第二章控制系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型主要內(nèi)容：1、建立被控對(duì)象的數(shù)學(xué)模型2、控制系統(tǒng)的數(shù)學(xué)描述方法微分方程

傳遞函數(shù)

方塊圖

信號(hào)流圖2.3系統(tǒng)方塊圖G1(s)G2(s)H(s)Y(s)E(s)X(s)-方塊圖：應(yīng)用傳遞函數(shù)方塊描述信號(hào)在控制系統(tǒng)中流通過程的圖解表示法

◆

系統(tǒng)每一環(huán)節(jié)用一個(gè)方塊表示，里面寫上它的傳遞函數(shù)

◆各變量用它的拉氏變換式表示G1(s)H(s)Y(s)（2）相加點(diǎn)±X1X2Y(比較器)G1(s)X1G2(s)X2±Y（3）分支點(diǎn)：相同的信號(hào)送到不同的地方Y(jié)1X1Y21、方塊圖中的基本符號(hào)（1）環(huán)節(jié)與通道G(s)X(s)Y(s)2、方塊圖的基本連接形式(1)

串聯(lián)G1(s)X(s)Y1(s)G2(s)Y2(s)G3(s)Y(s)串聯(lián)環(huán)節(jié)總的傳遞函數(shù)等于各環(huán)節(jié)傳遞函數(shù)的乘積。(2)

并聯(lián)G1(s)X1(s)Y1(s)G2(s)X2(s)Y2(s)X(s)±Y(s)并聯(lián)環(huán)節(jié)總的傳遞函數(shù)等于各環(huán)節(jié)傳遞函數(shù)之和。(3)反饋G(s)E(s)H(s)Z(s)X(s)Y(s)－X(s)Y(s)負(fù)反饋：Y(s)G(s)H(s)Y(s)+3、方塊圖的等效變換規(guī)則利用方塊圖的等效變換規(guī)則，化簡系統(tǒng)至基本連接形式，便于傳遞函數(shù)的計(jì)算。（1）在無函數(shù)方塊的支路上，相加點(diǎn)可以交換XYX1X2＋＋－＋XYX1X2＋＋＋－Y=X＋X1－X2

Y=X－X2＋X1（2）在無函數(shù)方塊的支路上，分支點(diǎn)可交換XYY1Y2XYY1Y2（3）分支點(diǎn)、相加點(diǎn)不能互換YX1X2＋Y1YX1X2＋Y1相同性質(zhì)的點(diǎn)可以交換，不同性質(zhì)的點(diǎn)不可交換。X=Y1=Y2=YX=Y2=Y1=YY1=X1+X2Y1=X2（4）相加點(diǎn)變位

XYX1X2＋＋＋XYX2X1＋＋＋＋Y=X＋X1＋X2

Y=X＋X2＋X1（5）相加點(diǎn)跨越方塊，（a）后移：YX1X2＋GYX1X2＋GGY(s)=X1(s)G(s)+X2(s)G(s)Y(s)=X1(s)G(s)+X2(s)G(s)后移乘G（b）前移：YX1X2＋GY(s)=G(s)X1(s)+X2(s)Y(s)=G(s)X1(s)+X2(s)YX1X2＋G（5）相加點(diǎn)跨越方塊，后移乘G；前移除G；（6）分支點(diǎn)跨越方塊,

（a）后移：YX1GY1YX1GY1Y(s)=G(s)X1(s)Y1(s)=X1(s)Y(s)=G(s)X1(s)Y1(s)=X1(s)后移除G,（b）前移：YX1GY1YX1GY1GY(s)=G(s)X1(s)=Y1(s)Y(s)=G(s)X1(s)=Y1(s)（6）分支點(diǎn)跨越方塊,后移除G，前移乘G;總結(jié)：（1）盡量利用相同性質(zhì)的點(diǎn)可以交換這一點(diǎn)，避免不同性質(zhì)的點(diǎn)交換（絕不可以）；（2）相加、分支點(diǎn)需要跨越方塊時(shí)，需要做相應(yīng)變換，兩者交換規(guī)律正好相反：（3）變換后，轉(zhuǎn)換為單回路的串、并聯(lián)或反饋回路，利用公式計(jì)算。后移→前移←相加點(diǎn)×分支點(diǎn)×÷÷X(s)－＋＋＋G1G2G3H1H2－＋Y(s)例2-2-3求

