2025年中考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)學(xué)案（全國版）

第四章三角形及四邊形

4.2三角形

備考指南

考點分布考查頻率命題趨勢

考點1三角形的相關(guān)概念☆☆數(shù)學(xué)中考中，有關(guān)本專題的部分，每年

考查1~3道題,分值為3~9分，通常以

考點2三角形中的重要線段☆☆☆

選擇題、填空題、解答題的形式考查。

考點3等腰三角形以及等邊三角形☆☆

在考查其他知識點的綜合試題里一定

考點4直角三角形勾股定理及其應(yīng)用☆☆☆用到本專題知識。

考點5直角三角形的性質(zhì)及計算☆☆☆

☆☆☆代表必考點，☆☆代表?？键c，☆星表示選考點。

|'知識號網(wǎng)

三第開3白勺邊二三邊關(guān)奉走王里

與三角形有Z戔|

關(guān)的線匿

中線：手巴三希開3面積平分

篇平分金戔

—開3I人J三口：180°

與三箱形有三角開3夕卜希禾口；360

關(guān)的第

內(nèi)希與夕卜角關(guān)奉

三箱形的分類

勾股定理及應(yīng)用

勾應(yīng)用:主要用于計算

股

定

理

直角三角形的判別方法：(勾股定理的逆定理)

若三角形的三邊滿足+b2=c2則它是一個直角三角形.

典夯實基礎(chǔ)

L知識潰里

考點1.三角形的相關(guān)概念

1.三角形的概念：由不在同一條直線上的三條線段首尾順次相接所組成的圖形叫做三角形。

2.三角形的分類

三邊都不相等的三角形

(1)按邊分類：三角形底邊和腰不相等的等腰三角形

等腰三角形

.等邊三角形

直角三角形

(2)按魚分類：三角形.銳角三角形

斜三角形

.鈍角三角形

3.三角形三邊的關(guān)系：三角形任意兩邊的和大于第三邊,任意兩邊的差小于第三邊。

4.三角形的穩(wěn)定性：三角形三條邊的長度確定之后，三角形的形狀就唯一確定了.

5.三角形內(nèi)角的概念：三角形內(nèi)角是三角形三邊的夾角.每個三角形都有三個內(nèi)角，且每個內(nèi)角均

大于0°且小于180°o

6.三角形內(nèi)角和定理：三角形三個內(nèi)角的和等于180。。

推論：直角三角形的兩個銳角互余。

7.三角形的內(nèi)角和定理的應(yīng)用：

(1)在三角形中，已知兩個內(nèi)角的度數(shù),可以求出第三個內(nèi)角的度數(shù)；

(2)在三角形中，己知三個內(nèi)角的比例關(guān)系,可以求出三個內(nèi)角的度數(shù)；

(3)在直角三角形中，已知一個銳角的度數(shù),可以求出另一個銳角的度數(shù).

8.三角形的外角概念：三角形的一邊與另一邊的延及線組成的角，叫做三角形的外角。

9.三角形的外角和定理：三角形的外角和等于360。.

10.三角形的外角的性質(zhì)：

(1)三角形的一個外角等于和它不相鄰的兩個內(nèi)角的利；

(2)三角形的一個外角大于任何一個和它不相鄰的內(nèi)角.

考點2.三角形中的重要線段

1.三角形的高：從三角形的一個頂點向底邊作垂線，垂足與頂點之間的線段叫做三角形的高。

2.三角形的角平分線：三角形一個內(nèi)角的平分線與這個內(nèi)角的對邊交于一點，則這個內(nèi)角的頂點與

所交的點間的線段叫做三角形的角平分線。

3.三角形的中線：三角形一邊的中點與此邊所對頂點的連線叫做三角形的中線。

(1)三角形的中線會把原三角形面積平分。

(2)一邊上的中線把原三角形分成兩個三角形，這兩個三角形的周長差等于原三角形其余兩邊的差。

【易錯點提示】對三角形三條重要線段的深入理解

(1)三角形有三條中線，有三條高線，有三條角平分線，它們都是線段。

(2)銳角三角形的三條高在三角形內(nèi)部，相交于三角形內(nèi)一點，直角三角形有兩條高與直角邊重合，

另一條高在三角形內(nèi)部，它們的交點是直角頂點；鈍角三角形有兩條高在三角形外部，一條高在三角

形內(nèi)部，三條高所在直線相交于三角形外一點。

考點3.等腰三角形和等邊三角形

1.等腰三角形

(1)等腰三角形的定義：有兩條邊相等的三角形叫做等腰三角形.相等的兩邊叫做腰，另一邊叫做

底邊，兩腰所夾的角叫做頂角，底邊與腰的夾角叫底角.

(2)等腰三角形的性質(zhì)：

①等腰三角形的兩個底角相等.

②等腰三角形的頂角平分線，底邊上的中線、底邊上的高互相重合.

(3)等腰三角形的判定定理：

如果一個三角形有兩個角相笠，那么這兩個角所對的邊也相等(簡寫成“等角對等邊”).

(4)等腰三角形的面積公式

5=-ah

2

其中a是底邊長，h是底邊上的高，S是面積

2.等邊三角形

(1)等邊三角形定義：三條邊都相等的三角形，叫做等邊三角形.

(2)等邊三角形性質(zhì)：等邊三角形的三個角相等，并且每個角都等于繼.

