4.1.1模糊控制224.1.1模糊控制的基本概念和數(shù)學(xué)基礎(chǔ)4.1.2基于倒立擺的模糊控制設(shè)計4.1.3Takagi-Sugeno模糊系統(tǒng)4.1.4基于MATLAB的鍋爐蒸汽壓力雙模糊控制仿真4.1.5自適應(yīng)模糊控制2

模糊控制:基礎(chǔ)33教學(xué)重點：

模糊控制器的組成、語言變量和語言值的定義、模糊運算、模糊推理方法、模糊隱含、控制算法表格的建立以及解模糊方法。函數(shù)模糊系統(tǒng)中，Takagi-Sugeno模糊系統(tǒng)的定義及線性差補能力。教學(xué)難點：

函數(shù)模糊系統(tǒng)”定義的準(zhǔn)確把握和理解和函數(shù)模糊系統(tǒng)的通用近似特性的理解。對模糊控制系統(tǒng)的非線性分析的理解，掌握用李雅普諾夫（Lyapunov）法對模糊控制系統(tǒng)進(jìn)行穩(wěn)定性分析，以及對圓判據(jù)理論和穩(wěn)態(tài)跟蹤誤差理論的理解。3

模糊控制:基礎(chǔ)444

從控制理論和技術(shù)發(fā)展的角度來看，復(fù)雜系統(tǒng)的建模和模擬是智能控制研究的熱點和難點。而且在實際工程應(yīng)用中，我們還要考慮系統(tǒng)的實現(xiàn)問題。例如，假設(shè)一個動態(tài)系統(tǒng)有比較準(zhǔn)確的模型，但是如果模型過于復(fù)雜，也無法應(yīng)用到實際控制器設(shè)計上。對許多傳統(tǒng)控制器設(shè)計過程而言，被控對象都有嚴(yán)格的假設(shè)條件（例如對象是線性的）。與此相比，模糊控制為控制工程師提供了一個表達(dá)和利用控制系統(tǒng)的啟發(fā)性知識，實現(xiàn)系統(tǒng)控制的正規(guī)方法。因此，模糊控制系統(tǒng)是智能控制的重要組成部分。本章我們將探索和提供設(shè)計模糊控制器的方法論。4.1.1

模糊控制概述4.1.1模糊控制概述圖2-1-1模糊控制器55模糊控制器的方框圖如圖2-1-1所示，這里模糊控制器工作在一個閉環(huán)控制系統(tǒng)中，參考輸入、對象輸入和對象輸出分別用、和表示。模糊控制器主要由四部分組成：（1）“規(guī)則庫”：以一套規(guī)則的形式表達(dá)如何最好控制系統(tǒng)的知識；（2）推理機：確定哪條控制規(guī)則與當(dāng)前時刻的狀態(tài)是相關(guān)的，然后建議被控對象的輸入；（3）模糊化界面只是把控制器輸入修改成能被規(guī)則表述且能與庫中的規(guī)則相比較的形式；（4）解模糊化界面把推理得到的結(jié)論轉(zhuǎn)化成被控對象的輸入。從本質(zhì)上講，應(yīng)該把模糊控制器看作運行在實時閉環(huán)控制系統(tǒng)中的一個人工決策器。這個決策器收集被控對象的輸出數(shù)據(jù)，與參考輸入相比較，然后決定對象的輸入，以保證系統(tǒng)的性能指標(biāo)得到滿足。4.1.1模糊控制概述6

為了設(shè)計模糊控制器，控制工程師必須收集閉環(huán)系統(tǒng)中人工決策器如何起作用的信息。這些信息有時來自執(zhí)行控制任務(wù)的人類決策者，有時則需要控制工程師在了解被控對象的動態(tài)特性后，寫出一套關(guān)于如何控制系統(tǒng)的規(guī)則。這些規(guī)則實質(zhì)上是說：“如果對象輸出和參考輸入出于某種狀態(tài)，那么對象的輸入就應(yīng)該取某些值”。把整個一套這樣的“if-then”規(guī)則存入規(guī)則庫，選擇一個推理策略，就可以測試閉環(huán)性能是否滿足要求了[1]4.1.1模糊控制概述7774.1.1模糊控制概述4.1.1.1模糊控制器設(shè)計步驟模糊控制器設(shè)計基本上可歸納為以下三步：（1）選擇模糊控制器的輸入和輸出；（2）選擇用于控制器輸入的前處理和控制器輸出的后處理算法；（3）設(shè)計如圖2-1-1所示的模糊控制器的每一部分。由于模糊化和解模糊都有標(biāo)準(zhǔn)的方法可以選擇，設(shè)計者更多要關(guān)注的是推理機的問題，因此我們把模糊控制器設(shè)計的重點放在規(guī)則庫上。8884.1.1模糊控制概述

規(guī)則庫的作用如同在回路中嵌入了一個人類專家。因此，嵌入到規(guī)則庫的規(guī)則信息要來自一個具有長期實際操作經(jīng)驗并且知道如何最好控制系統(tǒng)的人類專家。在有些情況下，可能沒有這樣的人類專家，那么控制工程師就要先簡單了解對象的動態(tài)特性（可能要用建模和模擬的方法），然后根據(jù)對象的特性，依據(jù)傳統(tǒng)控制理論的知識，寫出一套有意義的控制規(guī)則。例如在一個導(dǎo)航控制系統(tǒng)中，很顯然任何有駕車經(jīng)驗的人，都可以把速度調(diào)在期望的設(shè)定值上，并把此信息嵌入規(guī)則庫。駕駛員可能用到“如果速度低于設(shè)定值，那么進(jìn)一步加大油門踏板”的規(guī)則。還可以用另一條規(guī)則，即“如果速度低于設(shè)定值且很快就要接近設(shè)定值，那么就稍微松開一點油門踏板”表示調(diào)節(jié)速度的更詳細(xì)信息。第二條規(guī)則表達(dá)了人類如何防止速度超過期望目標(biāo)（設(shè)定速度）的知識?？傊?，如果把很詳細(xì)的經(jīng)驗嵌入到規(guī)則庫中，就獲得了取得更好性能的機會。9994.1.1模糊控制概述4.1.1.2性能評價模糊控制器是非線性控制器，許多傳統(tǒng)的建模、分析和設(shè)計方法可以直接采用。因為模糊控制是比較新的控制技術(shù)，確定其相對傳統(tǒng)控制方法的知識就相對重要了。不過，從國內(nèi)外資料和文獻(xiàn)來看，很少人完成了傳統(tǒng)控制器和智能控制（包含大量的傳統(tǒng)控制方法，如線性、非線性、自適應(yīng)控制等；模糊控制方法，包括直接、自適應(yīng)和監(jiān)督控制等）之間的詳細(xì)比較分析，包括理論上的模擬、實驗分析和計算等。此外，最新的模糊控制研究工作主要集中在模糊控制的優(yōu)點上，沒有對其應(yīng)用中可能存在的缺點做認(rèn)真地了解。因此，提醒讀者在閱讀有關(guān)文獻(xiàn)是要注意這點。例如當(dāng)你用收集啟發(fā)式控制知識的策略進(jìn)行控制時，你就要考慮以下問題：1010104.1.1模糊控制概述1.

人類專家觀察到并用于構(gòu)造控制器的系統(tǒng)特性是不是包含了所有的情況（包括發(fā)生擾動、噪聲和對象參數(shù)發(fā)生變化的情況）；4.1.

