整式運算中含參數(shù)及新定義型問題解題技巧

（6類熱點題型）

目錄

【考點一利用單項式乘法求字母或代數(shù)式的值】...................................................1

【考點二利用單項式乘多項式求字母的值】.......................................................4

【考點三已知多項式乘積不含某項求字母的值】..................................................5

【考點四多項式乘多項式與圖形面積中無關(guān)型問題】.............................................10

【考點五完全平方式中的字母參數(shù)問題】........................................................16

【考點六整式的運算中的新定義型問題】........................................................18

【考點一利用單項式乘法求字母或代數(shù)式的值】

例題：（24-25八年級上?黑龍江綏化?階段練習(xí)）設(shè)①-y+2）.（/y）=x5/，則/的值為（）

A.1B.-1C.3D.-3

【答案】B

【知識點】利用單項式乘法求字母或代數(shù)式的值

【分析】本題考查單項式的乘法，根據(jù)，1曾"=1+"求解即可得到答案；

【詳解】解：由題意可得，

,n+2\,.n+2+2、.6加一1_.〃+4

%yJ]'yj=xy—xy,

6m-1=5,?+4=3,

解得：m=\,n=-\,

nm=（—I）1=—1,

故選：B.

【變式訓(xùn)練】

3

1.(24-25八年級上?河南南陽?階段練習(xí))已知單項式6Yy與一/的積為機/式,則"的值為()

A.12B.9C.6D.3

【答案】C

【知識點】利用單項式乘法求字母或代數(shù)式的值

【分析】根據(jù)單項式乘單項式法則可得6/y.(-;XV2)=-9X3+"J?,即可求出加、您的值.

本題主要考查了單項式乘單項式法則：把它們的系數(shù)、相同字母的幕分別相乘，其余字母連同它的指數(shù)不

變，作為積的因式.

a

【詳解】V6x3y(-|xy)=-9x3+y,

二.-9針〉3-,

二m=-9,3+〃=9,

:.n=6.

故選：C.

2.(24-25八年級上?黑龍江綏化?階段練習(xí))設(shè)(x，/+2).(—/)=/丁，則心的值為()

A.1B.-1C.3D.-3

【答案】B

【知識點】利用單項式乘法求字母或代數(shù)式的值

【分析】本題考查單項式的乘法，根據(jù)旌?a"=腔+"求解即可得到答案；

【詳解】解：由題意可得，

,n+2\,.n+2+2、.6加一1_.〃+4

%yJ]'yj=xy—xy,

-.■(xm-y+2).(x5V)=xy,

6m-1=5,?+4=3,

解得：m=\,n=-\,

nm=(—I)1=—1,

故選：B.

3.(23-24七年級下,全國?單元測試)已知單項式3工，與2孫2的積為加x》"，那么加-"=()

A.11B.5C.1D.-1

【答案】C

【知識點】利用單項式乘法求字母或代數(shù)式的值

【分析】根據(jù)單項式乘單項式法則可得3x2jA2x/=6x3y5,求出機、〃的值，然后代入加-力中計算求解即

可.

本題主要考查了單項式乘單項式法則：把它們的系數(shù)、相同字母的幕分別相乘，其余字母連同它的指數(shù)不

變，作為積的因式.熟練掌握單項式與單項式相乘的法則是解題的關(guān)鍵.

【詳解】^x2y3-2xy2=6x3y5,

/.mxyn=6x3y5,

；.m=6,n=5,

:.m-n=6-5=\.

故選：C.

4.（23-24七年級下?全國?假期作業(yè)）若（4為九3,則加+〃的值為.

142

【答案】y/4j

【知識點】利用單項式乘法求字母或代數(shù)式的值、代入消元法

【分析】本題主要考查了單項式乘以單項式，根據(jù)單項式乘以單項式的計算法則得到優(yōu)―“-/+2+2“=爐/,

\m+2n=5

據(jù)此可得。.。，解之即可得到答案.

[3〃+2=3

【詳解】解：???（a"""*

...4加+1+2〃-/+2+2〃=。5人3,

[m+2n=5

寸3〃+2=3'

13

m=一

3

1

n=—

3

14

：.m+n=——,

3

14

故答案為：—.

5.（23-24六年級下?山東青島?階段練習(xí)）已知-2/向/與4婷/的積與_4,/是同類項.

（1）求私〃的值，

⑵先化簡，再求值：5加%.（—3〃）2+（6加〃丁?（-加〃）-加〃3?（-4加）2.

【答案】（1）m=2,n=-l

⑵-7冽，3,56

【知識點】積的乘方運算、利用單項式乘法求字母或代數(shù)式的值

【分析】本題主要考查了單項式乘以單項式，積的乘方，同類項的定義：

（1）先根據(jù)單項式乘以單項式的計算法按照求出-2/優(yōu)+。2〃,4x-y=-8x3w+1-yn+4,再由同類項的定義得

到3加+1-3=4,2〃+4=2,解之即可得到答案;

（2）先計算積的乘方，再計算單項式乘以單項式，然后合并同類項化簡，最后代值計算即可.

