專題11銳角三角函數(shù)

目錄

01理?思維導(dǎo)圖：呈現(xiàn)教材知識(shí)結(jié)構(gòu)，構(gòu)建學(xué)科知識(shí)體系。

02盤.基礎(chǔ)知識(shí)：甄選核心知識(shí)逐項(xiàng)分解，基礎(chǔ)不丟分。（3大模塊知識(shí)梳理）

知識(shí)模塊一：銳角三角函數(shù)

知識(shí)模塊二：解直角三角形

知識(shí)模塊三：解直角三角形的應(yīng)用

03究?考點(diǎn)考法：對(duì)考點(diǎn)考法進(jìn)行細(xì)致剖析和講解，全面提升。（9大基礎(chǔ)考點(diǎn)）

考點(diǎn)一：理解銳角三角函數(shù)的概念

考點(diǎn)二：求角的三角函數(shù)值

考點(diǎn)三：由三角函數(shù)求邊長

考點(diǎn)四：由特殊角的三角函數(shù)值求解

考點(diǎn)五：在平面直角坐標(biāo)系中求銳角三角函數(shù)值

考點(diǎn)六：在網(wǎng)格中求銳角三角函數(shù)值

考點(diǎn)七：三角函數(shù)綜合

考點(diǎn)八：解直角三角形的相關(guān)計(jì)算

考點(diǎn)九：構(gòu)造直角三角形求不規(guī)則圖形的邊長或面積

04破，重點(diǎn)難點(diǎn)：突破重難點(diǎn)，沖刺高分。（4大重難點(diǎn)）

重難點(diǎn)一：運(yùn)用解直角三角形的知識(shí)解決視角相關(guān)問題

重難點(diǎn)二：運(yùn)用解直角三角形的知識(shí)解決方向角相關(guān)問題

重難點(diǎn)三：運(yùn)用解直角三角形的知識(shí)解決坡角、坡度相關(guān)問題

重難點(diǎn)四：12345模型

05辨?易混易錯(cuò)：點(diǎn)撥易混易錯(cuò)知識(shí)點(diǎn)，夯實(shí)基礎(chǔ)。（2大易錯(cuò)點(diǎn)）

易錯(cuò)點(diǎn)1：未在直角三角形中求銳角三角函數(shù)的值

易錯(cuò)點(diǎn)2：誤認(rèn)為三角函數(shù)值與三角形各邊的長短有關(guān)

銳角A的正弦，余弦，正切，合稱zA的銳角三角函數(shù)

/.NA的對(duì)邊?

〃正弦—A4=斜邊新

銳角三角函數(shù)定義/《NA的鄰邊b

卜余弦斜邊C

\.NA的對(duì)邊.1

知識(shí)梳理4

\IEWti,nA=^a-=b

由Rt-的已知元素求未知元素

解直角三角形雙―三融

銳、元素/

—兩個(gè)銳角

角

三

角同名函數(shù)利用單調(diào)性比

比較兩個(gè)函數(shù)值的大小

函互余函數(shù)利用互余關(guān)系化為同名函數(shù)

數(shù)\兌角,7

30°45°60°

畝數(shù)

JLJ2

sina也

學(xué)法指導(dǎo)2~22

2

cosa2立

222

皂

tana16

特殊角的三角函數(shù)值3

三角函數(shù)的定義中，沒有注意邊與邊的對(duì)應(yīng)關(guān)系

學(xué)習(xí)誤區(qū)特殊角的值記錯(cuò)

正弦、余弦的互換關(guān)系記錯(cuò)（沒考慮到互余關(guān)系）

盒

知識(shí)模塊一：銳角三角函數(shù)

知識(shí)點(diǎn)一：正弦，余弦，正切

正弦：在RtZ\ABC中，NC=90。，把銳角A的對(duì)邊a與斜邊c的比叫做

NA的對(duì)邊a

NA的正弦，記作sinA,

斜邊c

余弦：在Rt^ABC中，NC=90。，把銳角A的鄰邊b與斜邊c的比叫做

NA的鄰邊b

ZA的余弦，記作cosA,即cosA=

斜邊c

正切：在Rt^ABC中,NC=90A的對(duì)邊a

的正切，記作tanA‘貝"tanA=第翳=*

【注意】1）正弦、余弦、正切是在直角三角形中進(jìn)行定義的，本質(zhì)是兩條線段的比，因此沒有單位，只與

角的大小有關(guān)，而與直角三角形的邊長無關(guān).