人類專家能否準(zhǔn)確可靠地預(yù)見了可能發(fā)生閉環(huán)系統(tǒng)不穩(wěn)定或者極限環(huán)的問題；3.

人類專家能否有效地將穩(wěn)定性判據(jù)和性能指標(biāo)（例如上升時間、超調(diào)和跟蹤特性）結(jié)合到規(guī)則庫中；1111114.1.1模糊控制概述

實際上，在以下情況下考慮這些問題就更加困難了：（1）如果控制系統(tǒng)工作在人命關(guān)天或者事關(guān)環(huán)境安全的環(huán)境下；（2）如果模糊控制器中的人類專家知識在某種程度上優(yōu)于準(zhǔn)備來設(shè)計我們控制系統(tǒng)的專家的知識（即不同的設(shè)計者會設(shè)計出不同水平的控制器）。

顯然，這就需要一種方法去設(shè)計、實現(xiàn)和評價模糊控制器，以保證控制器能夠在滿足性能指標(biāo)的前提下，安全可靠工作[1]。1212124.1.1模糊控制概述4.1.1.3語言變量、語言值和規(guī)則模糊系統(tǒng)是輸入和輸出之間的靜態(tài)非線性映射。假設(shè)模糊系統(tǒng)的輸入為..輸出為（i=1,2,...,m），如圖2-2-1所示。輸入和輸出是“精確的”，也就是說是實數(shù)而不是模糊集合。模糊化模塊把精確輸入轉(zhuǎn)換成模糊集合，在規(guī)則庫中推理機利用模糊規(guī)則產(chǎn)生模糊結(jié)論（例如蘊含模糊集合），解模糊模塊把模糊結(jié)論轉(zhuǎn)換成精確的輸出。

圖2-2-1模糊系統(tǒng)控制器

1313134.1.1模糊控制概述(1)論域普通（“精確”）集合和分別稱為和的“論域”（換句話說就是范圍）。在實際應(yīng)用中，最常見的論域是簡單的實數(shù)集合、某一區(qū)間或者實數(shù)的某一子集。注意有時為了方便，定義“有效”論域，和對于輸入論域是隸屬函數(shù)開始飽和的端點，對于輸出論域則是外側(cè)輸出不再變化的端點。有效論域的“寬度”為。(2)語言變量為了定義規(guī)則庫中的規(guī)則，專家要用到“語言描述”，因此對于輸入與輸出以及輸入和輸出的特征需要用語言來描述。我們將用“語言變量”來描述模糊系統(tǒng)的輸入和輸出。對于一般模糊系統(tǒng)，語言變量用來描述輸入，語言變量用來描述輸出。例如，模糊系統(tǒng)的一個輸入可以描述為=“位置誤差”或者=“速度誤差”，輸出可以表示為=“輸入電壓”。

1414144.1.1模糊控制概述(3)語言值正如和可以分別在論域和中任意取值是一樣，語言變量與另一個語言變量可以取描述語言變量特征的“語言值”。令表示語言變量定義在論域上的第j個語言值。假設(shè)在上定義了許多個語言值，那么語言變量就可以從由這些語言值組成的集合中取元素，就會如此同理，令表示語言變量定義在論域上的第j個語言值。語言變量可以從由相應(yīng)語言值組成的集合中取元素，即。語言值通常是諸如“正的大”，“零”和“負(fù)的大”（由形容詞構(gòu)成）的項。例如如果我們用表示語言變量“速度”，那么我們可以分配：=“慢”，=“中等”，=“快”，這樣就從中取值。

1515154.1.1模糊控制概述(4)語言規(guī)則對于模糊系統(tǒng)，從輸入到輸出的映射有一部分是由條件的集合定義的，即作用規(guī)則以下面（如果-那么）形式表示：如果條件那么結(jié)論。通常模糊系統(tǒng)的輸入與條件相關(guān)，輸出與結(jié)論相關(guān)。這些如果-那么規(guī)則可以表示成多種形式。這里只考慮兩種標(biāo)準(zhǔn)形式，即多輸入-多輸出（Multi-InputMulti-Output，MIMO）和多輸入-單輸出（Multi-InputSingle-OutputMISO）。語言規(guī)則的MISO形式為

專家關(guān)于系統(tǒng)控制的知識就表示成這種形式的語言規(guī)則。注意的是如果=“速度誤差”和=“正大”，那么這條規(guī)則中單項“”的意思是“速度誤差是正大”。對于一個MIMO形式的規(guī)則（即結(jié)論與多個輸出模糊集合有關(guān)）可以按邏輯分解成若干個簡單的MISO規(guī)則。例如，一個n輸入2個輸出的規(guī)則語言邏輯上等效為以下兩條規(guī)則

1616164.1.1模糊控制概述

語言邏輯上等效為以下兩條規(guī)則因為保持第一和第二條規(guī)則同時有效，所以MIMO規(guī)則結(jié)論中的“與”邏輯在MISO規(guī)則中就表達(dá)出來了。為了實現(xiàn)這兩個模糊系統(tǒng)，應(yīng)該選擇一個系統(tǒng)的輸出是，另一個系統(tǒng)的輸出是。因為在實現(xiàn)這兩個模糊系統(tǒng)時，保證這兩條規(guī)則同時有效，所以MIMO結(jié)論中的“與”邏輯對于MISO情況也就表達(dá)出來了。假設(shè)規(guī)則庫中共有標(biāo)號為1,2,……,R的R條規(guī)則，且規(guī)則庫中的規(guī)則是獨特的，即沒有兩條規(guī)則的條件和結(jié)論是完全一樣的。為了描述簡便，用符號表示MISO形式的第i條規(guī)則。1717174.1.1模糊控制概述

注意：如果規(guī)則中使用了所有的條件項，且對于所有可能存在的條件組合都有相應(yīng)的規(guī)則，那么規(guī)則庫中就可能有條規(guī)則。例如如果，對于每個論域有個隸屬函數(shù)，那么就可能有條規(guī)則。顯然，在這種情況下，規(guī)則的數(shù)目隨模糊控制器的輸入數(shù)或者隸屬函數(shù)數(shù)目的增加呈指數(shù)規(guī)律增加。1818184.1.1模糊控制概述4.1.1.4模糊集合、模糊規(guī)則和模糊推理

在實際模糊控制器設(shè)計中，需要考慮選擇模糊控制器的輸入和輸出、隸屬函數(shù)、模糊化過程和解模糊方法，確定推理策略和設(shè)計規(guī)則庫。

下面簡明介紹模糊集合及其基本概念。1919194.1.1模糊控制概述1.模糊集合經(jīng)典集合是有明確界限的集合，例如：經(jīng)典集合，6是個清晰明確的邊界條件，如果x大于6，則x屬于集合A；否則，x不屬于集合A。模糊集合和經(jīng)典集合相比，正如名字所示，是沒有明確界限的集合。也就是說，從不屬于集合A到屬于集合A這種過渡是漸進(jìn)的，并且這種平滑的過渡過程是用隸屬函數(shù)來定義的。隸屬函數(shù)為模糊集合用語言建模提供了很大的靈活性，例如：水熱，溫度高。1965年Zadeh在模糊集合季報[2]上指出：這種不明確定義的集合“在人類思維，特別是在模型識別、信息交流以及提取等領(lǐng)域有著很重要的作用”。這種模糊性不來自于事物發(fā)生的隨機性，而是來自于思維和概念本質(zhì)的不確定性和不精確性。2020204.1.1模糊控制概述定義4.1.1：模糊集合和隸屬函數(shù)若X是論域，則關(guān)于X的模糊集合A表示為：（2-1-1）

