重難點專題44阿波羅尼斯圓與蒙日圓七大題型匯總

題型1阿氏圓與軌跡..............................................................1

題型2阿氏圓與圓錐曲線..........................................................7

題型3阿氏圓求非對稱型最值.....................................................16

題型4阿氏圓與向量.............................................................24

題型5阿氏圓與立體幾何.........................................................30

題型6橢圓中的蒙日圓...........................................................40

題型7雙曲線與拋物線中的蒙日圓................................................51

題型1阿氏圓與軌跡

阿波羅尼斯圓的定義

在平面上給定兩點48,設(shè)P點在同一平面上且滿足器=%當(dāng)4>0且％A1時，P點的軌跡

是個圓，稱之為阿波羅尼斯圓.(％=1時P點的軌跡是線段4B的中垂線

【例題1】(2021下?陜西寶雞?高三統(tǒng)考階段練習(xí))古希臘著名數(shù)學(xué)家阿波羅尼斯與歐幾里

得、阿基米德齊名.他發(fā)現(xiàn)："平面內(nèi)到兩個定點4B的距離之比為定值K1)的點的軌

跡是圓后來，人們將這個圓以他的名字命名，稱為阿波羅尼斯圓，簡稱阿氏圓在平面直

角坐標(biāo)系xOy中，4(-2,0),B(4,0),點P滿足篇則點P的軌跡所包圍的圖形的面積等

于()

A.47rB.87TC.127rD.16TT

【答案】D

【分析】設(shè)P(x,y),貝II由制=港合距離公式化簡可得(％+4)2+y2=16,從而可知點P的

軌跡是以(-4,0)為圓心，4為半徑的圓，進(jìn)而可求出面積

【詳解】設(shè)點PQy),則需

化簡整理得%2+y2+8%=0,即（％+4尸+y216,

所以點P的軌跡是以(-4,0)為圓心，4為半徑的圓，

所以所求圖形的面積為16兀，

故選：D

【變式1-1】1.(2023上?浙江金華?高三階段練習(xí))已知圓C的直徑4B=6,點M滿足

\MA\=21MBi.記點M的軌跡為勿，設(shè)勿與C交于P,Q兩點，則|PQ|=

【答案】Y

【分析】首先建立坐標(biāo)系，分別求圓C和圓勿的方程，兩圓相減后求直線PQ的方程，再根據(jù)

弦長公式求解弦長.

【詳解】以線段4B的中點為原點，以4B所在直線為x軸，線段的中垂線為y軸建立平面直

則圓C的方程為好+必=9,

力(—3,0),5(3,0),設(shè)M(x,y),

由題意可知，+3)2+y2=2-3)2+y2,

整理為0—5)2+產(chǎn)=16,,

則圓W的方程為(久-5)2+y2=16；

兩圓相減得直線PQ的方程為x=

圓心(0,0)到直線％=郛距離d=

所以線段|PQ|=219-⑨之=g.

故答案為：Y

【變式1-1】2.(江蘇省海高三模擬考試數(shù)學(xué)試題)在平面直角坐標(biāo)xOy中，已知點力(1,0)

,8(4,0),若直線x-y+m=0上存在點P使得|P4|=||PB|,則實數(shù)小的取值范圍是.

【答案】[-2短2VI]

【分析】根據(jù)|P*=：|PB|得出點P的軌跡方程，又點P在直線X—y+m=o上，則點P的軌

跡與直線必須有公共點，進(jìn)而解決問題.

【詳解】解：設(shè)P(x,y)

則IP川=J(x—l)2+(y—0)2,|PB|=J(x—4)2+(y—0)2,

因為|PA|=扣8|,

所以有J(%-1)2+0—0)2=尤-4)2+(y-0)2,

同時平方，化簡得/+y=4,

故點P的軌跡為圓心在(0,0),半徑2為的圓，

又點P在直線X-y+m=0±,

故圓/+y2=4與直線x-y+m=0必須有公共點，

所以瞿<2,解得一2V2<m<2V2.

vl+l

【點睛】本題考查了點的軌跡問題、直線與圓的位置關(guān)系的問題，解題的關(guān)鍵是能從題意中

轉(zhuǎn)化出動點的軌跡，并能求出點的軌跡方程.

【變式1-1】3.(2021?湖南衡陽?校聯(lián)考一模)阿波羅尼斯(約公元前262-190年)證明

過這樣一個命題：平面內(nèi)到兩定點距離之比為常數(shù)k(k>0,k41)的點的軌跡是圓，后人將

此圓稱為阿氏圓.若平面內(nèi)兩定點4B間的距離為4,動點P滿足篙=巡，則動點P的軌跡

所圍成的圖形的面積為；同?麗最大值是

【答案】12兀24+16V3

【分析】以經(jīng)過4B的直線為x軸，線段4B的垂直平分線為y軸，建立直角坐標(biāo)系，求出阿

氏圓方程，可得半徑，從而得面積.由P(x,y),利用向量數(shù)量積的坐標(biāo)表示求出西?麗，結(jié)

合P在圓上可得最大值.

【詳解】以經(jīng)過4B的直線為久軸，線段4B的垂直平分線為y軸，建立直角坐標(biāo)系，如圖，

則4(-2,0),8(2,0),設(shè)P(x,y),鼠=遮,.沈亶色=圾

得：/+y2—8x+4=0=(x—4)2+y2=12,點P的軌跡為圓(如圖)，

其面積為127r.

PA-PB=x2-4+y2=\OP\2-4,如圖當(dāng)P位于點。時，|OP|2最大，|OP『最大值為

(4+2V3)=28+16V3,故園?麗最大值是24+16k.

故答案為：12兀；24+16V3.