(3)等邊三角形的判定：

①三條邊都相等的三角形是等邊三角形；

②三個角都相等的三角形是等邊三角形:

③有一個角為巫的等腰三角形是等邊三角形.

(4)等邊三角形的面積公式

其中a是等邊三角形的邊長，h是任意邊上的高，S是面積。

3.線段垂直平分線的性質(zhì)與判定

(1)線段的垂直平分線定義：經(jīng)過線段中點并且垂直于這條線段的直線,叫做這條線段的垂直平分

線，也叫線段的中垂線。

(2)線段垂直平分線的做法

求作線段AB的垂直平分線.

D

作法：1)分別以點A,B為圓心，以大于AB/2的長為半徑作弧，兩弧相交于C,D兩點；

說明：作弧時的半徑必須大于AB/2的長，否則就不能得到兩弧的交點了.

2)作直線CD,CD即為所求直線.

說明：線段的垂直平分線的實質(zhì)是一條直線.

(3)線段垂直平分線的性質(zhì)：

1)線段的垂直平分線定理：線段垂直平分線上的點與這條線段兩個端點的距離相笠.

2)線段的垂直平分線逆定理：與一條線段兩個端點距離相等的點在這條線段的垂直平分線上.

說明：線段的垂直平分線定理也就是線段垂直平分線的性質(zhì)，是證明兩條線段相等的常用方法之一.同

時也給出了引輔助線的方法，“線段垂直平分線，常向兩端把線連”.就是遇見線段的垂直平分線，

畫出到線段兩個端點的距離，這樣就出現(xiàn)相等線段，直接或間接地為構(gòu)造全等三角形創(chuàng)造條件.

考點4.直角三角形勾股定理及其應(yīng)用

1.勾股定理：直角三角形兩直角邊的平方和等于斜邊的平方.

如圖：直角三角形ABC的兩直角邊長分別為a,b,斜邊長為c,那么/+62=02.

B

直角邊

2.勾股定理的逆定理：如果三角形的三條邊長a，b,c,滿足押+^=。2,那么這個三角形是直

角三角形.

3.勾股數(shù)：像15,8,17這樣，能夠成為直角三角形三條邊長的三個正整數(shù),稱為勾股數(shù)。

【易錯點提示】

(1)由定義可知，一組數(shù)是勾股數(shù)必須滿足兩個條件：①滿足￡+4=?、诙际钦麛?shù).兩者缺一不

可.

⑵將一組勾股數(shù)同時擴大或縮小相同的倍數(shù)所得的數(shù)仍滿足a4b2=c“但不一定是勾股數(shù))，以它們

為邊長的三角形是直角三角形，比如以0.3cm,0.4cm,0.5cm為邊長的三角形是直角三角形.

考點5.直角三角形的性質(zhì)及計算

1.直角三角形的性質(zhì)

性質(zhì)1.直角三角形兩銳角之和等于90°。

性質(zhì)2.直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半。

性質(zhì)3.直角三角形中，30°角所對的直角邊等于斜邊的一半。

2.直角三角形的判定

(1)有一個角為卻二的三角形是直角三角形。

(2)有兩個角的和是小的三角形是直角三角形。

(3)一邊上的中線等于這條邊的一半的三角形是直角三角形。

(4)如果三角形的三邊長分別為a,b,c若滿足f+'=c，2,那么這個三角形為直角三角形。

3.直角三角形面積公式

S=lab=lcA

22

其中a、b是兩條直角邊的長，c是斜邊長，h是斜邊上的高，S是直角三角形面積。

4.直角三角形相關(guān)計算

(1)勾股定理可以直接解決直角三角形中已知兩邊求第三邊的問題；如果只知一邊和另兩邊的關(guān)系

時，也可用勾股定理求出未知邊，這時往往要列出方程求解；

(2)用于解決帶有平方關(guān)系的證明問題；

(3)與勾股定理有關(guān)的面積計算；

(4)勾股定理在實際生活中的應(yīng)用。

KI考點梳理

考點1.三角形的相關(guān)概念

【例題1】（2024陜西?。┤鐖D，在“5C中，NB4c=90。,/￡>是邊上的高，￡是。。的

中點，連接NE,則圖中的直角三角形有（）

A.2個B.3個C.4個D.5個

【答案】C

【解析】本題主要考查直角三角形的概念.根據(jù)直角三角形的概念可以直接判斷.

由圖得△45。，AABC,AADC,VZDE為直角三角形，

共有4個直角三角形.故選：C.

【變式練1］（2024長沙一模）下列長度的三條線段，能組成三角形的是（）

A.1,3,4B.2,2,7C.4,5,7D.3,3,6

【答案】C

【解析】71+3=4,

3,4不能組成三角形，

故/選項不符合題意；

V2+2<7,

：.2,2,7不能組成三角形，

故8不符合題意；

V4+5>7,

；.4,5,7能組成三角形，

故C符合題意；

：3+3=6,

；.3,3,6不能組成三角形，

故。不符合題意，故選：C.

【變式練2］（2024湖南婁底一模）若一個三角形的兩邊長分別為2c〃?，7cm,則它的第三邊的長可

能是（）

A.2cmB.3cmC.6cmD.9cm

【答案】C

【解答】解：設(shè)第三邊長為x"2,根據(jù)三角形的三邊關(guān)系可得：

7-2cx<7+2,

解得：5Vx<9,故選：C.

