2023年全國中學(xué)生數(shù)學(xué)奧林匹克競賽廣西賽區(qū)選拔賽試題參考答案（考試時間：2023年5月21日9：00-11：30）一、填空題（本大題共8小題，每小題10分，共80分.）二、解答題（本大題共4小題，共70分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.）1.（本小題滿分15分）設(shè)S0是以定點P0為球心半徑為r的球面，π0是一個固定平面，P0到π0的距離a>r．設(shè)SM是以點M為球心的球面，它與S0外切并與π0相切．令Λ為滿足上述條件的球心M構(gòu)成的集合．設(shè)平面π與π0平行且在π上有Λ中的點．設(shè)dΣ是平面π與π0之間的距離，求dΣ的最小值m.解：過P0作π0的垂線，交π0為O．以O(shè)為原點，π0為xoy面建立空間坐標(biāo)系使得P0的坐標(biāo)為(0,0,a).2.（本小題滿分15分）設(shè)函數(shù)f(x)在區(qū)間I上有定義．若f(αx1+(1-α)x2)≤αf(x1)+(1-α)f(x2)對任意的實數(shù)x1，x2∈I和任意的α∈(0,1)恒成立，則稱函數(shù)f(x)為區(qū)間I上的一個凸函數(shù)．例如，f(x)=ex是(-∞,+∞)上的一個凸函數(shù).證明：(1)由f(x)=ex是(一∞,+∞)上的一個凸函數(shù)可得pqpq由(1)(Young不等式)可得從而有因此，xkyk≤AB=其中a1a2a3…an…中有無限多項不為0，則稱a為一個十進制無限小數(shù)．設(shè)a為一個十進制無限小數(shù)．若存在自然數(shù)n,k使得an+i=an+k+i對任意的自然數(shù)i均成立，則稱a為一個循環(huán)小數(shù)；否則，稱a為一兀個不循環(huán)小數(shù)．例如，0.19898…98…和0.8=0.799…9…是循環(huán)小數(shù)=0.314159…是一個不循環(huán)小數(shù)．已知(0,1]的每一個數(shù)均與一個十進制無限小數(shù)一一對應(yīng).(1)求證:若(a,b)(0,1)，則存在循環(huán)小數(shù)c∈(a,b)．即：循環(huán)小數(shù)在(0,1)中稠密.(2)求證:(0,1]中所有的數(shù)不能排列成一個數(shù)列α1,α2,α3,…,αn,…，即：(0,1]是一個不可數(shù)集.(3)用分?jǐn)?shù)表示循環(huán)小數(shù)a=0.365365…365….kb1b2b3…bn…中有無限多項不為0，故存在m>k,bm≠0.mi因此，循環(huán)小數(shù)在(0,1)中稠密.(2)假設(shè)(0,1]中所有的數(shù)可以排列成一個數(shù)列α1,α2,α3,…,αn,…．記αk=0.ak1ak2ak3…akn…．若整數(shù)m，a≠αm，矛盾．因此，(0,1]是一個不可數(shù)集.意的正數(shù)M均存在相應(yīng)的自然數(shù)N，當(dāng)n>N時Sn>M，則稱1an=+若f:Z+→Z+是正整數(shù)集Z+上的一個一一對應(yīng)，則稱f(1),f(2),…,f(n),…是Z+的一個重排，稱 是的一個重排．求證：證明：(1)對任意的正數(shù)M，取N=4+…+Σ2N-1+1 Σ>n