【變式1-1]4.(2019上?浙江杭州?高三浙江省杭州第二中學(xué)校考階段練習(xí))已知4B是平

面上兩個定點，平面上的動點滿足慌=§=m,若對于任意的爪>3,不等式|下|<

網(wǎng)通|恒成立，則實數(shù)帕勺最小值為

【答案】,

【分析】建立坐標(biāo)系，得點GD的軌跡方程，分離參量求范圍即可求解

【詳解】不妨設(shè)|4B|=1,以A為原點,AB所在直線為x軸建立直角坐標(biāo)系，則4(0,0),B(l,0),

設(shè)c(x>y)-=i-岳)2+川=缶7

故動點&D的軌跡為圓，由|而|<可荏什亙成立，貝收>\CD\max=2Vl=M2*

故答案為9

【點睛】本題考查圓的軌跡方程，平面問題坐標(biāo)化的思想，是難題

【變式1-1】5.(2023上?山東?高三沂源縣第一中學(xué)校聯(lián)考開學(xué)考試)我們都知道：平面內(nèi)

到兩定點距離之比等于定值(不為1)的動點軌跡為圓.后來該軌跡被人們稱為阿波羅尼斯

圓.已知平面內(nèi)有兩點火—1,0)和鞏2,1),且該平面內(nèi)的點P滿足|P*=或仍引，若點P的

軌跡關(guān)于直線mx+ny—2=>0)對稱，則薪+前勺最小值是()

A.10B.20C.30D.40

【答案】B

【分析】點P的軌跡為圓，直線gx+ny—2=0過圓心，得5巾+2n=2,利用基本不等式

求2+：的最小值.

【詳解】設(shè)點P的坐標(biāo)為(%,y),因為|P4|=K|PB|,^\PA\2=2\PB\2,

即(X+l)2+y2=2[(%—2)2+(y—1)2],

所以點P的軌跡方程為(x-5尸+(y-2/=20,

因為P點的軌跡關(guān)于直線MX+ny-2=0(m>0,n>0)對稱，

所以圓心(5,2)在此直線上，即56+2n=2,

所好+：=*5m+2n)仔+3=*20+號+誓”1。+打2杵年=20,

當(dāng)且僅當(dāng)甘=半，即巾='時，等號成立，

所以5+：的最小值是20.

故選：B.

【變式1-1】6.建選)(2023上?貴州貴陽?高三清華中學(xué)?？茧A段練習(xí))阿波羅尼斯是古

希臘著名數(shù)學(xué)家，與歐幾里得、阿基米德被稱為亞歷山大時期數(shù)學(xué)三巨匠，阿波羅尼斯發(fā)現(xiàn):

平面內(nèi)到兩個定點4B的距離之比為定值乂4>0,且2彳1）的點的軌跡是圓，此圓被稱為"阿

波羅尼斯圓".在平面直角坐標(biāo)系%。了中，名-2,0）鳳4,0）,點P滿足需=9設(shè)點P的軌跡為

曲線C,則下列說法正確的是（）

A.（7的方程為。+4）2+}/2=16

B.點4B都在曲線C內(nèi)部

C.當(dāng)4B,P三點不共線時，貝吐4P0=NBP。

D.若0（2,2）,則|PB|+2|P0的最小值為4班

【答案】ACD

【分析】對于A,通過直接法求出點P的軌跡方程即可判斷；

對于B,利用點到圓心的距離，判斷點與圓的位置關(guān)系；

對于C,由題意，結(jié)合三角形內(nèi)角平分線定理進(jìn)行判斷即可；

對于D,將|PB|+2|PD|轉(zhuǎn)化為21PAi+21Poi進(jìn)行判斷即可.

【詳解】設(shè)P（x,y）,（P不與4B重合）,

由4(—2,0),B(4,0),有伊川=J(x+2)2+y2,|PB|=J(x—4產(chǎn)+產(chǎn),

篇=看艮吸=：禽=今化簡得（》+4）2+y2=16,

所以點P的軌跡曲線C是以C（-4,0）為圓心，半徑r=4的圓，如圖所示,

對于A選項，由曲線C的方程為（x+4）2+y2=16,選項A正確;

對于B選項，由BC=8,點B在曲線C外，選項B錯誤;

對于C選項，由|。*=2,|0B|=4,有昌=：=嵩,

則當(dāng)4,B,P三點不共線時，由三角形內(nèi)角平分線定理知，P。是aaPB內(nèi)角N4PB的角平分

所以N4P0=Z.BPO,選項C正確；

對于D選項，由解=得|PB|=2\PA\,

則\PB\+2\PD\=21P*+2\PD\=2(|P4|+\PD\)>2\AD\=2X-2-2)2+(0-2)2

=4V5,

當(dāng)且僅當(dāng)P在線段力。上時，等號成立，

則|PB|+2|PD|的最小值為4匹，選項D正確.

故選：ACD.

題型2阿氏圓與圓錐曲線

阿波羅尼斯圓的證明

【定理1】設(shè)P(x,y),&(—a,0),B(a,0).若麗=%(4>0且4彳1),則點P的軌跡方程是

(“—雪。)2+*=(含)1其軌跡是以(雪a,0)為圓心，半徑為「=|瑞|的圓.

