專題11拋物線綜合壓軸問題

1.如圖，已知拋物線y=ax，bx+5經(jīng)過A(-5,0),B(-4,-3)兩點，與x軸的另一個交點為C,頂

點為D連結(jié)CD.

(1)求該拋物線的表達(dá)式；

(2)點P為該拋物線上一動點(與點B、C不重合)，設(shè)點P的橫坐標(biāo)為t.

①當(dāng)點P在直線BC的下方運(yùn)動時，求4PBC的面積的最大值；

②該拋物線上是否存在點P,使得NPBC=NBCD?若存在，求出所有點P的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由.

2.如圖，拋物線丁=以2+法+。交丫軸于點并經(jīng)過點。(6,0),過點A作軸交拋物線

于點B,拋物線的對稱軸為直線x=2,D點的坐標(biāo)為(4,0),連接A。，BC,BD.點E從A點出發(fā)，以

每秒四個單位長度的速度沿著射線AD運(yùn)動，設(shè)點E的運(yùn)動時間為m秒，過點E作所，A3于F,以所

為對角線作正方形EGEf/.

備用圖

(1)求拋物線的解析式；

(2)當(dāng)點G隨著E點運(yùn)動到達(dá)上時，求此時m的值和點G的坐標(biāo)；

(3)在運(yùn)動的過程中，是否存在以B,G,C和平面內(nèi)的另一點為頂點的四邊形是矩形，如果存在，直接

寫出點G的坐標(biāo)，如果不存在，請說明理由.

3.在平面直角坐標(biāo)系中,點0為坐標(biāo)原點,拋物線y=經(jīng)過點A與y

軸交于點C.

(1)求a,b的值；

(2)如圖1,點D在該拋物線上，點D的橫坐標(biāo)為-2,過點D向y軸作垂線，垂足為點E.點P為y軸負(fù)

半軸上的一個動點，連接DP、設(shè)點P的縱坐標(biāo)為t,△。砂的面積為S,求S關(guān)于t的函數(shù)解析式(不

要求寫出自變量t的取值范圍)；

(3)如圖2,在(2)的條件下，連接。4,點F在。4上，過點F向y軸作垂線，垂足為點H,連接。尸

交y軸于點G,點G為。咒的中點，過點A作y軸的平行線與過點P所作的x軸的平行線相交于點N,連

接CN,PB,延長PB交AN于點M,點R在上，連接RN,若3cp=5GE,

ZPMN+ZPDE=2ZCNR,求直線RN的解析式.

4.如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，直線y=--x+2與x軸交于點A,與y軸交于點B,拋物線y=-1x"+bx+c

22

經(jīng)過A,B兩點且與x軸的負(fù)半軸交于點C.

(1)求該拋物線的解析式；

(2)若點D為直線AB上方拋物線上的一個動點，當(dāng)NABD=2NBAC時，求點D的坐標(biāo)；

(3)已知E,F分別是直線AB和拋物線上的動點，當(dāng)B,0,E,F為頂點的四邊形是平行四邊形時，直接

寫出所有符合條件的E點的坐標(biāo).

1,1

5.如圖，拋物線y=^x+云+。與x軸交于A、B兩點(點A在點B左邊)，與y軸交于點C.直線y=gX-2

經(jīng)過B、C兩點.

(1)求拋物線的解析式；

(2)點P是拋物線上的一動點，過點P且垂直于x軸的直線與直線BC及x軸分別交于點D、M.PN±BC,

垂足為N.設(shè)

①點P在拋物線上運(yùn)動，若P、D、M三點中恰有一點是其它兩點所連線段的中點(三點重合除外).請直

接寫出符合條件的m的值；

②當(dāng)點P在直線下方的拋物線上運(yùn)動時，是否存在一點P,使△產(chǎn)■?與△AOC相似.若存在，求出

點P的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由.

6.如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線y=-x?+bx+c與x軸分別交于點A(-1,0)和點B,與y軸交于

點C(0,3).

(1)求拋物線的解析式及對稱軸；

(2)如圖1,點D與點C關(guān)于對稱軸對稱，點P在對稱軸上，若NBPD=90°,求點P的坐標(biāo)；

(3)點M是拋物線上位于對稱軸右側(cè)的點，點N在拋物線的對稱軸上，當(dāng)ABMN為等邊三角形時，請直接

寫出點M的坐標(biāo).