2）根據(jù)定義求三角函數(shù)值時(shí)，一定根據(jù)題目圖形來理解，嚴(yán)格按照三角函數(shù)的定義求解，有時(shí)需要通過輔

助線來構(gòu)造直角三角形.

3）tad/表示tan/?tan/,可以寫成（tan/）2,不能寫成tanA2（正弦、余弦相同）.

知識(shí)點(diǎn)二：銳角三角函數(shù)

銳角三角函數(shù)：銳角A的正弦、余弦、正切都是NA的三角函數(shù).（其中：0<NA<90°）

取值范圍:在RtZ\ABC中，NC=90°,由于直角邊一定比斜邊短，故有如下結(jié)論：0<sinA<l,0<cosA<1,

tanA>Q.

增減變化：當(dāng)0°<ZA<90°,sinA,tanA隨/A的增大而增大，cosA隨NA的增大而減小.

【補(bǔ)充】利用銳角三角函數(shù)值的增減變化規(guī)律可比較銳角的大小.

知識(shí)點(diǎn)三：特殊角的三角函數(shù)值

利用三角函數(shù)的定義，可求出30°、45°、60°角的各三角函數(shù)值，如下表所示：

三角函數(shù)值特殊角

30°45°60°

sina￡

V3

2~T~T

cosaj_

V3V22

~TT

tana

V3V3

Vi

知識(shí)點(diǎn)四：銳角三角函數(shù)的關(guān)系

在Rt^ABC中，若/C為直角，則/A與/B互余時(shí)，有以下兩種關(guān)系:

1）同角三角函數(shù)的關(guān)系：

①平方關(guān)系：sin2A+cos2A=1；

②商數(shù)關(guān)系：tanA=^=?

cosA

2）互余兩角的三角函數(shù)關(guān)系：

①互余關(guān)系：

sinA=cos（90°-ZA）=cosB,即一個(gè)銳角的正弦值等于它的余角的余弦值.

sinB=sin（90°-NA）=cosA,即一個(gè)銳角的余弦值等于它的余角的正弦值.

②倒數(shù)關(guān)系：tanA?tanB=1

知識(shí)模塊二：解直角三角形

知識(shí)點(diǎn)一：解直角三角形

定義：一般地，直角三角形中，除直角外，共有五個(gè)元素，即三條邊和兩個(gè)銳角.由直角三角形中的已知

元素，求出其余未知元素的過程，叫做解直角三角形.

在解直角三角形的過程中，一般要用到下面一些關(guān)系：

1）直角三角形的五個(gè)元素：邊：a、b、c,角：NA、ZB.

2）三邊之間的關(guān)系：a2+b2=c2（勾股定理）.

3）兩銳角之間的關(guān)系：ZA+ZB=90°.

4）邊角之間的關(guān)系：sinA=-,sinB=-,cosA=-,cosBtanA=-,tanB=-.

ccccba

【補(bǔ)充】三角函數(shù)是連接邊與角的橋梁.

5）面積公式5=工次?=」防（h為斜邊上的高）.

22

知識(shí)點(diǎn)二：解直角三角形的常見類型

已知條件解法步驟圖示

斜邊和一直角邊（如c,a）由sinA=2,求ZA,ZB=90°-ZA,b=4c2-a2A

c

兩

邊兩直角邊（如a,b）由tanA=：,求Z_A,NB=90°—NA,c=ylCl2+/72

bb

ZB=90°—NA,a=c*sinA,b=c?cosA

斜邊和一銳角（如c,ZA）口

—■CB

邊

一直角邊和一銳角（如a,ZA）ZB=90°—ZA,b=---,c=---

tanAsinA

角b

另一直角邊和一銳角（如b,ZA）ZB=90°—ZA,a-/7*tanA,c=-------

cosA

【注意】已知兩個(gè)角不能解直角三角形，因?yàn)橛袃蓚€(gè)角對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形相似，但不一定全等，因此

其邊的大小不確定.