【變式練3](2024黑龍江大慶一模)將一副三角尺按如圖所示的位置擺放，其中。，E,尸在直線

/上，點3恰好落在?！赀吷希琙l=20°,ZA=45°,ZAOB=ZDEF=90°.則的度數(shù)為

()

A.60°B.65°C.70°D.75°

【答案】B

【解析】VZ1=2O°,N4=45°,N4OB=NDEF=90°.

：.-ZAOB-ZA=45°,ZBOE=180°-ZAOB-Zl=70°,

：.NOBE=NDEF-NBOE=20°,

：.ZABE=ZABO+ZOBE=65°.故選：B.

考點2.三角形中的重要線段

【例題2X2024四川南充）如圖，在中，NC=90°,48=30°,BC=6,AD平分NC4B

交BC于點D,點,E為邊AB上一點,,則線段長度的最小值為（）

A.41B.V3C.2D.3

【答案】C

【解析】本題主要考查解直角三角形和角平分線的性質(zhì)，垂線段最短，根據(jù)題意求得和/C,

結(jié)合角平分線的性質(zhì)得到NC4D和。C，當(dāng)?！?/3時，線段。E長度的最小，結(jié)合角平線的性

質(zhì)可得￡>￡=￡>。即可.

【詳解】?.?NC=90°,4=30。,

ABAC=60°,

在及以48。中，tanZ5=——，解得4。=26，

CB

V4D平分NCAB,

：.ZCAD=30°,

DC

：.tanZCAD=——，解得DC=2,

CA

當(dāng)。E148時，線段Z>E長度的最小，

平分NC4B,

:.DE=DC=2.故選：C.

【變式練1］（2024哈爾濱一模）如圖，嘉琪任意剪了一張鈍角三角形紙片（立力是鈍角），他打算用

折疊的方法折出NC的角平分線、AB邊上的中線和高線，能折出的是（）

A.48邊上的中線和高線B.NC的角平分線和力B邊上的高線

C.NC的角平分線和力B邊上的中線D.NC的角平分線、力B邊上的中線和高線

【答案】C

【解析】當(dāng)4c與BC重合時，折痕是NC的角平分線；

當(dāng)點/與點8重合時，折疊是4B的中垂線，故選：C.

【點睛】本題考查了翻折變換，掌握折疊的性質(zhì)是本題的關(guān)鍵.

【變式練2］（2024天津一模）如圖，△ABC中，zl=z2,G為力D的中點，延長BG交力C于點E,F

為上一點，且CFLAD于點〃，下列判斷中，正確的個數(shù)是（）

①BG是△力BD的邊力D上的中線；

②AD既是AABC的角平分線，也是AABE的角平分線；

③CH既是△仞￡）的邊力。上的高，也是的邊力”上的高.

A.0B.1C.2D.3

【答案】c

【解析】根據(jù)三角形中線的定義、三角形角平分線的定義和三角形高的定義逐一判斷即可.

因為G為ZD的中點，

所以BG是△力BD的邊力。上的中線，故①正確；

因為41=Z.2,

所以4。是△ABC的角平分線，4G是△力BE的角平分線，故②錯誤；

因為CF14。于點H,

所以CH既是△力CD的邊4D邊上的高，也是AACH的邊4”上的高，故③正確，

綜上正確的有2個

故選：C.

【點睛】此題考查的是三角形中線、角平分線和高的識別，掌握三角形中線的定義、三角形角平分線

的定義和三角形高的定義是解決此題的關(guān)鍵.

考點3.等腰三角形以及等邊三角形

【例題3】（2024福建?。┬∶饔脙蓚€全等的等腰三角形設(shè)計了一個“蝴蝶”的平面圖案.如圖，其

中與A。。。都是等腰三角形，且它們關(guān)于直線/對稱，點E,E分別是底邊Z2,3的中

點，OELOF.下列推斷錯誤的是（）

A.OBLODB.ZBOC=ZAOB

C.OE=OFD.ZBOC+ZAOD=

【答案】B

【解析】本題考查了對稱的性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)等；

A.由對稱的性質(zhì)得=由等腰三角形的性質(zhì)得ZBOE=-ZAOB,

2

ZDOF=-ZDOC,即可判斷；

2

B.NBOC不一定等于N/05,即可判斷；

C.由對稱的性質(zhì)得之ACOC,由全等三角形的性質(zhì)即可判斷；

D.過。作GMJ_O〃，可得ZGOD=ZBOH,由對稱性質(zhì)得/灰陽同理可證

ZAOM=ABOH,即可判斷；

掌握軸對稱的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.

【詳解】A.vOEA.OF,

NBOE+ZBOF=90°,

由對稱得=

;點E，/分別是底邊Z5,CD的中點，ACMB與AODC都是等腰三角形,

:.ZBOE=-ZAOB,ZDOF=-ZDOC,

22

:.ZBOF+ZDOF=90°,

OBLOD,結(jié)論正確，故不符合題意；

8./8。。不一定等于//。5,結(jié)論錯誤，故符合題意；

C.由對稱得AOAB知ODC,

,:氤E,F分別是底邊AB,CD的中點，

:.OE=OF,結(jié)論正確，故不符合題意；

過。作GM1.07/,

ZGOD+ZDOH=90°,

■.■ZBOH+ZDOH=90°,

ZGOD=ZBOH,由對稱得NBOH=NCOH,

ZGOD=ZCOH,

同理可證ZAOM=ZBOH,

ZAOD+ZBOC=ZAOD+ZAOM+ZDOG=180°,結(jié)論正確，故不符合題意；故選：B.