圖1備用圖

1,5

7.如圖，拋物線=—-一工一3與x軸正半軸交于點A,與y軸交于點B.

24

(1)求直線A5的解析式及拋物線頂點坐標(biāo)；

(2)如圖1,點P為第四象限且在對稱軸右側(cè)拋物線上一動點，過點P作PC，1軸，垂足為C,PC交AB

于點D,求PD+應(yīng))的最大值，并求出此時點P的坐標(biāo)；

1,5

(3)如圖2,將拋物線L:y=—/一一x-3向右平移得到拋物線〃，直線A3與拋物線〃交于M,N兩

24

點，若點A是線段的中點，求拋物線￡/的解析式.

專題11拋物線綜合壓軸問題(解析版)

1.如圖，已知拋物線y=ax，bx+5經(jīng)過A(-5,0),B(-4,-3)兩點，與x軸的另一個交點為C,頂

(2)點P為該拋物線上一動點(與點B、C不重合)，設(shè)點P的橫坐標(biāo)為t.

①當(dāng)點P在直線BC的下方運(yùn)動時，求4PBC的面積的最大值；

②該拋物線上是否存在點P,使得NPBC=NBCD?若存在，求出所有點P的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由.

【答案】見解析。

【解析】【分析】(1)將點A、B坐標(biāo)代入二次函數(shù)表達(dá)式，即可求解；

(2)①SAPBC=LPG(XC-XB),即可求解；②分點P在直線BC下方、上方兩種情況，分別求解即可.

2

【解答】⑴將點A、B坐標(biāo)代入二次函數(shù)表達(dá)式得：125a-5b+5=0,解得：

ll6a-4b+5=-3lb=6

故拋物線的表達(dá)式為：y=x?+6x+5…①，

令y=0,貝!Ix=-1或-5,

即點C(-1,0)；

(2)①如圖1,過點P作y軸的平行線交BC于點G,

將點B、C的坐標(biāo)代入一次函數(shù)表達(dá)式并解得:

直線BC的表達(dá)式為：y=x+l…②,

設(shè)點G(t,t+1)，則點P(t,t2+6t+5),

22

SAPBC=—PG(xc-xB)(t+1-t-6t-5)=--t-A^.t-6,

2222

?..衛(wèi)＜0,...Sam有最大值，當(dāng)t=-5時，其最大值為21；

228

②設(shè)直線BP與CD交于點H,

當(dāng)點P在直線BC下方時,

VZPBC=ZBCD,.?.點H在BC的中垂線上,

線段BC的中點坐標(biāo)為(-3,-2),

22

過該點與BC垂直的直線的k值為-1,

設(shè)BC中垂線的表達(dá)式為：y=-x+m,將點(-5-◎)代入上式并解得:

22

直線BC中垂線的表達(dá)式為：y=-x-4-@,

同理直線CD的表達(dá)式為：y=2x+2…④，

聯(lián)立③④并解得：x=-2,即點H(-2,-2),

同理可得直線BH的表達(dá)式為：y=lx-1…⑤，

2

聯(lián)立①⑤并解得：X=-W或-4(舍去-4),

2

故點P(-3,-1)；

24

當(dāng)點P(P,)在直線BC上方時，

VZPBC=ZBCD,.\BP,//CD,

則直線BP，的表達(dá)式為：y=2x+s,將點B坐標(biāo)代入上式并解得：s=5,

即直線BP，的表達(dá)式為：y=2x+5…⑥，

聯(lián)立①⑥并解得：x=0或-4（舍去-4）,

故點P（0,5）；

故點P的坐標(biāo)為P（-2,-工）或（0,5）.

24

【點評】本題考查的是二次函數(shù)綜合運(yùn)用，涉及到一次函數(shù)、等腰三角形性質(zhì)、圖形的面積計算等，其中

（2）,要主要分類求解，避免遺漏.

2.如圖，拋物線丁=以2+法+。交y軸于點A（O,T）,并經(jīng)過點。（6,0）,過點A作軸交拋物線

于點B,拋物線的對稱軸為直線x=2,D點的坐標(biāo)為（4,0）,連接AD,BC,60.點E從A點出發(fā)，以

每秒近個單位長度的速度沿著射線A。運(yùn)動，設(shè)點E的運(yùn)動時間為m秒，過點E作所，于F,以所

為對角線作正方形EGEH.