【總結(jié)】在直角三角形中，除直角外的五個(gè)元素中，已知其中的兩個(gè)元素（至少有一條邊），可求出其余的

三個(gè)未知元素（知二求三）.

【已知一邊一角的記憶口訣】有斜求對(duì)用正弦，有斜求鄰用余弦，無斜求對(duì)（鄰）用正切.

知識(shí)模塊三：解直角三角形的應(yīng)用

知識(shí)點(diǎn)一：仰角、俯角

視角：視線與水平線的夾角叫做視角.

仰角：在視線與水平線所成的角中，視線在水平線上方的角叫做仰角.

俯角：在視線與水平線所成的角中，視線在水平線下方的角叫做俯角.

【注意】仰角和俯角是相對(duì)于水平線而言的，在不同的位置觀測，仰角和俯角是不同的.

知識(shí)點(diǎn)二：坡度、坡角

坡度：坡面的鉛直高度h和水平寬度1的比叫做坡面的坡度（或坡比），記作i=1

坡角：坡面與水平面的夾角a叫做坡角.

【注意】坡度與坡角是兩個(gè)不同的概念，坡角是兩個(gè)面的夾角，坡度（用字母i表示）是比；兩者之壓間的

關(guān)系是i=與坡角越大，坡度越大.

知識(shí)點(diǎn)三：方位角、方向角

方位角：從某點(diǎn)的指北方向線按順時(shí)針轉(zhuǎn)到目標(biāo)方向的水平角叫做方位角，如圖①中，目標(biāo)方向PA,PB,

PC的方位角分別為是40°,135°,245°.

方向角：指北或指南方向線與目標(biāo)方向線所成的小于90。的水平角，叫做方向角，如圖②中的目標(biāo)方向線

0A,OB,0C,OD的方向角分別表示北偏東30°,南偏東45°,南偏西80°,北偏西60°.特別如：東南方

向指的是南偏東45°,東北方向指的是北偏東45°,西南方向指的是南偏西45°,西北方向指的是北偏西

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知識(shí)點(diǎn)四：解直角三角形實(shí)際應(yīng)用的一般步驟

①弄清題中名詞、術(shù)語，根據(jù)題意畫出圖形，建立數(shù)學(xué)模型；

②將條件轉(zhuǎn)化為幾何圖形中的邊、角或它們之間的關(guān)系，把實(shí)際問題轉(zhuǎn)化為解直角三角形問題；當(dāng)有些圖

形不是直角三角形時(shí)，可適當(dāng)添加輔助線，把它們分割成直角三角形或矩形.

③選擇合適的邊角關(guān)系式，使運(yùn)算簡便、準(zhǔn)確；

④得出數(shù)學(xué)問題的答案并檢驗(yàn)答案是否符合實(shí)際意義，從而得到問題的解.

【常見類型】航海、建橋修路、測量樓高、塔高等.

費(fèi)者逝者法

考點(diǎn)一：理解銳角三角函數(shù)的概念

1.（2022?吉林長春?中考真題）如圖是長春市人民大街下穿隧道工程施工現(xiàn)場的一臺(tái)起重機(jī)的示意圖，該

起重機(jī)的變幅索頂端記為點(diǎn)A,變幅索的底端記為點(diǎn)B,4。垂直地面，垂足為點(diǎn)D,BC1AD,垂足為點(diǎn)C.設(shè)

乙ABC=a,卜列關(guān)系式止確的是()

A

變愫/

J國QHBL

A-ZBn.BC.AB.AC

A.sincr=——B.sina=——C.sina=——D.sincr=——

BCABACAB

2.（2024?天津紅橋?一模）如圖，在RtAHBC中，/ABC==90°,。為邊力8上一點(diǎn)，過點(diǎn)。作DE14C,垂足

為E,則下列結(jié)論中正確的是（）

C

上

ADB

BC.AB

A.sinX=—B.cosA=—C.tanA=—D.tanX=——

ABADADBC

3.（2024廣州市模擬預(yù)測）在RtZkABC中，匕C=90。,各邊都擴(kuò)大2倍，則銳角A的三角函數(shù)值()

A.擴(kuò)大2倍B.不變C.縮小3D.擴(kuò)大3

考點(diǎn)二：求角的三角函數(shù)值

1.（2022?江蘇常州?中考真題）如圖，在四邊形4BCD中,ZX=/LABC=90°,DB平分A4DC.若2D=1,

CD=3,則sinNABD=_____.

