技巧03數(shù)學(xué)文化與閱讀材料的解析與答題方法

目錄

01考情透視?目標(biāo)導(dǎo)航.................................................1

02知識(shí)導(dǎo)圖?思維引航.................................................2

03知識(shí)梳理?方法技巧................................................3

04真題研析?精準(zhǔn)預(yù)測(cè)................................................4

05核心精講?題型突破................................................6

題型一：融合傳統(tǒng)文化和數(shù)學(xué)史的數(shù)學(xué)閱讀題6

題型二：融合其他學(xué)科知識(shí)的數(shù)學(xué)閱讀題7

題型三：融合社會(huì)熱點(diǎn)和建設(shè)成就的數(shù)學(xué)閱讀題9

題型四：融合生活實(shí)際的數(shù)學(xué)閱讀題12

力考情透視?目標(biāo)導(dǎo)航N

.數(shù)學(xué)文化與數(shù)學(xué)閱讀是一高考重點(diǎn)考查的內(nèi)容之一丁命題形式多種多樣「主要以選擇題,填空題為主丁難

度適中.

匐2

㈤3

.口過(guò)臨孑里?—拈一

數(shù)學(xué)文化與數(shù)學(xué)閱讀試題一般從中外優(yōu)秀傳統(tǒng)文化和生產(chǎn)生活實(shí)際中挖掘素材，將數(shù)學(xué)文化、生活情境

與高中數(shù)學(xué)知識(shí)有機(jī)結(jié)合.其解答過(guò)程大致需要實(shí)現(xiàn)兩個(gè)轉(zhuǎn)化：先是將實(shí)際問(wèn)題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問(wèn)題，然后再將

數(shù)學(xué)問(wèn)題轉(zhuǎn)化為問(wèn)題結(jié)果.具體地說(shuō)，就是先通過(guò)閱讀情境、審讀題目，在明確對(duì)象、分析過(guò)程（或狀態(tài)）

的基礎(chǔ)上過(guò)濾情境，并構(gòu)造出符合題意的數(shù)學(xué)模型，從而使“實(shí)際問(wèn)題”轉(zhuǎn)化為“數(shù)學(xué)問(wèn)題”；接著選用恰當(dāng)

的數(shù)學(xué)方法求解作答，得出“問(wèn)題結(jié)果”，并將其納入原問(wèn)題的情境中，予以“檢驗(yàn)討論”，對(duì)解題過(guò)程作出評(píng)

價(jià).其中過(guò)濾情境、構(gòu)建模型的環(huán)節(jié)至關(guān)重要，它既是使復(fù)雜的實(shí)際問(wèn)題轉(zhuǎn)化為相應(yīng)的數(shù)學(xué)問(wèn)題的前提，也

是正確選用數(shù)學(xué)方法、求解數(shù)學(xué)問(wèn)題的依據(jù)，起著承上啟下的關(guān)鍵作用.

0

心真題砒標(biāo)?精御皿\\

1.（2023年北京高考數(shù)學(xué)真題）坡屋頂是我國(guó)傳統(tǒng)建筑造型之一，蘊(yùn)含著豐富的數(shù)學(xué)元素.安裝燈帶可以

勾勒出建筑輪廓，展現(xiàn)造型之美.如圖，某坡屋頂可視為一個(gè)五面體，其中兩個(gè)面是全等的等腰梯形，兩

個(gè)面是全等的等腰三角形.若A6=25m,3C=A￡>=10m,且等腰梯形所在的平面、等腰三角形所在的平面

與平面A38的夾角的正切值均為巫，則該五面體的所有棱長(zhǎng)之和為（）

5

B.112m

C.117mD.125m

2.（2022年新高考全國(guó)n卷數(shù)學(xué)真題）圖1是中國(guó)古代建筑中的舉架結(jié)構(gòu)，44'1瓦"',。。’是桁，相鄰

