第六章計數(shù)原理知識歸納與題型突破（十一類題型清單）

01思維導(dǎo)圖

02知識速記

一、分類加法計數(shù)原理與分步乘法計數(shù)原理

1.分類加法計數(shù)原理

完成一件事有兩類不同方案，在第1類方案中有機(jī)種不同的方法，在第2類方案中有"種不同的方法.那么

完成這件事共有N=m+n種不同的方法.

2.分步乘法計數(shù)原理

完成一件事需要兩個步驟，做第1步有機(jī)種不同的方法，做第2步有"種不同的方法，那么完成這件事共

有種不同的方法.

3.分類加法和分步乘法計數(shù)原理，區(qū)別在于：分類加法計數(shù)原理針對“分類”問題，其中各種方法相互獨立,

用其中任何一種方法都可以做完這件事；分步乘法計數(shù)原理針對“分步”問題，各個步驟中的方法相互依存,

只有各個步驟都完成了才算完成這件事.

常用結(jié)論：

分類加法計數(shù)原理與分步乘法計數(shù)原理是解決排列組合問題的基礎(chǔ)，并貫穿其始終.

(1)分類加法計數(shù)原理中，完成一件事的方法屬于其中一類，并且只屬于其中一類.

(2)分步乘法計數(shù)原理中，各個步驟中的方法相互依存，步與步之間“相互獨立，分步完成”.

二、排列與組合

1.排列與組合的概念

名稱定義

并按照一定的順序排成一列，叫做從“個元素中

排列

從n個不同元素中取出機(jī)個元素的一個排列

取出mOSO個元素作為一組，叫做從〃個不同元素中取出m個元素

組合

的一個組合

2.排列數(shù)與組合數(shù)

⑴從n個不同元素中取出制咫")個元素的所有不同排列的個數(shù)，叫做從n個不同元素中取出m個元素的排

列數(shù)，用符號Ph表示.

(2)從n個不同元素中取出機(jī)OW")個元素的所有不同組合的個數(shù)，叫做從n個不同元素中取出優(yōu)個元素的組

合數(shù)，用符號C；?表示.

3.排列數(shù)、組合數(shù)的公式及性質(zhì)

YI!

(1)P；；!—?(n—1)(/1—2)...(n—m+1)—(〃—〃/；■

A,n(n~1)(〃一2)...(n-m+1)

公式"A/W.

"I

-,,,~~(小加GN*,且相芻).特別地c2—i

(1)0!=1；Pn=nl.

性質(zhì)

(2)-；Q=CU+G-i

1.解受條件限制的排列、組合題，通常有直接法(合理分類)和間接法(排除法).分類時標(biāo)準(zhǔn)應(yīng)統(tǒng)一，避免出現(xiàn)

重復(fù)或遺漏.

2.對于分配問題，一般先分組、再分配，注意平均分組與不平均分組的區(qū)別，避免重復(fù)或遺漏.

三、二項式定理

1.二項式定理

(1)二項式定理：(a+力"=CM+Clan~lb+...+C如"■+...+C舫”(neN*)；

nkk

(2)通項公式：Tk+i=C^a~b,它表示第Z+1項；

(3)二項式系數(shù)：二項展開式中各項的系數(shù)C9，C}?C；L

2.二項式系數(shù)的性質(zhì)

性質(zhì)性質(zhì)描述

對稱性與首末等距離的兩個二項式系數(shù)相等，即C7=C廠"

〃

當(dāng)；+1(〃GN*)時，是遞增的

二項式系數(shù)

增減性

幾十1

當(dāng)%>2(〃GN*)時，是遞減的

C子

二項式當(dāng)"為偶數(shù)時，中間的一項“取得最大值

系數(shù)最大值

當(dāng)〃為奇數(shù)時，中間的兩項(“丁與(”.相等且取得最大值

3.各二項式系數(shù)和

(1)(。+力"展開式的各二項式系數(shù)和：C°+CRcH…+c;=2".

(2)奇數(shù)項的二項式系數(shù)的和等于偶數(shù)項的二項式系數(shù)的和，即C9+C計C什…=CI+C?+C計…=2"-1.