稱為x對A的隸屬函數(shù)，簡寫為MF，可以完成X到閉區(qū)間的任意一個映射。顯然，模糊集合的定義只是經(jīng)典集合的一個簡單擴展。模糊集合用隸屬函數(shù)來表征，取值范圍為，即可取的任意值。當(dāng)?shù)闹涤驗闀r，模糊集合A蛻化成一個經(jīng)典集合，為特征函數(shù)。2121214.1.1模糊控制概述通常，X可以是離散的或連續(xù)的論域，分別舉例如下。(a)“可能選修的課程代碼”

(b)“50歲左右”圖2-2-2X分別是離散或連續(xù)論域的情況2222224.1.1模糊控制概述例2-2-1：是一組學(xué)生要選修的課程代碼，模糊集合A=“可能選修的課程代碼”，則A可表示為(圖2-2-2(a))：

1.X為離散論域時的隸屬函數(shù)2323234.1.1模糊控制概述1.X為連續(xù)論域時的隸屬函數(shù)例2-1-2：是一組人類年齡的可能值，集合B=“50歲左右”，則B可表示為（圖2-1-2(b)）：

其中

集合A的另一種描述：

（2-1-2）2424244.1.1模糊控制概述注意，和不表示求和與積分，而是表示論域X上的元素x與隸屬度總的對應(yīng)關(guān)系。同樣,“/”不表示除，僅僅是一個分隔符。采用這種定義，例2-2-1和例2-2-2可分別表示為從例2-2-1和例2-2-2可看出，構(gòu)造一個模糊集合主要考慮兩點：合適論域的辨識和適當(dāng)隸屬函數(shù)的確定。注意，選擇隸屬函數(shù)具有一定的主觀性，也就是說，對不同的人，對于同一個概念（例如說：冷）隸屬函數(shù)的確定可能是不一樣的。這種主觀性來自于抽象概念的不確定本質(zhì)，而與隨機性沒有任何關(guān)系。因此，模糊集合的主觀性和非隨機性是模糊集合研究與隨機理論的根本區(qū)別，隨機理論是研究隨機現(xiàn)象的客觀處理。相應(yīng)普通的一系列基本運算：并、交、補，在Zadeh論文[2]中也給出了模糊集合的相似運算定義。2525254.1.1模糊控制概述定義4.1.2：包含（或者子集）當(dāng)且僅當(dāng)對所有x均成立，模糊集合B包含模糊集合A（或A是B的一個子集；或A小于等于B）成立，表示為(2-1-3)圖2-2-3模糊集合的操作：(a)模糊集合A和B；(b)；(c)；(d)264.1.1模糊控制概述定義4.1.3：并（或）模糊集合C是模糊集合A與B的并,記為或，C的隸屬函數(shù)為（2-1-4）正如Zadeh[2]指出的，關(guān)于并的一個最直接的定義就是包含A、B的最小模糊集合?？深愃贫x模糊集合的交運算。定義4.1.4：交模糊集合C是模糊集合A和B的交，記為或,C的隸屬函數(shù)為：（2-1-5）顯然，與并運算一樣，A、B的交是包含A、B的一個最大模糊集合。274.1.1模糊控制概述定義4.1.5：補模糊集合A的補，即（2-2-6）圖2-2-3演示了這三種基本運算：1）模糊集合2）3）4）模糊集合的算子AND和OR在文獻(xiàn)里又分別被定義為T-范數(shù)和T-協(xié)范數(shù)算子[3]，除了min和max，這些算子沒有一個能滿足分配律：

284.1.1模糊控制概述不過，用min和max分析模糊推理系統(tǒng)比較麻煩。用式（2-1-7）實現(xiàn)AND和OR操作是一種較好的方法。(2-1-7)294.1.1模糊控制概述定義4.1.6：模糊笛卡爾乘積以上討論的交集和并集是定義在同一論域上的。模糊笛卡爾乘積用于量化許多論域上的操作。如果分別是定義在論域上的模糊集合，它們的笛卡爾乘積表示為，其隸屬函數(shù)定義為

注意：從根本上講，按照標(biāo)準(zhǔn)笛卡爾乘積的解釋，“*”實現(xiàn)了乘積的第一項中某個元素和第二項中某個元素的“與”操作。因為模糊規(guī)則庫中條件的每一項是來自不同的論域，笛卡爾乘積中的“與”實際上表示了規(guī)則條件的“與”。下面將給出幾類用來定義隸屬函數(shù)的常見參數(shù)化函數(shù)，這些參數(shù)化函數(shù)在自適應(yīng)模糊推理系統(tǒng)中起著重要的作用。304.1.1模糊控制概述定義4.1.7：三角分布如圖2-1-4(a)所示的三角分布函數(shù)是由確定的，這三點是頂點在x軸上的坐標(biāo)：

（2-1-8）定義4.1.8：梯形分布梯形分布函數(shù)是由確定的（圖2-1-4（b））

（2-1-9）顯然，三角分布是梯形分布的一個特例。314.1.1模糊控制概述圖2-2-4各種形式的隸屬函數(shù)(a)三角形(b)梯形；(c)高斯型；(d)鐘型由于公式簡單計算有效，三角分布和梯形分布應(yīng)用廣泛，特別適合用于在線執(zhí)行。然而，由于隸屬函數(shù)是由直線段組成的，對于拐點無法平滑表示。下面介紹幾種其它類型的平滑非線性函數(shù)定義的隸屬函數(shù)。定義4.1.9：高斯分布高斯分布函數(shù)由決定：

（2-1-10）其中c是高斯分布的中心，確定高斯分布的寬度（圖2-1-4(c)）324.1.1模糊控制概述定義4.1.10：廣義鐘型分布鐘型分布函數(shù)由參數(shù)確定

（2-1-11）其中參數(shù)b通常為負(fù)。注意這種隸屬函數(shù)是概率論中柯西（Cauchy）分布的直接推廣。參數(shù)集合的恰當(dāng)選取可得到期望的廣義鐘型分布。明確地說，可以通過調(diào)整c和a來改變分布的中心和寬度，用b來控制交叉點的斜度，如圖（圖2-1-5）所示。圖2-1-5廣義鐘型函數(shù)參數(shù)的物理意義334.1.1模糊控制概述定義4.1.11：S分布

（2-1-12）其中參數(shù)a控制交叉點x=c的斜度。參數(shù)a的符號決定了函數(shù)的左、右開口。此函數(shù)可以很適合表示“很大”或者“很小”的概念，因此作為人工神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的激活函數(shù)應(yīng)用很廣。對于模擬模糊推理系統(tǒng)行為的神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)，我們首先面臨的問題是如何通過S函數(shù)來綜合一個近似的隸屬函數(shù)。有兩種方法：1取兩個S函數(shù)的乘積。2取兩個S函數(shù)的絕對差。注意這里介紹的隸屬函數(shù)并不是所有類型的隸屬函數(shù)。對于特定的應(yīng)用場合，可以根據(jù)需要創(chuàng)造特定的隸屬函數(shù)。特別要指出的是倘若一組參數(shù)賦予隸屬函數(shù)適當(dāng)?shù)囊饬x，那么任何連續(xù)分布函數(shù)都可以作為隸屬函數(shù)。如果模糊集合的隸屬函數(shù)滿足（2-1-13）式 （2-1-13）則稱模糊集合為單一（Singleton）模糊集合，該過程為單一模糊化。