桁的水平距離稱為步，垂直距離稱為舉，圖2是某古代建筑屋頂截面的示意圖.其中。是

舉，OQ,￡>G，C昂網(wǎng)是相等的步，相鄰桁的舉步之比分別為第=0-5,器=配黑=履，普=%.已知

URCZ）!n/ij

4歡2,《成公差為01的等差數(shù)列，且直線04的斜率為0.725,則%=（

A.0.75B.0.8C.0.85D.0.9

3.（2022年高考全國(guó)甲卷數(shù)學(xué)（理）真題）沈括的《夢(mèng)溪筆談》是中國(guó)古代科技史上的杰作，其中收錄了

計(jì)算圓弧長(zhǎng)度的“會(huì)圓術(shù)”，如圖，A5是以。為圓心，。4為半徑的圓弧，。是的中點(diǎn)，。在A3上,

CD2

CDLAB.“會(huì)圓術(shù)”給出方的弧長(zhǎng)的近似值$的計(jì)算公式：s=AB+^~.當(dāng)。4=2,ZAQ5=60。時(shí),

OA

s=()

.11-3^D11-4A/3?9-36c9-473

2222

4.（2023年北京高考數(shù)學(xué)真題）我國(guó)度量衡的發(fā)展有著悠久的歷史，戰(zhàn)國(guó)時(shí)期就已經(jīng)出現(xiàn)了類似于祛碼

的、用來(lái)測(cè)量物體質(zhì)量的“環(huán)權(quán)”.已知9枚環(huán)權(quán)的質(zhì)量（單位：銖）從小到大構(gòu)成項(xiàng)數(shù)為9的數(shù)列｛風(fēng)｝,

該數(shù)列的前3項(xiàng)成等差數(shù)列，后7項(xiàng)成等比數(shù)列，且q=l,4=12,%=192,則%=；數(shù)列｛。“｝

所有項(xiàng)的和為.

5.（2022年新高考浙江數(shù)學(xué)高考真題）我國(guó)南宋著名數(shù)學(xué)家秦九韶，發(fā)現(xiàn)了從三角形三邊求面積的公式,

他把這種方法稱為“三斜求積”，它填補(bǔ)了我國(guó)傳統(tǒng)數(shù)學(xué)的一個(gè)空白.如果把這個(gè)方法寫(xiě)成公式，就是

,其中q,匕，。是三角形的三邊，S是三角形的面積.設(shè)某三角形的三邊

a=y/l,b=y/3,c=2,則該三角形的面積S=.

㈤5

孩心精說(shuō)，題型突破

題型一：融合傳統(tǒng)文化和數(shù)學(xué)史的數(shù)學(xué)閱讀題

【典例1」】“學(xué)如逆水行舟，不進(jìn)則退；心似平原跑馬，易放難收"（明?《增廣賢文》）是勉勵(lì)人們專心學(xué)

習(xí)的.如果每天的“進(jìn)步”率都是1%,那么一年后是（1+1%15=1.01365；如果每天的“退步”率都是1%,那么

一年后是。_1%戶5=0.99365.那么大約經(jīng)過(guò)（）天后“進(jìn)步”的是“退步”的2倍.請(qǐng)選出最接近的一項(xiàng).

（1g2^0.301030,IglOl?2.004321,lg99?1.995635）（）

A.25B.30C.35D.40

【典例1-2】我國(guó)古代數(shù)學(xué)經(jīng)典著作《九章算術(shù)》中記載了一個(gè)“圓材埋壁”的問(wèn)題：“今有圓材埋在壁中，

不知大小，以鋸鋸之，深一寸，鋸道長(zhǎng)一尺，問(wèn)徑幾何?”現(xiàn)有一類似問(wèn)題：不確定大小的圓柱形木材，部

分埋在墻壁中，其截面如圖所示用鋸去鋸這木材，若=|AB|=2,則圖中弧ACB與弦A3圍成的

A."B.女-括C.女-#D.竺-布

3333

【變式1-1】荀子《勸學(xué)》中說(shuō)：“不積度步，無(wú)以至千里;不積小流，無(wú)以成江海.”所以說(shuō)學(xué)習(xí)是日積月累