(1)求拋物線的解析式;

(2)當(dāng)點G隨著E點運(yùn)動到達(dá)上時,求此時m的值和點G的坐標(biāo);

(3)在運(yùn)動的過程中，是否存在以B,G,C和平面內(nèi)的另一點為頂點的四邊形是矩形，如果存在，直接

寫出點G的坐標(biāo)，如果不存在，請說明理由.

14

【答案】(1)y=—x9—x—4

33

1612

(2)m=旦唁,一

5

36_81216426

(3),-或(3,-3)?；蜥堋?/p>

y5555

【解析】【分析】（1）利用待定系數(shù)法求解析式即可；

（2）求出直線BC解析式，通過4EGF為等腰直角三角形表示出G點坐標(biāo)，將G點代入BC解析式即可求得

m的值，從而求得G點坐標(biāo)；

(3)將矩形轉(zhuǎn)化為直角三角形，當(dāng)ABGC是直角三角形時，當(dāng)4BCG為直角三角形時，當(dāng)4CBG為直角三

角形時，分情況討論分別列出等式求得m的值，即可求得G點坐標(biāo).

【詳解】(1)將點A(0,-4)、C(6,0)代入解析式y(tǒng)=依2+法+。中，以及直線對稱軸x=2,可得

-4=c

<0=36a+6b+c,

—2=2

、2a

1

。二—

3

4

解得<b=-—,

c=-4

14

二拋物線的解析式9為—4；

(2)VA(0,-4),D(4,0),

.".△A0D為等腰直角三角形，

軸交拋物線于點B,

AB(4,-4),

設(shè)直線BC解析式y(tǒng)=kx+b,

將B(4,-4),C(6,0)代入解析式得,

-04:=64』左+Z?'■k=2

b=-n)

直線BC解析式為y=2x-12,

由題意可得AE=也加，ZXADB為等腰直角三角形,

AAF=EF=^AE=m，

2

?.?四邊形EGFH為正方形，

...△EGF為等腰直角三角形,

G\m+—m,-4-+—m\,

I22J

點G隨著E點運(yùn)動到達(dá)BC上時，滿足直線BC解析式y(tǒng)=2x-12,

1

/.-4+-m=2|m+-m|-12,

2I2

空16,此時G弓

..m=

5I)

(3)B(4,-4)，C(6,0),

I22J

2

BC2=(6-4)2+(0+4)2=20,BG2=4f

CG2=(6—|機(jī)］+(0+4—=(6—|機(jī)),

要使以B,G,C和平面內(nèi)的另一點為頂點的四邊形是矩形,

需滿足:

當(dāng)ABGC是直角三角形時，BG2+CG2=BC29

(4—|加)+(6一+(4-3相］=20,

24

解得，㈣=1~,m2-2,

36_8

止匕時G或(3,-3)；

y,-5

當(dāng)4BCG為直角三角形時，BC2+CG2=BG2<

20+(6—+(4—=(4—，

28

解得，m=M,

?*f426

此時G?

當(dāng)4CBG為直角三角形時，BC2+BG2=CG2r

20+(4—|=[6一|+(4一，

Q

解得，m=-,

…門216

止匕時GI—

36_81216426

綜上所述：點G坐標(biāo)為或(3,-3)

y,-5T55

【點睛】本題是二次函數(shù)的綜合題，考查了待定系數(shù)法求解析式、等腰直角三角形的性質(zhì)和判定，動點運(yùn)

動問題，存在矩形問題，利用數(shù)形結(jié)合，注意分情況討論是解題的關(guān)鍵.

521￡_3

3.在平面直角坐標(biāo)系中，點0為坐標(biāo)原點，拋物線丁=以2+6經(jīng)過點A，點、B，與

2'T2，-8y

軸交于點C.