證明：由PA=4PB及兩點間距離公式，可得(x+a)2+y2=A2&-a?+y],

化簡可得(1-A2)x2+(1-A2)y2+2(1+A2)ax+(1-A2)a2=。①，

(1)當(dāng)4=1時，得％=0,此時動點的軌跡是線段A8的垂直平分線；

(2)當(dāng)2豐1時，方程①兩邊都除以1—於得了+*+普鼾+a?=0,化為標(biāo)準(zhǔn)形式即

為：

(%—碧。丫+于=(含)[.-.點P的軌跡方程是以(碧a,0)為圓心，半徑為r=|匿|的

《圓錐曲線論》是古代世界光輝的科學(xué)成果，它將圓錐曲線的性質(zhì)網(wǎng)羅殆盡，幾乎使后人沒

有插足的余地，他證明過這樣一個命題：平面內(nèi)與兩定點距離的比為常數(shù)k(卜>。且々力1)

的點的軌跡是圓，后人將之稱為阿波羅尼斯圓，現(xiàn)有橢圓r：，+2=l(a>b>0),4B為

橢圓r長軸的端點，c、D為橢圓r短軸的端點，動點”滿足篇=2,△M4B的面積的最大

值為8,△MCD的面積的最小值為1,則橢圓廠的離心率為

【答案】李

【分析】設(shè)點M(x,y),根喘|=2可得出點M的軌跡方程，根據(jù)已知條件可得出關(guān)于a、b

的方程組，解出a、b的值，求出c的值，進(jìn)而可得出橢圓廠的離心率的值.

【詳解】設(shè)點M(x,y),設(shè)點4(一a,0)、B(a,0),

由制=2可得|M4|=2\MB\,即J(尤+a)2+*=2^/(%-a)2+y2,

整理可得爐+y2一等x+a2=o,即(刀_§+y2=/2,

所以，點M的軌跡是以點管,0)為圓心，以，為半徑的圓，

點M到久軸的距離的最大值為京，則△M4B的面積的最大值為:x2ax第=亨=8,

解得a=V6；

點M到y(tǒng)軸距離的最小值為羊=則△MCD的面積的最小值為?x2bx”1,

可得》=孚

“=必二京=竽，因此，橢圓廠的離心率為e="孚

故答案為：孚

【點睛】方法點睛：求解橢圓或雙曲線的離心率的方法如下：

(1)定義法：通過已知條件列出方程組，求得a、c的值，根據(jù)離心率的定義求解離心率e

的值；

(2)齊次式法：由已知條件得出關(guān)于a、c的齊次方程，然后轉(zhuǎn)化為關(guān)于e的方程求解；

(3)特殊值法：通過取特殊位置或特殊值，求得離心率.

【變式2-1]1.(2021?安徽黃山?統(tǒng)考一模)在平面上給定相異兩點A,B,設(shè)點P在同一

平面上且滿足圖|=%當(dāng)2>0且4片1時，P點的軌跡是一個圓，這個軌跡最先由古希臘

數(shù)學(xué)家阿波羅尼斯發(fā)現(xiàn)，故我們稱這個圓為阿波羅尼斯圓.現(xiàn)有雙曲線/-蕓=l(a>0,b

>0),Fi，F(xiàn)2分別為雙曲線的左、右焦點，A,B為雙曲線虛軸的上、下端點，動點P滿足

鬻=2,△P4B面積的最大值為4.點M,N在雙曲線上，且關(guān)于原點O對稱，Q是雙曲

線上一點，直線QM和QN的斜率滿足kQM-kQN=3,則雙曲線方程是；

過尸2的直線與雙曲線右支交于C,D兩點(其中C點在第一象限),設(shè)點M、N分別為△CFrF2

、△DF1F2的內(nèi)心，則|MN|的范圍是

【答案】/一卷=1[2,竽)

【分析】設(shè)4(0力),B(0,一b),P(x,y),根據(jù)瑞=2,求得好+(y-步=譚結(jié)合ApAB

的最大面積得到匕2=3,再根據(jù)%M，%N=3,得出設(shè)邊CF1,CF2,F1&上的切

點分別為RST,根據(jù)內(nèi)心的性質(zhì)，得到MNlx軸，設(shè)直線CD的傾斜角為8,在△MF2N中,

o_____

得到|MN|=而，進(jìn)而求得|MM的取值范圍.

【詳解】設(shè)4(0力)夙0,-b),P(x,y),

由題意知置=2,可得|PB|=2|P4|,即+(y+=)2=2j%2+(y_b)2,

整理得%2+(y-^)2=(?)2,可得圓心為(o,當(dāng)，半徑r=9，

所以△PAB的最大面積為：X2bX?=4,解得=3,即5+『=1,

設(shè)Q(x,y),MQi，yi),則N(-巧,一%),

則稱+?=1,可得出=y嗯，同理產(chǎn)=整戶

2222

y-yiy+y2.v-V?3(g-x)_3(g-xj)

則=m，kQN=―,則kQM-kQN=^7=02「2=3,

整理得a?=1,所以雙曲線的方程為/—?=1.

如圖所示，設(shè)邊CF1，CF2，F(xiàn)1F2上的切點分別為R，S,T,

則M,T橫坐標(biāo)相等,則|CR|==|尸』|,|尸2s|=|尸2"，

^\CF1\-\AF2\=2,即|CR|+|RFi|一(|CS|+\SF2\)=2,即|/?川一|SWI=2,

即|F17|—|F2rl=2,即點M的橫坐標(biāo)為Xo,則7(久0,0),

于是%o+c—(c—%o)=2,可得%0=1,

同樣內(nèi)心N的橫坐標(biāo)也為1,則MN1%軸，

nn

設(shè)直線CD的傾斜角為8,則NOF2N=^MF2O=90。*，

singcos2

在△MF2N中，|MN|=(c-a)[tan1+tan(90°-1)]=(c-+

由雙曲線的方程，可得。=1力=V3,貝卜=Va2+b2=2,

可得|MN|=前，

又由直線CD為雙曲線右支上的點，且漸近線的斜率為9=巡，傾斜角為60。,

可得60°<9<90°,即字<sine<1,

可得|MN|的取值范圍是［2,竽）.