的過(guò)程，每天進(jìn)步一點(diǎn)點(diǎn)，前進(jìn)不止一小點(diǎn).我們可以把（1+1%）瘦看作是每天的“進(jìn)步”率都是1%,一年后

是1.0儼5。37.7834;而把（1-1%嚴(yán)5看作是每天“退步”率都是1%,一年后是0.99365夕0.0255;這樣，一年后的

10儼5

“進(jìn)步值”是“退步直’的“1481倍.那么當(dāng)“進(jìn)步”的值是“退步”的值的4倍，大約經(jīng)過(guò)（）天.（參考

0.99365

數(shù)據(jù)：IglOl?2.0043,lg99?1.9956,lg2?0.3010）

A.18B.30C.51D.69

【變式1-2］如圖是一種帳篷示意圖，帳頂采用“五脊四坡式”，四條斜脊的長(zhǎng)度相等，一條正脊平行于底

4

面，正脊與斜脊長(zhǎng)度的比為］,底面為矩形且長(zhǎng)與寬之比為2：1,若各斜坡面與底面所成二面角都相等，

則該二面角的正切值為（）

正脊

斜脊

A.IB.yC.BD.G

243

［命題預(yù)測(cè)I

力...................

1.大衍數(shù)列，來(lái)源于《乾坤譜》中對(duì)易傳“大衍之?dāng)?shù)五十”的推論，主要用于解釋中國(guó)傳統(tǒng)文化中的太極衍

生原理.數(shù)列中的每一項(xiàng)，都代表太極衍生過(guò)程中，曾經(jīng)經(jīng)歷過(guò)的兩儀數(shù)量總和，是中華傳統(tǒng)文化中隱藏

著的世界數(shù)學(xué)史上第一道數(shù)列題.其前10項(xiàng)依次是0,2,4,8,12,18,24,32,40,50,則此數(shù)

列的第20項(xiàng)為（）

A.162B.180C.200D.220

2.公元3世紀(jì)，劉徽發(fā)現(xiàn)可以用圓內(nèi)接正多邊形的周長(zhǎng)近似的表示圓的周長(zhǎng).如圖所示，他首先在圓內(nèi)

畫(huà)一個(gè)內(nèi)接正六邊形，再不斷地增加正多邊形的邊數(shù)；當(dāng)邊數(shù)越多時(shí)，正多邊形的周長(zhǎng)就越接近于圓的周

長(zhǎng).劉徽在《九章算術(shù)》中寫(xiě)道：“割之彌細(xì)，所失彌少，割之又割，以至于不可割，則與圓周合體而無(wú)

所失矣."我們稱這種方法為劉徽割圓術(shù)，它開(kāi)啟了研究圓周率的新紀(jì)元.小牧通過(guò)圓內(nèi)接正〃邊形，使用

劉徽割圓術(shù)，得到兀的近似值為（）

360°

D.n-sin

n

題型二：融合其他學(xué)科知識(shí)的數(shù)學(xué)閱讀題

【典例2-1】波恩哈德?黎曼（1866.07.20~1926.09.17）是德國(guó)著名的數(shù)學(xué)家.他在數(shù)學(xué)分析、微分幾何方面

作出過(guò)重要貢獻(xiàn)，開(kāi)創(chuàng)了黎曼幾何，并給后來(lái)的廣義相對(duì)論提供了數(shù)學(xué)基礎(chǔ).他提出了著名的黎曼函數(shù)，該

,,—,x=qp,qwZ*,p,q互質(zhì)）

函數(shù)的定義域?yàn)椋?』，其解析式為:“x）=qq'）,下列關(guān)于黎曼函數(shù)的說(shuō)法不正

0,工=0或1或（0』）內(nèi)的無(wú)理數(shù),.

