模塊二圖形與幾何基礎(chǔ)

第04講三角形的證明與計(jì)算

（思維導(dǎo)圖+2考點(diǎn)+14種題型（含4種解題技巧））

01考情透視?目標(biāo)導(dǎo)航＞題型07利用分類討論思想解決特殊三角形

02知識(shí)導(dǎo)圖?思維引航計(jì)算問題

03核心精講?題型突破院題型08利用分類討論思想解決全等/相似

考點(diǎn)一三角形的相關(guān)計(jì)算三角形問題

＞題型01與高，中線，角平分線，垂直平分考點(diǎn)二三角形的相關(guān)證明

線的計(jì)算院題型01利用全等三角形的性質(zhì)與判定求解

＞題型02與三角形有關(guān)的角度計(jì)算問題院題型02利用相似三角形的性質(zhì)與判定求解

院題型03利用全等三角形的性質(zhì)求解?題型03利用特殊三角形的性質(zhì)與判定求解

＞題型04利用相似三角形的性質(zhì)求解＞題型04與三角形有關(guān)的多結(jié)論問題

院題型05利用特殊三角形的性質(zhì)求解院題型05勾股定理的證明

＞題型06三角形有關(guān)的折疊問題院題型06三角形與函數(shù)綜合

考情透視?目標(biāo)導(dǎo)航

中考考點(diǎn)命題預(yù)測(cè)

三角形作為初中數(shù)學(xué)幾何部分的重要內(nèi)容，其在中考數(shù)學(xué)中的考查頻率和難度都較為突出。

【常見題型】

L選擇題與填空題：選擇題和填空題主要考查三角形的基礎(chǔ)知識(shí)和簡(jiǎn)單計(jì)算，如三角形的三邊

關(guān)系、內(nèi)角和、外角性質(zhì)、中位線定理等。此類題目通常較為簡(jiǎn)單，但要求考生對(duì)知識(shí)點(diǎn)掌握

準(zhǔn)確。

2.解答題：解答題部分對(duì)三角形的考查更為深入，常涉及三角形全等的證明、特殊三角形的性

質(zhì)和判定等。此類題型綜合性較強(qiáng)，要求考生具備良好的邏輯推理能力和計(jì)算能力。

3.壓軸題：在一些地區(qū)的中考中，三角形的證明與計(jì)算也會(huì)出現(xiàn)在壓軸題中，通常結(jié)合四邊形、

三角形的圓等其他幾何知識(shí)，考查學(xué)生的綜合運(yùn)用能力和創(chuàng)新思維。

證明與計(jì)【命題預(yù)測(cè)】

算L注重基礎(chǔ)知識(shí)的理解和運(yùn)用：中考數(shù)學(xué)對(duì)三角形證明與計(jì)算的考查始終以基礎(chǔ)知識(shí)為核心，

強(qiáng)調(diào)對(duì)概念、定理的理解和靈活運(yùn)用。

2.強(qiáng)化實(shí)際應(yīng)用：近年來，中考數(shù)學(xué)越來越注重與實(shí)際生活的聯(lián)系，解直角三角形部分常常以

實(shí)際應(yīng)用題的形式出現(xiàn)，要求考生能夠?qū)⑺鶎W(xué)知識(shí)應(yīng)用于解決實(shí)際問題。

3.提升綜合思維能力：隨著中考改革的深入，三角形的證明與計(jì)算題型逐漸向綜合化、創(chuàng)新化

方向發(fā)展，要求考生具備較強(qiáng)的邏輯推理能力和綜合運(yùn)用知識(shí)的能力。

綜上所述，考生在復(fù)習(xí)三角形證明與計(jì)算部分時(shí)，應(yīng)注重基礎(chǔ)知識(shí)的學(xué)習(xí)和掌握，強(qiáng)化對(duì)

全等三角形和特殊三角形性質(zhì)和判定的理解，提升解直角三角形的實(shí)際應(yīng)用能力，并通過大量

練習(xí)提高邏輯推理和綜合運(yùn)用知識(shí)的能力。這樣，才能在中考中取得優(yōu)異的成績(jī)。

知識(shí)導(dǎo)圖?思維弓I航

三三角形的

三角形的高、中線、角平分線中位線、

角重要線段

SSS蟒千

形廠定理:三角形的兩邊之和大于第三邊.