【變式練1］（2024遼寧沈陽一模）已知等腰三角形的兩邊長分別為4和9,則這個三角形的周長

是（）

A.22B.19C.17D.17或22

【答案】A

【解析】分兩種情況：

①當(dāng)4為底邊長，9為腰長時，4+9>9,

三角形的周長=4+9+9=22；

②當(dāng)9為底邊長，4為腰長時,

?/4+4<9,

不能構(gòu)成三角形；

，這個三角形的周長是22.故選：A.

【變式練2】(2024山西一模)如圖，在△45C中，4B=AC,￡為A4延長線上一點，S.ED±BC

交NC于點F.

(1)求證：是等腰三角形；

(2)若/8=13,EF=12,尸為NC中點，求8C的長.

【答案】見解析

【解析】（1）證明：?.,48=NC,

/B=NC,

'JEDLBC,：.ZEDB=ZEDC=90°,

AZE+ZB=90°,ZC+ZDFC^90°,:.NE=/DFC,

■:NDFC=NEFA,:./EF4=/E,：.AE=AF,

尸為等腰三角形；

（2）解：過點/作/GJ_￡7）于點G,4HLBC于H,如圖所示:

"：AE=AF,AG±ED,EF=U,

:.FG=GE=LEF=6,

2

二戶為4c中點,

：.AF=FC=^AC=^-AB=^~,

222

在△4FG與△C/口中，

,ZAGF=ZCDF

-ZAFG=ZCFD>

,AF=CF

:.AAFG沿4CFD(44S)，

:.DF=FG=6,:.AH=2DF=12,

BH=VAB2-AH2=5，

：.BC=2BH=10,

【變式練3](2024上海一模)如圖，△/8C是等邊三角形，DE//BC.若40=4,則△/￡>￡的周長

為.

【答案】12.

【解析】：△NBC是等邊三角形,

；.//=/B=NC=60°,

'：DE//BC,

；.NADE=NB=60°,ZAED=ZC=60°,

?.ZA=ZADE=ZAED=60°,

.?.△4DE是等邊三角形，

；.AD=DE=AE=4,

：.△/￡>￡的周長=4+4+4=12

【變式練4】（2024河北唐山一模）如圖，以。為圓心，任意長為半徑畫弧，與射線。/交于點瓦

再以3為圓心，30長為半徑畫弧，兩弧交于點C,畫射線OC,則/。的度數(shù)為（）

A.30°B.45°C.60°D.75°

【答案】C

【解析】連接3C,如圖,

..?以。為圓心，任意長為半徑畫弧，與射線04交于點瓦

：.OB=OC,

:以B為圓心，30長為半徑畫弧，兩弧交于點C,畫射線OC,

：.OB=BC,

：.0B=0C=BC,

：./\OBC是等邊三角形，

；./0=60°.故選：C.

【變式練5】（2024吉林一模）如圖，在△ABC中，力B、AC的垂直平分線分別交BC于點E、F,若△A8C

的周長是20,AB=4,AC=7,則△力EF的周長為（）

【答案】C

【解析】先根據(jù)AABC的周長公式求得BC=9,再根據(jù)線段垂直平分線的性質(zhì)得到EA=EB,FA=FC,

根據(jù)AaEF的周長公式計算，即可得到答案.

,.,△4BC的周長是20,

：.AB+AC+BC=20

'：AB=4,AC=7,

：.BC=9,

???EG是線段ZB的垂直平分線，

EA=EB,

同理，F(xiàn)A=FC,

???AAEF的周長=EA+EF+FAEB+EF+FCBC9,

故選：C.

【點睛】本題考查的是線段的垂直平分線的性質(zhì)，掌握線段的垂直平分線上的點到線段的兩個端點的

距離相等是解題的關(guān)鍵.

【變式練63（2024南京一模）如圖，A4BC中，力。平分N8AC,DG18c且平分8C,DE1AB于E,DF1AC

【答案】4

【解析】連接BD,根據(jù)角平分線的性質(zhì)可得=OF,根據(jù)線段垂直平分線的性質(zhì)，可得BD=CD,

繼而可證得Rt△BED=RtACFD,可得BE=CF,再證得△AEDAFD,得至（ME=AF,設(shè)BE=%,

由—=+即可得方程5-％=3+%,解方程求出工,進而可求得

連接80,CD,

???4。平分ZB4C,DELAB,DFLAC,

??.DE=DF,乙BED=Z.CFD=90°,

???DG1BC且平分BC,

BD=CD,

在Rt△BED與Rt△CFO中，

(BD=CD

=DF'

/.Rt△BED=RtACFD(HL),

???BE=CF,

在△4E0和△4F0中，

\LAED=2LAFD=90°

Z.EAD=Z.FAD,

AD=AD

/.AAED會△AFO(AAS),

AE=AF,

設(shè)=貝!JCF=x,

-AB=5,4c=3,AE=AB-BE,AF=AC+CFf

5—x=3+x,

解得：x=l,

BE=1,

AE=AB-BE=5-1=4,

故答案為：4.