方法1.相加點(diǎn)3前移，討論：有？種變換方法－與相加點(diǎn)2交換4除G1（s）,Y(s)X(s)－＋＋＋G1G2G3H1H2－＋1324653X(s)－＋＋＋G1G2G3H1H2－＋Y(s)例2-2-3

方法2.分支點(diǎn)4后移，與分支點(diǎn)5交換除G3（s）,1/G3Y(s)X(s)－＋＋＋G1G2G3H1H2－＋1324653例2-2-3

方法3.相加點(diǎn)2后移，與相加點(diǎn)3交換。乘G1（s）,Y(s)X(s)－＋＋G1G2G3G1H1H2－＋Y(s)X(s)－＋＋＋G1G2G3H1H2－＋1324653

方法4.分支點(diǎn)5前移。與分支點(diǎn)4交換。乘G3（s）,Y(s)X(s)－＋＋＋G1G2G3H1H2－＋1324653X(s)－＋G1G2G3H1H2＋－方法1求解：H2G1G2G3H1＋Y(s)X(s)－＋－方法1求解：－Y(s)X(s)－Y(s)X(s)－方法1求解：X(s)Y(s)－G1G2G3H1H2＋－Y(s)X(s)－－X(s)－＋＋＋G1G2G3H1H2－＋Y(s)例2-2-3

方法2.分支點(diǎn)4后移，與分支點(diǎn)5交換除G3（s）,1/G3Y(s)X(s)－＋＋＋G1G2G3H1H2－＋1324653例2-2-3

方法3.相加點(diǎn)2后移，與相加點(diǎn)3交換。乘G1（s）,Y(s)X(s)－＋＋G1G2G3G1H1H2－＋Y(s)X(s)－＋＋＋G1G2G3H1H2－＋1324653第二章控制系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型主要內(nèi)容：1、建立被控對(duì)象的數(shù)學(xué)模型2、控制系統(tǒng)的數(shù)學(xué)描述方法微分方程

傳遞函數(shù)

方塊圖

信號(hào)流圖2.4信號(hào)流圖●

畫圖更簡便●梅遜增益公式—簡便、直接的求出系統(tǒng)的傳遞函數(shù)●

信號(hào)流圖也是一種表示系統(tǒng)各變量間關(guān)系的一種圖解法●梅遜公式也可以推廣到方塊圖－求系統(tǒng)的傳遞函數(shù)信號(hào)流圖是由節(jié)點(diǎn)和連接兩節(jié)點(diǎn)的支路組成。節(jié)點(diǎn)節(jié)點(diǎn)支路X1aX2◆變量間的關(guān)系用支路上的符號(hào)a（傳輸）表示，如x2=ax1◆箭頭表示信號(hào)作用方向◆每一節(jié)點(diǎn)表示一個(gè)變量基本組成1、術(shù)語（和傳遞函數(shù)術(shù)語對(duì)照理解）X1aX2bcdei1fghX3X4X5X6（1）節(jié)點(diǎn)：表示變量的點(diǎn)x1~x6，分3種。輸入節(jié)點(diǎn)（源點(diǎn)）：x1，只包含輸出支路的點(diǎn)，代表輸入變量，畫在左側(cè)?；旌瞎?jié)點(diǎn)：x2~x5，既有輸入支路的點(diǎn)，又有輸出支路的點(diǎn),代表中間變量。輸出節(jié)點(diǎn)（陷點(diǎn)）：x6，只包含輸入支路的點(diǎn)，代表輸出變量，畫在右側(cè)。（2）支路：連接兩節(jié)點(diǎn)間的定向線段。X1aX2bcdei1fghX3X4X5X6（3）傳輸：兩節(jié)點(diǎn)間的增益（寫在支路上方）。(4)通路：沿箭頭方向，穿過各相連支路的途徑。開通路：通路的起點(diǎn)與終點(diǎn)不是一個(gè)節(jié)點(diǎn)，與每一節(jié)點(diǎn)最多相交一次。l