【點睛】解答圓錐曲線的最值問題的方法與策略：

（1）幾何轉(zhuǎn)化代數(shù)法：若題目的條件和結(jié)論能明顯體現(xiàn)幾何特征和意義，則考慮利用圓錐

曲線的定義、圖形、幾何性質(zhì)來解決；

（2）函數(shù)取值法：若題目的條件和結(jié)論的幾何特征不明顯，則可以建立目標(biāo)函數(shù)，再求這

個函數(shù)的最值（或值域），常用方法：（1）配方法；（2）基本不等式法；（3）單調(diào)性法;

（4）三角換元法；（5）導(dǎo)數(shù)法等，要特別注意自變量的取值范圍.

【變式2-1】2.（2021上?吉林通化?高三梅河口市第五中學(xué)?？计谀┕畔ＥD數(shù)學(xué)家阿波

羅尼斯（約公元前262-190年），與歐幾里得、阿基米德并稱古希臘三大數(shù)學(xué)家；他的著作

《圓錐曲線論》是古代數(shù)學(xué)光輝的科學(xué)成果，它將圓錐曲線的性質(zhì)網(wǎng)絡(luò)殆盡，幾乎使后人沒

有插足的余地.他發(fā)現(xiàn)"平面內(nèi)到兩個定點4B的距離之比為定值4（441）的點的軌跡是

圓”.后來，人們將這個圓以他的名字命名，稱為阿波羅尼斯圓，簡稱阿氏圓.比如在平面

直角坐標(biāo)系中，4（0,1）、5（0,4）,則點P滿足4=3所得P點軌跡就是阿氏圓；已知點C

（—2,4）,Q為拋物線產(chǎn)=8%上的動點，點Q在直線x=-2上的射影為M為曲線（久+2）2+

*=4上的動點，則5MC|+|QH|+|QM|的最小值為.則|MC|+|Q”|+|QM|

的最小值為

【答案】V17；4-2四

【分析】⑴先利用阿氏圓的定義將轉(zhuǎn)化為“點到另一個定點D的距離，然后結(jié)合拋

物線的定義容易求得||MC|+\QH\+|QM|的最小值；

(2)由(1)知|MC|+|QH|+|QM|=|MC|+|QF|+|QM|N|MC|+|MF|,又當(dāng)過點M的

圓的切線與直線”平行且離直線“近時，\MC\+|MF|取得最小值即可求解.

【詳解】解：設(shè)PQy),由題意品=今即,整理得/+V=4.

因為圓(x+2)2+/=4可以看作把圓%2+y2=4向左平移兩個單位得到的，那么4點平移

后變?yōu)椤啊?,1),所以根據(jù)阿氏圓的定義，M滿足|MD|=：|MC|,

結(jié)合拋物線定義|Q”|=|QF|,

||MC|+\QH\+\QM=\MD\+\QM\+\QF\>\FD\(當(dāng)且僅當(dāng)D,M,Q,F四點共線，

且Q,"在D,尸之間時取等號),此時|FD|=7(-2-2)2+(1-0)2=V17,

故,|MC|+\QH\+|QM|的最小值為V17.

\MC\+\QH\+\QM\=\MC\+\QF\+\QM\>\MC\+\MF\(當(dāng)且僅當(dāng)M,Q,F三點共線時

等號成立),

根據(jù)光學(xué)的最短光程原理，我們從C點發(fā)出一束光，想讓光再經(jīng)過F點，光所用的時間一

定是最短的，由于介質(zhì)不變，自然可以把時間最短看作光程最短。

而光的反射性質(zhì)為法線平分入射光線與反射光線的夾角，并且法線垂直于過這一點的切線。

于是我們得到，當(dāng)過點M的切線與NCMF的角平分線垂直，即當(dāng)過點M的圓的切線與直線

FC平行且離直線FC近時，|MC|+|MF|取得最小值，此時切線方程為y=-%+2&-2,聯(lián)

立（x+2/+y2=4可得，此時M（近-2,V2）,

所以|MC|+\MF\>2J（魚—4）2+（V2-0）2=475-2V2.

故答案為：V17；政5-2四.

【點睛】關(guān)鍵點點睛：（1）問解題的關(guān)鍵是根據(jù)阿氏圓的定義，得“滿足|MD|=：|MC|；

（2）問解題的關(guān)鍵是當(dāng)過點M的圓的切線與直線FC平行且離直線FC近時，|MC|+|MF|取

得最小值.

【變式2-1]3.（2022下?浙江?高三校聯(lián)考開學(xué)考試）公元前3世紀(jì)，阿波羅尼奧斯在《圓

錐曲線論》中明確給出了橢圓和圓的一個基本性質(zhì)：如圖，過橢圓（或圓）上任意一點P

（不同于A,B）作長軸（或直徑）AB的一條垂線段，垂足為Q,則瑞器為常數(shù)k.若此

圖形為圓，則卜=；若k=則此圖形的離心率為

【分析】若圖形為圓，根據(jù)相似三角形可解；當(dāng)圖形為橢圓時，建立坐標(biāo)系，將問題坐標(biāo)化,

然后計算可得.