常用結(jié)論：

(a+by的展開式形式上的特點

(1)項數(shù)為71+1.

(2)各項的次數(shù)都等于二項式的累指數(shù)n,即。與b的指數(shù)的和為n.

(3)字母。按降幕排列，從第一項開始，次數(shù)由w逐項減1直到零；字母b按升幕排列，從第一項起，次數(shù)

由零逐項增1直到n.

(4)二項式系數(shù)從C9,C*,一直到CL，C.

03題型歸納

題型一乘法原理與加法原理

例題

1.甲乙兩地隔江相望，現(xiàn)今連接兩岸的有4座大橋、3條公路隧道、1條觀光隧道和2條擺渡航線，那么，

兩岸市民過江有種走法.

【答案】10

【分析】由分類加法計數(shù)原理可得答案.

【解析】兩岸市民過江有4+3+1+2=10種走法.

故答案為：10.

鞏固訓(xùn)練

2.某學(xué)生有語文書5本、數(shù)學(xué)書4本、英語書3本，現(xiàn)各選1本送給同學(xué)，有種不同的送法.

【答案】60

【分析】由分步乘法計數(shù)原理可得.

【解析】從語文、數(shù)學(xué)、英語書中各選1本送給同學(xué)分3步：

第一步選語文書，有5種選法；第二步選數(shù)學(xué)書，有4種選法；第三步選英語書，有3種選法，

由分步乘法計數(shù)原理可得，有5x4x3=60種.

故答案為：60.

3.設(shè)有5幅不同的國畫，2幅不同的油畫，7幅不同的水彩畫，從中任選一幅畫布置房間，有種不同

的選法.

【答案】M

【分析】根據(jù)分類加法原理即可求解.

【解析】根據(jù)分類加法原理可得從中任選一幅畫布置房間的選法有5+2+7=14.

故答案為：14

4.有3位高三學(xué)生參加4所重點院校的自主招生考試，每人參加且只能參加一所學(xué)校的考試，則不同的考

試方法種數(shù)為.

【答案】64

【分析】利用分步乘法計數(shù)原理即可求解.

【解析】每位學(xué)生可以有4種參加重點院校的自主招生考試，由分步乘法計數(shù)原理可得，不同的考試方法種

數(shù)為43=64種.

故答案為：64.

題型二捆綁法、插空法

例題

5.有7個同學(xué)要排隊做操，其中甲乙丙必須相鄰，則總共有種排法.

【答案】720

【分析】根據(jù)相鄰問題捆綁法即可求解.

【解析】甲乙丙相鄰，則共有A；A；=120x6=720,

故答案為：720

鞏固訓(xùn)練

6.行知中學(xué)高二有6名數(shù)學(xué)老師排成一排照相，陳老師和姜老師相鄰的排法種數(shù)為一.

【答案】240

【分析】由相鄰的問題采用捆綁法計算即可.

【解析】將陳老師和姜老師捆綁到一起有A；種方法，

然后把他們看成一個大元素與剩下的4名老師排成一排共有A；種方法，

則總共有A；A；=2x5x4x3x2x1=240種方法.

故答案為：240

7.7個人站成一排，若甲和乙不能相鄰排列，則不同的排法有種.

【答案】3600

【分析】不相鄰問題用“插空法”即可.

【解析】先將除了甲和乙外的5人全排列，有A；種排法，

這5人排成一排，形成6個空，讓甲乙去“插空”有A；種方法，

故7人站成一排，甲和乙不能相鄰有A；A；=3600種不同的排法.

故答案為：3600.

8.4名男生和3名女生排成一排照相，要求男生和男生互不相鄰，女生與女生也互不相鄰，則不同的排法

共有種.

【答案】144

【分析】首先將4名男生排成一排，再把3名女生插入到4名男生中間的空中，按照分步乘法計數(shù)原理計算

可得.

【解析】依題意，首先把4名男生排成一排，有A：種排法，

再把3名女生插入到4名男生中間的空中，有A；種排法，

利用乘法原理得不同排法種數(shù)有：A：A：=144種.

故答案為：144

題型三特殊元素法

例題

9.在7名運動員中選4名組成接力隊，參加4x100接力賽，那么甲、乙兩人都不跑中間兩棒的安排方法共

有種.