閉通路（回路）：起點(diǎn)與終點(diǎn)為同一節(jié)點(diǎn)，與其它節(jié)點(diǎn)最多相交一次。X1aX2bcdei1fghX3X4X5X6x1x3x4x5x2x3x4x2,問題：x1x3x2x1?x4(自回路)？x1x2x3x4,x2x3x2,注意：通路和回路的區(qū)別?！?/p>

不接觸回路：X1aX2bcdei1fghX3X4X5X6

●

接觸回路：回路之間有公共節(jié)點(diǎn)。

回路之間沒有公共節(jié)點(diǎn)。x2x3x2和x4x5x4x2x3x2和x2x3x4x2，x4和x4x5x4l

前向通路：起點(diǎn)為輸入節(jié)點(diǎn)，終點(diǎn)為輸出節(jié)點(diǎn)的開通路。x1x3x4x5x6x1~x6，X1aX2bcdei1f-ghX3X4X5X6（5）回路增益：回路經(jīng)過各個(gè)支路增益的乘積。

（6）前向通路的增益：前向通路經(jīng)過各個(gè)支路增益的乘積。x2x3x4x2的增益為-bcgabcd，cedbc-gX1aX2bcdX3X41X5X6cde2、梅遜（Mason）公式總增益：P：總增益；△：信號(hào)流圖的特征式，：所有回路增益之和：每兩個(gè)互不接觸回路增益乘積之和：每三個(gè)互不接觸回路增益乘積之和…第k條前向通路的總增益；第k條前向通路的特征式的余因式；（即除去第k條前向通路后剩下的信號(hào)流圖的特征式）G1G2G3G4G5例2-2-4利用梅遜公式求圖示信號(hào)流圖的總增益。RG4G5G3﹣H1CG1G2G6G7﹣H2分析：前向通路？條，P3=G1G2G7P2=G1G6G4G5,P1=G1G2G3G4G5,G1G6G4G53條G1G2G7RG4G5G3﹣H1CG1G2G6G7﹣H2例2-2-4(2)回路？條

4條在這些回路中，互不接觸的回路有?條因而，系統(tǒng)特征式Δ=L4=-G2G3G4G5H2L3=-G6G4G5H2,L2=-G2G7H2,L1=-G4H1,1-（L1+L2+L3+L4）+L1L2L1和L2，RG4G5G3﹣H1CG1G2G6G7﹣H2例2-2-4(3)前向通路P1前向通路P3Δ3=1-L1，前向通路P2Δ2=1，Δ1=1，與所有回路都接觸：與所有回路都接觸：與L1不接觸：例2-2-4(4)P3=G1G2G7P2=G1G6G4G5,P1=G1G2G3G4G5,Δ3=1-L1，Δ2=1，Δ1=1，△=1-（L1+L2+L3+L4）+L1L2L4=-G2G3G4G5H2L3=-G6G4G5H2,L2=-G2G7H2,L1=-G4H1,/練習(xí):求C(s)/R(s)三個(gè)單獨(dú)回路，兩個(gè)回路互不接觸前向通路兩條注意：反饋的性質(zhì)被傳輸符號(hào)表示。前向通路?條回路？個(gè)UiX1X2X3X4Uoabcdefhg3、基本運(yùn)算規(guī)則（1）并聯(lián)X1a1+a2X2a1a2X1X2（2）串聯(lián)X1a1X2X3a2X1a1a2X3（3）自回路（4）反饋X1X3X1a1X2X3a2﹣1X1a1X2a2X1X2（5）中間節(jié)點(diǎn)的消除X3abX4acX1X1aX2X4bcX3X1acX2bcX4X3bX4X1caX2X2X4X1bcacadX3bdX3X4X1X2bcadX例2-2-5二階水槽如圖（2-2-1）求h2到Qi的傳遞函數(shù)（設(shè)閥位不變）?！?，—，Qih1h2Q1QoR1R2A1A2例2-2-5(2)進(jìn)行拉氏變換：Qih1h2Q1QoR1R2A1A2（1）方塊圖法（微分方程→方塊圖）1、變量用拉氏變換式表示(中間變量和輸出變量）H2－－QiE1H1Q1E2QoQ12、畫出方塊圖例2-2-5(4)令則上式寫為微分方程為:H2－－QiE1H1Q1E2Qo(2)信號(hào)流圖（方塊圖→信號(hào)流圖）QiE2H21H1﹣11Q1E1注意：方塊圖中的相加點(diǎn)與信號(hào)流圖中的節(jié)點(diǎn)不同，一定不能混淆，每個(gè)節(jié)點(diǎn)代表一個(gè)變量。結(jié)果同前式。H2QiQ11H1﹣11信號(hào)流圖一般只能計(jì)算從輸入節(jié)點(diǎn)到輸出節(jié)點(diǎn)的傳遞函數(shù)，不適用混合節(jié)點(diǎn)。注意：例2-2-6（微分方程→信號(hào)流圖）求信號(hào)流圖和方塊圖比較，發(fā)現(xiàn)形式非常相似。如：X(s)G(s)Y(s)Y(s)X(s)G(s)信號(hào)流圖中節(jié)點(diǎn)間帶傳輸?shù)闹放c方塊圖中的一個(gè)函數(shù)方塊相當(dāng)；傳輸相當(dāng)于傳遞函數(shù)；G1(s)E(s)X(s)Y(s)－F(s)H(s)G2(s)X(s)Y(s)1﹣H(s)E(s)F(s)G1(s)G2(s)信號(hào)流圖中的閉通路或回路與方塊圖中的反饋回路相當(dāng)。既然方塊圖與信號(hào)流圖有一一對(duì)應(yīng)的關(guān)系，則可以利用梅遜公式對(duì)方塊圖直接求解系統(tǒng)的傳遞函數(shù)。例2-2-7利用梅遜公式求系統(tǒng)的傳遞函數(shù)。Y(s)X(s)－G1G2G3H1H2－＋設(shè)有兩級(jí)RC電路串聯(lián)組成的濾波網(wǎng)絡(luò),如圖所示。1、試建立該網(wǎng)絡(luò)的微分方程2、畫出系統(tǒng)的方塊圖3、建立系統(tǒng)的信號(hào)流圖4、求系統(tǒng)的傳遞函數(shù)綜合練習(xí)1解:首先確定為系統(tǒng)輸入量,為系統(tǒng)輸出量。

