初三知識整頓人教版體系框架（7～9年級）七年級上冊（61）第1章有理數(shù)（19）第2章整式的加減（8）第3章一元一次方程（18）第4章圖形認識初步（16）七年級下冊（62）第5章相交線與平行線（14）第6章平面直角坐標系（7）第7章三角形（8）第8章二元一次方程組（12）第9章不等式與不等式組（12）第10章數(shù)據(jù)庫的搜集整頓與描述（9）八年級上冊（62）第11章全等三角形（11）第12章軸對稱（13）第13章實數(shù)（8）第14章一次函數(shù)（17）第15章整式的乘除與因式分解（13）八年級下冊（61）第16章分式（14）第17章反比例函數(shù)（8）第18章勾股定理（8）第19章四邊形（16）第20章數(shù)據(jù)的分析（15）九年級上冊（62）第21章二次根式（9）第22章一元二次方程（13）第23章旋轉(zhuǎn)（8）第24章圓（17）第25章概率初步（15）九年級下冊（48）第26章二次函數(shù)（12）第27章相似（13）第28章銳角三角函數(shù)（12）第29章投影與視圖（11）全套教科書包括了課程原則（試驗稿）規(guī)定的“數(shù)與代數(shù)”“空間與圖形”“記錄與概率”“實踐與綜合應用”四個領域的內(nèi)容，在體系構造的設計上力爭反應這些內(nèi)容之間的聯(lián)絡與綜合，使它們形成一種有機的整體九年級上冊包括二次根式、一元二次方程、旋轉(zhuǎn)、圓、概率初步五章內(nèi)容，學習內(nèi)容波及到了《課程原則》的四個領域。包括如下章節(jié)：第21章二次根式第22章一元二次方程第23章旋轉(zhuǎn)第24章圓第25章概率初步本冊書內(nèi)容分析如下：第21章二次根式學生已經(jīng)學過整式與分式，懂得用式子可以表達實際問題中的數(shù)量關系。處理與數(shù)量關系有關的問題還會碰到二次根式。“二次根式”一章就來認識這種式子，探索它的性質(zhì)，掌握它的運算。在這一章，首先讓學生理解二次根式的概念，并掌握如下重要結論：（1）是一種非負數(shù)；（2）≥0）；（3）(a≥0)．注：有關二次根式的運算，由于二次根式的乘除相對于二次根式的加減來說更易于掌握，教科書先安排二次根式的乘除，再安排二次根式的加減?！岸胃降某顺币还?jié)的內(nèi)容有兩條發(fā)展的線索。一條是用品體計算的例子體會二次根式乘除法則的合理性，并運用二次根式的乘除法則進行運算；一條是由二次根式的乘除法則得到(a≥0，b≥0)，(a≥0，b>0)，并運用它們進行二次根式的化簡?！岸胃降募訙p”一節(jié)先安排二次根式加減的內(nèi)容，再安排二次根式加減乘除混合運算的內(nèi)容。在本節(jié)中，注意類比整式運算的有關內(nèi)容。例如，讓學生比較二次根式的加減與整式的加減，又如，通過例題闡明在二次根式的運算中，多項式乘法法則和乘法公式仍然合用。這些處理有助于學生掌握本節(jié)內(nèi)容。第22章一元二次方程學生已經(jīng)掌握了用一元一次方程處理實際問題的措施。在處理某些實際問題時還會碰到一種新方程——一元二次方程?！耙辉畏匠獭币徽戮蛠碚J識這種方程，討論這種方程的解法,并運用這種方程處理某些實際問題。本章首先通過雕像設計、制作方盒、排球比賽等問題引出一元二次方程的概念，給出一元二次方程的一般形式。然後讓學生通過數(shù)值代入的措施找出某些簡樸的一元二次方程的解，對一元二次方程的解加以體會，并給出一元二次方程的根的概念，“22.2降次——解一元二次方程”一節(jié)簡介配措施、公式法、因式分解法三種解一元二次方程的措施。下面分別加以闡明。（1）在簡介配措施時，首先通過實際問題引出形如的方程。這樣的方程可以化為更為簡樸的形如的方程，由平方根的概念，可以得到這個方程的解。進而舉例闡明怎樣解形如的方程。然後舉例闡明一元二次方程可以化為形如的方程，引出配措施。最終安排運用配措施解一元二次方程的例題。在例題中，波及二次項系數(shù)不是1的一元二次方程，也波及沒有實數(shù)根的一元二次方程。對于沒有實數(shù)根的一元二次方程，學了“公式法”後來，學生對這個內(nèi)容會有深入的理解。（2）在簡介公式法時，首先借助配措施討論方程的解法，得到一元二次方程的求根公式。然後安排運用公式法解一元二次方程的例題。