【答案】400

【分析】分四種情況，選中甲乙兩人，只選中甲，只選中乙，甲和乙均未選中，求出每種情況下的方法數(shù)，

相加即可.

【解析】若選中甲乙兩人，則甲乙兩人跑第一棒和第四棒，有A；種選擇，

再從剩余的5人中選擇兩人跑中間兩棒，有A；種選擇，故有A；A；=40種安排方法，

若只選中甲，則甲從第一棒和第四棒選擇一個，有記種選擇，

再從剩余的5人中選擇3人跑剩余3棒，有A；種選擇，故有A；A；=120種安排方法，

若只選中乙，同理可得，有A；A；=120種安排方法,

若甲和乙均未選中，則從剩余的5人中選擇4人進(jìn)行全排列，共有A；=120種選擇，

綜上，共有40+120+120+120=400種安排方法.

故答案為：400

鞏固訓(xùn)練

10.從10名數(shù)學(xué)老師中選出3人安排在3天的假期中值班，每天有且只有一人值班.若老師甲必須參加且

不安排在假期第一天值班，則不同的值班安排方法種數(shù)為.

【答案】144

【分析】利用分步乘法計數(shù)原理及排列應(yīng)用問題列式計算得解.

【解析】依題意，安排老師甲有段種，從除甲外的9名老師中任選2人并安排值班有A：種，

所以不同的值班安排方法種數(shù)為A；A；=2x72=144（種）.

故答案為：144

11.為宣傳地方特色，某電視臺派出3名男記者和2名女記者到民間進(jìn)行采訪.期間工作的任務(wù)有A民C,￡>

四項，每項任務(wù)至少一人參加，每個人只參加一項任務(wù)，但兩名女記者不參加A任務(wù)，則不同的安排方案

數(shù)共有.

【答案】126

【分析】分兩種情況，1男參加A任務(wù)，2男參加4任務(wù)，由排列組合知識求出兩種情況下方案數(shù)相加即可.

【解析】兩名女記者不參加A任務(wù)，由題意分兩類情況：

①1男參加A任務(wù)，將3男選1人排在A任務(wù)，再將剩下4人選2人捆綁，

再排在其他3項任務(wù)，即C；C：A；=108（種）.

②2男參加A任務(wù)，將3男選2人排在A任務(wù)，再將剩下的3人排在其他3項任務(wù)，

即C；M=18（種），

所以選出符合條件的方案共有108+18=126（種）.

故答案為：126

12.某校為加強(qiáng)學(xué)生的美感教育，開設(shè)了音樂、美術(shù)、舞蹈、戲曲四門選修課程.甲、乙兩位同學(xué)各自準(zhǔn)

備從中選擇兩門進(jìn)行學(xué)習(xí)，且甲不會選擇舞蹈課程，則甲、乙兩位同學(xué)選擇的兩門課程中僅有一門相同的

情況共有種.

【答案】12

【分析】分乙選擇舞蹈課程和乙沒有選擇舞蹈課程兩種情況分別求解即可.

【解析】解：若乙選擇舞蹈課程，則僅有一門相同的情況共有C?=6種;

若乙沒有選擇舞蹈課程，則僅有一門相同的情況共有C；C；=6種，

綜上，共有12種情況.

故答案為：12

題型四間接法、隔板法

例題

13.根據(jù)學(xué)校要求，錯峰放學(xué)去食堂吃飯，高三年級五樓有4個班排隊，1班不能排在最后，4班不能排在

第一位，則四個班排隊吃飯的不同方案有種.（用數(shù)字作答）

【答案】14

【分析】根據(jù)題意，由間接法代入計算，即可得到結(jié)果.

【解析】總方案有A：種，1班排在最后有A；種方案，4班排在第一位有A；種方案，

1班排在最后且4班排在第一位有A；種方案，

則滿足要求的方案有A：-2A；+A；=14種.