硬的是（）

A.L（^）=L（l-x）

B.關(guān)于x的不等式”x）＞?+［的解集為

C.￡（?+/?）＞L（?）+L（Z?）

D.￡（?）￡（&）＜￡（?Z?）

【典例2-2】設(shè)a,b為非負(fù)整數(shù)，加為正整數(shù)，若。和6被加除得的余數(shù)相同，則稱。和6對(duì)模加同余，記

為。三6（mod〃z）.若"為質(zhì)數(shù)，〃為不能被P整除的正整數(shù)，則心Tml（modp）,這個(gè)定理是費(fèi)馬在

1636年提出的費(fèi)馬小定理，它是數(shù)論中的一個(gè)重要定理.現(xiàn)有以下4個(gè)命題：①23°+1三65（mod7）；②

對(duì)于任意正整數(shù)三0（modl3）；③對(duì)于任意正整數(shù)三0（mod7）；④對(duì)于任意正整數(shù)

尤,一—1三1（mod5）.則所有的真命題為（）

A.①③④B.②③④C.①②③D.①②④

【變式2-1］天文學(xué)家卡西尼在研究土星及其衛(wèi)星運(yùn)行規(guī)律時(shí)發(fā)現(xiàn)了到兩定點(diǎn)距離之積為定值的點(diǎn)的軌跡

是一條曲線，我們稱該曲線為卡西尼卵形線.已知兩定點(diǎn)耳（-2,0）,8（2,0）,動(dòng)點(diǎn)P（x,y）滿足

1MHp6|=4,設(shè)尸的軌跡為曲線C,則下列結(jié)論不正確的是（）

A.C既是軸對(duì)稱圖形，又是中心對(duì)稱圖形B.|x|W20

C.APKF2的面積大于2D.聞41

【變式2-2】北斗衛(wèi)星導(dǎo)航系統(tǒng)是中國(guó)自行研制的全球衛(wèi)星導(dǎo)航系統(tǒng).已知衛(wèi)星運(yùn)行軌道近似為以地球?yàn)?/p>

圓心的圓形，運(yùn)行周期T與軌道半徑R之間關(guān)系為〃=K-R3（K為常數(shù)）.已知甲、乙兩顆衛(wèi)星的運(yùn)行軌

道所在平面互相垂直，甲的周期是乙的8倍，且甲的運(yùn)行軌道半徑為。km,4臺(tái)分別是甲、乙兩顆衛(wèi)星的

運(yùn)行軌道上的動(dòng)點(diǎn)，則A,8之間距離的最大值為（）

.A/17,?5.

A.--〃kmB.—akm

44

3

C.—akmD.5〃km

命題預(yù)測(cè)||

1.如圖所示，“嫦娥四號(hào)”衛(wèi)星沿地月轉(zhuǎn)移軌道飛向月球后，在月球附近一點(diǎn)尸變軌進(jìn)入以月球球心月為一

個(gè)焦點(diǎn)的橢圓軌道I繞月飛行，之后衛(wèi)星在P點(diǎn)第二次變軌進(jìn)入仍以P為一個(gè)焦點(diǎn)的橢圓軌道II繞月飛

行，若用2。和2c°分別表示橢圓軌道I和II的焦距，用2%和2出分別表示橢圓軌道I和H的長(zhǎng)軸長(zhǎng)，給出

下列式子：①%-仇=的一。2；②%+。1=%+。2；③④亍.其中正確的是()

A.②③B.①④C.①③D.②④

2.據(jù)報(bào)道，從2024年7月16日起，“高原版”復(fù)興號(hào)動(dòng)車(chē)組將上線新成昆鐵路和達(dá)成鐵路，“高原版”復(fù)興

號(hào)動(dòng)車(chē)組涂裝用的是高耐性油漆，可適應(yīng)高海拔低溫環(huán)境.“高原版”復(fù)興號(hào)動(dòng)車(chē)組列車(chē)全長(zhǎng)236.7米，由9

輛編組構(gòu)成，設(shè)有6個(gè)商務(wù)座、28個(gè)一等座、642個(gè)二等座，最高運(yùn)行時(shí)速達(dá)160千米，全列定額載客

676人.假設(shè)“高原版”復(fù)興號(hào)動(dòng)車(chē)開(kāi)出站一段時(shí)間內(nèi)，速度"(m/s)與行駛時(shí)間f(s)的關(guān)系為

v=14+0.3/je[0,12],則當(dāng)f=10s時(shí)，“高原版”復(fù)興號(hào)動(dòng)車(chē)的加速度為()