344.1.1模糊控制概述4.1.模糊if-then規(guī)則假設(shè)一條模糊if-then規(guī)則采用如下形式：如果x是A那么y是B(2-1-14)其中A和B分別是論域X和Y的語言變量，“x是A”是條件，“y是B”是結(jié)論。在使用模糊if-then規(guī)則進(jìn)行建模和分析系統(tǒng)之前，首先要明確“如果x是A那么y是B”描述的意思，此描述可簡寫為。實質(zhì)上，它描述了兩個變量ｘ和ｙ之間的關(guān)系。這意味著模糊if-then規(guī)則可用空間上的二元模糊關(guān)系Ｒ定義。注意二元關(guān)系R是經(jīng)典笛卡爾（Cartesian）乘積的擴展，的每個元素是和隸屬函數(shù)有關(guān)的。也可以說，二元關(guān)系R可以看作論域上的模糊集合，并且這個模糊集合用二維隸屬函數(shù)來描述。一般來說，有兩種方法解釋模糊規(guī)則。如果把解釋為“A伴隨B”，則

其中是模糊AND（或T-范數(shù)）算子，表示模糊關(guān)系R。另一方面，如果解釋為“A引發(fā)（entails）B”，那么它就可寫成如下四個不同的公式：354.1.1模糊控制概述圖2-1-6模糊蘊含的兩種表示方法(a)A伴隨B(b)A引發(fā)（entails）B實質(zhì)蘊涵：命題演算：擴展的命題演算：擴展的modusponens：其中，是T-范數(shù)算子。364.1.1模糊控制概述4.1.1.3模糊集合、模糊規(guī)則和模糊推理模糊推理就是從一套模糊規(guī)則和一個或者多個條件得出結(jié)論的推理程序。首先討論一下推理的合成規(guī)則，它是模糊推理的基本原理。假設(shè)有一條描述x和y之間關(guān)系的給定曲線。當(dāng)給定時，從可推得，如圖2-1-7（a）所示。上述推理過程允許a是一個區(qū)間，是一個區(qū)間值的函數(shù)，如圖2-1-7（b）所示。為了找到相應(yīng)于區(qū)間的區(qū)間，首先要構(gòu)造a的一個柱形擴展（也就是把a的域從X擴展到），然后用區(qū)間值曲線找到交集I，把I映射到y(tǒng)軸就得到區(qū)間。

圖2-1-7從和得到(a)a和b是點，是一條曲線；(b)a和b是區(qū)間，是區(qū)間值函數(shù)37再進(jìn)一步推理，假設(shè)A是X的模糊集合，F(xiàn)是上的模糊關(guān)系，如圖2-1-8（a）和（b）所示。為了找到結(jié)論模糊集合B，再以A為底構(gòu)造柱形擴展C(A)，也就是把A的域從X擴展到以得到C(A)。C(A)和F的交集（圖2-1-8（c））就形成了類似圖2-1-7（b）中交集I的域。通過把映射到y(tǒng)軸，在y軸上推得y為模糊集合B，如圖2-1-8（d）所示。令、、和分別是A、、B和F的隸屬函數(shù)，其中和的關(guān)系為，則把映射到y(tǒng)軸，可得到

此公式實現(xiàn)了最大-最?。ǎ┖铣?，B可表示為

其中表示合成算子。如果選擇用乘積來表示模糊的交運算AND，用最大表示模糊的并運算OR，那么就得到最大-乘積（max-product）合成，且等于。4.1.1模糊控制概述384.1.1模糊控制概述圖2-1-8推理的合成規(guī)則應(yīng)用推理的合成規(guī)則，可以把推理過程公式化，這就稱為依據(jù)模糊If-Then規(guī)則的模糊推理。傳統(tǒng)的二值邏輯中推理的基本規(guī)則是modusponens，即從真理A和蘊含可推出命題B是真理。例如：假設(shè)A代表西紅柿紅了，B代表西紅柿熟了。如果A成立，那么Ｂ也成立[4]。這個概念可以描述如下：394.1.1模糊控制概述然而，在很多人類推理中，采用modusponens作為一種近似方法。例如，如果我們有同樣的蘊含規(guī)則“如果西紅柿紅了，那么西紅柿熟了”，并且知道“西紅柿紅得有多或者有少”，那么就可以推得“西紅柿快熟了或者沒有熟”。可以表達(dá)如下：其中接近A，接近B。當(dāng)A、B、和分別是適當(dāng)論域的模糊集合時，以上的推理過程就稱之為模糊推理或者近似推理。應(yīng)用前面介紹的推理合成規(guī)則，可以公式化模糊推理過程如下：40定義4.1.1.2：基于最大-最?。∕ax-Min）合成規(guī)則的模糊推理令A(yù)、和B分別是X、X和Y的模糊集合。假設(shè)模糊蘊含是上模糊關(guān)系Ｒ的描述，那么由“x是”和模糊規(guī)則“如果x是A那么y是B”得到的模糊集合定義為（2-1-15）或者（2-1-16）注意式(2-1-16)是模糊推理的通式，而式(2-1-15)是模糊推理的一個特例，這里最大和最小分別是模糊“交”和“或”算子。假設(shè)模糊蘊含定義為適當(dāng)?shù)亩的：P(guān)系，用擴展的modusponens的推理過程來得出結(jié)論。4.1.1模糊控制概述414.1.1模糊控制概述I.具有一個條件的單一規(guī)則對于一個具有一個條件的單一規(guī)則，可以應(yīng)用公式（2-1-15），進(jìn)一步簡化為

換句話說，首先找到匹配度w作為的最大值（如圖2-1-9，條件的陰影部分），然后讓結(jié)論B’的隸屬函數(shù)等于B的隸屬函數(shù)剪切w后的隸屬函數(shù)，如圖2-1-9結(jié)論中陰影部分所示。

圖2-1-9具有一個條件的單一規(guī)則的模糊推理424.1.1模糊控制概述上面條件2中的模糊規(guī)則可寫成一個比較簡單的形式：。直觀來講，可用三重模糊關(guān)系R表示這個模糊規(guī)則，其隸屬函數(shù)為

結(jié)果可表示為：因此

（2-1-17）

圖2-1-10多個條件的近似推理434.1.1模糊控制概述其中是A和之間的匹配度，是B和之間的匹配度。稱之為激活強度或者模糊規(guī)則的實施度。圖2-1-10是一個圖形的解釋說明，其中結(jié)論的隸屬函數(shù)就是C的隸屬函數(shù)被激活強度w截取后的那部分,。按照這種方法，可直接擴展到多于兩個條件的規(guī)則。444.1.1模糊控制概述具有多條件的多規(guī)則通?？山忉尀橄鄳?yīng)模糊規(guī)則的模糊關(guān)系的并。例如，假設(shè)事實和規(guī)則如下：