A'----------

2.（2024?四川雅安?中考真題）如圖，把矩形紙片A8CD沿對(duì)角線8。折疊，使點(diǎn)C落在點(diǎn)E處，BE與AD交

于點(diǎn)R若48=6,BC=8,貝"cos乙48F的值是

3.（2024.江西?中考真題）將圖1所示的七巧板，拼成圖2所示的四邊形4BCD,連接2C,則tan"48=

考點(diǎn)三：由三角函數(shù)求邊長

1.（2023?湖南婁底?中考真題）如圖，點(diǎn)E在矩形48CD的邊CD上，將△力DE沿2E折疊，點(diǎn)。恰好落在邊BC

上的點(diǎn)尸處，若BC=10.sinzXFB=貝?。軩E=

2.（2024?山東青島?中考真題）如圖，AABC中，BA=BC,以8c為直徑的半圓。分別交AB,AC于點(diǎn)

E,過點(diǎn)E作半圓。的切線，交48于點(diǎn)M,交BC的延長線于點(diǎn)N.若。N=10,cos/ABC=|,則半徑0C的

長為.

3.（2023?山東?中考真題）如圖，△ABC是邊長為6的等邊三角形，點(diǎn)D,E在邊BC上，若=30。,

考點(diǎn)四：由特殊角的三角函數(shù)值求解

1.（2024?山東青島?中考真題）計(jì)算：V18+（I）-1-2sin45°=.

2.（2023?山東?中考真題）計(jì)算：|百一2|+2$訪60。一2023。=.

3.（2022?黑龍江綏化?中考真題）定義一種運(yùn)算；sin（a+/?）=sincrcos/?+coscrsin/?,sin（cr—，）=sincrcos/?—

cosasin/?.例如：當(dāng)a=45。，￡=30。時(shí)，sin（45°+30°）=yXy+yx|=遺產(chǎn)，則sinl5。的值為.

考點(diǎn)五：在平面直角坐標(biāo)系中求銳角三角函數(shù)值

1.（2024?江蘇宿遷?中考真題）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)A在直線y=[x上，且點(diǎn)A的橫坐標(biāo)為4,

直角三角板的直角頂點(diǎn)C落在無軸上，一條直角邊經(jīng)過點(diǎn)A,另一條直角邊與直線04交于點(diǎn)8,當(dāng)點(diǎn)C在x

軸上移動(dòng)時(shí)，線段2B的最小值為.

2.（2024?吉林長春.中考真題）在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)。是坐標(biāo)原點(diǎn)，拋物線y=/+2x+c（c是常數(shù)）

經(jīng)過點(diǎn)（-2,-2）.點(diǎn)A、8是該拋物線上不重合的兩點(diǎn)，橫坐標(biāo)分別為m、-血，點(diǎn)C的橫坐標(biāo)為-5?n,點(diǎn)C的

縱坐標(biāo)與點(diǎn)人的縱坐標(biāo)相同，連結(jié)48、AC.

y

(1)求該拋物線對(duì)應(yīng)的函數(shù)表達(dá)式；

(2)求證：當(dāng)?n取不為零的任意實(shí)數(shù)時(shí)，tanNCAB的值始終為2；

(3)作4C的垂直平分線交直線2B于點(diǎn)D,以4。為邊、AC為對(duì)角線作菱形4DCE,連結(jié)

①當(dāng)DE與此拋物線的對(duì)稱軸重合時(shí)，求菱形4DCE的面積；

②當(dāng)此拋物線在菱形4DCE內(nèi)部的點(diǎn)的縱坐標(biāo)y隨X的增大而增大時(shí)，直接寫出小的取值范圍.

3.(2024?西藏?中考真題)在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線y=ax2+bx+3(a力0)與x軸交于2(—1,0)，B(3,0)

兩點(diǎn)，與y軸交于C點(diǎn)，設(shè)拋物線的對(duì)稱軸為直線/.