SAS找夾角已知兩邊-一三角"?J

的

三

全三角形的兩邊之差小于第三邊.

角

HL找直角基

形

等「定理:三角形三個(gè)內(nèi)角和等于180°.

AAS找另一角為角的對(duì)邊的-三角形的內(nèi)角和T

三1

性--直角三角形的兩個(gè)銳角互余.

一邊、一角

找夾角的另7質(zhì)

SAS角

一

三I-定理：三角形的外角和等于360°.

ASA找夾邊的另一角T5是角的鄰邊形

-三角形的外角和

角

判崛「三角形的一^卜角等于和它不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角的和

AAS的對(duì)角一L三角形的一^卜角大于任何f和它不相鄰的內(nèi)角

定

形

ASA

-------------------------------1已知兩角的

AAS找其中一角的對(duì)邊------------

證r概念：有兩邊相等的三角形角等腰三角形.

明p等腰三角形的兩個(gè)底角相等——等邊對(duì)等角

?三邊成比例等腰三角形-蜩

與

相L等腰三角形的頂角平分線、底邊上的--

性質(zhì)與判定

?兩角分別相等

似中線、底邊上的高相互重合.-

計(jì)

三

兩邊成比例算L判定｛

?兩邊夾一角

夾角相等卜角

如果一個(gè)三角形有兩個(gè)角相等，那么這兩個(gè)角所對(duì)的邊也相等

形

與其它兩?平行于三角形廠陪三的三角形叫等邊三角形.

邊相交3，邊的直線判

尼角形等邊三角形的三條邊相等.

定

等邊三角形

?斜邊和直角邊成比例（Rt）三個(gè)內(nèi)角都相等，并且每個(gè)內(nèi)角都是60°.

性質(zhì)與判定

一定義法

L判定一一三邊相等或三個(gè)內(nèi)角都相等的三角形是等邊三角形.

匚有一個(gè)角是60°的等腰三角形是等邊三角形.

廠直角三角形兩個(gè)銳角互余.

廠性質(zhì)一一直角三角形斜邊上的中繞于斜邊的一半.

1-在直角三角形中，30°角所對(duì)的直角邊等于斜邊的一半.

直角三角形

-兩個(gè)內(nèi)角互余的三角形是直角三角形.

性質(zhì)與判定

_三角形一邊上的中皤于這條邊的一半，那么這個(gè)三角

1-判定形是直角三角形.

-有Y角是直角的三角形叫做直角三角形.

如果三角形的三邊長(zhǎng)a,b,c有關(guān)系a2+b2=c2,那么這個(gè)

三角形是直角三角形.

核心精講?題型突破

考點(diǎn)一三角形的相關(guān)計(jì)算

真題研析

＞題型01與高，中線，角平分線，垂直平分線的計(jì)算

1.（2024.山東德州?中考真題）如圖，在AABC中，AD是高，4E是中線，AD=4,ShABC=12,則BE的長(zhǎng)

為（）

A

2.（2023?四川眉山?中考真題）如圖，△ABC中，2。是中線，分別以點(diǎn)A,點(diǎn)2為圓心，大于之48長(zhǎng)為半徑

作弧，兩孤交于點(diǎn)M,N.直線MN交力B于點(diǎn)E.連接CE交力。于點(diǎn)F.過點(diǎn)。作DGIICE,交4B于點(diǎn)G.若

DG=2,貝|CF的長(zhǎng)為.

