PAGEPAGE1第2講小題考法——基本初等函數(shù)、函數(shù)與方程一、主干學問要記牢1．指數(shù)函數(shù)與對數(shù)函數(shù)的對比表解析式y(tǒng)＝ax(a＞0與a≠1)y＝logax(a＞0與a≠1)圖象定義域R(0，＋∞)值域(0，＋∞)R單調性0＜a＜1時，在R上是減函數(shù)；a＞1時，在R上是增函數(shù)0＜a＜1時，在(0，＋∞)上是減函數(shù)；a＞1時，在(0，＋∞)上是增函數(shù)兩圖象的對稱性關于直線y＝x對稱2．方程的根與函數(shù)的零點(1)方程的根與函數(shù)零點的關系由函數(shù)零點的定義，可知函數(shù)y＝f(x)的零點就是方程f(x)＝0的實數(shù)根，也就是函數(shù)y＝f(x)的圖象與x軸的交點的橫坐標．所以方程f(x)＝0有實數(shù)根?函數(shù)y＝f(x)的圖象與x軸有交點?函數(shù)y＝f(x)有零點．(2)函數(shù)零點的存在性定理假如函數(shù)y＝f(x)在區(qū)間[a，b]上的圖象是連綿不斷的一條曲線，并且f(a)·f(b)<0，那么函數(shù)f(x)在區(qū)間(a，b)內至少有一個零點，即存在c∈(a，b)，使得f(c)＝0，這個c也就是方程f(x)＝0的實數(shù)根．二、易錯易混要明白1．不能精確理解基本初等函數(shù)的定義和性質．如探討函數(shù)y＝ax(a>0，a≠1)的單調性時忽視字母a的取值范圍，忽視ax>0；探討對數(shù)函數(shù)y＝logax(a>0，a≠1)時忽視真數(shù)與底數(shù)的限制條件．2．易混淆函數(shù)的零點和函數(shù)圖象與x軸的交點，不能把函數(shù)零點、方程的解、不等式解集的端點值進行精確互化．3．函數(shù)f(x)＝ax2＋bx＋c有且只有一個零點，要留意探討a是否為零．考點一基本初等函數(shù)的圖象與性質3招破解指數(shù)、對數(shù)、冪函數(shù)值的大小比較問題(1)底數(shù)相同，指數(shù)不同的冪用指數(shù)函數(shù)的單調性進行比較．(2)底數(shù)相同，真數(shù)不同的對數(shù)值用對數(shù)函數(shù)的單調性比較．(3)底數(shù)不同、指數(shù)也不同，或底數(shù)不同、真數(shù)也不同的兩個數(shù)，常引入中間量或結合圖象比較大?。?．(2024·南充三模)在同一坐標系中，函數(shù)y＝2－x與y＝－log2x的圖象都正確的是(A)ABCD解析因為y＝2－x＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))x，所以函數(shù)單調遞減，解除B，D．y＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))x與y＝－log2x＝eqlog\s\do8(\f(1,2))x的圖象關于y＝x軸對稱．解除C．故選A．2．已知函數(shù)f(x)＝3x－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)))x，則f(x)(A)A．是奇函數(shù)，且在R上是增函數(shù) B．是偶函數(shù)，且在R上是增函數(shù)C．是奇函數(shù)，且在R上是減函數(shù) D．是偶函數(shù)，且在R上是減函數(shù)解析因為f(x)＝3x－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)))x，且定義域為R，所以f(－x)＝3－x－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)))－x＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)))x－3x＝－3x＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)))x＝－f(x)，即函數(shù)f(x)是奇函數(shù)．又y＝3x在R上是增函數(shù)，y＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)))x在R上是減函數(shù)，所以f(x)＝3x－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)))x在R上是增函數(shù)．3．(2024·全國卷Ⅰ)設x，y，z為正數(shù)，且2x＝3y＝5z，則(D)A．2x<3y<5z B．5z<2x<3yC．3y<5z<2x D．3y<2x<5z解析令t＝2x＝3y＝5z，∵x，y，z為正數(shù)，∴t>1．則x＝log2t＝eq\f(lgt,lg2)，同理，y＝eq\f(lgt,lg3)，z＝eq\f(lgt,lg5)．∴2x－3y＝eq\f(2lgt,lg2)－eq\f(3lgt,lg3)＝eq\f(lgt2lg3－3lg2,lg2×lg3)＝eq\f(lgtlg9－lg8,lg2×lg3)>0，∴2x>3y．又∵2x－5z＝eq\f(2lgt,lg2)－eq\f(5lgt,lg5)＝eq\f(lgt2lg5－5lg2,lg2×lg5)＝eq\f(lgtlg25－lg32,lg2×lg5)<0，∴2x<5z，∴3y<2x<5z.故選D．考點二函數(shù)的零點1．推斷函數(shù)零點個數(shù)的方法干脆法干脆求零點，令f(x)＝0，則方程解的個數(shù)即為函數(shù)零點的個數(shù)定理法利用零點存在性定理，利用該定理只能確定函數(shù)的某些零點是否存在，必需結合函數(shù)的圖象和性質(如單調性)才能確定函數(shù)有多少個零點數(shù)形結合法對于給定的函數(shù)不能干脆求解或畫出圖象的，常分解轉化為兩個能畫出圖象的函數(shù)的交點問題2．利用函數(shù)零點的狀況求參數(shù)值或取值范圍的方法(1)利用零點存在的判定定理構建不等式求解．(2)分別參數(shù)后轉化為求函數(shù)的值域(最值)問題求解．(3)轉化為兩個熟識的函數(shù)圖象的位置關系問題，從而構建不等式求解．1．(2024·安陽模擬)已知函數(shù)f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(1－|x＋1|，x＜1，,x2－4x＋2，x≥1，))則函數(shù)g(x)＝2|x|f(x)－2的零點個數(shù)為(B)A．1個 B．2個C．3個 D．4個解析畫出函數(shù)f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(1－|x＋1|，x＜1，,x2－4x＋2，x≥1，))的圖象如圖，由g(x)＝2|x|f(x)－2＝0可得f(x)＝eq\f(2,2|x|)，則問題化為函數(shù)f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(1－|x＋1|，x＜1，,x2－4x＋2，x≥1，))與函數(shù)y＝eq\f(2,2|x|)＝21－|x|的圖象的交點的個數(shù)問題．結合圖象可以看出兩函數(shù)圖象的交點只有兩個，應選答案B．2．函數(shù)f(x)＝ex＋x－2的零點所在的一個區(qū)間是(C)A．(－2，－1) B．(－1,0)C．(0,1) D．(1,2)解析方法一∵f(0)＝e0＋0－2＝－1＜0，f(1)＝e1＋1－2＝e－1＞0，∴f(0)f(1)＜0，故函數(shù)f(x)＝ex＋x－2的零點所在的一個區(qū)間是(0,1)，選C．方法二函數(shù)f(x)＝ex＋x－2的零點，即函數(shù)y＝ex的圖象與y＝－x＋2的圖象的交點的橫坐標，作出函數(shù)y＝ex與直線y＝－x＋2的圖象如圖所示，由圖可知選C．3．(2024·湖北聯(lián)考)奇函數(shù)f(x)是R上單調函數(shù)，g(x)＝f(ax3)＋f(1－3x)有唯一零點，則a的取值集合為{a|a≤0或a＞4}．解析函數(shù)g(x)＝f(ax3)＋f(1－3x)有且只有一個零點，即方程f(ax3)＋f(1－3x)＝0有且只有一個根或兩相等實數(shù)根，∵函數(shù)f(x)是奇函