【點睛】此題考查了角平分線的性質(zhì)、線段垂直平分線的性質(zhì)以及全等三角形的判定與性質(zhì).準(zhǔn)確作

出輔助線，利用方程思想與數(shù)形結(jié)合思想求解是解決問題的關(guān)鍵.

考點4.直角三角形勾股定理及其應(yīng)用

【例題4】（2024吉林省）圖①中有一首古算詩，根據(jù)詩中的描述可以計算出紅蓮所在位置的湖水深

度，其示意圖如圖②，其中48=48',于點C,BC=0.5尺，B'C=2尺.設(shè)/C的長

度為x尺，可列方程為.

,_____________________0

T詩文：波平如鏡一湖面，半尺高

處生紅蓮，亭亭多姿湖中立，突

遭狂風(fēng)吹一邊。離開原處二尺

遠(yuǎn)，花貼湖面象睡蓮。

圖①圖②

【答案】x2+22=（x+0.5）2

【解析】本題考查了勾股定理的實際應(yīng)用,正確理解題意，運用勾股定理建立方程是解題的關(guān)鍵.

設(shè)/C的長度為x尺，則Z8=/B'=x+0.5,在RtZkZB'C中，由勾股定理即可建立方程.

【詳解】設(shè)/C的長度為x尺，則48=48'=x+0.5,

AB±B'C,

由勾股定理得：AC?+B'C2=AB'2,

：.x2+22=(x+0.5)\

故答案為：x2+22=(x+0.5)2.

【變式練1】（2024陜西一模）如圖，在4/臺。中，AB=AC,2。是5C邊的中線，若/5=5,

BC=6,則2。的長度為—

【答案】4

【解析】根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)和勾股定理求解即可.

?.?在△48。中，AB=AC,ZD是邊的中線，

AD1BC,BD=-BC,

2

在中，AB=5,BD=-BC=3,

2

AD=^AB2~BD2=A/52-32=4-故答案為：4.

【點睛】本題考查等腰三角形的性質(zhì)、勾股定理，熟練掌握等腰三角形的三線合一性質(zhì)是解答的關(guān)鍵.

【變式練2］（2024武漢一模）在AABC中，D為BC邊上的點，AB=13,AD=12,CD=9,AC=15,

求BD的長.

A

ABDc

【答案】見解析。

【解析】根據(jù)勾股定理的逆定理可判斷出4ACD為直角三角形，即NADC=NADB=90°.在Rt^ABD

中利用勾股定理可得出BD的長度.

:在AADC中，AD=12,CD=9,AC=15,/.AC^ADHCD2,.,.△ADC是直角三角形,ZADC=ZADB=

90°,.?.△ADB是直角三角形.在RtZ\ADB中，VAD=12,AB=13,.,.BD=A/AB2-AD2=5,；.BD的長

為5.

方法總結(jié)：解題時可先通過勾股定理的逆定理證明一個三角形是直角三角形，然后再進行轉(zhuǎn)化，最后

求解，這種方法常用在解有公共直角或兩直角互為鄰補角的兩個直角三角形的圖形中.

【變式練3］（2024上海一模）如圖，是一農(nóng)民建房時挖地基的平面圖，按標(biāo)準(zhǔn)應(yīng)為長方形，他在挖

完后測量了一下，發(fā)現(xiàn)AB=DC=8m,AD=BC=6m,AC=9m,請你運用所學(xué)知識幫他檢驗一下挖的是

否合格？

4B

DQC

【答案】見解析。

【解析】把實際問題轉(zhuǎn)化成數(shù)學(xué)問題來解決，運用直角三角形的判別條件，驗證它是否為直角三角形.

VAB=DC=8m,AD=BC=6m,.*.AB2+BC2=82+62=64+36=100.XVAC2=92=81,/.ABHBCVAC2,

.,./ABC790°,.?.該農(nóng)民挖的不合格.

方法總結(jié)：解答此類問題，一般是根據(jù)已知的數(shù)據(jù)先運用勾股定理的逆定理判斷一個三角形是否是直

角三角形，然后再作進一步解答.

考點5.直角三角形的性質(zhì)及計算

【例題5】（2024廣州）如圖，在中，ZA=90°,AB=AC=6,。為邊的中點，點E,

E分別在邊48,AC±,AE=CF,則四邊形4EZE的面積為（)

D.6^/2

【答案】C

【解析】本題考查等腰直角三角形的性質(zhì)以及三角形全等的性質(zhì)與判定，掌握相關(guān)的線段與角度的轉(zhuǎn)

化是解題關(guān)鍵.連接4D,根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)以及ZE=CE得出VZDE之VCZ1F,將四邊

形4EDF的面積轉(zhuǎn)化為三角形/OC的面積再進行求解.

【詳解】解：連接Z。，如圖：

?/ABAC=90°,Z8=ZC=6,點。是5C中點，AE=CF

/.ABAD=4B=4C=45°,AD=BD=DC

：.VADE@CDF,

?C_CIC_CIC_C__Lv

,?°四邊形ZEQF—24AED丁uA4DF~04CFD丁°AADF—044DC—?NBC

又**

S△zAioR(_C-=6x6x—2=18

**S四邊形4ED尸-5s

故選：c

【變式練1］（2024湖北荊州一模）如圖，公路AC,BC互相垂直，公路AB的中點M與點C被

湖隔開.若測得AB的長為10km,則M,C兩點間的距離為（）

A.3kmB.4kmC.5kmD.6km

【答案】C

【解析】?..公路AC,BC互相垂直,

ZACB=90°.