3.(2024.山東德州.中考真題)如圖RtAABC中,Z.ABC=90°,BD1AC,垂足為O,3E平分的C,分別

交BD,BC于點(diǎn)尸，E.^AB-.BC=3:4,貝!]BF:FD為()

4.（2024?山東泰安.中考真題）如圖，RtAABC中，乙4BC=90。，分別以頂點(diǎn)A,C為圓心，大于的長(zhǎng)

為半徑畫弧，兩弧分別相交于點(diǎn)M和點(diǎn)N,作直線MN分別與BC,4C交于點(diǎn)E和點(diǎn)F；以點(diǎn)A為圓心，任意

長(zhǎng)為半徑畫弧，分別交力B,AC于點(diǎn)”和點(diǎn)G,再分別以點(diǎn)“，點(diǎn)G為圓心，大于的長(zhǎng)為半徑畫弧，兩弧

交于點(diǎn)P,作射線2P,若射線4P恰好經(jīng)過點(diǎn)E,則下列四個(gè)結(jié)論：@ZC=30°；②4P垂直平分線段BF；

③CE=2BE；@ShBEF=^SAABC.其中，正確結(jié)論的個(gè)數(shù)有（）

A.1個(gè)B.2個(gè)C.3個(gè)D.4個(gè)

方法技巧

線段

三角形的高三角形的中線三角形的角平分線

名稱

AAA

圖形

語言B二C

DDD

VAD是AABC中BC邊的高VAD是AABC中BC邊的中線VAD是AABC中NBAC的角平分線

性質(zhì),ZADB=ZADC=90°1

???NBAD=NDAC二一ZBAC

2

BD=CDSAABD=SAADC=—SAABC

2

用途

1）線段垂直.2）角度相等.1）線段相等.2）面積相等.角度相等.

舉例

線段

三角形的中位線三角形的垂直平分線

名稱

BAAC

圖形

語言

C

VDE是AABC的中位線??,直線1是AB的垂直平分線

性質(zhì)

1???PA=PB,AC=BC,NPCA=NPCB=90°

'DE。BCDE//BC

用途

1）線段平行.2）線段關(guān)系.1）線段相等.2）角度相等.

舉例

＞題型02與三角形有關(guān)的角度計(jì)算問題

5.（2024山西?中考真題）一只杯子靜止在斜面上，其受力分析如圖所示，重力G的方向豎直向下，支持力6

的方向與斜面垂直，摩擦力尸2的方向與斜面平行.若斜面的坡角a=25。，則摩擦力F2與重力G方向的夾角S

的度數(shù)為（）

______________

▼G

A.155°B.125°C.115°D.65°

6.（2024?江蘇徐州?中考真題）如圖，4B是。。的直徑，點(diǎn)C在4B的延長(zhǎng)線上，CD與。。相切于點(diǎn)D,若NC=

7.(2024?甘肅蘭州?中考真題)如圖，在A28C中，AB^AC,^BAC=130°,DALAC,貝UNADB=()

A.100°B.115°C.130°D.145°

8.（2024.黑龍江綏化?中考真題）如圖，已知乙4。8=50。，點(diǎn)P為NAOB內(nèi)部一點(diǎn)，點(diǎn)M為射線04點(diǎn)N為

射線。B上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)APMN的周長(zhǎng)最小時(shí)，貝吐MPN=.

9.（2024?四川涼山?中考真題）如圖，AXSC43,^BCD=30°,AACB=80°,CD是邊4B上的高，4E是NG4B

的平分線，貝吐2EB的度數(shù)是.

方法技巧

1)三角形的內(nèi)角和為180°；

2)直角三角形中兩銳角和為90°；

3)三角形的一個(gè)外角等于和它不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角的和.

＞題型03利用全等三角形的性質(zhì)求解

10.(2024?四川資陽(yáng)?中考真題)第14屆國(guó)際數(shù)學(xué)教育大會(huì)(/CME-14)會(huì)標(biāo)如圖1所示，會(huì)標(biāo)中心的圖案

來源于我國(guó)古代數(shù)學(xué)家趙爽的“弦圖”，如圖2所示的“弦圖”是由四個(gè)全等的直角三角形(AABE,LBCF,

ACDG,ADAH)和一個(gè)小正方形EFG”拼成的大正方形2BCD.若EF：AH=1：3,貝Usin乙4BE=()

11.(2024?浙江?中考真題)如圖，正方形48CD由四個(gè)全等的直角三角形(△48&43。？4。。6［。2”)和中

間一個(gè)小正方形EFGH組成，連接DE.若4E=4,BE=3,則。E=()

12.(2024?甘肅臨夏?中考真題)如圖，在△4BC中，點(diǎn)力的坐標(biāo)為(0,1),點(diǎn)B的坐標(biāo)為(4,1),點(diǎn)C的坐標(biāo)為(3,4),

點(diǎn)D在第一象限(不與點(diǎn)C重合)，且AABD與AdBC全等，點(diǎn)。的坐標(biāo)是.