(1)求a,b的值;

（2）如圖1,點D在該拋物線上，點D的橫坐標(biāo)為-2,過點D向y軸作垂線，垂足為點E.點P為y軸負(fù)

半軸上的一個動點，連接。尸、設(shè)點P的縱坐標(biāo)為3△小尸的面積為S,求S關(guān)于t的函數(shù)解析式（不

要求寫出自變量t的取值范圍）；

（3）如圖2,在（2）的條件下，連接Q4,點F在Q4上，過點F向y軸作垂線，垂足為點H,連接近

交y軸于點G,點G為。尸的中點，過點A作y軸的平行線與過點P所作的x軸的平行線相交于點N,連

接CN,PB,延長總交⑷V于點M,點R在上，連接RV,若3cp=5GE,

ZPMN+ZPDE=2ZCNR,求直線RN的解析式.

1

Cl———

23311

【答案】（1）(2)S=-t—(3)V=——XH——

224

b=--

2

521J__3

【解析】【分析】（1）將A,B代入拋物線y=/+6中，進(jìn)行計算即可得;

2，-8

3

（2）由（1）得。，根據(jù)軸得?！?2,E，根據(jù)點P的縱坐標(biāo)為t,得PE=—

2

即可得；

（3）過點C作CKJLCN,交NR的延長線于點K,過點K作KT，y軸于點T,根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)得

，則0C=—,根據(jù)軸，。石，丁軸得/切6=/?！?=90°,根據(jù)點G為。尸的

2

中點得DGn/G,根據(jù)AAS得△EHGgADEG,得HF=ED=2,HG=EG=-HE

2

,再運(yùn)用待定系數(shù)法求得直線0A的解析式為y=*x,得出/（2,胃），可得==再由

3cp=5GE得出PQD,2V（1,-1）,再運(yùn)用待定系數(shù)法求得直線BP的解析式為y=：x-l,進(jìn)而推出

PNDE

——=—,證得APMN^ADPE,進(jìn)而得出APMN+/PDE=90°,由ZPMN+APDE=2ZCNR

MNEP

得NCNR=45。,用AAS可證明△CKTgAJVCP,求得

K（；,2）,設(shè)直線RN的解析式為：y=ex+f,再運(yùn)用待定系數(shù)法即可得.

521￡_3

解：（1）???拋物線y=經(jīng)過A

2'T2，-8

3

—4+Z?

84

解得《

（2）解：由（1）得＞=————，點D的橫坐標(biāo)為—2

22

3

**?點D縱坐標(biāo)為一

2

DE_Ly軸

:?DE=2,^|^0,|j

???點P的縱坐標(biāo)為t,

3

PE=——t,

2

11/3、3

；.S=-DE-PE=-x2x\--t\=-t+--,

22(2J2

(3)解：如圖所示，過點C作CK_LCN,交NR的延長線于點K,過點K作KT，y軸于點T,

1,11

?.?>=—%---,當(dāng)％=0時，y=—,

222

??C7C——?

2

y軸，。石，y軸，

二ZFHG=ZDEG=90°,

?:煎G為DF中點，

DG=FG,

在△EHG和△DEG中，

ZFHG=ZDEG

<ZHGF=ZDEG

FG=DG

:.AEHGmADEG(AAS),

:,HF=ED=2,HG=EG=LHE,

2

521

設(shè)直線0A的解析式為：y=kx將點A（不?）代入得,

f2o

5721

—K=---,

28

解得，攵=三，

20

21

直線0A的解析式：y=-x,

21021

當(dāng)x-2時，y=-x2=—，

2010

二尸喘），H（啜,

.??公工修，

1025

1133

:.GE=—HE=—x—=——，

22510

,?3CP=5GE,

5531

/.CP=-GE=-x—

33102

/.P（0』），

?.?A7V〃_y軸，/W〃x軸，

3

V￡（0,-）,

35

.\EP=--（-l）=-,

22

設(shè)直線BP的解析式為y=3+〃，則

13

—m+n=——

\28,

n=-l

5

m=—

解得，＜4,

n=-1

，直線BP的解析式為：y=-x-\,

4

當(dāng)x=*時，y"1上

2428

???點M的坐標(biāo)為（一,

2

.....17.八25

MN=-----(―1)=—,

88

5

N一

24DE24

=4——-------

w--EP55,

215

82

.PN_DE

"~MN~~EP'