用圖（2-1-11）所示的推理過程來得到結(jié)論的輸出模糊集合。

圖2-1-11具有多條件的多規(guī)則模糊推理45為了驗證這個推理過程，令，。因為最大-最?。∕ax-Min）合成算子о滿足算子的分配律，那么式（2--18）成立：

（2-1-18）其中和分別是由規(guī)則1和規(guī)則2得出的模糊集合。圖（2-1-11）演示了多條件多規(guī)則的模糊推理操作。當(dāng)假設(shè)給定模糊規(guī)則形式為“如果x是A或者y是B那么z是C”時，對于給定條件激活強度是條件部分的最大匹配度。當(dāng)且僅當(dāng)采用最大-最?。∕ax-Min）合成算子時，模糊規(guī)則等價于“如果x是A那么z是C”和“如果y是B那么z是C”的聯(lián)合。4.1.1模糊控制概述464.1.1模糊控制概述4.1.1.5解模糊解模糊有許多方法，而且提出一個新方法也不難。從本質(zhì)上講，每種方法都提供一種要么基于蘊含模糊集合要么基于總的蘊含模糊集合的確定一個精確輸出的方法。1.蘊含模糊集合解模糊這類解模糊技術(shù)應(yīng)用比較廣泛。下面介紹其中常用的幾種。重心法（COG）用每個蘊含模糊集合的面積中心和面積來計算精確輸出，即

（2-1-19）其中R是規(guī)則數(shù)，是第i條規(guī)則的與蘊含模糊集合相關(guān)的的隸屬函數(shù)面積的中心，表示曲線下的面積。注意因為對于找出其封閉形式的描述是容易的，所以COG法計算容易。注意重心法要求每個蘊含模糊集合下的面積必須是可計算的，這樣每個輸出隸屬函數(shù)下的面積才是有限的（這就是為什么輸出隸屬函數(shù)在論域的最外側(cè)不能“飽和”的原因）。也要注意模糊系統(tǒng)要適當(dāng)定義使得對于所有和，滿足。如果對于模糊系統(tǒng)輸入，每種可能的情況下總有一條規(guī)則激活，則結(jié)論模糊集合的面積總是不為零，那么此值將不為零。

474.1.1模糊控制概述中心-平均法（CA）用每個輸出隸屬函數(shù)的中心和代表每個蘊含模糊集合結(jié)論的最大確定度來確定精確輸出，即

（2-1-20）其中“sup”表示“最大上限”(也就是把最大值看作最小上限)。因此，可以簡單地把看作的最大值（例如，對于，當(dāng)用相乘表示蘊含推理（implication）時，，如圖2-1-12所示），是模糊集合的隸屬函數(shù)面積的中心，和第i條規(guī)則的蘊含模糊集合有關(guān)。注意：對于所有的，模糊系統(tǒng)定義必須滿足

也要注意，的計算常常是很容易的，因為如果對于最小一個，滿足（這是結(jié)論隸屬函數(shù)的標(biāo)準(zhǔn)定義方式），那么對于許多推理策略，應(yīng)用公式（2-1-21），(2-1-21)

484.1.1模糊控制概述得到（2-1-22）此值在匹配過程中已經(jīng)計算出來了。此外，解模糊的公式如下：

（2-1-23）對于所有的，必須保證。注意這表明輸出模糊集合隸屬函數(shù)的形狀對這種解模糊方法的解模糊結(jié)果沒有影響，因此，對于輸出模糊集合可以簡單地在適當(dāng)點單一模糊化。

圖2-1-12用乘積表示蘊含時的模糊集合4.1.總的蘊含模糊集合解模糊下面介紹兩種典型的總的蘊含模糊集合解模糊的方法：494.1.1模糊控制概述I.最大判據(jù)選擇精確輸出作為輸出論域上的一點，總的蘊含模糊集合在點獲得最大值，即

這里返回使函數(shù)獲得上界的x值。例如，假設(shè)表示總的蘊含模糊集合的隸屬函數(shù)，且。在這種情況下，是利用最大判據(jù)得到的解模糊值。有時候，在上不止一點取得最大值（例如，考慮在用最小表示蘊含推理，在輸出論域選用三角形隸屬函數(shù)的情況下，如何應(yīng)用最大判據(jù)）。在這種情況下，對于如何選取唯一點（例如，選最小值）需要確定一個策略。由于這種解模糊方法有些不確定性，實際應(yīng)用中常常避免使用這種方法。504.1.1模糊控制概述II.最大值的平均值選擇精確輸出表示中隸屬度為最大值的所有元素的平均值。定義為論域上的隸屬函數(shù)的最大值，并且用隸屬函數(shù)定義模糊集合，用最大值的平均值定義的精確輸出如下：

（2-1-24）對于所有的，定義的模糊系統(tǒng)必須滿足。例如，假設(shè)圖2-1-13所示模糊系統(tǒng)，對于所有，通過提取兩個蘊含模糊集合確定度的最大值來形成總的蘊含模糊集合（即）。這種情況下，在-10值附近存在一個的區(qū)間，在這個區(qū)間總的蘊含模糊集合取得最大值。由此可見，哪個值是最好的解模糊值是不確定的。最大值的平均值方法可能選擇區(qū)間的中心值作為解模糊值，也就是選擇-10。514.1.1模糊控制概述圖2-1-13模糊控制器操作的圖形表示524.1.1模糊控制概述注意，公式（2-1-24）中，由于積分項依賴于隨時間變化的，所以在每時刻都必須計算這些積分項。對于連續(xù)論域，這就要求較高的計算資源。對于某些類型的隸屬函數(shù)，可利用簡單的幾何學(xué)方法簡化計算。然而，對于所選擇的隸屬函數(shù)，在整個論域可能存在許多子區(qū)間，在子區(qū)間上隸屬函數(shù)獲得最大值。這些情況下，除非隸屬函數(shù)是離散的，否則計算解模糊值是相當(dāng)困難的。這種復(fù)雜的計算常常導(dǎo)致設(shè)計者選用其它的解模糊方法?？傊诮饽：袘?yīng)用總的蘊含模糊集合不理想的原因有兩條：1）總的蘊含模糊集合一般本身就很難計算；2）基于提供的推理機的解模糊技術(shù)也是很難計算的。正因為這個原因，現(xiàn)有的大多數(shù)模糊控制器用基于蘊含模糊集合的解模糊方法，例如中心平均法和COG法。534.1.2基于倒立擺的模糊控制設(shè)計控制工程的根本任務(wù)就是提取和應(yīng)用控制一個過程的知識，使得控制系統(tǒng)能安全可靠地取得高性能。下面先以一個雙輸入單輸出的模糊控制器為例，講述其構(gòu)造和實現(xiàn)，然后把它推廣到多輸入多輸出對象。

圖2-2-1小車上的倒立擺如圖2-2-1所示是一個放在小車上的倒立擺,研究實現(xiàn)其平衡的模糊控制器設(shè)計問題。這里y表示倒立擺與垂直方向的夾角（單位為弧度），l表示倒立擺長度的一半（單位為米），是作用在小車上的外部力（單位為牛頓）。用r表示倒立擺的期望角位移?？刂频哪繕?biāo)是當(dāng)?shù)沽[起始處在某個非零位置（即）時，使其最后平衡在垂直位置（即）。這是一個簡單而典型的非線性控制問題，已有許多算法能完成此控制任務(wù)，尤其是在如上標(biāo)準(zhǔn)構(gòu)造下，簡單的PID就行。下面以圖示系統(tǒng)為例，講述模糊控制器的設(shè)計。