13.(2024?湖北?中考真題)如圖，由三個(gè)全等的三角形(AABE,ABCF,△C4D)與中間的小等邊三角形DEF

拼成一個(gè)大等邊三角形28C.連接BD并延長(zhǎng)交4C于點(diǎn)G,若4E=ED=2,則：

(1)NFDB的度數(shù)是

（2）DG的長(zhǎng)是

＞題型04利用相似三角形的性質(zhì)求解

14.（2024?四川巴中?中考真題）如圖，是用12個(gè)相似的直角三角形組成的圖案.若OA=1,貝|OG=（）

15.（2025?上海靜安?一模）把一個(gè)三角形放大為與它相似的三角形，如果它的面積擴(kuò)大為原來的9倍，那么

它的周長(zhǎng)擴(kuò)大為原來的一倍.

16.（2024?山東青島?一模）如圖，將沿BC邊上的中線4D平移到△A8C的位置，己知A4BC的面積

為9,陰影部分三角形的面積為4.若44=1,貝UAD等于（）

23

A.2B.3C.-D.-

32

17.（2024.江西.模擬預(yù)測(cè)）將一把直尺與△48C按如圖所示的方式擺放，與直尺的一邊重合，AC,BC分

別與直尺的另一邊交于點(diǎn)D,E.若點(diǎn)4,B,D,E分別與直尺上的刻度4.5,8.5,5,7對(duì)應(yīng)，直尺的寬為1cm,

則點(diǎn)C到邊4B的距離為

c

'_67\89

hull浦川I川小川，uh川1小小1冰山1小川I

AB

＞題型05利用特殊三角形的性質(zhì)求解

18.（2024?寧夏.中考真題）在平面直角坐標(biāo)系中，一條直線與兩坐標(biāo)軸圍成的三角形是等腰三角形，則該

直線的解析式可能為（寫出一個(gè)即可）.

19.（2024?陜西?中考真題）如圖，在AABC中，AB=AC,E是邊力B上一點(diǎn)，連接CE,在BC右側(cè)作BF||AC,

且BF=AE,連接CF.若4C=13,BC=10,則四邊形EBFC的面積為

20.（2024?山東濰坊?中考真題）如圖，在直角坐標(biāo)系中，等邊三角形A8C的頂點(diǎn)力的坐標(biāo)為（0,4）,點(diǎn)均

在x軸上.將△4BC繞頂點(diǎn)4逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)30。得到△AB'C',則點(diǎn)C'的坐標(biāo)為.

21.（2024?河南.中考真題）如圖，O。是邊長(zhǎng)為4百的等邊三角形力BC的外接圓，點(diǎn)。是廢的中點(diǎn)，連接BD,

CD.以點(diǎn)。為圓心，BD的長(zhǎng)為半徑在。。內(nèi)畫弧，則陰影部分的面積為（）

A

.8n?.-16n--〃

A.—B.4irC.—D.16ir

33

22.（2024?湖南長(zhǎng)沙?中考真題）如圖，在RtAABC中，^ACB=90°,AB=2V5,AC=2,分別以點(diǎn)A,B

為圓心，大于巳AB的長(zhǎng)為半徑畫弧，兩弧分別交于點(diǎn)M和N,作直線MN分別交4B,BC于點(diǎn)D,E,連接

⑴求CD的長(zhǎng)；

⑵求△力CE的周長(zhǎng).

方法技巧

等腰三角形性質(zhì)：

1）等腰三角形是軸對(duì)稱圖形，它有1條或3條對(duì)稱軸，

①當(dāng)腰和底邊不相等的等腰三角形只有1條對(duì)稱軸，

②當(dāng)腰和底邊不相等的等腰三角形只有3條對(duì)稱軸.