【詳解】若為圓，則△ABP為直角三角形，

因為所以△4PQ7PBQ,于是有制=制，所以瑞品=1

當(dāng)為圖形為橢圓時，如圖建立平面直角坐標(biāo)，設(shè)橢圓方程為總+\=1,點「（小刀）,

貝!J|4Q|=m+a,\BQ\=a-m,\PQ\=n,所以|ZQ||8Q|=a2—m2

又詈+苴=1,得層=爐—誓,即|pQ『=/一攀

【變式2-1]4.（2022?湖北?荊門市龍泉中學(xué)校聯(lián)考二模）歷史上第一個研究圓錐曲線的是

梅納庫莫斯（公元前375年-325年），大約100年后，阿波羅尼斯更詳盡、系統(tǒng)地研究了

圓錐曲線，并且他還進(jìn)一步研究了這些圓錐曲線的光學(xué)性質(zhì)：如圖甲，從橢圓的一個焦點出

發(fā)的光線或聲波，經(jīng)橢圓反射后，反射光線經(jīng)過橢圓的另一個焦點，其中法線。表示與橢圓C

的切線垂直且過相應(yīng)切點的直線，如圖乙，橢圓C的中心在坐標(biāo)原點，焦點為FK-C,0）,F2

(c,0)(c>0),由Fi發(fā)出的光經(jīng)橢圓兩次反射后回到Fi經(jīng)過的路程為8c.利用橢圓的光學(xué)性

質(zhì)解決以下問題：

(2)點P是橢圓C上除頂點外的任意一點，橢圓在點P處的切線為次2在I上的射影H在

圓/+產(chǎn)=8上，則橢圓C的方程為

【答案】1/0.5?+卷=1

【分析】(1)由題意得到關(guān)于a,c的等式，然后結(jié)合離心率的定義即可確定橢圓的離心率；

(2)由題意利用幾何關(guān)系求得a,b的值即可求得橢圓方程.

【詳解】設(shè)橢圓C的長軸長為2a(a>0),則由F1發(fā)出的光經(jīng)橢圓兩次反射后回到F1,經(jīng)過

的路程為2a+2a=4a=8c,從而e=

如圖示：

延長尸2凡%匕交于點FO.

在”尸2%中,PH_LF0F2,由反射角等于入射角，可得：乙F2PH=NFoPH,則吐2|=Mol且H

為&中點.

在△%七尸o中。"=1|FiFol=1(1^11+IPFol)=女IPF1I+仍92|)，

222

貝(J|PFi|+|PF2|=4V2=2a,:.a=2vxe=V2,h=a—c=8—2=6,

所以橢圓方程為總+9=1.

故答案為:f+$=l.

題型3阿氏圓求非對稱型最值

即\"重叁、

當(dāng)題目給了阿氏圓和一個定點，我們可以通過下述方法快速找到另一個定點，便于計算，令

圓0與直線0A相交于M,N兩點設(shè)點E為0A上一點,且滿足第=A,由阿氏圓定理熊=

A,慧=晨貝1MN=ANE^OA-R=4(R—0E),：.AOE=(1+QR-。4①

同理AM=AME=>R+OA=4(0E+R)z.,.AOE=(1—+。/②

由①②消OA得：22OE=2R,即心=L即R=40E,由①②消R得：。4=〃0E,

因此，滿足條件的點E在阿氏圓的圓心和定點A的連線上，且今=局琛=A2.

MXOEWA

^<wwvw>zwwv5Z'zwwxrwwrww>z>zwAzv\<vWWWVWWWWWWWWWWWWWWWWWWWW\A/WWWWWWWWVWWVWV\

【例題3](2022?全國?高三專題練習(xí))已知點P是圓Q-4)2+(y—4)2=8上的動點，A

(6,-1),0為坐標(biāo)原點，貝！IP。+2P4的最小值為^

【答案】10

【分析】解法1：借助阿波羅尼斯圓的逆用，得至！JP0+2P4=2(P4+P4),進(jìn)而根據(jù)三點

共線即可求出最值；

解法2：將PO+2P4=Jx2+y2+2J(x—6)2+(y+1)2轉(zhuǎn)化為=2

(V(%-3)2+(y-3)2+7(%-6)2+(y+l)2),進(jìn)而結(jié)合進(jìn)而根據(jù)三點共線即可求出最值.

【詳解】解法1：阿波羅尼斯圓的逆用

假設(shè)4(%1),使得P0=2P4,

則JR+產(chǎn)=2yj(x—m)2+(y—n)2,

從而可得37—8mx+4m2+3y2—8ny+4n2=0,

從而可知圓心坐標(biāo)為(等，勃

所以等=4,y=4,解得巾=n=4,即4(3,3).

所以P。+2PA=2(P4+PA)>2A'A

=27(6-3)2+(-1-3)2=10.

即P。+2P4的最小值為10.

解法2:代數(shù)轉(zhuǎn)逆法

由(％—4/+(y—4)2=8,得%2+y2=8%+8y—24.

PO+2PA=+y2+2，(第一6)2+(丫+1)2

(x2+y2--------------

=2IJ^—+V(%-6)2+(y+l)2

I3--------------

=2(%2+y2)-4(%2+y2)+J(%一6)2+(y+1)2

=2(J%2+y2_(6%+6y_18)+J(%—6)2+(y+1)2)

=2(J(x—3)2+(y—3)2+J7-6)2+(y+l)2)

7(x-3)2+(y-3)2+J(x—6丁+0+1)2表示的是動點(%7)與(3,3)和(6,-1)之間的距

離之和，當(dāng)且僅當(dāng)三點共線時，和最小，

故P。+2PA>27(6-3)2+(3+I)2=2x5=10.

【變式3-1】1.(2022?全國?高三專題練習(xí))已知圓C：(x—l)2+(y—1)2=1,定點P

是圓C上的動點，B(2,0),。是坐標(biāo)原點，則或P0+PB的最小值為

【答案】V5

【分析】解法1：阿波羅尼斯圓的逆用，設(shè)⑶⑺刀)，使得PB=?PB，，利用兩點間的距離

公式化簡可求得夕得直線B夕與圓C相交，則魚P。+PB=V2(P0+P9)>V20B-,

從而可求得其最小值，解法2：代數(shù)轉(zhuǎn)逆法，V2P0+PB=V27%2+y2+7(x-2)2+y2=

V2V^+^+j(x-|)2+(y-1)2,可得當(dāng)點。,(l，3共線，且P在。夕之間時取得最

小值.