?.,M為AB的中點，

：.CM=-AB.

2

VAB=10km,

.?.CM=5km,

即M,C兩點間的距離為5km,

故答案為：C.

點撥：先求出。位再求出CM=5km,即可作答。

2

【變式練2］（2024貴州黔西南一模）如圖所示，在Rt^ABC中，/C=90°,點D在線段BC上，且

ZB=30°,ZADC=60°,BC=3』L則BD的長度為.

4

【答案】2G

【解析】首先證明DB=AD=2CD,然后再由條件BC=3g可得答案.

VZC=90°,NADC=60°,

.?.ZDAC=30",

.'.CD=—AD.

2

VZB=30°,ZADC=60°,

；./BAD=30°,

；.BD=AD,

；.BD=2CD.

VBC=3V3>

；.CD+2CD=3萬

，CD=VL

DB=2^3，

【點撥】此題主要考查了含30°角的直角三角形的性質(zhì)，關(guān)鍵是掌握在直角三角形中，30°角所對

的直角邊等于斜邊的一半.

【變式練3］（2024蘇州一模）如圖，在Rt^ABC中NACT=90。，CD是斜邊AB上的中線，AC=4,

CD=3。求直角邊BC的長

【答案】見解析

【解析】先根據(jù)直角三角形斜邊的中線定理得出AB的長，再根據(jù)勾股定理即可求出BC的長.

在RtaABC中，：CD是斜邊AB上的中線，；.AB=2CD=6,由勾股定理，得

BC=yjAB2-AC2=A/62-42=2亞

UI真題在線下

考點1.三角形的相關(guān)概念

1.（2024黑龍江齊齊哈爾）將一個含30°角的三角尺和直尺如圖放置，若Nl=50。，則N2的度數(shù)

A.30°B,40°C.50°D.60°

【答案】B

【解析】本題考查了對頂角的性質(zhì)，三角形內(nèi)角和定理.根據(jù)對頂角相等和三角形的內(nèi)角和定理，即

可求解.

如圖所示，

由題意得/3=ZL=50°,Z5=90°,/2=/4,

AZ2=Z4=180°-90°-Z3=90°-50°=40°,故選：B.

2.（2024四川德陽）如圖是某機械加工廠加工的一種零件的示意圖，其中

A.10°B.20°C.30°D.40°

【答案】B

【解析】本題考查了平行線的性質(zhì)，三角形內(nèi)角和定理，解答此題的關(guān)鍵是準(zhǔn)確識圖，熟練掌握平行

線的性質(zhì).首先根據(jù)平行線的性質(zhì)得出N8CD=N4BC=70°,再根據(jù)垂直與三角形的內(nèi)角和即可

求出NEDC.

【詳解】???NB/ZCD,ZABC=70°,

/.ZBCD=ZABC=70°，

?：DELBC,

：.ZCED=90°,

AZ￡DC=90°-70°=20°

故選：B.

3.（2024江蘇連云港）如圖，直線aHb,直線/J_a,Zl=120°,則N2=

【答案】30

【解析】本題考查平行線的性質(zhì)，三角形的外角性質(zhì)，根據(jù)兩直線平行，同位角相等，求出N3的度

數(shù)，根據(jù)三角形的外角的性質(zhì)，得到N3=90°+N2,即可求出N2的度數(shù).

【詳解】

/.Z3=Z1=12O°,

"：l±a,

：.N3=N2+90。，

Z2=30°；

故答案為：30.

4.（2024四川達州）如圖，在一5。中，網(wǎng),BEX分別是內(nèi)角NCAB、外角ZCBD的三等分線,

且NE〔AD=,ZE}BD=：NCBD,在AABE1中，AE2,BE2分別是內(nèi)角AEXAB,外

角NE/D的三等分線.且/￡2力。=；/￡/8,ZE2BD=^ZE,BD,以此規(guī)律作下去.若

ZC=m°.則/紇=度.

ABD

【答案】

3〃

【解析】本題考查了三角形的外角定理，等式性質(zhì)，熟練掌握知識點是解題的關(guān)鍵.

先分別對運用三角形的外角定理，設(shè)NE］4D=a,則NC4B=3a,/E】BD=0,

則NCBD=3。，得到￡=4+/￡],3P=3a+NC,同理可求:所

以可得/￡〃=［；］ZC.

【詳解】如圖:

NE[AD=；NC4B,ZE.BD=-ZCBD,

13

.?.設(shè)/￡]/￡>=a,NE[BD=。,則NG45=3a,NCBD=3/3,

由三角形的外角的性質(zhì)得：/3=a+/E[,3/3=3a+ZC,

：.ZE,=-ZC,

13

NC，

即AE=—m°，

n3〃

故答案為：—tn.

3"

考點2.三角形中的重要線段

I.（2024四川涼山）如圖，中，NBCD=30。,ZACB=80°,CD是邊N5上的高，AE

是ZCAB的平分線，則ZAEB的度數(shù)是.