【詳解】(1)解：-2x3m+ly2"-4x、4=-8x3m+—y2”+4,

???一2/附+。2"與4d/的積與一4//是同類項，

一8一+13/,+4與-4//是同類項，

3nl+1—3=4,2〃+4=2,

/.m=2fn=—l；

(2)解：5加%?(-3〃y+(6加〃J?(一加〃)-mn3?(-4m)2

=5m3n?9n2+36m2n2?(—mn)-mn3-16m2

=45加，3一36加3九3一16加3/

=-7m3n3，

當(dāng)m=2,〃=一1時，原式=-7x2?x(-1：=56.

【考點二利用單項式乘多項式求字母的值】

例題：(24-25八年級上?河南周口?階段練習(xí))若%(%+2)="2+法，貝1］。+6=()

A.3B.2C.1D.0

【答案】A

【知識點】利用單項式乘多項式求字母的值

【分析】本題考查了單項式乘多項式，解決本題的關(guān)鍵是掌握單項式乘多項式法則；根據(jù)單項式乘多項式,

可得相等的多項式，根據(jù)相等多項式的項相等，可得mb的值，根據(jù)有理數(shù)的加法，可得答案.

【詳解】解：*/x(x+2)=x2+2x=ax2+bx,

?.a=l,b=2,

..tz+b=3,

故選：A.

【變式訓(xùn)練】

1.(23-24七年級下?河南周口?階段練習(xí))若x2+ax=x(x+4),則。的值為()

A.2B.3C.4D.8

【答案】C

【知識點】利用單項式乘多項式求字母的值

【分析】本題主要考查了單項式乘以多項式，根據(jù)單項式乘以多項式的計算法則求出無(》+4)的結(jié)果即可得

到答案.

【詳解】解：???x2+ax=x(x+4),

x2+ax=x2+4x,

???Q=4,

故選：c.

2.(23-24七年級下?山東淄博?階段練習(xí))已知x(x-a)+6(x+a)=x2+5x-6,當(dāng)x為任意數(shù)時該等式都成

立，則』(6T)+6(a+l)的值為()

A.17B.-1C.-1D.-17

【答案】B

【知識點】利用單項式乘多項式求字母的值

【分析】本題主要考查了整式乘法混合運算.先把原式變形為，+(-。+6H+仍=/+5*-6,根據(jù)當(dāng)》為

任意數(shù)時該等式都成立，可得-。+6=5,仍=-6,然后代入，即可求解.

【詳解】解：x(x-a)+/?(x+a)=x2+5x-6,

.-.x2+(-a+b)x+ab=x2+5x-6,

■.■x(x-a)+b(x+a)^x2+5x-6,當(dāng)x為任意數(shù)時該等式都成立，

-a+b=5,ab=-6,

。伍一1)+6(〃+1)

=ab-a+ab+b

=2ab-a+b

=2x(-6)+5

=-7

故選：B

3.(23-24八年級上?重慶渝中?期中)若》卜2-。)+3%-26=》3+5》一6對任意工都成立，則〃+/,=.

【答案】1

【知識點】利用單項式乘多項式求字母的值

【分析】本題主要考查單項式乘多項式，解答的關(guān)鍵是對相應(yīng)的運算法則的掌握.利用單項式乘多項式的

法則對等式左邊進行整理，再結(jié)合等式的性質(zhì)進行求解即可.

【詳解】解：光卜2-a)+3x-26=1+5%-6,

x3—ax+3x—2b=X3+5x—6,

+(—a+3)x—2b=V+5x—6,

???原式子對任意1都成立，

—ci+3=5,—2b=-6,

解得：a=—2,b=3,

a+6=—2+3=1.

故答案為：1.

【考點三已知多項式乘積不含某項求字母的值】

例題：(24-25八年級上?河南駐馬店?期中)若(--俏x-")(x+2)的乘積中不含公項和x項,則臚=

【答案】16

【知識點】已知多項式乘積不含某項求字母的值

【分析】本題考查多項式乘多項式，將原式展開并合并同類項，根據(jù)題意求得小"的值后代入心中計算

即可.

【詳解】解：(x2-mx-w)(x+2)

=x3—mx2—nx+2x2—2mx—2n

=x3-(m-2)x2-^2m+n^x-2n,

???乘積中不含d項和X項，

???掰-2=0,2m+〃=0,

.,.m=2,n=—4,

則心=(—4)2=16,

故答案為：16.

【變式訓(xùn)練】

1.(2025七年級下?全國?專題練習(xí))已知(5-3x+加的計算結(jié)果中不含V項，則加的值為.

【答案】-3

【知識點】已知多項式乘積不含某項求字母的值

【分析】本題考查多項式中不含某一項的系數(shù)特點，解題的關(guān)鍵是能夠掌握做題方法，不含某一項，則多

項式合并后，該項的系數(shù)為0.先計算(5-3x+7〃--6x3)(l-2x)的結(jié)果，不含d的項，則合并后含V的項

的系數(shù)為0.

【詳解】解:(5-3X+WX2-6X3)(1-2X)

=5-10x-3x+6x2+mx2-2mx3-6x3+12x4

=12x4+(-2m-6)x3+(6+m)x2-13x+5

?.?已知(5-3x+加6/)。一2x)的計算結(jié)果中不含V的項，

—2m—6=0

冽=—3

故答案為：-3.