在例題中，波及有兩個相等實數(shù)根的一元二次方程，也波及沒有實數(shù)根的一元二次方程。由此引出一元二次方程的解的三種狀況。（3）在簡介因式分解法時，首先通過實際問題引出易于用因式分解法的一元二次方程，引出因式分解法。然後安排運用因式分解法解一元二次方程的例題。最終對配措施、公式法、因式分解法三種解一元二次方程的措施進行小結。“22.3實際問題與一元二次方程”一節(jié)安排了四個探究欄目，分別探究傳播、成本下降率、面積、勻變速運動等問題，使學生深入體會方程是刻畫現(xiàn)實世界的一種有效的數(shù)學模型。第23章旋轉(zhuǎn)學生已經(jīng)認識了平移、軸對稱，探索了它們的性質(zhì)，并運用它們進行圖案設計。本書中圖形變換又增添了一名新組員――旋轉(zhuǎn)?！靶D(zhuǎn)”一章就來認識這種變換，探索它的性質(zhì)。在此基礎上，認識中心對稱和中心對稱圖形?！?3.1旋轉(zhuǎn)”一節(jié)首先通過實例簡介旋轉(zhuǎn)的概念。然後讓學生探究旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)。在此基礎上，通過例題闡明作一種圖形旋轉(zhuǎn)後的圖形的措施。最終舉例闡明用旋轉(zhuǎn)可以進行圖案設計?！?3.2中心對稱”一節(jié)首先通過實例簡介中心對稱的概念。然後讓學生探究中心對稱的性質(zhì)。在此基礎上，通過例題闡明作與一種圖形成中心對稱的圖形的措施。這些內(nèi)容之後，通過線段、平行四邊形引出中心對稱圖形的概念。最終簡介有關原點對稱的點的坐標的關系，以及運用這一關系作與一種圖形成中心對稱的圖形的措施?！?3.3課題學習圖案設計”一節(jié)讓學生探索圖形之間的變換關系（平移、軸對稱、旋轉(zhuǎn)及其組合），靈活運用平移、軸對稱、旋轉(zhuǎn)的組合進行圖案設計。第24章圓圓是一種常見的圖形。在“圓”這一章，學生將深入認識圓，探索它的性質(zhì)，并用這些知識處理某些實際問題。通過這一章的學習，學生的處理圖形問題的能力將會深入提高?！?4.1圓”一節(jié)首先簡介圓及其有關概念。然後讓學生探究與垂直于弦的直徑有關的結論，并運用這些結論處理問題。接下來，讓學生探究弧、弦、圓心角的關系，并運用上述關系處理問題。最終讓學生探究圓周角與圓心角的關系，并運用上述關系處理問題?！?4.2與圓有關的位置關系”一節(jié)首先簡介點和圓的三種位置關系、三角形的外心的概念，并通過證明“在同一直線上的三點不能作圓”引出了反證法。然後簡介直線和圓的三種位置關系、切線的概念以及與切線有關的結論。最終簡介圓和圓的位置關系?！?4.3正多邊形和圓”一節(jié)揭示了正多邊形和圓的關系，簡介了等分圓周得到正多邊形的措施?！?4.4弧長和扇形面積”一節(jié)首先簡介弧長公式。然後簡介扇形及其面積公式。最終簡介圓錐的側面積公式。第25章概率初步將一枚硬幣拋擲一次，也許出現(xiàn)正面也也許出現(xiàn)背面，出現(xiàn)正面的也許性大還是出現(xiàn)背面的也許性大呢？學了“概率”一章，學生就能更好地認識這個問題了。掌握了概率的初步知識，學生還會處理更多的實際問題?！?5.1概率”一節(jié)首先通過實例簡介隨機事件的概念，然後通過擲幣問題引出概率的概念?！?5.2用列舉法求概率”一節(jié)首先通過詳細試驗引出用列舉法求概率的措施。然後安排運用這種措施求概率的例題。在例題中，波及列表及畫樹形圖?！?5.3運用頻率估計概率”一節(jié)通過幼樹成活率和柑橘損壞率等問題簡介了用頻率估計概率的措施?！?5.4課題學習鍵盤上字母的排列規(guī)律”一節(jié)讓學生通過這一課題的研究體會概率的廣泛應用。知識點總結第21章二次根式知識框圖學習目的對于本章內(nèi)容，教學中應到達如下幾方面規(guī)定：1.理解二次根式的概念，理解被開方數(shù)必須是非負數(shù)的理由；2.理解最簡二次根式的概念；3.理解并掌握下列結論：（1）是非負數(shù)；（2）；（3）；4.掌握二次根式的加、減、乘、除運算法則，會用它們進行有關實數(shù)的簡樸四則運算；5.理解代數(shù)式的概念，深入體會代數(shù)式在表達數(shù)量關系方面的作用。I.二次根式的定義和概念：1、定義：一般地，形如√?。╝≥0）的代數(shù)式叫做二次根式。當a＞0時，√a表達a的算數(shù)平方根,√0=0

