？熱情參與者非熱情參與者總計(jì)男140女55總計(jì)附：K2＝eq\f(n（ad－bc）2,（a＋b）（c＋d）（a＋c）（b＋d）)(n為樣本容量)P(K2≥k0)0.5000.4000.2500.1500.1000.0500.0250.0100.0050.001k00.4550.7081.3232.0722.7063.8415.0246.6357.87910.828解：(1)以200人中“熱情參與者”的頻率作為概率，則該市“熱情參與者”的人數(shù)約為20000×eq\f(40,200)＝4000.(2)2×2列聯(lián)表為熱情參與者非熱情參與者總計(jì)男35105140女55560總計(jì)40160200K2＝eq\f(200×（35×55－105×5）2,40×160×140×60)≈7.292>6.635，故能在犯錯(cuò)誤的概率不超過(guò)0.01的前提下認(rèn)為“熱情參與馬拉松”與性別有關(guān)．3．(2024·湖南省湘東六校聯(lián)考)某企業(yè)為了參與上海的進(jìn)博會(huì)，大力研發(fā)新產(chǎn)品，為了對(duì)新研發(fā)的一批產(chǎn)品進(jìn)行合理定價(jià)，將該產(chǎn)品按事先擬定的價(jià)格進(jìn)行試銷，得到一組銷售數(shù)據(jù)(xi，yi)(i＝1，2，…，6)，如表所示：試銷單價(jià)x/元456789產(chǎn)品銷量y/件q8483807568已知eq\x\to(y)＝eq\f(1,6)eq\o(∑,\s\up6(6),\s\do4(i＝1))yi＝80.(1)求q的值；(2)已知變量x，y具有線性相關(guān)關(guān)系，求產(chǎn)品銷量y(件)關(guān)于試銷單價(jià)x(元)的線性回來(lái)方程eq\o(y,\s\up6(^))＝eq\o(b,\s\up6(^))x＋eq\o(a,\s\up6(^))；(3)用eq\o(y,\s\up6(^))i表示用正確的線性回來(lái)方程得到的與xi對(duì)應(yīng)的產(chǎn)品銷量的估計(jì)值，當(dāng)|eq\o(y,\s\up6(^))i－yi|≤1時(shí)，將銷售數(shù)據(jù)(xi，yi)稱為一個(gè)“好數(shù)據(jù)”，現(xiàn)從6個(gè)銷售數(shù)據(jù)中任取2個(gè)，求抽取的2個(gè)銷售數(shù)據(jù)中至少有一個(gè)是“好數(shù)據(jù)”的概率．參考公式：eq\o(b,\s\up6(^))＝eq\f(\o(∑,\s\up6(n),\s\do4(i＝1))（xi－eq\x\to(x)）（yi－eq\x\to(y)）,\o(∑,\s\up6(n),\s\do4(i＝1))（xi－eq\x\to(x)）2)＝eq\f(\o(∑,\s\up6(n),\s\do4(i＝1))xiyi－neq\x\to(x)eq\x\to(y),\o(∑,\s\up6(n),\s\do4(i＝1))xeq\o\al(2,i)－neq\x\to(x)2)，eq\o(a,\s\up6(^))＝eq\x\to(y)－eq\o(b,\s\up6(^))eq\x\to(x).解：(1)由eq\x\to(y)＝eq\f(1,6)eq\o(∑,\s\up6(6),\s\do4(i＝1))yi＝80，得eq\f(q＋84＋83＋80＋75＋68,6)＝80，解得q＝90.(2)經(jīng)計(jì)算，eq\o(∑,\s\up6(6),\s\do4(i＝1))xiyi＝3050，eq\x\to(x)＝6.5，eq\o(∑,\s\up6(6),\s\do4(i＝1))xeq\o\al(2,i)＝271，所以eq\o(b,\s\up6(^))＝eq\f(3050－6×6.5×80,271－6×6.52)＝－4，eq\o(a,\s\up6(^))＝80＋4×6.5＝106，所以所求的線性回來(lái)方程為eq\o(y,\s\up6(^))＝－4x＋106.