【答案】1000##100度

【解析】本題考查了三角形內(nèi)角和以及外角性質(zhì)、角平分線的定義.先求出N/CD=50°,結(jié)合高

的定義，得ND4c=40。，因為角平分線的定義得NC/E=20。，運用三角形的外角性質(zhì)，即可作答.

【詳解】???N5C￡>=30°,ZACB=80°,

/.ZACD=50°，

1/CD是邊48上的高,

ZADC=90°,

ZDAC=40°,

：ZE是的平分線，

：.ZCAE=-ZDAC=20°,

2

ZAEB=ZCAE+ZACB=20°+80°=100°.

2.（2024河北?。┤鐖D，AA8C的面積為2,2。為8。邊上的中線，點A,G，C2,C3是線段

的五等分點，點A,D-。2是線段的四等分點，點A是線段8片的中點.

（1）△ZGR的面積為

（2）△用孰名的面積為

【答案】①.1②.7

【解析】【分析】（1）根據(jù)三角形中線的性質(zhì)得5刀加=S~CQ=，S^BC=1

證明

AAQD^AACD（SAS）,根據(jù)全等三角形的性質(zhì)可得結(jié)論；

（2）證明△48。之△480（SAS）,得S△典0,=%姒,=1,推出Q、〃、與三點共線，

+

S/iFG一^AABIDIS△/（：□—2,繼而得出以期04-4s△陰弓一8,SAAB^==3證明

4

△C3gsMAD,得S^G皿=9S^3=9,推出S,c也=]S-皿=12,最后代入

^/^B}C4D3~S△仁2即可.

【詳解】解：（1）連接用。、8也、4c2、4。3、C3D3,

???AA8C的面積為2,為5。邊上的中線,

S/\ABD-S^ACD_2S&ABC-萬?一1,

?.?點A,G，C2,G是線段CC4的五等分點，

/.AC=AC,=GG=C2c3=C3C4=1cc4,

???點A,D,,。2是線段。3的四等分點，

AD=ADX=DQ,=DR3=z003,

???點A是線段5片的中點,

AB=AB,=g*,

在A4GA和AZCQ中，

'ACX=AC

<NGAD]=ACAD,

AD,=AD

：.AAC1D1^AACD(SAS),

SAAGD、=SAACD=1,NCQ/=NCDA,

.?.八4。]。]的面積為1,

故答案為：1；

(2)在△45Q]和△/BD中，

AB】=AB

<3AD]=ABAD,

ADX=AD

AABXD^AABD(SAS),

，S△第a=SAABD=1，/B[D[A=Z.BDA,

?：ZBDA+ZCDA^180°,

NBQ/+NCQ/=180。，

.??G、D「4三點共線,

,?S△第G-S△/q+S/x/cQ]-1+I-2,

???AC,=GG=C2c3=C3c4，

S△明c4=4s△陽G=4'2=8,

?^47)]=D[D]=D2D3,S△陽4=1,

'''S△明A=3s△陽a=3x1=3,

在△/。3。3和-4。。中，

AC4D

???絲1=3=巴，ZC.AD.=ZCAD

ACAD33f

/.gAD3syAD,

AC,=GG=c2c3=c3G,

44

=x

,,^AAC4D3§^AC3AD,=y9=12,

,,SAB\C必=SAAC必+一AA^=12+3-8=7,

△名。4。3的面積為7,

【點睛】本題考查三角形中線的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，相似三角形的判定與性質(zhì)，等分點

的意義，三角形的面積.掌握三角形中線的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.

考點3.等腰三角形以及等邊三角形

1.（2024內(nèi)蒙古赤峰）等腰三角形的兩邊長分別是方程/_10、+21=0的兩個根，則這個三角形的

周長為（）

A.17或13B.13或21C.17D.13

【答案】C

【解析】本題考查了解一元二次方程，等腰三角形的定義，三角形的三邊關(guān)系及周長，由方程可得

西=3,%=7,根據(jù)三角形的三邊關(guān)系可得等腰三角形的底邊長為3,腰長為7,進而即可求出三

角形的周長，掌握等腰三角形的定義及三角形的三邊關(guān)系是解題的關(guān)鍵.

【詳解】解：由方程V-10x+21=0得，再=3,x2=7,

3+3<7,

...等腰三角形的底邊長為3,腰長為7,

這個三角形的周長為3+7+7=17,故選：C.

2.（2024云南?。┮阎?尸是等腰AASC底邊上的高，若點尸到直線N5的距離為3,則點E

到直線/C的距離為（）

【答案】c

【解析】本題考查了等腰三角形的性質(zhì)，角平分線的性質(zhì)定理，熟練掌握知識點是解題的關(guān)鍵.

由等腰三角形“三線合一”得到/廠平分/A4C,再角平分線的性質(zhì)定理即可求解.

如圖，

V/尸是等腰AASC底邊上的高，

AF平分NB4C,

...點尸到直線48,ZC的距離相等，

:點E到直線48的距離為3,

...點E到直線/C的距離為3.故選：C.