2）等腰三角形的兩個(gè)底角相等（簡(jiǎn)稱“等邊對(duì)等角“）.

3）等腰三角形的頂角平分線、底邊上的中線、底邊上的高相互重合.（簡(jiǎn)稱“三線合一”）.

【注意】“三線合一”的前提是等腰三角形，且必須是頂角的角平分線，底邊上的高和底邊上的中線.

等邊三角形的性質(zhì)：

1）等邊三角形是軸對(duì)稱圖形，并且有3條對(duì)稱軸；

2）等邊三角形的三條邊相等；

3）三個(gè)內(nèi)角都相等，并且每個(gè)內(nèi)角都是60°.

直角三角形的性質(zhì)：

1）直角三角形兩個(gè)銳角互余.

2）直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半.

3）在直角三角形中，30°角所對(duì)的直角邊等于斜邊的一半.

＞題型06三角形有關(guān)的折疊問題

23.（2024?四川?中考真題）如圖，Rt△力BC中，ZC=90°,AC=8,BC=4,折疊△ABC,使點(diǎn)A與點(diǎn)3

重合，折痕DE與力B交于點(diǎn)。，與力c交于點(diǎn)E,貝ICE的長(zhǎng)為.

24.（2023?浙江紹興?中考真題）如圖，在紙片AABC中，NC=90。/8=60。，點(diǎn)D,E分別在邊力B,AC上,

且2D=4E,將△ADE沿DE折疊，使點(diǎn)A落在邊BC上的點(diǎn)尸處，貝!]BD:CE=（）

A.3:2B.V3:2C.2V3:3D.4:3

25.（2023?湖北武漢?中考真題）如圖，DE平分等邊△ABC的面積，折疊△BDE得到△FD&4C分別與。凡EF

相交于G,H兩點(diǎn).若DG=m,￡7/=幾，用含的式子表示GH的長(zhǎng)是.

方法技巧

思路：解決“翻折”問題時(shí)，要弄清翻折前后的邊、角的對(duì)應(yīng)情況，將待求線段或角

與已知線段、角歸結(jié)到一起，尤其是求線段長(zhǎng)度時(shí)，常常利用勾股定理直接求出未知線段的長(zhǎng)度或通過勾

股定理列方程使問題得以解決.

解題方法：不找以折痕為邊長(zhǎng)的直角三角形,利用未知數(shù)表示其它直角三角形三邊,通過勾股定理/相似三角

形知識(shí)求解.

＞題型07利用分類討論思想解決特殊三角形計(jì)算問題

26.（2025中原區(qū)一模）在等腰AABC中，AB=AC,中線BD將這個(gè)三角形的周長(zhǎng)分為18和21兩個(gè)部分,

則這個(gè)等腰三角形的腰長(zhǎng)為.

27.（2024大慶市二模）已知a、b、c為△ABC的三邊，且滿足a,—4=&2c2一。2°2,則△力BC是（）

A.直角三角形B.等腰或直角三角形

C.等腰三角形D.等腰直角三角形

28.（2024云巖區(qū)一模）在△2BC中，NC為鈍角，乙4=48。，如果經(jīng)過△2BC其中一個(gè)頂點(diǎn)作一條直線能把

△4BC分成兩個(gè)等腰三角形，那么NC的度數(shù)為.

29.（2024?新疆中考真題）如圖，在Rt△力BC中，ZC=90°,AA=30°,AB=8.若點(diǎn)。在直線力B上（不與

點(diǎn)A,B重合），且NBCD=30。，貝必。的長(zhǎng)為.