故答案為：14

鞏固訓(xùn)練

14.百色起義紀(jì)念館、紅軍長征突破湘江烈士紀(jì)念碑園、紅軍長征湘江戰(zhàn)役紀(jì)念館、東蘭紅色旅游區(qū)是廣

西著名的紅色旅游景點，某旅游博主準(zhǔn)備分4次分別去這4個景點旅游，則百色起義紀(jì)念館不在最后1次

去的方法總數(shù)為.（用數(shù)字作答）

【答案】18

【分析】利用間接法即可求解.

【解析】百色起義紀(jì)念館最后1次的方法共有A；,

故百色起義紀(jì)念館不在最后1次去的方法總數(shù)為=18.

故答案為：18

15.將8個相同的小球放入5個編號為1,2,3,4,5的盒子，每個盒子都不空的方法數(shù)為.

【答案】35

【分析】用插隔板法：先把8個相同的小球排成一行，然后在8個小球之間的7個空隙中任選4個空隙各

插入一塊隔板，每一種插入隔板的方式對應(yīng)一種球的放入方式，由此可得結(jié)論.

【解析】先把8個相同的小球排成一行，然后在8個小球之間的7個空隙中任選4個空隙各插入一塊隔板，

每一種插入隔板的方式對應(yīng)一種球的放入方式,

故每個盒子都不空的方法數(shù)共有C；=35種.

故答案為：35.

16.學(xué)校將7個三好學(xué)生名額分配給4個班，每個班至少一個名額，則分配方案共有種.

【答案】20

【分析】利用隔板法計算可得.

【解析】將7個三好學(xué)生名額看做7個完全一樣的小球，將小球排成一排，

從6個空中插入3個隔板，將小球分成4組，每組小球的個數(shù)對應(yīng)班級的三好學(xué)生名額，

故分配方案共有C：=20（種）.

故答案為：20

題型五不平均分組、平均分組問題

例題

17.某校學(xué)生會打算將甲、乙、丙、丁、戊這5名同學(xué)安排到4個不同的社團(tuán)負(fù)責(zé)組織活動，每個社團(tuán)至少安

排一名同學(xué)，則不同的安排方法種數(shù)是.

【答案】240

【分析】根據(jù)組合求得5人分為4組的方法數(shù)，再根據(jù)排列求得4個不同的小組安排到4個不同的社團(tuán)的

方法數(shù)，可得答案.

【解析】先將甲、乙、丙、丁、戊這5名同學(xué)分為4組，共有C；=10種，

再安排到4個不同的社團(tuán)負(fù)責(zé)組織活動，共有10-A：=240種不同的安排方法.

故答案為：240.

鞏固訓(xùn)練

18.某大學(xué)5名師范生到甲、乙、丙三所高中實習(xí)，每名同學(xué)只能到1所學(xué)校，每所學(xué)校至多接收2名同

學(xué).若同學(xué)A確定到甲學(xué)校，則不同的安排方法共有種.

【答案】30

【分析】分只有同學(xué)A到甲學(xué)校、除同學(xué)A外還有一名同學(xué)去甲學(xué)校兩種情況即可.

【解析】若只有同學(xué)A到甲學(xué)校，則有肩?。?6種可能，

若除同學(xué)A外還有一名同學(xué)去甲學(xué)校，則有=12x2=24種可能，

故共有6+24=30種可能.

故答案為：30.

19.甲、乙等6位同學(xué)去三個社區(qū)參加義務(wù)勞動，每個社區(qū)安排2位同學(xué)，每位同學(xué)只去一個社區(qū)，則甲、

乙到同一社區(qū)的不同安排方案共有.

【答案】18

【分析】按照分步計數(shù)原理并利用平均分組后再分配的計算方法求解可得.

【解析】根據(jù)題意，安排6位同學(xué)到社區(qū)參加義務(wù)勞動可分成兩步：

第一步，將6位同學(xué)分成3組，要求甲、乙一組，其余4位同學(xué)平均分組，

則有十=3種分組方法;

第二步，將分好的3組全排列，安排到三個不同的社區(qū)，有A；=6種情況；

則由分步計數(shù)原理可得，

甲、乙到同一社區(qū)的不同安排方案共有3x6=18種不同的安排方法.

故答案為：18.