其中為中間變量,消去后得到1、根據(jù)基爾霍夫定律得到各環(huán)節(jié)的微分方程如下：該網(wǎng)絡(luò)的動(dòng)態(tài)模型是一個(gè)線性常系數(shù)二階微分方程。2、繪制兩級(jí)RC網(wǎng)絡(luò)的結(jié)構(gòu)方塊圖

(中間變量和輸出變量）畫出各環(huán)節(jié)的方塊圖按信號(hào)流向連接各環(huán)節(jié)4、求傳遞函數(shù)

3、繪制兩級(jí)RC網(wǎng)絡(luò)的信號(hào)流圖

UcUrU11﹣11I2I1-I2﹣1綜合練習(xí)2利用梅遜公式求C(s)G1(s)G3(s)H1(s)G2(s)H3(s)H2(s)R(s)C(s)E(S)G1(s)G3(s)H1(s)G2(s)H3(s)H2(s)R(s)C(s)E(S)L1L2=(G1H1)(-G2H2)L1=G1H1L2=–G2H2L3=–G1G2H3C(s)=1-G1H1+G2H2+G1G2H3-G1H1G2H2＋G3G2G1G2R(s)[](1-G1H1)G1(s)G3(s)H1(s)G2(s)H3(s)H2(s)R(s)C(s)E(S)G1(s)G3(s)H1(s)G2(s)H3(s)H2(s)R(s)C(s)N(s)E(S)R(s)綜合練習(xí)3利用梅遜公式求E(s)E(s)=1-G1H1+G2H2+G1G2H3-G1H1G2H2△1=1+G2H2(1+G2H2)P1=1R(s)·G1(s)H1(s)H2(s)C(s)G3(s)G2(s)H3(s)R(s)E(S)利用梅遜公式求E(s)G1(s)H1(s)H2(s)C(s)P2=-G3G2H3△2=1(-G3G2H3)R(s)[]E(s)=1-G1H1+G2H2+G1G2H3-G1H1G2H2(1+G2H2)+G1(s)H1(s)H2(s)C(s)利用梅遜公式求E(s)G