(1)求拋物線的解析式；

(2)如圖(甲)，設(shè)點(diǎn)C關(guān)于直線/的對(duì)稱點(diǎn)為點(diǎn)。，在直線/上是否存在一點(diǎn)P,使P4-PD有最大值？若

存在，求出PA-PD的最大值；若不存在，請(qǐng)說明理由；

(3)如圖(乙)，設(shè)點(diǎn)M為拋物線上一點(diǎn)，連接MC,過點(diǎn)M作MN1CM交直線/于點(diǎn)N.若tan/MCN=|,

求點(diǎn)M的坐標(biāo).

考點(diǎn)六：在網(wǎng)格中求銳角三角函數(shù)值

1.(2024?內(nèi)蒙古包頭.模擬預(yù)測)如圖，在邊長為1的正方形網(wǎng)格中，點(diǎn)4、B、C、D、E都在小正方形格點(diǎn)

的位置上，連接AB,CD相交于點(diǎn)P,根據(jù)圖中提示所添加的輔助線，可以求得tan/BPC的值是()

A.-B.—C.2D.V5

25

2.(2024?湖北武漢.模擬預(yù)測)如圖，是由小正方形組成的7x6網(wǎng)格，每個(gè)小正方形的頂點(diǎn)叫做格點(diǎn)，4ABC

的三個(gè)頂點(diǎn)都是格點(diǎn).僅用無刻度的直尺在給定網(wǎng)格中完成畫圖，畫圖過程用虛線表示.

⑴在圖1中，將線段4B繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90。得到線段力M；在4c上畫點(diǎn)N,使tan乙4BN=；；

(2)在圖2中，。是BC上任意一點(diǎn)，先畫AD的中點(diǎn)E,再在上找到一點(diǎn)尸，使得4AFB=MFE.

3.(2024?湖北武漢?模擬預(yù)測)如圖是由邊長為1的小正方形構(gòu)成的網(wǎng)格，點(diǎn)A、。、E、F在格點(diǎn)上，點(diǎn)B、

C是直線E尸與網(wǎng)格線的交點(diǎn).請(qǐng)用無刻度的直尺在給定網(wǎng)格中完成下列畫圖，畫圖過程用虛線表示，畫圖

結(jié)果用實(shí)線表示.

(1)如圖1,將線段EF繞著點(diǎn)E逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90。得到線段EM,在線段4。上取點(diǎn)P,使得tan/PFE=|,并畫

出點(diǎn)E關(guān)于PF的對(duì)稱點(diǎn)。；

(2)如圖2,在線段4D上畫一個(gè)點(diǎn)N,使得AABNSADNC.

考點(diǎn)七：三角函數(shù)綜合

1.(2022?浙江寧波?中考真題)如圖1,。。為銳角三角形4BC的外接圓，點(diǎn)。在此上，力。交BC于點(diǎn)E,

點(diǎn)尸在4E上，滿足Z71FB-乙BFD=/.ACB,FG||4C交BC于點(diǎn)G,BE=FG,連結(jié)BD,DG.設(shè)N2C8=a.

⑴用含a的代數(shù)式表示NBFD.

(2)求證：4BDE三AFDG.

(3)如圖2,40為。。的直徑.

①當(dāng)腦的長為2時(shí)，求起的長.

②當(dāng)。尸:0E=4:11時(shí)，求cosa的值.

2.(2022?甘肅武威?中考真題)已知正方形力BCD,E為對(duì)角線AC上一點(diǎn).

圖1圖2圖3

(1)【建立模型】如圖1,DE.求證：BE=DE；

⑵【模型應(yīng)用】如圖2,F是DE延長線上一點(diǎn)，F(xiàn)BIBE,EF交4B于點(diǎn)G.

①判斷△FBG的形狀并說明理由；

②若G為4B的中點(diǎn)，且4B=4,求4F的長.

(3)【模型遷移】如圖3,F是DE延長線上一點(diǎn)，1BE,EF交4B于點(diǎn)G,BE=BF.求證：GE=(魚—1)DE.