---ZPNM=ZDEP=90°,

/.APMN^ADPE，

：.NPMN=NDPE,

'：ZDPE+ZPDE=90°,

/.APMN+NPDE=90°,

■:ZPMN+NPDE=2ZCNR

：.ZCNR=45°,

?；CK±CN,

：.ZNCK=90°,

；?△0區(qū)是等腰直角三角形，

/.CK=CN,

ZCTK=ZNPC=90°,

ZKCT+ZCKT=90°,

ZNCP+NKCT=90°,

：.ZCKT=ZNCP,

在和ANCP中,

ZCTK=ZNPC

ZCKT=ZNCP

CK=NC

:.Z\CKT，\NCP(AAS),

CT=PN=~,KT=CP=~,

22

OT=CT—OC=2,

K(g,2),

設(shè)直線RN的解析式為：y=ex+f,將點K(g,2),得,

解得，j；，

f=—

I4

311

二直線RN的解析式為：y=—x-\—.

24

【點睛】本題考查了二次函數(shù)，全等三角形的判定與性質(zhì)，相似三角形的判定于性質(zhì)，等腰直角三角形的

判定與性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是掌握這些知識點，能夠添加輔助線構(gòu)造相似三角形或全等三角形.

4.如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，直線y=-Lx+2與x軸交于點A,與y軸交于點B,拋物線y=-2,x2+bx+c

22

經(jīng)過A,B兩點且與x軸的負(fù)半軸交于點C.

(1)求該拋物線的解析式；

(2)若點D為直線AB上方拋物線上的一個動點，當(dāng)/ABD=2/BAC時，求點D的坐標(biāo)；

(3)己知E,F分別是直線AB和拋物線上的動點，當(dāng)B,0,E,F為頂點的四邊形是平行四邊形時，直接

寫出所有符合條件的E點的坐標(biāo).

【答案】見解析。

【解析】(1)求得A、B兩點坐標(biāo)，代入拋物線解析式，獲得b、c的值，獲得拋物線的解析式.

(2)通過平行線分割2倍角條件，得到相等的角關(guān)系，利用等角的三角函數(shù)值相等，得到點坐標(biāo).

(3)B、0、E、F四點作平行四邊形，以已知線段0B為邊和對角線分類討論，當(dāng)0B為邊時，以EF=0B的

關(guān)系建立方程求解，當(dāng)0B為對角線時，0B與EF互相平分，利用直線相交獲得點E坐標(biāo).

【解答】(1)在y=—^"x+2中，令y=0，得x=4,令x=0,得y=2

AA(4,0),B(0,2)

把A(4,0),B(0,2),代入產(chǎn)Jx.bx+c，得

'c=2

<1,保

-yX16+4b+c=0

拋物線得解析式為行

(2)如圖，過點B作x軸得平行線交拋物線于點E,過點D作BE得垂線，垂足為F

'/ZABD=2ZBAC,AZABD=2ZABE

KPZDBE+ZABE=2ZABE

.\ZDBE=ZABE

.*.ZDBE=ZBAC

設(shè)D點的坐標(biāo)為（x,則BF=x,DF=4X24X

：tan/DBE=l!LtanZBAC=^2.

BFAO

解得X1=O（舍去），X2=2

當(dāng)x=2時,蔣*2得X+2=3

二點D的坐標(biāo)為（2,3）

(3)

設(shè)E(m,-i-nri-2^'F('m,-ym2+yi[ri-2^

EF=(9時2)一(9m2Vml"2)?=2

解得rm=2,1rl2=2-2后ID3=2+2V2

當(dāng)BO為對角線時，OB與EF互相平分

過點0作OF〃AB,直線OF支卷x交拋物線于點F（2+2、歷，T-加）和（2-2、歷，-1+a）

求得直線EF解析式為廣.考"x+1或行號x+1

直線EF與AB的交點為E,點E的橫坐標(biāo)為-2/5-2或2a-2

/.E點的坐標(biāo)為（2,1）或（2-2亞，1+V2）或（2+26，1-V2）或（-2-272>3+加）或

（-2+2加，3-0）

【點評】本題考查了待定系數(shù)法，2倍角關(guān)系和平行四邊形點存在類問題，將2倍角關(guān)系轉(zhuǎn)化為等角關(guān)系

是（2）問題的解題關(guān)鍵，根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)，以0B為邊和對角線是（3）問題的解題關(guān)鍵，本題綜

合難度不大，是一道很好的壓軸問題.

11

5.如圖,拋物線yn—f9+bx+c與x軸交于A、B兩點（點A在點B左邊），與y軸交于點C.直線y=-X—2

22

經(jīng)過B、C兩點.