2.(24-25八年級上?四川內(nèi)江?階段練習(xí))若(—+°工+8乂/-3》+4)的積中不含f項和Y項.求：

⑴p、q的值；

⑵代數(shù)式(2p02(_203x_3pg『的值.

【答案】⑴P=3,q=1；

⑵—96.

【知識點】幕的混合運算、已知多項式乘積不含某項求字母的值

【分析】本題主要考查了多項式乘以多項式的法則，注意不要漏項、漏字母、有同類項的合并同類項，解

題的關(guān)鍵是正確求出p、q的值.

(1)利用條件中積不含公項和丫3項，將積算出來后，令相應(yīng)的項系數(shù)為0即可求解；

(2)先化簡，再利用第(1)問中的結(jié)果，代入求值.

【詳解】(1)解：=.X4-3x3+qx1+px3-3px2+pqx+8x2—24x+Sq,

=x4+(-3+p)x3+(q-3p+8)x2+(pq-24)x+Sq,

???12+戶+8)12-3》+?)的積中不含丁項和丁項，

-3+p=0q_3P+8=0,

:?P=3,q=l；

(2)(2*y(-2p)L(-3p4)2,

=4p2g4.(_8p3)+902g2,

=-32pSq*+,

3232

=Rq,

,:p=3,q=l,

3232

二原式=—p3q2=__—x27x1=—32x3=—96

1

3.(23-24六年級下?山東青島?階段練習(xí))已知-Z--2”與4x+4的積與_以4必是同類項.

⑴求加，"的值,

⑵先化簡，再求值：5m3n-(-3n)2+(6m?y-(-m/i)-mn3-(-4/n)".

【答案】(1)加=2,力=-1

⑵-7m3/,56

【知識點】積的乘方運算、利用單項式乘法求字母或代數(shù)式的值

【分析】本題主要考查了單項式乘以單項式，積的乘方，同類項的定義：

(1)先根據(jù)單項式乘以單項式的計算法按照求出-2/山+。2”.4x\4=_8—+「)2”+4,再由同類項的定義得

至IJ3機+1-3=4,2〃+4=2,解之即可得到答案；

(2)先計算積的乘方，再計算單項式乘以單項式，然后合并同類項化簡，最后代值計算即可.

3m+12n

【詳解】(1)解：-2xy-4x+4=-8/+j/+4,

■.--2x3m+1y2>,與4x-3y4的積與-4/r是同類項,

一8一小3丁"與一X4”「是同類項，

3m+1—3=4,2〃+4=2,

，加=2,77=—1;

（2）解：5加）?（-+（6冽〃J?（一mn）—mn3-（-4m）2

=5m，?9n2+36m2n2?（一加〃）-mn3-16m2

=45m3n3—367n"-I6m3^3

=-7m3n3,

當(dāng)加=2,〃=—1時，原式=—7x23x（7）3=56.

4.（24-25八年級上?重慶?階段練習(xí)）若+x-gp}-x+3q）的積中不含x與x2項.

⑴求。，4的值；

⑵求代數(shù)式（-P，2）2+/。2%2。23的值.

。=-3

【答案】⑴1

=一

Iq3

⑵12

【知識點】積的乘方的逆用、已知多項式乘積不含某項求字母的值

【分析】本題主要考查了多項式乘法中的無關(guān)型問題，積的乘方的逆運算.

（1）將（x2+x-；p）（-x+3q）展開，根據(jù)結(jié)果不含x與f項，即含x與f項的系數(shù)為o進行求解即可;

（2）將（1）所求值代入計算即可.

【詳解】（1）解：。卜x+3q）

3

=-x_犬++3療+3qx-pq

--x3+（3q-I）］2+,

，+》一；“（一了+34）的積中不含%與尤2項，

'3?-1=0

<1,

y+3q=0

。=一3

(2)解：?.?夕=-3,q=g

_p)20242023

z\2023

=32+3x(3x—1j

=9+3

=12.

5.（23-24七年級下?貴州畢節(jié)?階段練習(xí)）若12+尹-￡|12-3x+q）的積中不含x項與/項.

⑴求p,q的值；

⑵求代數(shù)式（-2/d+（3pq）-2的值.

【答案】⑴P=3,q=--

（2）361

【知識點】已知多項式乘積不含某項求字母的值、負整數(shù)指數(shù)事

【分析】本題考查的是多項式乘以多項式，負整數(shù)指數(shù)嘉的含義，積的乘方運算的含義，掌握運算法則是

解本題的關(guān)鍵；

（1）先計算多項式的乘法，再合并同類項，再根據(jù)積中不含x項與/項，建立方程求解即可；

（2）先計算積的乘方，再把0=3,“=-；代入計算即可.