20.隨著馬拉松運動的普及，我國已成功舉辦多次全民馬拉松賽事.現(xiàn)某城市舉辦全民馬拉松比賽，第一

處供給點需要三組工作人員，其中有3名醫(yī)生和6名社會志愿者組成，每組人員由1名醫(yī)生和2名志愿者

組成.根據(jù)需要，志愿者甲與乙要分配在同一組，則這9名工作人員分組方法種數(shù)為一.

【答案】18

【分析】先分配志愿者，再分配醫(yī)生，應(yīng)用分步乘法原理結(jié)合組合數(shù)排列數(shù)計算即可.

【解析】志愿者分組情況有第=3（種），搭配3名醫(yī)生有3A；=18（種）.

故答案為：18.

題型六染色問題

例題

21.如圖，現(xiàn)要用4種不同的顏色對4個區(qū)域進(jìn)行著色，要求有公共邊的兩個區(qū)域不能用同一種顏色，共

有_____種不同的著色方法.（用數(shù)字作答）

【答案】48

【分析】按照分步計數(shù)原理，即可求解.

【解析】按照分步計數(shù)原理，第1塊有4種方法，第2塊有3種方法，第3塊有2種，第4塊有2種方法，

所以共有4*3x2x2=48種涂色方法.

故答案為：48

鞏固訓(xùn)練

22.如圖，這是一面含A,B,C,D,E,尸六塊區(qū)域的墻，現(xiàn)有含甲的五種不同顏色的油漆，一位工人要

對這面墻涂色，相鄰的區(qū)域不同色，則共有一種不同的涂色方法；若區(qū)域。不能涂甲油漆，則共有種

不同的涂色方法.

【答案】1200960

【分析】直接由分類、分步計數(shù)原理即可求解.

【解析】第一空：若C,E的涂色相同，則共有5x4x3x2x3=360種方法;

若C,E的涂色不相同，則共有5x4x3x2x0x3+2x2)=840種方法.

故共有360+840=1200種不同的涂色方法.

第二空：因為區(qū)域。不能涂甲油漆，所以區(qū)域。的涂色方法有4種.

若C,E的涂色相同，貝IJ共有4x4x3*3x2=288種方法；

若C,E的涂色不相同，貝IJ共有4x4x3*2x(lx3+2x2)=672種方法.

故共有288+672=960種不同的涂色方法.

故答案為：1200,960.

23.用5種不同的顏色對一個四棱錐各個頂點著色，若由同一條棱連接的兩個頂點不能著相同的顏色，則

不同的著色方法有.(用數(shù)字作答)

【答案】420

【分析】利用分步乘法原理和分類加法原理求解即可，即先依次給點尸，A,2涂色，再分C與A顏色相同

和C與4顏色不相同，給C,。涂色即可.

【解析】設(shè)四棱錐為尸-ABCD,則由題意，點P,A,8分別有5,4,3種涂法，當(dāng)C與A顏色相同時，C

有1種涂色方法，

此時。有3種涂色方法，

當(dāng)C與A顏色不相同時，C有2種涂色方法，此時。有2種涂色方法，

故止匕時共有種涂色方法5x4x3x0x3+2x2）=420,

故答案為：420

題型七排數(shù)問題

例題

24.由1、2、3、4、5、6組成沒有重復(fù)數(shù)字的六位數(shù)，其中個位數(shù)字小于十位數(shù)字，十位數(shù)字小于百位數(shù)

字，則這樣的數(shù)共有一個.

【答案】120

【分析】由分步乘法計數(shù)原理可得.

【解析】要得到一個這樣的數(shù)，可以分為3個步驟：

第一步，從1、2、3、4、5、6中任選一個放在首位，有6種方法；

第二步，從余下5個數(shù)中任選一個放在萬位，有5種方法；

第三步，從余下4個數(shù)中任選一個放在千位，有4種方法；

而其余數(shù)字定序，從小到大依次排在個、十、百位.

故由分步乘法計數(shù)原理可得，這樣的六位數(shù)共有6x5x4=120個.

故答案為：120.

鞏固訓(xùn)練

25.人們習(xí)慣把最后一位是6的多位數(shù)叫作“吉祥數(shù)”，則無重復(fù)數(shù)字的四位“吉祥數(shù)”（首位不能是0）共有

個.