A.4.4m/s2B.7.4m/s2C.17m/s2D.20m/s2

題型三：融合社會(huì)熱點(diǎn)和建設(shè)成就的數(shù)學(xué)閱讀題

【典例3-1](多選題)“曲線電瓶新聞燈”是記者常用的一種電瓶新聞燈，具有體積小，光線柔和等特

點(diǎn).這種燈利用了雙曲線的光學(xué)性質(zhì)：從雙曲線的一個(gè)焦點(diǎn)發(fā)出的光線，經(jīng)雙曲線反射后，反射光線的反

向延長(zhǎng)線經(jīng)過(guò)雙曲線的另一個(gè)焦點(diǎn).并且過(guò)雙曲線上任意一點(diǎn)的切線平分該點(diǎn)與兩焦點(diǎn)連線的夾角，如圖

所示：

22

已知雙曲線'-'=1左、右焦點(diǎn)為片，F(xiàn)2,A（3,2括），點(diǎn)M的坐標(biāo)為（1,0）,則下列結(jié)論正確的是

（）

A.雙曲線C的離心率為2

B.^AM=ZF.AM

C.過(guò)點(diǎn)鳥(niǎo)作與H垂直AM的延長(zhǎng)線于H,則“（0,一6）

D.若從工射出一道光線，經(jīng)雙曲線反射，其反射光線所在直線的斜率的取值范圍為卜應(yīng)，點(diǎn)）

【典例3-2］（多選題）游客從杭州城站到西湖之濱，最先看到的是公園瀕湖一帶的護(hù)欄，南北綿延約1公

里，柱與柱之間是一條條輕勻懸鏈，映照湖上的水光山色.德國(guó)數(shù)學(xué)家萊布尼茲把這種架在等高兩柱間，

自然下垂有均勻密度的曲線稱為懸鏈線.如果建立適當(dāng)?shù)钠矫嬷苯亲鴺?biāo)系，那么懸鏈線可以表示為函數(shù)

/（x）=|eT+e"L其中a>0,則下列關(guān)于懸鏈線函數(shù)『（%）的性質(zhì)判斷中，正確的有（）

A.為奇函數(shù)B.“X）為偶函數(shù)

C.“X）的最小值為aD.的單調(diào)增區(qū)間為［0,田）

【變式3-1】2024年10月30日，神舟十九號(hào)載人飛船發(fā)射成功，執(zhí)行此次飛行任務(wù)的航天員有蔡旭哲、

宋令東、王浩澤.所有航天員都需要在載人離心機(jī)中進(jìn)行超重耐力與適應(yīng)性訓(xùn)練.如圖所示，離心機(jī)的座艙

繞離心機(jī)的中心在水平面內(nèi)做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，若圓周運(yùn)動(dòng)的半徑為8m,速度為每秒1■圈，則座艙運(yùn)動(dòng)40兀

m需要的時(shí)間為s.

【變式3-2】中國(guó)剪紙是一種用剪刀或刻刀在紙上剪刻花紋，用于裝點(diǎn)生活或配合其他民俗活動(dòng)的民間藝

術(shù)，剪紙具有廣泛的群眾基礎(chǔ)，交融于各族人民的社會(huì)生活，是各種民俗活動(dòng)的重要組成部分，其傳承窿

續(xù)的視覺(jué)形象和造型格式，蘊(yùn)含了豐富的文化歷史信息，是中國(guó)古老的民間藝術(shù)之一.己知某剪紙的裁剪

工藝如下：取一張半徑為1的圓形紙片，記為。。，在。。內(nèi)作內(nèi)接正方形，接著在該正方形內(nèi)作內(nèi)切圓，

記為。。|,并裁去該正方形與內(nèi)切圓之間的部分（如圖所示陰影部分），記為一次裁剪操作，…，重復(fù)上述

裁剪操作〃次，最終得到該剪紙，則第2025次操作后，所有被裁部分的面積之和為.