【詳解】解：解法1：阿波羅尼斯圓的逆用

設(shè)使得PB=&PB，,

則(x—2)2+y2=2[(x—m)2+(y—n)2],

整理，得/-4(m-l)x+y2-4ny+2(m2+n2-2)=0,

即[%—2(m—l)]2+(y—2n)2=2m2+2n2—8m+8=2(m—2)2+2n2

所以2(m—1)=1,2九=1,從而

經(jīng)驗證，知直線B房與圓C相交.

從而魚尸。+PB=a(P。+P所)>y/2OB,

=V2?I-+-=V2?日=收.

74472

所以&P。+PB的最小值為后

解法2:代數(shù)轉(zhuǎn)逆法

V2PO+PB=?久2+y2+，(K—2)2+y2

所以揚(yáng)+PB的最小值為后

故答案為：V5

【點睛】關(guān)鍵點點睛：此題考查點與圓的位置關(guān)系，考查阿波羅尼斯圓的逆用，解題的關(guān)鍵

是根據(jù)阿波羅尼斯圓，設(shè)反⑺刀），使得PB=或PB，，化簡后將問題轉(zhuǎn)化為魚P。+PB=魚

（P。+PB，）><20B',考查數(shù)學(xué)轉(zhuǎn)化思想，屬于較難題.

【變式3-1】2.（2021?全國?高三專題練習(xí)）阿波羅尼斯是古希臘著名數(shù)學(xué)家，他對圓錐曲

線有深刻系統(tǒng)的研究，主要研究成果集中在他的代表作《圓錐曲線論》一書，阿波羅尼斯圓

是他的研究成果之一，指的是：已知動點M與兩定點A,B的距離之比為人（入>0,入H1）,

那么點M的軌跡就是阿波羅尼斯圓.下面我們來研究與此相關(guān)的一個問題，已知圓0:x2

+y2=1上的動點M和定點A（",0）,B（1,1）,則21MAi+|MB歸勺最小值為（）

A.V6B.V7

C.VioD.VTT

【答案】C

【分析】討論點M在x軸上與不在x軸上兩種情況，若點M不在x軸上，構(gòu)造點K（-2,

0）,可以根據(jù)三角形的相似性得到靄=需=2,進(jìn)而得到2|MA|+|MB|=|MB|+|MK|,

最后根據(jù)三點共線求出答案.

【詳解】①當(dāng)點M在x軸上時，點M的坐標(biāo)為（-1,0）或（1,0）.

若點M的坐標(biāo)為（-1,0）,則21MAi+|MB|=2x3+J（i+i）2+/=i+遮;

若點M的坐標(biāo)為（1,0）,則21MAi+|MB|=2x|+J（i—1尸+12=4.

②當(dāng)點M不在x軸上時,取點K（-2,0）,如圖,

JA

連接OM,MK,因為|OM|=1,|OA|=g,|OK|=2,

所以儂=儂=2

因為NMOK=NAOM,

所以AMOKSAAOM,則叫4=%詈=2,

所以MK|=2|MA|,則21MAi+|MB|=|MB|+|MK|.

易知|MB|+|MK|2|BK|,

所以|MB|+|MK|的最小值為|BK|.

因為B(1,1),K(-2,0),

所以(2|MA|+|MB|)min

二|BK|=J(—2—1)2+(0—1)2=V10.

又V1U<1+V5<4,所以21MAi+|MB|的最小值為V1U.

故選：C

【變式3-1】3.(2023下?廣東東莞?高三東莞實驗中學(xué)?？奸_學(xué)考試)對平面上兩點A、B,

滿足嵩=A(Z豐1)的點P的軌跡是一個圓，這個圓最先由古希臘數(shù)學(xué)家阿波羅尼斯發(fā)現(xiàn),

命名為阿波羅尼斯圓，稱點A,B是此圓的一對阿波羅點.不在圓上的任意一點都可以與關(guān)

于此圓的另一個點組成一對阿波羅點，且這一對阿波羅點與圓心在同一直線上，其中一點在

圓內(nèi)，另一點在圓外，系數(shù)幾只與阿波羅點相對于圓的位置有關(guān).已知4(1,0),B(4,0),D

(0,3),若動點P滿足嵩=提則2|PD|+|PB|的最小值是

【答案】2V10

【分析】根據(jù)阿波羅尼斯圓定義可確定篇=9，利用三角形三邊關(guān)系可知當(dāng)4P,。三點共線

時，2\PD\+2\PA\=2\AD\,即為所求最小值.

由題意知:篇=今即|PB|=2|P4|,

???2\PD\+\PB\=2\PD\+2\PA\>2\AD\（當(dāng)且僅當(dāng)三點按順序共線時取等號）,

又="2+32=V10,2|PD|+|PB|的最小值為2國；

故答案為：2V10.

【變式3-1]4.(2021?江西贛州?統(tǒng)考模擬預(yù)測)阿波羅尼斯是古希臘著名數(shù)學(xué)家，與歐幾

里得、阿基米德并稱為亞歷山大時期數(shù)學(xué)三巨匠，他對圓錐曲線有深刻而系統(tǒng)的研究，阿波

羅尼斯圓是他的研究成果之一，指的是：已知動點M與兩定點A,B的距離之比為2(4>0,

4H1),那么點M的軌跡就是阿波羅尼斯圓，簡稱阿氏圓.已知在平面直角坐標(biāo)系中，圓

。:/+產(chǎn)=1、點/一go)和點B(O,JM為圓。上的動點，則21M川一|MB|的最大值為

()

A.|B.C.1D.孝

【答案】B

【分析】令21MAi=|MC|,則牌｝=今由阿氏圓的定義可知：C(-2,0),由數(shù)形結(jié)合可知

2\MA\-\MB\=|MC|-|MB|的最大值

【詳解】設(shè)M(x,y),^2\MA\=\MC\,則^'=今

由題知圓/+/=1是關(guān)于點A、C的阿波羅尼斯圓，且4=

設(shè)點C(?n,n),則黑^=1

2,

7(x-m)2+(y-n)2

整理得：/+產(chǎn)+號％+為=巨宇1

比較兩方程可得：誓=0,與=0,正萼」=1,即巾=—2,n=0,點c（—2,0）,

當(dāng)點M位于圖中場的位置時，2\MA\-\MB\=|MC|—|MB|的值最大，最大為|BC|=字.