30.（2024?四川雅安?中考真題）如圖，在△（BC和A/WE中,AB=AC,Z.BAC=^DAE=40°,將繞

點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)一定角度，當(dāng)2D1BC時(shí)，NB4E的度數(shù)是

31.（2024?江蘇鹽城?模擬預(yù)測(cè)）已知直角三角形的兩邊長(zhǎng)分別為3、1.則第三邊長(zhǎng)為

邊長(zhǎng)分類：若己知等腰三角形的周長(zhǎng)和一條邊長(zhǎng)，但未指明該邊長(zhǎng)是腰長(zhǎng)還是底邊長(zhǎng)，則需要分兩種情況

討論：一是該邊長(zhǎng)為底邊，求兩腰長(zhǎng)；二是該邊長(zhǎng)為腰長(zhǎng)，求底邊長(zhǎng)。

角度分類：若已知等腰三角形的一個(gè)角度，但未指明是頂角還是底角，也需要分兩種情況討論：一是該角

度為頂角，求兩個(gè)底角；二是該角度為底角，求頂角。

2.直角三角形

邊長(zhǎng)分類：若己知兩邊求第三邊長(zhǎng).

＞題型08利用分類討論思想解決全等/相似三角形問題

32.（2025寶山區(qū)模擬）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知點(diǎn)。（0,0）,點(diǎn)4（1,0）,B（0,2）,C（3,0）,點(diǎn)

。在第一象限內(nèi)，如果以點(diǎn)。、。、C為頂點(diǎn)的三角形與△2。8相似，那么這樣的點(diǎn)D有（）個(gè)

A.1個(gè)B.2個(gè)C.3個(gè)D.4個(gè)

33.（2025?湖北黃石?一模）如圖所示的三角形是由左邊的梯形經(jīng)過連續(xù)的旋轉(zhuǎn)形成的圖案，則它們的旋轉(zhuǎn)

角度是.

A,C

B

34.（2021?山東日照?中考真題）如圖，在矩形2BCD中，AB=8cm,AD=12cm,點(diǎn)P從點(diǎn)B出發(fā)，以2cm/s

的速度沿BC邊向點(diǎn)C運(yùn)動(dòng)，到達(dá)點(diǎn)C停止，同時(shí)，點(diǎn)Q從點(diǎn)C出發(fā)，以u(píng)cm/s的速度沿CD邊向點(diǎn)D運(yùn)動(dòng)，到達(dá)

點(diǎn)D停止，規(guī)定其中一個(gè)動(dòng)點(diǎn)停止運(yùn)動(dòng)時(shí)，另一個(gè)動(dòng)點(diǎn)也隨之停止運(yùn)動(dòng).當(dāng)u為時(shí)，AABP與APCQ全

核心精講

全等圖形的性質(zhì):

全等三角形的對(duì)應(yīng)邊相等，若AABWADEF,則AB=DE,AC=DF,BC=EF

全等三角形的對(duì)應(yīng)角相等若AABCmADEF,貝iJ/A=ND,ZB=ZE,ZC=ZF

全等三角形的周長(zhǎng)相等，面積相等

右A/4BCADEF,則S”5c0AA^^M)EF

全等三角形對(duì)應(yīng)邊上的高線相等，AABCmADEF,則AG=DJ（對(duì)應(yīng)邊上的高線相等）

對(duì)應(yīng)邊上的中線相等，對(duì)應(yīng)角的角AI=DL（對(duì)應(yīng)邊卜.的中線相等）

平分線相等.AH=DK（對(duì)應(yīng)角的角平分線相等）

相似三角形的性質(zhì)：

1）相似三角形的對(duì)應(yīng)角相等，對(duì)應(yīng)邊的比相等.

【小技巧】相似多邊形對(duì)應(yīng)邊的比相等是求某條線段的長(zhǎng)或求兩條線段的比的一種常用方法，采用此方

法時(shí)一定要注意找準(zhǔn)對(duì)應(yīng)關(guān)系.

2）相似三角形對(duì)應(yīng)高，對(duì)應(yīng)中線，對(duì)應(yīng)角平分線的比都等于相似比.

3）相似三角形周長(zhǎng)的比等于相似比.

4）相似三角形面積比等于相似比的平方.

5）傳遞性：若△ABCSABDC,AABC^AADB,則4BDCSAADB.

解題方法：利用相似三角形的性質(zhì)可推得成比例線段，從而建立等式求得未知線段的長(zhǎng).在中考題中常常運(yùn)

用相似三角形的面積比等于相似比的平方解決與幾何圖形面積相關(guān)的問題.