【答案】448

【分析】根據(jù)分步乘法計數(shù)原理即可求解.

【解析】先排千位，有8種選擇，

再排百位，有8種選擇，

最后排十位，有7種選擇，

故共有8*8x7=448,

故答案為：448

26.用1,2,3,4,5,6組成六位數(shù)（沒有重復(fù)數(shù)字），要求任何相鄰兩個數(shù)字的奇偶性不同，且1和2

相鄰，這樣的六位數(shù)的個數(shù)是（用數(shù)字作答）.

【答案】40

【分析】欲求可組成符合條件的六位數(shù)的個數(shù)，先考慮任何相鄰兩個數(shù)字的奇偶性不同，再考慮1和2相

鄰，利用分步計數(shù)原理計算即可.

【解析】任何相鄰兩個數(shù)字的奇偶性不同，且1和2相鄰，可分三步來做這件事：

第一步：先將3、5排列，共有A；種排法；

第二步：再將4、6插空排列，共有2A；種排法；

第三步：將1、2放到3、5、4、6形成的空中，共有C；種排法.

由分步乘法計數(shù)原理得共有A；X2A；XC；==40（種）.

故答案為：40

27.如果一個三位正整數(shù)如“?；?。3”滿足%＞。2，且％＜生，則稱這樣的三位數(shù)為凹數(shù)（如201,325等），

那么由數(shù)字0,1,2,3,4,5能組成個無重復(fù)數(shù)字的凹數(shù).

【答案】40

【分析】討論首位分別為1、2、3、4、5,再依次安排中間位置上的數(shù)字，并求出對應(yīng)凹數(shù)的個數(shù)，最后加

總即可.

【解析】當(dāng)首位為1,中間位置為。有4個凹數(shù)；

當(dāng)首位為2,中間位置為0有4個凹數(shù)；中間位置為1有3個凹數(shù)；

當(dāng)首位為3,中間位置為0有4個凹數(shù)；中間位置為1有3個凹數(shù)；中間位置為2有2個凹數(shù)；

當(dāng)首位為4,中間位置為0有4個凹數(shù)；中間位置為1有3個凹數(shù)；中間位置為2有2個凹數(shù)；中間位置為

3有1個凹數(shù)；

當(dāng)首位為5,中間位置為0有4個凹數(shù)；中間位置為1有3個凹數(shù)；中間位置為2有2個凹數(shù)；中間位置為

3有1個凹數(shù)；

綜上，共有40個無重復(fù)數(shù)字的凹數(shù).

故答案為：40

題型八計數(shù)原理在古典概率中的應(yīng)用

例題

28.某校舉辦校運動會，需從某班級3名男同學(xué)4名女同學(xué)中選出3名志愿者，選出的3人中男女同學(xué)都

有的概率為.

【答案】I

【分析】根據(jù)題意先求出7人中選3人共有C；種方法，選出的3人中男女同學(xué)都有，則分1男2女，2男1

女，求出符合要求的方法數(shù)，進(jìn)而求出答案.

【解析】根據(jù)題意,7人中選3人共有C；種方法，若選出的3人中男女同學(xué)都有，則選出為1男2女或2男

1女，

若選出1男2女，方法數(shù)為C；C：；

若選出2男1女，方法數(shù)為C；C：；

所以選出的3人中男女同學(xué)都有的方法數(shù)共有C；C：+C；C；=30種

30306

所以選出的3人中男女同學(xué)都有的概率為.=方=].

故答案為：y.

鞏固訓(xùn)練

29.端午節(jié)吃粽子是我國的傳統(tǒng)習(xí)俗.一盤中放有10個外觀完全相同的粽子，其中豆沙粽3個，肉粽3個,

白米粽4個，現(xiàn)從盤子任意取出3個，取到豆沙粽，肉粽，白米粽各一個的概率為.

3

【答案】—/0.3

10

【分析】根據(jù)古典概型結(jié)合組合數(shù)運算求解.

【解析】記“取到豆沙粽，肉粽，白米粽各一個”為事件4

所以網(wǎng)4)=上冷3x3x43

120W

3

故答案為：—.