故選：B.

【點睛】關(guān)鍵點點睛：本題主要考查直線和圓的位置關(guān)系，圓上動點問題，解題的關(guān)鍵是通

過數(shù)形結(jié)合知兩線段距離差的最值是在兩端點為起點的的射線上，屬于一般題.

【變式3-1】5.（2022上?湖北恩施?高三恩施土家族苗族高中校聯(lián)考期末）希臘著名數(shù)學(xué)

家阿波羅尼斯與歐幾里得、阿基米德齊名他發(fā)現(xiàn)："平面內(nèi)到兩個定點4B的距離之比為定

值"％彳1）的點的軌跡是圓".后來，人們將這個圓以他的名字命名，稱為阿波羅尼斯圓，簡

稱阿氏圓.已知在平面直角坐標(biāo)系中，^4（-2,1）,B（-2,4）,點P是滿足;l=g的阿氏圓上

的任一點，則該阿氏圓的方程為；若點Q為拋物線E:y2=4x上的動點,

Q在y軸上的射影為“，則如B|+|PQ|+|QH|的最小值為

【答案】(x+2)2+y2=4;V10-1/-1+VT0.

【分析】設(shè)點P坐標(biāo)，根據(jù)題意寫出關(guān)于X與y的關(guān)系式化簡即可;

由|P4|=!|PB|,|QH|=|QF|—1,代入g|PB|+|PQ|+|Q*中，即可取出最小值.

【詳解】設(shè)點P（M）,,；%=

空」J(x+2)2+(y—l)2_1

"PB~2J(*+2)2+(y—4)2-2

=>(%+2)2+y2=4.

拋物線的焦點為點匕由題意知尸(1,0),\QH\=\QF\-1,

=：|PB|,.-.U\PB\+\PQ\+\QH\)=(\PA\+\PQ\+\QF\-l)min=\AF\-1=

y/min

J(—2-1)2+12-1=V10-1.

故答案為：(x+2)2+y2=4；Vio-1.

題型4阿氏圓與向量

.____>,2x__>.v

【例題4】(2022?全國?高三專題練習(xí))已知8c=6,AC=248,點D滿足A。=—+2(%+y)

AC,設(shè)/(x,y)=|砌，若/(x,y)2f3),yo)恒成立，則/'(配油的最大值為.

【答案】4

【分析】將已知而=^-AB+心聲變形為京（2項+忘9前），設(shè)延長AB至點F,

使得|4F|=2|4B|,取AC的中點E,并通過自+擊=1得出點D在EF上,再通過

4BC與已知條件得出/'（羯見）=|而Imin=\AG\,設(shè)=m,再通過面積法與正、余弦定

理得出|4G|即可利用一元二次方程最值與根式性質(zhì)得出答案.

【詳解】延長AB至點F,使得|4尸|=2網(wǎng),取AC的中點E,連接EF,

則而=施而+會聲，

=/（2布）+嘉（網(wǎng)，

x---->,y----?■

=^AF+—AE,

??士+上=1

?x+yx+y'

???點D在EF上，過點A作4G1EF于點G,

由"邊角邊”公理可得：AAEF=AABC,

：.EF=BC=6,

?."(x,y)=\AD\,且fQy)>fg,y。)恒成立,

,'t/(xO,yo)=l"D|min=|AG|,

設(shè)|48|=山，根據(jù)面積法知:

|ZE||/R|sin4

M5一\EF\

m-2m-sinA

-6-

_2

=拳isnA,

m2m2+4m2-362

2-m-2m

*2

—^r(m—20)+144<|x12=4Z

I.16J

當(dāng)且僅當(dāng)巾=2傷時等號成立,

???f(.xo,yo)max-4,

故答案為：4.

【變式4-1】1.(2020下?河北石家莊?高三石家莊二中校考階段練習(xí))已知點4(0,1),B

(1,0),CQO),點D是直線AC上的動點，若|而|42|前］恒成立，則最小正整數(shù)t

【答案】4

【解析】設(shè)點D(%y),根據(jù)I而I<2|前|列出關(guān)于D(x,y)的關(guān)系式，再數(shù)形結(jié)合分析即可.

【詳解】設(shè)點D(x,y),因為點。是直線力C上的動點，故/=+ty-t=O.

由|而|<2|而|得/+(y-1)2<4[(%-1)2+y2],化簡得(x—[丫+(,+鄉(xiāng)22*

依題意可知,直線力C與圓(％+(y+1/=?至多有一個公共點，

所以里>2解得t>2+百或t<2-遮.所以最小正整數(shù)t=4.

Vl+t279

故答案為：4

【點睛】本題主要考查了直線與圓和向量的綜合運(yùn)用，需要設(shè)點的坐標(biāo)表達(dá)所給的信息，再數(shù)

形結(jié)合利用圓心到直線的距離列式求解.屬于中檔題.