3.（2024安徽?。┤鐖D，在中，ZC=BC=2,點。在N3的延長線上，且CD=N8,

則的長是（）

BD

A.710-72B.V6-V2c.2V2-2D.2V2-V6

【答案】B

【解析】本題考查了等腰直角三角形的判定和性質(zhì)，對頂角的性質(zhì)，勾股定理，過點。作。ELC8

的延長線于點E,則/8￡。=90。，由乙4c3=90。，AC=BC=2,可得=2后，

ZL4=ZABC=45°,進而得到CO=2近，ZDBE=45°,即得△8QE為等腰直角三角形，得到

DE=BE,設(shè)DE=BE=x,由勾股定理得（2+x）?+/=（2也『，求出尤即可求解，正確作出輔

助線是解題的關(guān)鍵.

【詳解】解：過點。作。ELC8的延長線于點E,則48￡。=90°,

AACB=90°,AC=BC=2,

AB=^22+22=2V2，A=ZABC=45°，

CD=2V2，ZDBE=45°，

ABDE為等腰直角三角形,

DE=BE,

設(shè)DE=BE=x,則C￡=2+x,

在RtACDE中，GE?+DE2=,

-,.(2+X)2+X2=(2A/2)\

解得占=百-1,x2=—V3—1(舍去)

；.DE=BE=6-1，

BD=—1)+—1)=y/6—y/2,故選:B.

4.（2024重慶市B）如圖，在中，AB=AC,N4=36°,8。平分N/BC交/C于點。.若

BC=2,則/。的長度為.

【答案】2

【解析】本題主要考查了等腰三角形的性質(zhì)與判定，三角形內(nèi)角和定理，三角形外角的性質(zhì)，先根據(jù)

等邊對等角和三角形內(nèi)角和定理求出NC=ZABC=72°,再由角平分線的定義得到

ZABD=ZCBD=36°,進而可證明NZ=N/BD,ZBDC=ZC,即可推出4D=BC=2.

【詳解】?.?在中，AB=AC,ZA=36°,

=出「72。,

?/BD平分N4BC,

ZABD=ZCBD=-ZABC=36°,

2

：.ZA=ZABD,ZBDC=ZA+ZABD=72°=ZC,

/.AD=BD,BD=BC,

AD=BC=2,

故答案為：2.

5.（2024湖南省）一個等腰三角形的一個底角為40。，則它的頂角的度數(shù)是度.

【答案】100

【解析】本題考查了等腰三角形的性質(zhì)和三角形內(nèi)角和，解答時根據(jù)等腰三角形兩底角相等，求出頂

角度數(shù)即可.

因為其底角為40°,所以其頂角=180?！?0°x2=100°.

6.（2024四川遂寧）在等邊三邊上分別取點。、E、F,使得4D=BE=CF,連結(jié)三點得

至IJAZ）￡F，易得AADF冬ABED9ACFE,設(shè)544屆=1,貝U=1—尸

如圖②當(dāng)A最D=:1時，「21

°ADEF=l-3x一=-

AB393

「37

如圖③當(dāng)嚶二;時,=l-3x——二——

2八DEF

AB41616

AF）1

直接寫出，當(dāng)——=一時，S&DEF=

AB10--------

73

【答案】一##0.73

100

【解析】本題主要考查數(shù)字規(guī)律性問題，首先根據(jù)已知求得比例為"時，

n—1n~—3〃+3

S&DEF=1—3X,代入〃=10即可.

rr

r3+3

【詳解】根據(jù)題意可得，當(dāng)絲=!時，S^DEF=l-3x^-=-~^,

ABnMEF"/

則當(dāng)絲=5時，S△…I*3：1。+3二3,

AB10ADEF102100

73

故答案為：—.

100

7.（2024湖北?。〢/）￡F為等邊三角形，分別延長ED,DE,EF,到點4AC,使

DA=EB=FC,連接48,AC,BC,連接RF并延長交NC于點G.若AD=DF=2,則

NDBF=,FG=

A

【解析】本題考查了相似三角形的判定和性質(zhì)，等邊三角形的性質(zhì)，勾股定理.利用三角形的外角性

質(zhì)結(jié)合=可求得/。8尸=30°；作CH，3G交5G的延長線于點X,利用直角三角形的性

質(zhì)求得CH=1,FH=6，證明A/G/SACG〃，利用相似三角形的性質(zhì)列式計算即可求解.

【詳解】解：：ADEF為等邊三角形，DA=EB=FC,

：.AD=DF=EB=EF=2,NDEF=NDFE=60°,

/DBF=NEFB=-NDEF=30°,ZAFB=ZEFB+ZDFE=90°,ZEFB=ZGFC=30°,

2

作CHLBG交BG的延長線于點H,

:?CH——CF=1,FH=V22—I2=V3,

ZAFB=ZH=90°,

/.AF//CH,

：.AAGFSACGH,

.AFFG4FG

即丁=

"~CHGHC-FG

解得/G=gG，

故答案為：30°,

8.（2024江蘇常州）如圖,3、￡、C、廠是直線/上的四點，/C、￡）￡相交于點G,48=DE,/C=,

BC=EF.

(1)求證：AG￡C是等腰三角形；

(2)連接AD，則AD與/的位置關(guān)系是

【答案】(1)見解析(2)AD1/1

【解析】本題考查全等三角形的判定和性質(zhì)，等腰三角形的判定，平行線的判定：

(1)證明之ADFE,得到AACB=ZDEF,即可得證；

(2)根據(jù)線段的和差關(guān)系，易得NG=￡?G,根據(jù)三角形的內(nèi)角和定理，得到即

可得出結(jié)論.

【小問1詳解】

證明：在和△DEE中