【詳解】（1）解：卜+夕工_§卜X2_3x+q）

=x4—3x3+qx2+px3—3px2+pqx--^-x2+x—^q

=X4+(^-3)X3+L-3J>-1x2+(pq+\]x-^q

?.?積中不含x項與一項,

p—3=0,pq+1=0,

解得P=3,q=

(2)-：P=3,g=_；,

???㈠獷力+(3網(wǎng))-2

=w+W

21

4

=4x3xH----------------

9x(-l)2

=36]

【考點四多項式乘多項式與圖形面積中無關(guān)型問題】

例題：（23-24八年級上?福建廈門?期中）如圖1,有足夠多的邊長為。的小正方形G4類），長為6、寬為。

的長方形（8類）以及邊長為6的大正方形（C類）卡片，發(fā)現(xiàn)利用圖1中的三種卡片各若干可以拼出一些

長方形來解釋某些等式.

例如圖2可以解釋的等式為（0+26）（a+6）=a2+3ab+2b2.

⑴圖3可以解釋的等式為；

⑵要拼成一個長為+奶），寬為（5。+6）的長方形，那么需用N類卡片一張，2類卡片一張，C類卡片一張；

⑶用5張8類卡片按圖4的方式不重疊地放在長方形內(nèi)，未被遮蓋的部分（兩個長方形）用陰影表示，設(shè)

右下角與左上角的陰影部分的面積之差為S,AB=x,若S的值與x無關(guān)，試探究。與6的數(shù)量關(guān)系，并說

明理由.

【答案】⑴（2a+，）（26+a）=2a，+5。6+2。2

（2）5,46,9

（3）6=2。，理由見解析

【知識點】整式加減中的無關(guān)型問題、多項式乘多項式與圖形面積

【分析】本題主要考查了多項式乘多項式、整式的混合運算的應(yīng)用等知識點，掌握數(shù)形結(jié)合能力以及整式

的混合運算法則成為解題的關(guān)鍵.

（1）根據(jù)圖②結(jié)合圖形的面積以及整式乘法列代數(shù)式即可；

（2）根據(jù)多項式乘多項式的法則計算，然后根據(jù)相關(guān)系數(shù)即可解答；

(3)設(shè)/B=x,由圖可知S=(x-3a)b-24x-b),然后再化簡，最后讓x的系數(shù)為0即可解答.

【詳解】(1)解：由(2。+6)(26+。)=2/+5。6+2火

故答案為：(2a+b)(2b+a)=2a2+5.6+262.

圖I圖3

(2)解：-：(a+9b^5a+b)=5a2+46ab+9b2,

???需用N類卡片5張，8類卡片46張，C類卡片9張.

故答案為：5,46,9.

(3)解：b=2a,理由如下：

設(shè)AB=x,

由題意可得S=(x-3a)6-2a(x-6)

=xb-3ab—2ax+2ab

=(b-2a)x-ab

由于S的值與x無關(guān)，則6-2a=0,即6=2a.

【變式訓(xùn)練】

1.(23-24七年級上?廣東廣州?期中)如圖，長為V,寬為x的大長方形被分割成7部分，除陰影圖形4B

外，其余5部分為形狀和大小完全相同的小長方形C,其中小長方形C的寬為4.

⑴計算：小長方形C的長=，小長方形C的周長=;(用含V的代數(shù)式表示)；

⑵小明發(fā)現(xiàn)陰影圖形A與陰影圖形8的周長之和與V值無關(guān)，請你通過計算對他的發(fā)現(xiàn)作出合理解釋.

【答案】⑴5-12),(2y-16)

⑵與，值無關(guān)，理由見詳解

【知識點】整式的加減運算、整式加減中的無關(guān)型問題、多項式乘多項式與圖形面積

【分析】(1)根據(jù)圖示的分割情況即可求解；

(2)根據(jù)圖示分別表示出陰影圖形A與陰影圖形8的長、寬，并計算其周長，由此即可求解；

本題主要考查整式的混合運算與圖形周長的關(guān)系，掌握整式的混合運算是解題的關(guān)鍵.

【詳解】(1)解：根據(jù)圖示可得，小長方形c的長為(y-4x3)=(y-12),

???小長方形C的周長為(yT2+4)x2=(y-8)x2=2y-16,

故答案為：。-12),(2y-16).

(2)解：由(1)可知，小長方形C的長為(了-12),小長方形C的寬為4,

???陰影圖形A的長為(y-4x3)=(y-12),寬為(x-4x2)=(x-8),則陰影圖形A的周長為:

陰影圖形5的長為4x3=12,寬為x-(y-12)=x-y+12,則陰影圖形8的周長為：

(12+x-y+12)x2-2x-2y+48,

???陰影圖形A與陰影圖形B的周長之和為：2元+2y-40+2x-2y+48=4x+8,

與了值無關(guān).

2.(23-24七年級上?福建福州?期中)如圖，長為了(cm),寬為x(cm)的大長方形被分割為7小塊，除陰影48

外，其余5塊是形狀、大小完全相同的小長方形，其較短的邊長為4cm.