(3)由(2)知，當(dāng)x1＝4時(shí)，eq\o(y,\s\up6(^))1＝90；當(dāng)x2＝5時(shí)，eq\o(y,\s\up6(^))2＝86；當(dāng)x3＝6時(shí)，eq\o(y,\s\up6(^))3＝82；當(dāng)x4＝7時(shí)，eq\o(y,\s\up6(^))4＝78；當(dāng)x5＝8時(shí)，eq\o(y,\s\up6(^))5＝74；當(dāng)x6＝9時(shí)，eq\o(y,\s\up6(^))6＝70.與銷售數(shù)據(jù)對(duì)比可知滿意|eq\o(y,\s\up6(^))i－yi|≤1(i＝1，2，…，6)的共有3個(gè)：(4，90)，(6，83)，(8，75)．從6個(gè)銷售數(shù)據(jù)中任取2個(gè)的全部可能結(jié)果有15種，其中2個(gè)銷售數(shù)據(jù)中至少有一個(gè)是“好數(shù)據(jù)”的結(jié)果有12種，于是抽取的2個(gè)銷售數(shù)據(jù)中至少有一個(gè)是“好數(shù)據(jù)”的概率為eq\f(12,15)＝eq\f(4,5).4．(2024·貴陽(yáng)市高一學(xué)期監(jiān)測(cè))互聯(lián)網(wǎng)使我們的生活日益便捷，網(wǎng)絡(luò)外賣也起先成為不少人日常生活中不行或缺的一部分，某市一調(diào)查機(jī)構(gòu)針對(duì)該市市場(chǎng)占有率較高的甲、乙兩家網(wǎng)絡(luò)外賣企業(yè)(以下簡(jiǎn)稱外賣甲、外賣乙)的經(jīng)營(yíng)狀況進(jìn)行了調(diào)查，調(diào)查結(jié)果如下表：1日2日3日4日5日外賣甲日接單x/百單529811外賣乙日接單y/百單2310515(1)試依據(jù)表格中這五天的日接單量狀況，從統(tǒng)計(jì)的角度說(shuō)明這兩家外賣企業(yè)的經(jīng)營(yíng)狀況．(2)據(jù)統(tǒng)計(jì)表明，y與x之間具有線性關(guān)系．①請(qǐng)用相關(guān)系數(shù)r對(duì)y與x之間的相關(guān)性強(qiáng)弱進(jìn)行推斷(若|r|>0.75，則可認(rèn)為y與x有較強(qiáng)的線性相關(guān)關(guān)系(r值精確到0.001))；②經(jīng)計(jì)算求得y與x之間的回來(lái)方程為eq\o(y,\s\up6(^))＝1.382x－2.674，假定每單外賣業(yè)務(wù)，企業(yè)平均能獲得純利潤(rùn)3元，試預(yù)料當(dāng)外賣乙日接單量不低于25百單時(shí)，外賣甲所獲得的日純利潤(rùn)的大致范圍(x值精確到0.01)．相關(guān)公式：r＝eq\f(\o(∑,\s\up6(n),\s\do4(i＝1))（xi－eq\x\to(x)）（yi－eq\x\to(y)）,\r(\o(∑,\s\up6(n),\s\do4(i＝1))（xi－eq\x\to(x)）2)\r(\o(∑,\s\up6(n),\s\do4(i＝1))（yi－eq\x\to(y)）2)).參考數(shù)據(jù)：eq\o(∑,\s\up6(5),\s\do4(i＝1))(xi－eq\x\to(x))(yi－eq\x\to(y))＝66，eq\r(\o(∑,\s\up6(5),\s\do4(i＝1))（xi－eq\x\to(x)）2)eq\r(\o(∑,\s\up6(5),\s\do4(i＝1))（yi－eq\x\to(y)）2)≈77.解：(1)由題可知eq\x\to(x)＝eq\f(5＋2＋9＋8＋11,5)＝7(百單)，eq\x\to(y)＝eq\f(2＋3＋10＋5＋15,5)＝7(百單)．外賣甲的日接單量的方差seq\o\al(2,甲)＝10，外賣乙的日接單量的方差seq\o\al(2,乙)＝23.6，因?yàn)閤