【變式4-1】2.(2019上?浙江?高三統(tǒng)考期末)已知方，B是平面內(nèi)兩個互相垂直的單位向

量，若向量滿足信一回=2，則|五+石一磯+2年一臼最小值為

【答案】1

【分析】建立坐標(biāo)系，設(shè)&L0),設(shè)65=H,OB=b,貝!|吊+石一曾+2忙

-b\=CD+2BC,構(gòu)造相似三角形，設(shè)可得44EC-AACD,所以同+b-c\+2\c-

T5

b\=CD+2BC=2(BC+CE),2BE=

【詳解】如圖，a(l,0),B(0,l),D(l,l),設(shè)瓦？=五，礪=乙則向量冷茜足但—磯=1設(shè)瓦=

c,所以點C為以力為圓心，以/為半徑的圓上的一點，

所以只+b-c\=\OD-OC\=\CD\,同理2年-b\=2\BC\,

取點E(1,J則第=有，又因NCaE=H4C,

所以44ECSA4CD,

所以需=5即CD=2CE,

所以|丘+b-c\+2\c-b\=CD+2BC=2CE+2BC=2(BC+CE),

2

由三角形的三邊關(guān)系知2(BC+CE)>2BE=2.+g)=2x^=|.

故填：|

【點睛】本題考查向量的坐標(biāo)運(yùn)算，向量的模，向量模的幾何意義，考查函數(shù)與方程思想、

轉(zhuǎn)化與化歸思想、數(shù)形結(jié)合思想，考查邏輯推理能力和運(yùn)算求解能力，求解時注意構(gòu)造相似

三角形等知識，屬于難題.

【變式4-1］3.（2019?浙江寧波?浙江省寧波市鄲州中學(xué)?？寄M預(yù)測）已知向量五五滿足

|a|=||S|=\c\=l,a-b=l,則1+同+如一瓦的取值范圍是

【答案】［行訴］

【解析】根據(jù)幾何關(guān)系，設(shè)點4時的坐標(biāo)，點c在單位圓上，故M=k+同+券—方|=3

（|前|+|前|）,當(dāng)B,E,C三點共線時，即點C在蠢處時，取最小值，以及數(shù)形結(jié)合分析出最大

值，計算得到答案.

【詳解】因為|花|=L歷|=2/i=1,所以〈林〉=設(shè)。4=a,OB=b,OC=c,OD=-

IT

2a,

即⑨,。(一加)，點依單位圓%2+y2=1上，

因為卜+同+||c-b\=\OC-OD\+||OC-OB\=\DC\+||BC|,

__>.-1__-

設(shè)|DC|=-|FC|,C(x,y),F(m,n),

即J(x+1)2+y2=(x-m)2+(y-n)2'故E(-2,0),

所以“=1+同+翡一引=*|前|+|園),

如圖，（1）當(dāng)B,E,C三點共線，即點C在Ci處時，取最小值.

因為M=|c+|a|+乖-引=|(|￡C|+|SC|)>||B￡|=V3,所以Mmin=V3,

(2)當(dāng)C位于。2處時，取最大值，M=|(|FC2|+\C2B\)=V7,

因為2(1前|2+函2)=(2CC1)2+(EB)2<(4)2+(2V3)=28,

BP|FC|2+|SC|2<14,

所以I明:畫Iw叵婢當(dāng)且僅當(dāng)面1=1阮1取等號，

nyj2

故答案為：

【點睛】關(guān)鍵點點睛：本題考查向量模的最值問題，主要考查轉(zhuǎn)化分析，數(shù)形結(jié)合分析，屬

于中檔題型，本題的關(guān)鍵是根據(jù)根據(jù)條件設(shè)出定點和動點的坐標(biāo)，根據(jù)數(shù)形結(jié)合分析，轉(zhuǎn)化

為點c位置討論的問題.

【變式4-1】4.(2018?江蘇揚(yáng)州??？既?已知等邊4ABe的邊長為2,點P在線段4C上,

若滿足麗?麗-24+1=0的點P恰有兩個，則實數(shù)4的取值范圍是

【答案】|<A<

【詳解】分析：設(shè)PA=x(0<%<2),根據(jù)同-PB-2A+1=。得到關(guān)于x的函數(shù)，由題意

可得該函數(shù)在區(qū)間［0,2］上有兩個不同的零點，然后根據(jù)二次函數(shù)的相關(guān)知識可得實數(shù)4的取

值范圍.

詳解：如圖，設(shè)P4=x(0WxW2),貝(!PC=2—x,

則而^PA+AB=-^AC+AB,

又AC?AB=2X2xcos60°=2,

.\PA-PB=~^AC-（-|XC+而）=^AC2-^AC-AB=x2-x.

?.滿足同?而—24+1=。的點P恰有兩個，

二關(guān)于x的方程/-%-24+1=0在區(qū)間［0,2］上有兩個不同的實數(shù)根.

設(shè)/'（x）=x2-X-2A+1,

則函數(shù)八X）在區(qū)間［0,2］上有兩個不同的零點，

A=1-4（-22+1）>0

/（0）=-2A+l>03

/（2）=3-2A>0,解彳戔<%工子

{0<|<2

實數(shù)那取值范圍是尊.

點睛：（1）用定義進(jìn)行向量的數(shù)量積運(yùn)算時，有時要注意選擇合適的基底，將所有向量用

同一基底表示，然后再根據(jù)數(shù)量積的運(yùn)算律求解.

（2）對于一元二次方程根的分布問題，可根據(jù)“三個二次"間的關(guān)系，結(jié)合二次函數(shù)的圖

象轉(zhuǎn)化為不等式（組），通過解不等式（組）可得所求.

【變式4-1】5.（2019?重慶渝中?高三重慶巴蜀中學(xué)?？茧A段練習(xí)）在ZL4BC中，4=120。,

AB-2AC=6,點。滿足4。=3x+3，B+梟力。，貝山而|的最小值為

【答案】誓

【分析】令屈=癡，AF=2AC,可得而=焉通+焉而，即D在直線EF上，從而當(dāng)

AD1EF時|而|最小，結(jié)合三角形知識得到結(jié)果.

【詳解】AD=儡那+梟冠=/6碼+白2女），

令屈號福AF=2AC,

則而=擊屈+言甌

因為京+擊=1,

所以。在直線EF上，從而當(dāng)4D1EF時|而|最小，

在4AEF