⑴從圖可知，每個小長方形的較長邊的長是_cm(用含V的代數(shù)式表示)；

⑵分別計算陰影48的周長(用含x，V的代數(shù)式表示)，并說明陰影A與陰影5的周長差與x的取值無關(guān)；

(3)當(dāng)y=24時，比較陰影42面積的大小

【答案】⑴12)

⑵影/的周長為(2》+2x-40)cm,陰影3的周長為(2x-2y+48)cm,說明見解析

⑶陰影/的面積〉陰影8的面積

【知識點】列代數(shù)式、整式加減中的無關(guān)型問題、整式四則混合運算、多項式乘多項式與圖形面積

【分析】(1)由圖可知，每個小長方形的較長邊的長等于整個圖象的長減去3個小長方形的寬，列出代數(shù)

式即可；

(2)先分別表示出陰影/和陰影8的長和寬，根據(jù)長方形周長公式得出陰影/和陰影2的周長，最后將

兩陰影部分周長相減，若所得結(jié)果不含x,則與x的取值無關(guān)；

(3)分別求出兩塊陰影的面積，再用作差法比較大小即可.

【詳解】(1)解：從圖可知，每個小長方形的較長邊的長是V-3x4=(y-12)cm,

故答案為:(7-12)；

(2)解：由圖可知：

陰影/的長為：(y-12)cm,寬為：x-2x4=(x-8)cm,

???陰影/的周長為：2x[(y-12)+(x-8)]=(2y+2x-40)cm,

陰影3的長為：3x4=12(cm),寬為：x-(y-12)=(x-y+12)cm,

???陰影2的周長為：2x[12+(x-y+12)]=(2x-2y+48)cm,

...陰影A與陰影8的周長差=(2y+2x-40)-(2x-2y+48)=(4y-88)cm,

???陰影A與陰影8的周長差與x的取值無關(guān)；

(3)解：陰影/的面積為：(y-12)(x-8)=(孫-12x-8y+96)cm',

陰影3的面積為：(x-j+12)-12-(12x-12y+144)cm2,

$陰影力一S陰影B=(xy-12x-87+96)-(12%-12y+144)

=xy-24x+4y-48

把y=24代入得：S陰影/一S陰影8=24x-24x+4X24-48=48>0,

.??陰影/的面積〉陰影8的面積.

【點睛】本題考查的知識點是整式的混合運算的應(yīng)用，解題關(guān)鍵是能根據(jù)圖形和題意正確列出代數(shù)式，熟

練掌握整式混合運算的運算順序和運算法則.

3.(23-24八年級上?福建泉州,階段練習(xí))【知識回顧】

七年級學(xué)習(xí)代數(shù)式求值時，遇到這樣一類題“代數(shù)式G-y+6+3x-5y-l的值與x的取值無關(guān)，求。的值”,

通常的解題方法是：把x、y看作字母，?？醋飨禂?shù)合并同類項，因為代數(shù)式的值與x的取值無關(guān)，所以含x

項的系數(shù)為0,即原式=(a+3)x-6y+5,所以"+3=o,則a=-3.

⑴若關(guān)于x的多項式(2%-3)%+2病-3欠的值與》的取值無關(guān)，求加值；

【能力提升】

(2)7張如圖1的小長方形，長為.，寬為b,按照圖2方式不重疊地放在大長方形4BCD內(nèi)，大長方形中未

被覆蓋的兩個部分(圖中陰影部分)，設(shè)右上角的面積為耳，左下角的面積為邑，當(dāng)42的長變化時，S,-S2

的值始終保持不變，求。與6的等量關(guān)系.

AB

b

DC

圖1圖2

3

【答案】⑴,

⑵”26

【知識點】整式加減中的無關(guān)型問題、多項式乘多項式與圖形面積

【分析】本題主要考查了多項式乘多項式，整式的化簡求值，熟練掌握整式的混合運算順序和法則及由題

意得出關(guān)于y的方程是解題的關(guān)鍵.

(1)由題可知代數(shù)式的值與x的取值無關(guān)，所以含無項的系數(shù)為0,故將多項式整理為

(2m-3)x-3m+2m2,令x系數(shù)為0,即可求出加；

⑵設(shè)=由圖可知H=a(x-36),S2=2b(x-2a),即可得到H-S?關(guān)于x的代數(shù)式，根據(jù)取值與x

無關(guān)可得a=26.

【詳解】(1)解：(2x-3)加+2/-3x

=2mx—3m+2m2—3x

=(2m-3)x+2m2-3m,

.?.其值與x的取值無關(guān)，

/.2m-3=0,

3

解得：m=~,

答：當(dāng)加=］時，多項式(2x-3)〃z+2療-3x的值與x的取值無關(guān)；

(2)解：設(shè)48=x,由圖可知&=a(x-36),S2=2b(x-2a),

:.Sl-S2=a(x-3b)-2b(x-2a)=(a-26)x+a6,

???當(dāng)?shù)拈L變化時，鳥-$2的值始終保持不變.

???E-S2取值與X無關(guān)，

:.a-2b=0,

a=2b.

4.(23-24七年級下?安徽淮北,期中)［知識回顧］

有這樣一類題：

代數(shù)式辦->+6+3x-5y-1的值與x的取值無關(guān)，求a的值；

通常的解題方法；

把x,y看作字母，?？醋飨禂?shù)合并同類項，因為代數(shù)式的值與x的取值無關(guān)，所以含x項的系數(shù)為0,即原

式=(a+3)x-6y+5,所以a+3=0,即a=-3.