命題預(yù)測(cè)

1.（2025?陜西?一模）如圖，在△力BC中，N84C=30。，AB4c的平分線4。交8c于點(diǎn)。，點(diǎn)。在2。上，。4的

垂直平分線分別交AC、于點(diǎn)E、F,連接OC,若。C=4尸=4,則AAOC的面積為.

2

2.（2024?安徽亳州.模擬預(yù)測(cè)）在△ABC中，若卜in2—寸+（'—cos8）=0,則“=.3.（2025?陜

西西安.一模）割補(bǔ)法在我國(guó)古代數(shù)學(xué)著作中稱為“出入相補(bǔ)”.著名的數(shù)學(xué)著作《九章算術(shù)》已經(jīng)能十分靈

活地應(yīng)用“出入相補(bǔ)”原理解決平面圖形的面積問題.在《九章算術(shù)》中，三角形被稱為圭田，圭田術(shù)曰：“半

廣以乘正縱”，也就是說三角形的面積等于底的一半乘高，說明三角形的面積是應(yīng)用出入相補(bǔ)原理，由長(zhǎng)

方形面積導(dǎo)出的.如圖中的三角形下盈上虛，以下補(bǔ)上.如果圖中矩形的面積為20,那么圖中陰影部分的

4.（2025?山東濱州?模擬預(yù)測(cè)》如圖,A4BC中,NB=90。,將△4BC繞點(diǎn)B逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90。,若BC=3,AC=4,

點(diǎn)4旋轉(zhuǎn)后的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為4,則次/的長(zhǎng)是.

5.（2025?河南安陽(yáng)?模擬預(yù)測(cè)）如圖，等腰三角形力BC中，AB=AC=3,BC=4,點(diǎn)。為平面內(nèi)一點(diǎn)，且

乙BDC=90。,連接4。，貝"2。的最小值為,最大值_____.

A

D.

BE---------------------

6.（2025?陜西?一模）我國(guó)是最早了解勾股定理的國(guó)家之一，在《周髀算經(jīng)》中記載了勾股定理的公式與證

明，相傳是由商高發(fā)現(xiàn)，故又稱之為“商高定理”.如圖所示的“趙爽弦圖”是由四個(gè)全等直角三角形和中間的

小正方形拼成的一個(gè)大正方形，若大正方形的面積是25,小正方形的面積是1,直角三角形的兩條直角邊

長(zhǎng)分別為n,則77m=.

7.（2025?山東濱州?模擬預(yù)測(cè)）如圖，在每個(gè)小正方形的邊長(zhǎng)為1的網(wǎng)格中，點(diǎn)A,B,C均在格點(diǎn)上.

（1）力。的長(zhǎng)等于；

（2）只用無刻度的直尺作出△ABC的2C邊上的高BD.（保留作圖痕跡）.

8.（2024.遼寧撫順.二模）△ABC為等邊三角形，。為平面內(nèi)一點(diǎn)，連接AD,將AD繞點(diǎn)。順時(shí)針旋轉(zhuǎn)60。,

得到線段DE,連BD,CE.當(dāng)N￡MC=30。，AB=2?2D=4時(shí)，CE=.

9.（2024?湖南長(zhǎng)沙?模擬預(yù)測(cè)）黃金分割是指將整體一分為二，較大部分與整體部分的比值等于較小部分與

較大部分的比值，其比值為寺這個(gè)比例被公認(rèn)為是最能引起美感的比例，因此被稱為黃金分割.如圖,

樂器上的一根弦長(zhǎng)4B=80cm,兩個(gè)端點(diǎn)A,B固定在樂器面板上，支撐點(diǎn)C是靠近點(diǎn)B的黃金分割點(diǎn)，支

撐點(diǎn)。是靠近點(diǎn)A的黃金分割點(diǎn)，則支撐點(diǎn)C,。之間的距離為cm.（結(jié)果保留根號(hào)）

考點(diǎn)二三角形的相關(guān)證明

真題研析

＞題型01利