4.1.2基于倒立擺的模糊控制設(shè)計54

4.1.2基于倒立擺的模糊控制設(shè)計4.1.4.1.1選擇模糊控制器的輸入和輸出考慮回路中有個人來控制倒立擺，如圖2-3-2所示。模糊控制器設(shè)計就是如何使z個能成功完成此任務(wù)的人類專家的工作自動化。首先，專家要確定在決策過程中選用哪些信息作為輸入量。假設(shè)對于倒立擺，專家選用和變量作為決策的依據(jù)。當(dāng)然，還有許多其它選擇（例如偏差e的積分），但是一般選擇有很好直觀意義的量作為輸入。接著要確定控制量。對于倒立擺，只有一個移動小車的外力，選擇就簡單了。

圖2-2-2人工控制小車上的倒立擺

對于比較復(fù)雜的應(yīng)用場合，控制器的輸入和輸出的選擇就會相對困難。從本質(zhì)上來講，要保證控制器擁有能夠做出好決策的合適信息，要有能夠使系統(tǒng)獲得高性能操作運行方向的合適控制量。55

4.1.2基于倒立擺的模糊控制設(shè)計實際上，系統(tǒng)的信息獲取和有效控制都需要錢。如果設(shè)計者認(rèn)為不能得到控制決策所需的合適信息，就要再花錢去買一個傳感器，來測量系統(tǒng)的另一個變量，或者要對對象輸出進(jìn)行某些濾波或作其它處理方法。此外，如果設(shè)計者認(rèn)為現(xiàn)在的控制器不能實現(xiàn)對過程的準(zhǔn)確控制，就會更換一個能精確控制系統(tǒng)的執(zhí)行器。因此，在某些學(xué)術(shù)角度來看，可能要求你選擇某些量作為對象的輸入和輸出，而就實際應(yīng)用情況來講，你又要做靈活選擇。這樣的選擇影響過程控制在線決策信息的獲取，影響模糊控制器的設(shè)計。一旦模糊控制器的輸入和輸出選定，就要確定系統(tǒng)的參考輸入。對于倒立擺，顯然選擇參考輸入，不過你可以選擇偏離垂直位置r(

)來平衡倒立擺。這樣，為了使倒立擺不倒，控制器就要使小車保持在一個恒定的速度上。圖2-3-3小車上倒立擺的模糊控制器56

4.1.2基于倒立擺的模糊控制設(shè)計定義了模糊控制器的輸入和輸出，也就確定了模糊控制系統(tǒng)。對于倒立擺，所選輸入和輸出的模糊控制系統(tǒng)如圖2-3-3所示?，F(xiàn)在就要在這樣的框架中，尋找一個控制此系統(tǒng)的描述。在模糊控制設(shè)計中，模糊控制器輸入和輸出的選擇可能會受到一定限制的。如果模糊控制器沒有得到適當(dāng)?shù)男畔?，那么設(shè)計一個好的規(guī)則或者推理機的希望就很小。此外，即使有了控制決策的適當(dāng)信息，如果控制器不能通過過程的輸入影響過程變量，那也是沒有用的。必須認(rèn)識到控制器輸入和輸出的選擇是控制器設(shè)計過程中最重要的一部分。57

4.1.2基于倒立擺的模糊控制設(shè)計4.1.4.1.2把控制知識融入規(guī)則中假設(shè)如圖2-2-2所示的人類專家用某些自然語言，提供了一個控制對象的最好描述（例如漢語）。我們努力提取這個“語言”描述，把它放入模糊控制器中。1.語言描述專家提供的語言描述通常可以分為幾部分。用“語言變量”來描述時變的模糊控制器的每個輸入和輸出。對于倒立擺“誤差”用表示“誤差變化”用表示“力”用表示注意用引號來強調(diào)某些字或者詞是語言變量，加上時間標(biāo)志是強調(diào)語言變量是隨時間變化的。對于語言變量有許多種選擇。有些人為了文檔整理的方便，喜歡選擇具有描述性的語言變量，不過這可能會導(dǎo)致變量名過長的問題。另有些人喜歡把語言變量變得盡可能短，且又能足夠準(zhǔn)確地代表語言變量。無論怎樣，語言變量的選擇都不會影響模糊控制器的操作，語言變量只是一個幫助我們通過模糊邏輯構(gòu)造模糊控制器的符號。58

4.1.2基于倒立擺的模糊控制設(shè)計語言變量取值是隨時間動態(tài)變化的。對于倒立擺的例子，“誤差”、“誤差變化”和“力”可取以下值：“負(fù)大”“負(fù)小”“零”“正小”“正大”注意用“正小”作為正的小的縮寫。依此類推其它變量。這樣的縮寫使得語言描述簡短而準(zhǔn)確。為了描述更簡短，可以選擇整數(shù)來表示：“-2”表示“負(fù)大”“-1”表示“負(fù)小”“0”表示“零”“1”表示“正小”“2”表示“正大”因為這樣的描述用數(shù)字量簡短而準(zhǔn)確地描述了所研究的語言變量，因此特別具有吸引力。這類語言值對于設(shè)計者是非常方便的，因此給它起了一個特定的名字“語言的數(shù)字值”。注意不要把此數(shù)值同任何弧度的誤差聯(lián)系在一起，在語言描述中這個數(shù)值只是作為誤差量化符號來確定其相對其它語言值的大小。59

4.1.2基于倒立擺的模糊控制設(shè)計在選定了模糊控制器的輸入和輸出后建立的系統(tǒng)框架中，語言變量和語言值為專家提供了表達(dá)控制決策過程的語言。假設(shè)倒立擺的r=0，e=r-y，e=-y。下面首先研究如何用語言來描述倒立擺的動態(tài)特性，用語言描述來量化控制倒立擺的知識。對于倒立擺，下面的描述量化了倒立擺的不同狀態(tài)：1、“誤差是正大”的陳述可以代表倒立擺處在垂直軸左側(cè)相當(dāng)大角度的位置。2、“誤差是負(fù)小”的陳述可以代表倒立擺處在垂直軸稍微偏右的位置，但是沒有很接近垂直軸，以至于可以正好定量為“零”，也沒有太遠(yuǎn)離垂直軸，以至于被定量為“負(fù)大”。3、“誤差是零”的陳述可以代表倒立擺處在于非常接近垂直軸的位置（因為語言的量化不是精確的，因此把附近的任何值從語言上量化為“零”）。4、“誤差是正大，且誤差變化率為正小”的陳述可以代表倒立擺處在垂直軸的左側(cè)，因為，倒立擺正朝著遠(yuǎn)離垂直位置的方向運動（注意在這種情況下，倒立擺是逆時針運動的）。5、“誤差是負(fù)小，且誤差變化率為正小”的陳述可以代表倒立擺處在垂直軸稍微偏右的位置，因為，倒立擺正朝著遠(yuǎn)離垂直位置的方向運動（注意在這種情況下，倒立擺是逆時針運動的）。60總之，我們應(yīng)該明白只有對要控制的過程的物理本質(zhì)有了一個很好的了解，才能對其動態(tài)特性恰當(dāng)量化。對于倒立擺，了解其動態(tài)特性的任務(wù)相對比較簡單。但是，用語言來量化過程的動態(tài)特性并不總是這么容易。當(dāng)然，比較好地了解過程的動態(tài)特性一般都會有一個比較好的語言量化。假設(shè)你能恰當(dāng)?shù)販y量系統(tǒng)的動態(tài)特性，自然就會得到一個比較好的模糊控制器，這樣模糊控制器就會在適當(dāng)?shù)臅r間做出正確的決策。