30.第19屆亞運會將于2023年9月23日至10月8日在杭州舉行，甲、乙等4名志愿者將分別安排到游

泳、射擊、體操三個場地進(jìn)行志愿服務(wù)，每個場地至少安排一名志愿者，且每名志愿者只能去一個場地服

務(wù)，則甲、乙兩名志愿者在同一個場地服務(wù)的概率為.

【答案】

O

【分析】根據(jù)題意，先將4人分為1,1,2三組，再計算得出甲乙在同一個場地的情況，利用古典概型的概率

計算公式，即可求解.

【解析】根據(jù)題意，先將4人分為1,1,2三組，共有C；=6種分法，

在將三組分段三個不同的場地，共有A；=6種分法，

由分步計數(shù)原理得，共有6x6=36種不同的情況，

又由甲乙兩名志愿者在同一場地服務(wù)，共有C；A；=6種情況，

則甲乙兩面志愿者在同一場地服務(wù)的概率為&=1

36o

故答案為：;

6

題型九二項式定理

例題

31.若，+?。莸恼归_式中1的系數(shù)為160,則〃=.

【答案】2

【分析】根據(jù)二項式展開式的通項公式進(jìn)行計算即可.

【解析】設(shè)\的展開式中含/是第r+1項，

則&1君J="《1藝

,3r3c

由6r=—=>丁=3,

22

由“3.c：=160n〃=2.

故答案為：2

鞏固訓(xùn)練

32.二項式［了-白］的展開式中，常數(shù)項為

【答案】-18

【分析】先求出二項式的通項公式，令x的指數(shù)為。即可求解.

【解析】由題得二項式通項公式為：=(_).36-("6等,

6

令6—yr=0n〃=5,

所以二項式「X-七］的展開式中，常數(shù)項為(一)536-5c26等'=-18-

故答案為：-18.

33.(x+y)(x-y)6的展開式中，dj?項的系數(shù)為.

【答案】-5

【分析】根據(jù)二項式展開式的通項特征即可求解.

【解析】由于(x-的展開式通項為(一1)"C"6-y,廠=01,2,3,4,5,6,

4

故(x+y)(x-y)6=x(x-y)6+y(x-y)6的展開式中，含x/的項為

3

X(-l)C，y3+y(_］『C%4y2=(_20+15)尤4y3=_5/、3,

故/y3的系數(shù)為一5,

的二項式展開式中，各項系數(shù)的和與各項二項式系數(shù)的和之比為64,則展開式中第3

【答案】135%

【分析】賦值法得〃，再由二項式的展開式的通項可得答案.

【解析】令x=l,得各項系數(shù)之和為。+3)"=4",由已知得*=64,所以〃=6,

所以二項式的展開式的通項為

Tr+l=&(r<6,reN),

所以方=9或尤=135尤.

故答案為：135x.

35.在(依-1)(2尤-廳的展開式中，若各項系數(shù)的和為0,則該展開式的/系數(shù)為

【答案】18

【分析】依題意利用賦值法令》=1,可求得。=1,再利用二項展開式即可求得/系數(shù).

【解析】由各項系數(shù)的和為0可知，令龍=1,BP(a-l)(2-l)3=0,解得a=l；

因此(尤-1)(2元-以的展開式中含有爐的項為尤.武(2力(-1)2+(-1)4(2城(-1)|=(2亡+42)尤2=18/.

故答案為：18

36.在。+司”的展開式中，只有第4項的系數(shù)最大，則"等于.

【答案】6

【分析】根據(jù)二項式系數(shù)的性質(zhì)即可確定〃的值.

【解析】解：因為。+尤)”的展開式的通項為4+1=4/&=0,1,2,1,“)，

所以第4項的系數(shù)即是第4項的二項式系數(shù)C：,

因為只有第4項的二項式系數(shù)C：最大，所以“=6.

故答案為：6

37.如圖所示的梯形數(shù)陣中，第〃行第上個數(shù)的值為

111

—X11

222

1111111

36332

11111]111

412124433

1111111—1

1

520302055464

1

【答案］("+i)c：T

【分析】觀察發(fā)現(xiàn)第，行每一個數(shù)提取系數(shù)二進(jìn)而利用楊輝三角的性質(zhì)即可得解.