3.(2024?四川成都?中考真題)數(shù)學(xué)活動(dòng)課上，同學(xué)們將兩個(gè)全等的三角形紙片完全重合放置，固定一個(gè)

頂點(diǎn)，然后將其中一個(gè)紙片繞這個(gè)頂點(diǎn)旋轉(zhuǎn)，來探究圖形旋轉(zhuǎn)的性質(zhì).已知三角形紙片4BC和4DE中，4B=

AD=3,BC=DE=4,AABC=^ADE=90°.

【初步感知】

（1）如圖1,連接BO,CE,在紙片力DE繞點(diǎn)4旋轉(zhuǎn)過程中，試探究胃的值.

CE

【深入探究】

（2）如圖2,在紙片力DE繞點(diǎn)4旋轉(zhuǎn)過程中，當(dāng)點(diǎn)。恰好落在AABC的中線的延長線上時(shí)，延長ED交AC

于點(diǎn)尸，求CF的長.

【拓展延伸】

（3）在紙片4DE繞點(diǎn)4旋轉(zhuǎn)過程中，試探究C,D,E三點(diǎn)能否構(gòu)成直角三角形.若能，直接寫出所有直角

三角形CDE的面積；若不能，請(qǐng)說明理由.

圖1圖2圖3

考點(diǎn)八：解直角三角形的相關(guān)計(jì)算

1.（2024?山西?中考真題）如圖，在團(tuán)4BCD中，AC為對(duì)角線，4E1BC于點(diǎn)E,點(diǎn)尸是4E延長線上一點(diǎn),

且N4CF=NC4F,線段的延長線交于點(diǎn)G.若48=西，AD=4,tanN4BC=2,貝!]BG的長為.

2.（2024?寧夏?中考真題）如圖，。。是△ABC的外接圓，4B為直徑，點(diǎn)。是A/IBC的內(nèi)心，連接AD并延

長交。。于點(diǎn)E,過點(diǎn)E作。。的切線交4B的延長線于點(diǎn)F.

⑴求證：BC||EF；

（2）連接CE,若。。的半徑為2,sinzXFC=求陰影部分的面積（結(jié)果用含it的式子表示）.

3.（2023?四川綿陽?中考真題）如圖，在。。中，點(diǎn)A,B,C,。為圓周的四等分點(diǎn)，4E為切線，連接E。，并

延長交。。于點(diǎn)F,連接BF交4C于點(diǎn)G.

（1）求證：4D平分NC4E；

⑵求證：AADE=AABG；

（3）若4E=3,AG=3GC,求cos/CBF的值.

4.（2023?浙江紹興?中考真題）（1）一副直角三角尺如圖1所示，中間各有一個(gè)直徑為4cm的圓洞，現(xiàn)將三

角尺a的30。角的那一頭插入三角尺6圓洞內(nèi)，如圖2所示.則三角尺a通過三角尺b圓洞的那一部分的最大面

積為—cm2.（不計(jì)三角尺的厚度）

⑵如圖3,矩形48CD中，點(diǎn)E是邊4B中點(diǎn)，點(diǎn)P是邊4。上一動(dòng)點(diǎn)，沿直線PE將△APE翻折，點(diǎn)4落在點(diǎn)F處.已

知48=6,4。=4,連結(jié)CF,CE.

①當(dāng)AP=4時(shí)，CF=；

②當(dāng)ACEF為直角三角形時(shí)，AP=.

考點(diǎn)九：構(gòu)造直角三角形求不規(guī)則圖形的邊長或面積

1.（2024?廣東廣州?一模）已知在四邊形4BCD中，乙BAD=75°,LABC=^ADC=90°,AB=BC=4近.

B

C

/

/

A1^—----------------0￡)

(1)CD的長是；

(2)若E是CD邊上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，連接4E,過點(diǎn)D作。F1AE,垂足為點(diǎn)F,在4尸上截取FP=尸。，當(dāng)△PBC的

面積最小時(shí)，點(diǎn)P至!JBC的距離是.

2.(2023?安徽?二模)如圖，已知：4B是O。的直徑，點(diǎn)C在圓上，AB=10,AC=6,點(diǎn)C、E分別在AB兩

側(cè)，且E為半圓AB的中點(diǎn).

(1)求A/IBC的面積;

⑵求CE的長.

