第4屆全國大學生數(shù)學競賽決賽試卷評分標準（非數(shù)學類）_第1頁
第4屆全國大學生數(shù)學競賽決賽試卷評分標準（非數(shù)學類）_第2頁
第4屆全國大學生數(shù)學競賽決賽試卷評分標準（非數(shù)學類）_第3頁
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12.設(shè)f(u,v)具有連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，且滿足fu(u,v)+fv(u,v)=uv求y(x)=e?2xf(x,x)所滿,足的一階微分方程．并求其通解.3.求在[0,+∞)上的可微函數(shù)f(x)，使f(x)=e?u(x)，其中.?2xf(x,x)+e?2xfu(x,x)+e?2xfv(x,x)=?2y+x2e?2x（C為任意常數(shù)）2arctanxd5.解設(shè)F(x,y,z)=3x2+y227，則曲面法向量為設(shè)所求切點為P0(x0,y0,z0)，則000（1分）（1分）（1分）（2分）2+y2,1記,從原點出發(fā)過點(x,y,z)的射線與z軸的夾角為θ.則有cosθ=.質(zhì)點和面積微元dS之間的引力為dF=G,而cosθ=Gρ(4分)3在z軸上的區(qū)間[1,2]上取小區(qū)間[z,z+dz],相應(yīng)于該小區(qū)間有證明：存在.證當t>0時，對函數(shù)ln(1+x)在區(qū)間[0,t]上用拉格朗日中值定理，有所以，當x≥1時，有f'(x)>0，即f(x)在[1,+∞)上單調(diào)增加.故dt，所以f即f(x)≤f(1)+1，f(x)有上界.(4分)由于f(x)在[1,+∞)上單調(diào)增加且有上界，所以存在.(1分)42(0)試證在(?2,2)內(nèi)至少存在一點ξ,使得f(ξ)+f′′(ξ)=0.ξ1設(shè)F(x)=f2(x)+[f′(x)]2,則|F(ξ1)|≤2,|F(ξ2)|≤2.（*）(2分)由于F(0)=f2(0)+[f′(0)]2=4,且F(x)為[ξ1,ξ2]上的連續(xù)函數(shù)，應(yīng)用閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的最大值定理，F(xiàn)(x)在[ξ1,ξ2]上必定能夠取得最大值，設(shè)為M.則當ξ為F(x)的最大所以ξ必是F(x)的極大值點.注意到F(x)可導(dǎo)，由極值的必要條件可知F′(ξ)=2f′(ξ)[f(ξ)+f′′(ξ)]=0由于F(ξ)=f2(ξ)+[f′(ξ)]2≥4,|f(ξ)|≤1,可知f′(ξ)≠0.由上式知f(ξ)+f′′(ξ)=0.?ydxdyD5且記d?drcos?則注意到在D1\D3,D2,D3的符號分別為負,正,正.則

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