---------------------\B

Si

bIII

aS2------------------

D

圖1圖2

[理解應(yīng)用]

⑴若關(guān)于X的多項式(2"L3)X+2"/-3m的值與x的取值無關(guān)，求m的值;

⑵已知3[3+l)(x-l)-x(l-3y)]+6(-x2+孫-1)的值與x無關(guān)，求〉的值;

⑶(能力提升)如圖1,小長方形紙片的長為。、寬為b,有7張圖1中的紙片按照圖2方式不重疊地放在

大長方形內(nèi)，大長方形中有兩個部分(圖中陰影部分)未被覆蓋，設(shè)右上角的面積為H，左下角的

面積為$2,當(dāng)N2的長變化時，E-S?的值始終保持不變，求。與6的等量關(guān)系.

3

【答案】(1)加=];

(2)y=|；

⑶4=26

【知識點】整式的加減中的化簡求值、整式加減中的無關(guān)型問題、多項式乘多項式與圖形面積

【分析】(1)根據(jù)含X項的系數(shù)為0建立方程，解方程即可得；

(2)先根據(jù)整式的加減求出34+63的值，再根據(jù)含x項的系數(shù)為0建立方程，解方程即可得；

(3)設(shè)=先求出E，邑，從而可得再根據(jù)“當(dāng)?shù)拈L變化時，￥-$2的值始終保持不變"可

知耳-$2的值與x的值無關(guān)，由此即可得.

【詳解】(1)解：(2x-3)加+2加2-3x=2%x-3加+2蘇-3x

=(2m—3)x-3m+2m2,

關(guān)于x的多項式(2x-3)機+2/-3x的值與x的取值無關(guān)，

二.2a-3=0,

解得加=十3

(2)令力=(2x+1)(%-1)-X1-2y)^2x2-2x+x-1-x+3xy^x2+?>xy-2x-1

B=—+xy—1,

原^^二3A+6B—3(2工2+3xy—2x-1)+6x2+xy—1

=6x2+9xy-6x-3-6x2+6xy-6

=15xy-6x-9

=(15y-6)x-9,

3/+68的值與%無關(guān)，

z.15^-6=0,

2

解得y=不；

（3）解：設(shè)AB=x,

由圖可知，H=a{x-3b)=ax-3ab,S2=2b(x-2a)=2bx-4ab,

貝！JE-S2=ax-3ab一(2bx-4ab)

=ax-3ab-2bx+4ab

=(a-2b)x+ab,

???當(dāng)?shù)拈L變化時，H-s?的值始終保持不變，

??.S「S2的值與X的值無關(guān)，

:.a-2b=0,

a=2b.

【點睛】本題主要考查了整式加減中的無關(guān)型問題，涉及整式的乘法、整式的加減知識，熟練掌握整式加

減乘法的運算法則是解題關(guān)鍵.

【考點五完全平方式中的字母參數(shù)問題】

例題：(24-25八年級上?吉林?期末)若式子f+h+16是一個完全平方式，則4.

【答案】±8

【知識點】求完全平方式中的字母系數(shù)

【分析】本題主要考查了完全平方式，先根據(jù)兩平方項確定出這兩個數(shù)，再根據(jù)完全平方公式的乘積二倍

項即可確定人的值.

【詳解】解：,?,x2+fcr+16=x2±2x4x+42,

???kx=±2x4x,

解得左=±8.

故答案為：±8.

【變式訓(xùn)練】

1.(24-25八年級上?吉林松原?期末)若V-12X+左是一個完全平方式，則常數(shù)左的值為.

【答案】36

【知識點】求完全平方式中的字母系數(shù)

【分析】此題考查了完全平方式，利用完全平方公式的結(jié)構(gòu)特征確定出的值即可.

【詳解】解：,??--12尤+左是一個完全平方式，

k=62=36

故答案為：36.

2.(24-25八年級上■四川涼山?階段練習(xí))如果25/+10x+r是一個完全平方式，那么左的值是.

【答案】±1

【知識點】求完全平方式中的字母系數(shù)

【分析】此題考查完全平方式，解題關(guān)鍵在于掌握計算公式.先根據(jù)兩平方項確定出這兩個數(shù)，再根據(jù)完

全平方公式的乘積二倍項即可確定k的值.

【詳解】解：???25%2+10%+左2=(5%)2+2、5%*1+k2是一個完全平方式，

k2=(±1)2-],

左=±1,

故答案是：±1.

3.(24-25八年級上?全國?階段練習(xí))如果關(guān)于1的多項式x2+(m+l)x+4是完全平方式，那么加的值

為.

【答案】3或-5/-5或3

【知識點】求完全平方式中的字母系數(shù)

【分析】本題考查完全平方式，根據(jù)完全平方式的特點：首平方，尾平方，首尾的2倍放中央，進行求解

即可.

【詳解】解：x2+(m+l)x+4=x2+(m+l)x+22,

m+1=±2x1x2,

解得：加=3或加=-5,

故答案為：3或-5.

4.(24-25八年級上?山東日照?階段練習(xí))如果關(guān)于x的整式9%2-(2%-1卜+；是某個整式的平方，那么加

的值是.

【答案】2或-1

【知識點】求完全平方式中的字母系數(shù)

【分析】本題考查完全平方式，根據(jù)9--(2〃?-1卜+；是某個整式的平方，得到

9--(2加-1)x+；=土;:，進行求解即可.