3.(2022?浙江寧波?模擬預(yù)測)如圖，在RtA4BC中，CD是斜邊力B上的高，將得到的兩個(gè)△4CD和△BCD按

圖①、圖②、圖③三種方式放置，設(shè)三個(gè)圖中陰影部分的面積分別為S「S2,S3,若S1=S2,則S］與S3之

間的關(guān)系是()

4.(2021?江蘇連云港?中考真題)我市的前三島是眾多海釣人的夢想之地.小明的爸爸周末去前三島釣魚,

將魚竿2B擺成如圖1所示.已知4B=4.8m,魚竿尾端A離岸邊0.4m,即4。=0.4m.海面與地面4。平行

且相距1.2m,即=1.2m.

(1)如圖1,在無魚上鉤時(shí)，海面上方的魚線BC與海面HC的夾角NBCH=37。，海面下方的魚線CO與海面

HC垂直，魚竿AB與地面4。的夾角482。=22。.求點(diǎn)。到岸邊。H的距離；

(2)如圖2,在有魚上鉤時(shí)，魚竿與地面的夾角NB4D=53。，此時(shí)魚線被拉直，魚線B。=5.46m,點(diǎn)。

恰好位于海面.求點(diǎn)。到岸邊0H的距離.(參考數(shù)據(jù):sin37。=cos53°~cos37°=sin53°~-,tan37°~

554

■31q2、

sin22°?cos22°?一，tan22°x-)

8165

重難點(diǎn)一：運(yùn)用解直角三角形的知識(shí)解決視角相關(guān)問題

1.(2024?山西?中考真題)研學(xué)實(shí)踐：為重溫解放軍東渡黃河“紅色記憶”，學(xué)校組織研學(xué)活動(dòng).同學(xué)們來到

毛主席東渡黃河紀(jì)念碑所在地，在了解相關(guān)歷史背景后，利用航模搭載的3D掃描儀采集紀(jì)念碑的相關(guān)數(shù)據(jù).

數(shù)據(jù)采集：如圖，點(diǎn)4是紀(jì)念碑頂部一點(diǎn)，力B的長表示點(diǎn)4到水平地面的距離.航模從紀(jì)念碑前水平地面的

點(diǎn)M處豎直上升，飛行至距離地面20米的點(diǎn)C處時(shí)，測得點(diǎn)4的仰角N4CD=18.4。；然后沿CN方向繼續(xù)飛

行，飛行方向與水平線的夾角NNC。=37。，當(dāng)?shù)竭_(dá)點(diǎn)4正上方的點(diǎn)E處時(shí)，測得AE=9米；…

數(shù)據(jù)應(yīng)用：已知圖中各點(diǎn)均在同一豎直平面內(nèi)，E,A,B三點(diǎn)在同一直線上.請(qǐng)根據(jù)上述數(shù)據(jù)，計(jì)算紀(jì)念

碑頂部點(diǎn)4到地面的距離A8的長(結(jié)果精確到1米.參考數(shù)據(jù):sin37。~0.60,cos37°~0.80,tan37°~0.75,

sinl8.4°~0.32,cosl8.4°~0.95,tanl8.4°-0.33).

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，＜：：4

MB

2.（2024?西藏?中考真題）在數(shù)學(xué)綜合實(shí)踐活動(dòng)中，次仁和格桑自主設(shè)計(jì)了“測量家附近的一座小山高度”

的探究作業(yè).如圖，次仁在A處測得山頂C的仰角為30。；格桑在8處測得山頂C的仰角為45。.已知兩人

所處位置的水平距離MN=210米，A處距地面的垂直高度力M=30米，2處距地面的垂直高度BN=20米,

點(diǎn)F,N在同一條直線上，求小山CF的高度.（結(jié)果保留根號(hào)）

3.（2024.山東濰坊.中考真題）在光伏發(fā)電系統(tǒng)運(yùn)行時(shí)，太陽能板（如圖1）與水平地面的夾角會(huì)對(duì)太陽輻

射的接收產(chǎn)生直接影響.某地區(qū)工作人員對(duì)日平均太陽輻射量y（單位：kW-h-10-1-m-2.d-D和太陽能

板與水平地面的夾角工。（0<%<90）進(jìn)行統(tǒng)計(jì)，繪制了如圖2所示的散點(diǎn)圖，已知該散點(diǎn)圖可用二次函數(shù)刻