［命題預(yù)測(cè)ni

1.窗花是貼在窗紙或窗戶玻璃上的剪紙，是中國(guó)古老的傳統(tǒng)民間藝術(shù)之一.在新春來(lái)臨之際，許多地區(qū)人

們?yōu)榱诉_(dá)到裝點(diǎn)環(huán)境、渲染氣氛，寄托辭舊迎新、接福納祥的愿望，設(shè)計(jì)了一種由外圍四個(gè)大小相等的

半圓和中間正方形所構(gòu)成的剪紙窗花（如左圖）.已知正方形ABCD的邊長(zhǎng)為4,中心為。，四個(gè)半圓的

圓心均在正方形ABCD各邊的中點(diǎn)（如右圖）.若點(diǎn)P位于半圓弧AD的中點(diǎn)，APPC的值為；

若點(diǎn)P在四個(gè)半圓的圓弧上運(yùn)動(dòng)，則ACOP的取值范圍是—

2.上海市奉賢區(qū)奉城鎮(zhèn)的古建筑萬(wàn)佛閣（圖1）的屋檐下常系掛風(fēng)鈴（圖2）,風(fēng)吹鈴動(dòng)，悅耳清脆，亦

稱驚鳥(niǎo)鈴，一般一個(gè)驚鳥(niǎo)鈴由銅鑄造而成，由鈴身和鈴舌組成，為了知道一個(gè)驚鳥(niǎo)鈴的質(zhì)量，可以通過(guò)計(jì)

算該驚鳥(niǎo)鈴的體積，然后由物理學(xué)知識(shí)計(jì)算出該驚鳥(niǎo)鈴的質(zhì)量，因此我們需要作出一些合理的假設(shè)：

假設(shè)1：鈴身且可近似看作由一個(gè)較大的圓錐挖去一個(gè)較小的圓錐；

假設(shè)2：兩圓錐的軸在同一條直線上；

假設(shè)3：鈴身內(nèi)部有一個(gè)掛鈴舌的部位的體積忽略不計(jì).

截面圖如下（圖3）,其中。C>3=20cm,O2O3=18cm,/IB=16cm,則制作100個(gè)這樣的驚鳥(niǎo)鈴的鈴身至

少需要千克銅.（銅的密度為8.9g/cmD（結(jié)果精確到個(gè)位）

題型四：融合生活實(shí)際的數(shù)學(xué)閱讀題

【典例4-1】天津相聲文化是天津具有代表性的地域文化符號(hào)，天津話妙趣橫生，天津相聲精彩紛呈，是

最具特色的旅游亮點(diǎn)之一.某位北京游客經(jīng)常來(lái)天津聽(tīng)相聲，每次從北京出發(fā)來(lái)天津乘坐高鐵和大巴的概率

分別為0.6和0.4,高鐵和大巴準(zhǔn)點(diǎn)到達(dá)的概率分別為0.9和0.8,則他準(zhǔn)點(diǎn)到達(dá)天津的概率是（分

數(shù)作答）.若他已準(zhǔn)點(diǎn)抵達(dá)天津，則此次來(lái)天津乘坐高鐵準(zhǔn)點(diǎn)到達(dá)比乘坐大巴準(zhǔn)點(diǎn)到達(dá)的概率高

（分?jǐn)?shù)作答）.

【典例4-2】北京大興國(guó)際機(jī)場(chǎng)的顯著特點(diǎn)之一是各種彎曲空間的運(yùn)用，在數(shù)學(xué)上用曲率刻畫(huà)空間彎曲性.

規(guī)定：多面體的頂點(diǎn)的曲率等于2兀與多面體在該點(diǎn)的面角之和的差（多面體的面的內(nèi)角叫做多面體的面

角，角度用弧度制），多面體面上非頂點(diǎn)的曲率均為零，多面體的總曲率等于該多面體各頂點(diǎn)的曲率之和.

■JT

例如：正四面體在每個(gè)頂點(diǎn)有3個(gè)面角，每個(gè)面角是所