【解析】觀察、歸納梯形數(shù)陣規(guī)律，

第一行每一個數(shù)提取系數(shù)g，第二行每一個數(shù)提取系數(shù):，L,

第?行每一個數(shù)提取系數(shù)工.

n+1

提取系數(shù)之后，各數(shù)的分子均為1,分母恰好成二項式系數(shù)所構(gòu)成的楊輝三角分布，

1

所以可求得第?行第k個數(shù)的值為+?

1

故答案為：(〃+l)C：T?

題型十賦值法解二項式定理問題

例題

38.設(shè)(3兀-1)4=%++a/4，則%+4+%+。3+。4=.

【答案】16

【分析】應(yīng)用賦值法求所有項系數(shù)之和.

【解析】令X=l,則/+4+〃2+/+。4=(3義1一1)4=24=16.

故答案為：16

鞏固訓(xùn)練

39.+X,+]=4+〃](%+])+%(%+1)H---+4。(％+1),則q+%+…+%+4o=?

【答案】2

【分析】分別令X=0,x=-1,利用賦值法求解即可.

【角^由V+%，+1=%+4(%+1)+%(x+1)+…+%(%+1)+%o(x+l)

令X=—1,則(―1)+(—1)+1=%+%(―1+1)+%(-1+1)+…+%(—1+1)+Go(-]+1)，即。0=3；

令％=0,貝(]01°+。4+1=%+%(0+1)+口2(0+1)2+…+佝(0+1)9+4o(0+1)1°，即為+%+%+…+%+%0=1;

4+%H--F%+%。=]—〃0=1—3=—2.

故答案為：2.

40.設(shè)犬￡R,若(3+X)'=%+%(1+%)+°2(1+x)2+“3(1+")3+%(1+*)4+〃5(1+")5，貝

%—〃2+〃3—〃4+〃5=.

【答案】31

【分析】令r=l+x,即可得到(2+)=%+卬+//+4/+卬4+牝巴再利用賦值法計算可得.

【解析】令，=1+%,則(2+，)'=%+卬+〃2,2+a3,3+//+//，

令，=0,可得“0=25=32,

3

令[=-1,可得。0—ax+4—?3+。4_。5=(2—1)=1,

以q—%+。3—"4+“5=3].

故答案為：31

6

41.已知/=%+%(%+1)+4(x+I)?++a6(x+1),則+2%+++84=.

【答案】98-7072/-70^+98

【分析】對二項展開式分別賦值x=T和才=及-1，化簡計算即得.

【解析】由尤"=4+”］（X+1）+。2（X+D~++&（尤+1）6，

取X=—1,可得%=1;

再取x=-1>可得（—1）6=旬++2a,++-+84，

將％=1代入整理得：

&+2al+2缶3+,+8g=（血--1=（3-2血y-1

=（17-12A/2）（3-2偽-1=98-70垃.

故答案為：98-7072.

題型十一計數(shù)原理有關(guān)公式計算、單選題辨析

例題

42.計算C:+C［+…+圖的值為（）

A.2048B.1024C.1023D.512

【答案】C

【分析】根據(jù)二項式系數(shù)的性質(zhì)計算即可.

【解析】由二項式系數(shù)的性質(zhì)知，

C:+圖+…+喘+C；：1（喘+G+…+C："C；；）［x2"=/,

C：1+C：|+…+C：1=210-C；J=1024-1=1023.

故選：C.

鞏固訓(xùn)練

43.已知w,zneN,n>m,下面哪一個等式是恒成立的（）.

-C“+c?=c?+1

f->m./-1W—1Z-IMI+1

D-C“+C?=C"+1

【答案】B

【分析】A.由組合數(shù)的定義判斷；B.由排列數(shù)的定義判斷；CD.由組合數(shù)的性質(zhì)判斷.

【解析】對A,由組合數(shù)的定義可知，C；=JA選項錯誤；

幾〕

對B,由排列數(shù)的定義可知邛=正癡，B選項正確；

對CD,由組合數(shù)的性質(zhì)可知C：+C/=