（1）求拋物線的解析式；

（2^/P是拋物線上的一動點，過點P且垂直于x軸的直線與直線BC及x軸分別交于點D,M.PN±BC,

垂足為N.設(shè)朋■（〃（））.

①點P在拋物線上運(yùn)動，若P、D、M三點中恰有一點是其它兩點所連線段的中點（三點重合除外）.請直

接寫出符合條件的m的值；

②當(dāng)點P在直線下方的拋物線上運(yùn)動時，是否存在一點P,使△正■?與△AOC相似.若存在，求出

點P的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由.

1,31

【答案】（1）y=—x---x—2；（2）-2,---,1；（3）存在，（3,-2）

222

【解析】（1）由直線y=gx-2經(jīng)過B、C兩點得B（4,0）,C（0,-2）

將B、C坐標(biāo)代入拋物線得

c=—2

8+4"。=?！獾?/p>

c=-2

i3

二拋物線的解析式為：y=-x2——x—2；

22

(2)①；PNL5C,垂足為N.M(m,O)

131

P(m,—m9tn—2),D(m,—tn—2)，

222

分以下幾種情況：

222

解得叫=-2,相2=4（舍去）；

11,3

P是MD的中點時，MD=2MP,即一機(jī)―2=2（-m2一一m—2）

222

解得叫=-g,相2=4（舍去）；

y

1,31

D是MP的中點時，2MD=MP,即一加一一一in—2:2（一機(jī)—2）

222

解得叫=1,m?=4（舍去）；

?,?符合條件的m的值有-2,-1;

2

13

②??,拋物線的解析式為：y=—V9——x—2,

22

AA(-1,0),B(4,0),C(0,-2)

.*.A0=l,C0=2,B0=4,

AOCO

——=——，又NAOC=NCOB=90°,

COBO

AAOC^ACOB,

ZACO=ZABC,

,/與△AOC相似

ZACO=ZPCN,

ZABC=ZPCN,

AB//PC,

1,3

.??點P的縱坐標(biāo)是-2,代入拋物線y=5必一/x—2,得

二-2=-2

22

解得：石=0(舍去)，x2=3,

.?.點P的坐標(biāo)為:(3,-2)

【點睛】本題考查二次函數(shù)的綜合題：熟練掌握二次函數(shù)圖象上點的坐標(biāo)特征、二次函數(shù)的性質(zhì)和相似三

角形的判定和性質(zhì)；會利用待定系數(shù)法求函數(shù)解析式；理解坐標(biāo)與圖形性質(zhì)，記住兩點間的距離公式；會

利用分類討論的思想解決數(shù)學(xué)問題.

6.如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線y=-x,+bx+c與x軸分別交于點A(-1,0)和點B,與y軸交于

點C(0,3).

(1)求拋物線的解析式及對稱軸；

(2)如圖1,點D與點C關(guān)于對稱軸對稱，點P在對稱軸上，若NBPD=90°,求點P的坐標(biāo)；

(3)點M是拋物線上位于對稱軸右側(cè)的點，點N在拋物線的對稱軸上，當(dāng)ABMN為等邊三角形時，請直接

寫出點M的坐標(biāo).

圖1備用圖

【答案】(1)y=-X2+2X+3,對稱軸X=1；(2)P(l,1)或(2,1)；

⑶或(1+有，-26-3)

333

【解析】(1)利用待定系數(shù)法求解即可.

(2)如圖1中，連接BD,設(shè)BD的中點T,連接PT,設(shè)P(1,m).求出PT的長，構(gòu)建方程求出m即可.

(3)分兩種情形：當(dāng)點M在第一象限時，48股是等邊三角形，過點B作BTLBN交NM的延長線于T,設(shè)

N(1,t),設(shè)拋物線的對稱軸交x軸于E.如圖3-2中，當(dāng)點M在第四象限時，設(shè)N(1,n),過點B

作BTLBN交NM的延長線于T.分別利用相似三角形的性質(zhì)求出點M的坐標(biāo)，再利用待定系數(shù)法求解.

c=3

【詳解】解：(1)把A(-1,0),點C(0,3)的坐標(biāo)代入y=-x2+bx+c,得到〈,

-l-b+c=O

4=2

解得《

c=3

7

二拋物線的解析式為y=-X2+2X+3,對稱軸x=-彳=1.