2(30,49)

50?(40,48)

45-.(10,45)

40-(0,40)

35-

30

25

20

15

10

5

102030405060708090x/(°)

圖2

（1）求y關(guān)于％的函數(shù)表達(dá)式；

⑵該地區(qū)太陽能板與水平地面的夾角為多少度時(shí)，日平均太陽輻射量最大？

（3）圖3是該地區(qū)太陽能板安裝后的示意圖（此時(shí)，太陽能板與水平地面的夾角使得日平均太陽輻射量最大），

乙4Go為太陽能板48與水平地面的夾角，CD為支撐桿.已知48=2m,C是48的中點(diǎn)，CD1GD.在GD

延長線上選取一點(diǎn)M,在。,M兩點(diǎn)間選取一點(diǎn)以測得EM=4m,在M,E兩點(diǎn)處分別用測角儀測得太陽能板

頂端人的仰角為30。,45°,該測角儀支架的高為1m.求支撐桿CD的長.（精確到0.1m,參考數(shù)據(jù):V2?1.414,

V3x1,732）

重難點(diǎn)二：運(yùn)用解直角三角形的知識(shí)解決方向角相關(guān)問題

1.（2024?海南?中考真題）木蘭燈塔是亞洲最高、世界第二高的航標(biāo)燈塔，位于海南島的最北端，是海南

島東北部最重要的航標(biāo).某天，一艘漁船自西向東（沿4C方向）以每小時(shí)10海里的速度在瓊州海峽航行,

如圖所示.

航行記錄記錄一：上午8時(shí)，漁船到達(dá)木蘭燈塔尸北偏西60。方向上的A處.

記錄二：上午8時(shí)30分，漁船到達(dá)木蘭燈塔尸北偏西45。方向上的8處.

記錄三：根據(jù)氣象觀測，當(dāng)天凌晨4時(shí)到上午9時(shí)，受天文大潮和天氣影響，瓊州海峽C點(diǎn)周圍5海里內(nèi),

會(huì)出現(xiàn)異常海況，點(diǎn)C位于木蘭燈塔P北偏東15。方向.

請(qǐng)你根據(jù)以上信息解決下列問題：

（1）填空："AB=°,Z.APC=°,AB=海里；

⑵若該漁船不改變航線與速度，是否會(huì)進(jìn)入“海況異?！眳^(qū)，請(qǐng)計(jì)算說明.

（參考數(shù)據(jù)：V2-1.41,V3?1.73,遙=2.45）

2.（2024?四川資陽?中考真題）如圖，某海域有兩燈塔4B,其中燈塔3在燈塔A的南偏東30。方向，且A,

8相距等海里.一漁船在C處捕魚，測得C處在燈塔A的北偏東30。方向、燈塔B的正北方向.

⑴求C兩處的距離；

（2）該漁船從C處沿北偏東65。方向航行一段時(shí)間后，突發(fā)故障滯留于。處，并發(fā)出求救信號(hào).此時(shí)，在燈

塔8處的漁政船測得。處在北偏東27。方向，便立即以18海里/小時(shí)的速度沿BD方向航行至。處救援，求

漁政船的航行時(shí)間.

（注：點(diǎn)A,B,C,。在同一水平面內(nèi)；參考數(shù)據(jù)：tan65°-2.1,tan27°?0.5）

3.（2024?江蘇連云港.中考真題）圖1是古代數(shù)學(xué)家楊輝在《詳解九章算法》中對(duì)“邑的計(jì)算”的相關(guān)研究.數(shù)

學(xué)興趣小組也類比進(jìn)行了如下探究：如圖2,正八邊形游樂城力〃2444&464748的邊長為日km,南門。設(shè)

立在4①邊的正中央，游樂城南側(cè)有一條東西走向的道路BM,久必在上（門寬及門與道路間距離忽略

不計(jì)），東側(cè)有一條南北走向的道路BC,C處有一座雕塑.在4處測得雕塑在北偏東45。方向上，在42處測

得雕塑在北偏東59。方向上.

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