【詳解】解：???9/_(27"-1卜+；是某個整式的平方，

9--(2加+：,

2m—l=±2x3x—=±3,

2

；.%=2或"2=—1；

故答案為：2或T.

5.(24-25八年級上?重慶萬州?期中)已知M是含字母x的單項式，要使多項式16x2+M+1是某個多項式的

平方，則M為.

【答案】±8x或64x“

【知識點】通過對完全平方公式變形求值、求完全平方式中的字母系數(shù)

【分析】本題考查了完全平方式，熟練掌握完全平方公式是解本題的關(guān)鍵.利用完全平方公式的結(jié)構(gòu)特征

判斷即可求出

【詳解】解：?vl6x2+Af+l=（4x）2+Af+l2=（4x±l）2,

/.M=±2-4x?1=±8x,

②若朋'+2x8x2x1+12=（8》2+1）2中M是多項式的平方，

則M=（8/）2=64/；

故答案為：±8x或64/.

【考點六整式的運算中的新定義型問題】

例題：（24-25七年級上?上海虹口?期中）定義：整式A乘以整式B,得到整式C,如果整式C的項數(shù)正好比

整式A的項數(shù)多1,那么我們稱整式B是整式A的“相鄰增項式

⑴如果/=x-2,B=2x+5,判斷B是否是A的"相鄰增項式”，并說明理由；

⑵己知/=x-3,2=/+2加x+〃都是關(guān)于x的整式且加、"均為不等于。的有理數(shù).

①填空：當(dāng)”=1時，如果B是A的"相鄰增項式”，那么加的值為；

②設(shè)。=3（/+2）,E^B-A-n,如果關(guān)于x的整式。中不含x的二次項，且整式￡是整式。的"相鄰增

項式”，求〃的值.

【答案】⑴是，理由見解析

13

⑵①別=：或"2=彳；②〃的值為_2

62

【知識點】計算多項式乘多項式、已知多項式乘積不含某項求字母的值、多項式的項、項數(shù)或次數(shù)、解一

元一次方程（一）一一合并同類項與移項

【分析】本題考查了多項式乘多項式，解題的關(guān)鍵是理解題意，掌握多項式乘多項式法則.

（1）根據(jù)多項式乘法算出再根據(jù)“相鄰增項式〃的定義判斷即可.

（2）①當(dāng)〃=1時，算出4*8=/+（2加-3）x?+（-6m+l）x-3,根據(jù)3是A的“相鄰增項式"，得出2機—3=0

或一6??+1=0,解答即可.

②根據(jù)。=8（/+2）,算出。=/+（2〃-1）/+（〃-2〃7）》一〃，根據(jù)關(guān)于x的整式。中不含x的二次項，得

出2加-1=0,求出機=g,從而得出￡>=/+（〃-1）》一〃，再表示出E,算出￡>*￡,即可求解.

【詳解】（1）解：是，理由如下：

根據(jù)題意可得：C=AxB—（x—2）（2x+5）=1x~+JC—10,

???C的項數(shù)正好比A的項數(shù)多1,

是A的“相鄰增項式

（2）解：Q）當(dāng)a=1時,B=（x—3）（x~+2加x+1）=X*+（2/77—3）x?+（-6TW+1）X—3,

???8是A的〃相鄰增項式〃,

?..2m-3=0或-6m+1=0,

13

解得：加或加

62

②根據(jù)題意可得。=5(4+2),

D=(%2+2機x+〃)(、-3+2)=x3+(2m—l)x2+(及一2加)x—〃,

由于關(guān)于％的整式。中不含、的二次項，，

/.2m-1=0,解得：加=；，

/.D=x3+(〃一l)x一〃,

?；E=B-A-n,

E=x2+x+n-^x-3]-n=x2+3,

2

DxE=[d+(〃-1)工_〃](x2+3)=工5+(〃+2)X3_nx+3(n-l)x-3zz,

當(dāng)〃=1時，。為關(guān)于X的二項式，而。x￡=/+x3—%2—3為四項式，

??.此時不合題意，舍去；

當(dāng)〃W1時，則。為關(guān)于％的三項式，

又「E是。的〃相鄰增項式〃且〃w0,

n=—2,

綜上所述，力的值為-2.

【變式訓(xùn)練】

1.(23-24七年級下?安徽宿州,階段練習(xí))閱讀材料：

在學(xué)習(xí)多項式乘以多項式時，我們知道(2x+5乂3x-6)的展開結(jié)果是一個多項式，并且最高次項為

2x-3x=6x2,常數(shù)項為5x(-6)=-30.那么一次項是多少呢？

要解決這個問題，就是要確定該一次項的系數(shù).通過觀察，我們發(fā)現(xiàn)一次項系數(shù)就是：2x(-6)+3x5=3,

即一次項為3x.

參考材料中用到的方法，解決下列問題：

⑴求(3x-l乂5x-3)展開所得多項式中的一次項系數(shù)；

⑵已知(/+》+1乂/-3》+。)展開所得多項式中不含x的二次項，求。的值.