4.1.2基于倒立擺的模糊控制設(shè)計61

4.1.2基于倒立擺的模糊控制設(shè)計4.1.規(guī)則下面用上述語言量化量來定義一套規(guī)則（規(guī)則庫）以表達(dá)專家如何控制對象的知識。實際上，針對如圖2-3-4所示三種位置的倒立擺，構(gòu)造下面規(guī)則：1.如果誤差是負(fù)大，并且誤差變化率為負(fù)大，那么力應(yīng)是正大。這條規(guī)則量化了圖2-3-4（a）中倒立擺處在大的正角度，并照著順時針方向移動的情況；很顯然，應(yīng)該施加一個大的正力（從右側(cè)）使得倒立擺沿正確的方向移動。4.1.如果誤差是零，并且誤差變化率為負(fù)小，那么力應(yīng)是負(fù)小。這條規(guī)則量化了圖2-3-4（b）中倒立擺處在接近于垂直軸呈零的角度（語言量化的零不意味著恰?。?，并朝著逆時針方向移動的情況，因此應(yīng)該施加一個小的負(fù)力（從左側(cè)）來阻止倒立擺的運動，使得它朝著零的位置運動（正的力可能導(dǎo)致倒立擺超過期望的位置）。3.如果誤差是正大，并且誤差變化率為負(fù)小，那么力應(yīng)是負(fù)小。這條規(guī)則量化了圖2-3-4（c）中倒立擺處在垂直軸左側(cè)比較遠(yuǎn)位置，并順時針方向運動，因此應(yīng)該施加一個小的負(fù)力（從左側(cè)）來支持此運動，因為倒立擺已經(jīng)朝正確的方向移動，就不能加大的力。62

4.1.2基于倒立擺的模糊控制設(shè)計因為上面三條規(guī)則中的每一條都是由語言變量和語言值構(gòu)成的，因此稱為“語言規(guī)則”。由于語言值不能準(zhǔn)確代表它們所描述的數(shù)量值，因此語言規(guī)則也是不精確的。它們只是抽象出了如何取得好的控制效果的思想。對不同的人，規(guī)則可能會有所不同。不過規(guī)則采用了人們感覺比較舒服的詞來定義過程的控制，因此受到人們的喜愛。語言規(guī)則的一般形式為如果條件，那么結(jié)論。正像你從上面三條規(guī)則中所看到的，條件（有時也稱為“前提”或“前件”）與模糊控制器的輸入有關(guān)，位于規(guī)則的左端。結(jié)論（有時也稱為“行動”或“后件”）與模糊控制器的輸出有關(guān)，位于規(guī)則的右端。注意每個條件（或者結(jié)論）都可以分解成若干“項”的合成（例如上述規(guī)則3中條件“誤差是正大，并且誤差變化率為負(fù)小”就是兩項的合成）。模糊控制器輸入和輸出的數(shù)量決定了條件和結(jié)論中元素數(shù)目的上限。注意沒有必要在每個規(guī)則中涉及所有的輸入和輸出。63

4.1.2基于倒立擺的模糊控制設(shè)計3.規(guī)則庫對于倒立擺平衡問題，應(yīng)用上面的方法，可以寫出所有狀態(tài)下的規(guī)則。注意因為只定義了有限數(shù)量的語言變量和語言值，所以可能有的規(guī)則是有限的。對于倒立擺問題，有兩個輸入和五個語言值，最多可能有個規(guī)則（兩個輸入所有可能有的語言項條件的合成）。對于沒有太多輸入的模糊控制器，列出所有可能存在的規(guī)則的方便方法就是使用表格。對于倒立擺，一套可能的規(guī)則如表2-3-1所示。注意表的左側(cè)一列和上面一行是條件的數(shù)字化語言值，表的主體列出了規(guī)則的數(shù)字化結(jié)論。例如，位置（2，-1）（這里“2”表示數(shù)字化語言值為“2”的行，“1”表示數(shù)字化語言值為“1”的列）在表中取值為“-1”，代表了下面規(guī)則如果誤差為正大，且誤差變化率為負(fù)小，那么力為負(fù)小這就是上面講到的規(guī)則3。表2--1代表了專家根據(jù)給定的誤差及其微分，控制倒立擺的抽象知識。64

4.1.2基于倒立擺的模糊控制設(shè)計注意表的主對角線。把表的主體看作一個矩陣，它具有一定的對稱性。當(dāng)規(guī)則用表格列出時，出現(xiàn)對稱性不是什么意外，它是控制倒立擺的抽象知識的一種表示，是由系統(tǒng)動態(tài)特性的對稱性引起的。在其它復(fù)雜系統(tǒng)中還會看到?！傲Α薄罢`差變化率”-2-1012“誤差”e-222210-12210-10210-1-2110-1-2-220-1-2-2-2表2-3-1倒立擺的規(guī)則表表2-3-1倒立擺的規(guī)則表65

4.1.2基于倒立擺的模糊控制設(shè)計4.1.4.1.3知識的模糊量化

到目前為止，我們只是以一種抽象的方式量化了專家如何控制對象的知識。下面我們將說明如何利用模糊邏輯完全量化語言描述，使得我們在模糊控制器中可以自動生成由專家定義的規(guī)則。1.隸屬函數(shù)首先，用“隸屬函數(shù)”來量化語言值的含義。例如考慮圖2-3-5，這是一個的隸屬函數(shù)的圖。隸屬函數(shù)量化了從語言上量化為“正小”的的確定度，又稱隸屬度。為了說明隸屬函數(shù)的工作原理，分析一下在不同值時的取值：

圖2-3-5語言值“正小”的隸屬函數(shù)66

4.1.2基于倒立擺的模糊控制設(shè)計若，則，這意味著確定不是“正小”。若，則，這意味著一半確定是“正小”（它可能還在某種程度上屬于“零”，即此值處于“灰色區(qū)間”）。若，則，這意味著絕對確定是“正小”。若，則，這意味著絕對確定不是“正小”（實際上，它是“正大”）。隸屬函數(shù)以連續(xù)的方式量化了的值是否屬于值為“正小”的集合，因此它量化了語言描述“誤差是正小”的意思。注意圖2-3-5中的隸屬函數(shù)只是一種定義方式，你還可以應(yīng)用其它形式的隸屬函數(shù)，如鐘形的、高斯形的和梯形的等等。例如考慮如圖2-2-6所示的隸屬函數(shù)。對某一應(yīng)用，設(shè)計者認(rèn)為接近時，絕對確定是“正小”，而離開足夠遠(yuǎn)時，才不認(rèn)為它為“正小”。圖2-3-6（a）中梯形隸屬函數(shù)就定義了這種“正小”的含義。對于其它應(yīng)用，可能考慮采用如圖2-2-6（b）所示的高斯形狀的隸屬函數(shù)。對另外一些應(yīng)用，如果你不準(zhǔn)備接受遠(yuǎn)離的值作為“正小”，可以考慮采用如圖2-2-6（c）所示的隸屬函數(shù)。最后要說明的是，語言值含義一般具有對稱的特點，但也可以是不對稱的。例如，在圖2-2-6（d）中我們表達(dá)了隨著從向左移動，我們很快失去它為“正小”的信心，但是如果從向右移動，對為“正小”的信心減少地比較慢。67