—2

(2)如圖1中，連接BD,設(shè)BD的中點T,連接PT,設(shè)P(1,m).

圖1

?.?點D與點C關(guān)于對稱軸對稱，C(0,3),

AD(2,3),

VB(3,0),

???T(I，|),BD='(3—2)2+32=加,

VZNPD=90°,DT=TB,

.,.PT=—BD=^^,

22

解得m=l或2,

.\P(1,1),或(2,1).

(3)當(dāng)點M在第一象限時，ABNIN是等邊三角形，過點B作BTLBN交NM的延長線于T,設(shè)N(l,t),

作TJ±x軸于點J,設(shè)拋物線的對稱軸交x軸于E.

圖3-1

「△BMN是等邊三角形，

ZNMB=ZNBM=60°,

VZNBT=90°,

/.ZMBT=30°,BT=6BN,

ZNMB=ZMBT+ZBTM=60°，

：.ZMBT=ZBTM=30°,

???MB=MT=MN,

VZNBE+ZTBJ=90°,NTBJ+NBTJ=90°,

???NNBE=NBTJ,

VZBEN=ZTJB=90°,

.,.△BEN^ATJB,

TJBJBT

??—二--二-----Vr3，

EBENBN

ABJ=V3t,可=2百，

AT(3+^/3t,2G),

VNM=MT,

.M(4+y/3t2y+%、

??1V1\--------,------------),

22

?點M在y-—x?+2x+3上，

x2_I_

.2^3+t_(4+y/3t9V4+^/5%.

..-------------I------------)十NX------------十o,

222

整理得，3t(473+2)t-12+473=0,

解得t=-2月(舍棄)或26-2,

3

Z.M)石,4乒\.

33

如圖3-2中，當(dāng)點M在第四象限時，設(shè)N(1,n)，過點B作BTLBN交NM的延長線于T.

圖3-2

同法可得"吊一石…（—’一），

則有拒=-（4-島）2+2義4一百"+3,

222

整理得，3n2+（2-473）n-12-473=0,

解得n=2>+4（舍棄）或2出一6,

33

AM（1+73,-26-3）,

3

綜上所述，滿足條件的點M的坐標(biāo)為（三史，述二1）或（i+百，-26一3）.

333

【點睛】本題主要考查了二次函數(shù)綜合，結(jié)合等邊三角形的判定與性質(zhì)、勾股定理和一元二次方程求解計

算是解題的關(guān)鍵.

1,5

7.如圖，拋物線L:y=—r—x-3與x軸正半軸交于點A,與y軸交于點B.

24

（1）求直線A5的解析式及拋物線頂點坐標(biāo)；

（2）如圖1,點P為第四象限且在對稱軸右側(cè)拋物線上一動點，過點P作PC，1軸，垂足為C,PC交AB

于點D,求PD+應(yīng)）的最大值，并求出此時點P的坐標(biāo)；

1,5

（3）如圖2,將拋物線L:y=—/一一x-3向右平移得到拋物線〃，直線A3與拋物線〃交于M,N兩

24

點，若點A是線段的中點，求拋物線￡/的解析式.

31512M13

【答案】（1）直線A3的解析式為丁=^犬-3,拋物線頂點坐標(biāo)為［工,一立（（2）當(dāng)x=i時，PD+BD

16913_57133

的最大值為「也；P(3)y=-x2----x+—

32T，-32242

【解析】（1）先根據(jù)函數(shù)關(guān)系式求出A、B兩點的坐標(biāo)，設(shè)直線的解析式為>=丘+6,利用待定系數(shù)

法求出AB的解析式，將二次函數(shù)解析式配方為頂點式即可求得頂點坐標(biāo)；

(2)過點D作OE'y軸于E,則DEHOA.求得AB=5，設(shè)點P的坐標(biāo)為<x<4j,

則點D的坐標(biāo)為—3,ED=x,證明△BDESABA。，由相似三角形的性質(zhì)求出3。=；X,用含x

的式子表示PD,配方求得最大值，即可求得點P的坐標(biāo)；

1121

(3)設(shè)平移后拋物線//的解析式y(tǒng)=](x-根>-五，將L'的解析式和直線AB聯(lián)立，得到關(guān)于x的