【答案】⑴-14

(2)2

【知識點】計算多項式乘多項式、已知多項式乘積不含某項求字母的值

【分析】本題主要考查了多項式乘多項式，解題的關(guān)鍵是理解題意，列出相應(yīng)的算式.

(1)根據(jù)題干中提供的方法求出展開所得多項式中的一次項系數(shù)即可；

(2)根據(jù)提供提供的方法列出關(guān)于。的方程，解方程即可.

【詳解】⑴解:一次項系數(shù)為3x(—3)+(-l)x5=~14.

(2)解：由題意，得二次項系數(shù)為：

lxa+lx(-3)+1x1=0,

解得a-2,

即。的值為2.

2.(22-23七年級下?遼寧沈陽?階段練習(xí))用"軟'定義一種新運算：對于任意有理數(shù)。和6,規(guī)定

a0b=(a-b^-2a+b.如：103=(1-3)2-2x1+3=5.解答下歹!］問題：

⑴若(x+2)③x=6,求x的值；

⑵化簡：^x+l^?(2x)+x03；

(3)若m=4@(3x),"=(x+l)@2-17x,判斷〃?與"的大小關(guān)系，并說明理由.

【答案］⑴》=-6

⑵鏟2-10X+11

⑶m>",理由見解析

【知識點】整式的加減運算、整式的混合運算、運用完全平方公式進行運算

【分析】題目主要考查新定義運算及整式的乘法運算，理解新定義運算及整式的乘法運算法則是解題關(guān)鍵.

(1)根據(jù)新定義的運算，得出方程求解即可；

(2)根據(jù)新定義運算求解計算即可；

(3)根據(jù)新定義分別確定加，〃，然后作差即可判斷.

【詳解】⑴解：根據(jù)題意得：(x+2-x)2-2(x+2)+x=6,

解得：x=-6.

(2)［gx+l］o(2x)+xO3

=］；x+l-2xj-2(；x+l)+2x+(x-3)2-2x+3,

13,

=—x2-10x+ll.

4

(3)m>n.

理由：m=40(3x)=(4-3x)2-2x4+3x=9x2-21x+8,

?=(X+1)02-17X=(X+1-2)2-2(X+1)+2-17X=X2-21X+1,

'：m—n=8x2+7〉0,

m>n,

3.(23-24七年級下?遼寧沈陽?期末)定義：對于一組多項式：x+a,x+b,x+c[a,b,c都是非零常數(shù)),

當(dāng)其中一個多項式的平方與另外兩個多項式的乘積的差除以x是一個常數(shù)加時，稱這樣的三個多項式是一

組和諧多項式，的值是這組和諧多項式的和諧值.例如：對于多項式x+1,x+2,x+4,因為

[(x+2)2-(x+l)(x+4)]+x=-l,所以x+1,x+2,尤+4是一組和諧多項式，和諧值為-1.

⑴小明發(fā)現(xiàn)多項式x+3,x+6,x+12是一組和諧多項式，求其和諧值；

⑵若多項式》-2,x+3,x+p⑺為非零常數(shù))是一組和諧多項式，求p的值.

【答案】⑴-3

4,9

⑵工或一不

【知識點】(x+p)(x+q)型多項式乘法、運用完全平方公式進行運算

【分析】本題考查了完全平方公式，多項式乘多項式.理解題意，熟練掌握完全平方公式，多項式乘多項

式是解題的關(guān)鍵.

(1)根據(jù)[(X+6)?-(x+3)(x+12)kx,計算求解即可；

(2)由題意知，分當(dāng)—_(、+3)(%+夕)=(一4一2一3)、+4—3夕，4-32=0時；當(dāng)

(x+3『-(x-2)(x+p)=(6-p+2)x+9+2p,9+2p=0時；當(dāng)(x++=(2/?-l)x+/?2+6,

p2+6=0時；分別求解作答即可.

【詳解】(1)解：由題意知，[(x+6)—(x+3)(x+12)]+x=+12x+36——15x—36卜x=-3,

???和諧值為-3；

(2)解：???多項式％-2,x+3,x+P(夕為非零常數(shù))是一組和諧多項式，

???當(dāng)(x-2)_(x+3)(x+p)=J_41+4—卜2+川+31+32)=(一4一夕一3)x+4-3p,4—32=0時，即夕=§,

此時多項式％-2,x+3,x+p(P為非零常數(shù))是一組和諧多項式；

當(dāng)(x+3)2一(工一2)(1+,)=J+61+9—卜2+8―21一22)=(6—p+2)x+9+2p,9+22=0時，即p=--,

此時多項式％-2,x+3,x+p仍為非零常數(shù))是一組和諧多項式；

當(dāng)(工+?1一(％-2)(%+3)=/+22%+22-(J+3%_2%一6)=(22一1)、+22+6,2?+6=0時，止匕時不成立；

綜上所述，夕的值為4:或Q

4.(22-23七年級下?陜西西安,階段練習(xí))配方法是數(shù)學(xué)中重要的一種思想方法.這種方法常被用到代數(shù)式

的變形中，并結(jié)合非負數(shù)的意義來解決一些問題.我們定義：一個整數(shù)能表示成“2+〃(。、6是整數(shù))的

形式，則稱這個數(shù)為“完美數(shù)".例如，因為5=2?+1,所以5是