4.1.2基于倒立擺的模糊控制設(shè)計圖2-3-6表示“誤差為正小”的幾種隸屬函數(shù)總之，由于應(yīng)用的場合和設(shè)計者的習(xí)慣和喜愛不同，有多種隸屬函數(shù)選擇方法。強調(diào)一點，隸屬函數(shù)的定義主觀因素多于客觀因素。68

4.1.2基于倒立擺的模糊控制設(shè)計用隸屬度描述為“正小”的所有值的集合稱為“模糊集合”，用A表示。注意從圖2-3-5可以絕對確定是A的一個元素，但不能完全確定是A的一個元素。集合的特征關(guān)系是用隸屬函數(shù)描述的，因此是模糊集合。“正小”的“普通”（相對模糊而言）量化可以用圖2-3-7所示的隸屬函數(shù)定義。這個隸屬函數(shù)指示只在區(qū)間是“正小”。顯然，普通集合的描述方法只是實數(shù)區(qū)間的另一種表示方法。圖2-2-5中把縱軸稱為確定度，橫軸稱為輸入的“論域”，因為它提供了可以用語言和模糊集合量化的取值范圍。用傳統(tǒng)的術(shù)語，模糊系統(tǒng)的輸入或者輸出的論域就是輸入和輸出可能的取值范圍。圖2-3-7精確集合的隸屬函數(shù)69

4.1.2基于倒立擺的模糊控制設(shè)計對于倒立擺的例子，既然知道了通過隸屬函數(shù)去定義語言值的含義，就可以很容易地對所有15個語言值（每個輸入5個語言值，每個輸出也是5個語言值）分別定義其隸屬函數(shù)。圖2-3-8就是一種可選擇的隸屬函數(shù)。注意為了以后方便，我們同時標(biāo)出與每個隸屬函數(shù)相關(guān)的語言值和對應(yīng)的語言值的數(shù)字量。圖2-3-5中，看到描述“正小”的隸屬函數(shù)和描述其它值的隸屬函數(shù)交迭在一起。注意隸屬函數(shù)有多種選擇，只要有意義就行。要特別注意圖2-3-8中最外側(cè)的隸屬函數(shù)。對于輸入和，最外側(cè)的隸屬函數(shù)在某一值“飽和”。這是有直觀意義的，因為從某種意義上講，人類專家會從語言上把所有大的值歸納在一起，稱為“正大”。最外側(cè)的隸屬函數(shù)恰當(dāng)?shù)孛枋隽诉@一現(xiàn)象。對于輸出，為了恰當(dāng)定義模糊系統(tǒng)，最外側(cè)的隸屬函數(shù)不能飽和。這樣做的根本原因是因為所研究的決策過程是尋找過程輸入的準(zhǔn)確值，采取相應(yīng)的實際行動。一般不會讓過程執(zhí)行器輸出大于某個值。要注意的是我們經(jīng)常在一張圖中畫出一個輸入或者輸出的所有隸屬函數(shù)，默認(rèn)縱坐標(biāo)是描述相關(guān)語言值含義的隸屬函數(shù)。用表示與語言值“零”有關(guān)的隸屬函數(shù)，其它的以此類推。

4.1.2基于倒立擺的模糊控制設(shè)計模糊控制器的規(guī)則庫包含語言變量、語言值、相關(guān)的隸屬函數(shù)和所有語言規(guī)則的集合。以上完成了倒立擺的簡單語言描述。下面講述模糊化過程。

圖2-3-8小車上倒立擺的隸屬函數(shù)7071

4.1.2基于倒立擺的模糊控制設(shè)計4.1.模糊化模糊化過程可以簡單理解成為輸入變量的某一值，找到其隸屬函數(shù)的數(shù)字值的過程。例如，若且＝π/16，模糊化過程就是尋找它們對應(yīng)輸入量的隸屬函數(shù)的值，即

可以把隸屬函數(shù)看作模糊系統(tǒng)數(shù)字化輸入值的編碼器。編碼后的信息在模糊推理過程中進(jìn)行匹配。

4.1.4.1.4規(guī)則的匹配在下面這部分，解釋圖2-1-1中推理機的操作。推理過程一般分兩步：1.把所有規(guī)則的條件和控制器輸入進(jìn)行比較，確定當(dāng)前狀態(tài)應(yīng)該應(yīng)用哪一條規(guī)則?！捌ヅ洹边^程要確定所有應(yīng)用規(guī)則的確定度。4.1.由目前狀態(tài)下采用的規(guī)則決定結(jié)論（要采取的控制作用）。結(jié)論用表示被控對象輸入（控制器輸出）應(yīng)取各種值的確定度的模糊集合描述。我們將分別詳細(xì)的講解這兩步。1.用模糊邏輯量化條件為了完成推理，必須用模糊邏輯量化每個規(guī)則。為了做到這些，首先要量化由若干項（每個都涉及到模糊控制器的一個輸入）組成的規(guī)則的條件。在圖2-3-9中，列出下面規(guī)則條件的兩項如果誤差為零，且誤差變化率為正小，那么力為負(fù)小。已經(jīng)用圖2-3-8中的隸屬函數(shù)量化了語言項“誤差為零”和“誤差變化率為正小”的含義?，F(xiàn)在嘗試量化規(guī)則條件“誤差為零且誤差變化率為正小”。要解決的主要問題是如何實現(xiàn)兩個語言項的邏輯“與”合成操作。因為已經(jīng)用模糊集合（即量隸屬函數(shù)）比較準(zhǔn)確地量化了這些項，因此可以用標(biāo)準(zhǔn)的布爾邏輯合成這些語言項。72

4.1.2基于倒立擺的模糊控制設(shè)計73

4.1.2基于倒立擺的模糊控制設(shè)計圖2-2-9條件項的隸屬函數(shù)為了看清如何量化“與”操作，假設(shè)，，由圖2-2-8（或者圖2-2-9）得到，，對于這些和，要找下面敘述的確定度：“誤差為零，且誤差變化率為正小”，即上面規(guī)則的條件。用來表示這一確定度。有幾種定義方式74

4.1.2基于倒立擺的模糊控制設(shè)計最小化：定義，即用兩個隸屬值的最小值來表示。乘積：定義，即用兩個隸屬值的乘積。注意這兩種量化“與”的操作方式確定的合成項的確定度不比組成它的任一項的確定度高。這是符合常理的。如果非常不確定一個敘述的真實性，又如何能確定它與其它敘述的“與”呢？因此，上面的量化是有意義的。接著簡單說明如何量化和的“與”操作。如果考慮所有的值，對于每條規(guī)則，會得到由函數(shù)和組成的多維隸屬函數(shù)。就該例子而言，如果選擇最小化操作來代表條件中的“與”，那么將得到如圖2-2-10所示的多維隸屬函數(shù)。注意如果對和選值，條件的確定度值就代表了對下面這條規(guī)則的確定度如果誤差為零且誤差變化率為正小，那么力為負(fù)小根據(jù)圖2-2-10