2、概念：式子√?。╝≥0）叫二次根式?！台。╝≥0）是一種非負數(shù)。II.二次根式√ā的簡樸性質(zhì)和幾何意義1）a≥0;√ā≥0[雙重非負性]

2）（√?。2=a（a≥0）[任何一種非負數(shù)都可以寫成一種數(shù)的平方的形式]

3)√(a^2+b^2)表達平面間兩點之間的距離，即勾股定理推論。III.二次根式的性質(zhì)和最簡二次根式1）二次根式√ā的化簡

a(a≥0）

√ā=|a|={

-a(a＜0)

2）積的平方根與商的平方根

√ab=√a·√b（a≥0，b≥0）

√a/b=√a/√b（a≥0，b>0）

3）最簡二次根式

條件：

（1）被開方數(shù)的因數(shù)是整數(shù)或字母，因式是整式；

（2）被開方數(shù)中不具有可化為平方數(shù)或平方式的因數(shù)或因式。

如：不具有可化為平方數(shù)或平方式的因數(shù)或因式的有√2、√3、√a（a≥0）、√x+y等；

具有可化為平方數(shù)或平方式的因數(shù)或因式的有√4、√9、√a^2、√（x+y）^2、√x^2+2xy+y^2等IV.二次根式的乘法和除法1運算法則

√a·√b=√ab（a≥0，b≥0）

√a/b=√a/√b（a≥0，b>0）

二數(shù)二次根之積，等于二數(shù)之積的二次根。

2共軛因式

假如兩個具有根式的代數(shù)式的積不再具有根式，那么這兩個代數(shù)式叫做共軛因式，也稱互為有理化根式。V.二次根式的加法和減法1同類二次根式

一般地，把幾種二次根式化為最簡二次根式後，假如它們的被開方數(shù)相似，就把這幾種二次根式叫做同類二次根式。

2合并同類二次根式

把幾種同類二次根式合并為一種二次根式就叫做合并同類二次根式。

3二次根式加減時，可以先將二次根式化為最簡二次根式，再將被開方數(shù)相似的進行合并Ⅵ.二次根式的混合運算1確定運算次序

2靈活運用運算定律

3對的使用乘法公式

4大多數(shù)分母有理化要及時

5在有些簡便運算中也許可以約分，不要盲目有理化VII.分母有理化分母有理化有兩種措施

I.分母是單項式

如:√a/√b=√a×√b/√b×√b=√ab/bII.分母是多項式

要運用平方差公式

如1/√a＋√b=√a－√b/(√a＋√b)(√a－√b)=√a－√b/a－b

III.分母是多項式

要運用平方差公式

如1/√a＋√b=√a－√b/(√a＋√b)(√a－√b)=√a－√b/a－b

第22章一元二次方程知識框圖旋轉(zhuǎn)知識框圖旋轉(zhuǎn)的定義在平面內(nèi)，將一種圖形繞一種圖形按某個方向轉(zhuǎn)動一種角度，這樣的運動叫做圖形的旋轉(zhuǎn)。這個定點叫做旋轉(zhuǎn)中心，轉(zhuǎn)動的角度叫做旋轉(zhuǎn)角。

圖形的旋轉(zhuǎn)是圖形上的每一點在平面上繞著某個固定點旋轉(zhuǎn)固定角度的位置移動，其中對應點到旋轉(zhuǎn)中心的距離相等，對應線段的長度、對應角的大小相等，旋轉(zhuǎn)前後圖形的大小和形狀沒有變化。旋轉(zhuǎn)對稱中心把一種圖形繞著一種定點旋轉(zhuǎn)一種角度後，與初始圖形重疊，這種圖形叫做旋轉(zhuǎn)對稱圖形，這個定點叫做旋轉(zhuǎn)對稱中心，旋轉(zhuǎn)的角度叫做旋轉(zhuǎn)角（旋轉(zhuǎn)角不不小于0°，不小于360°）。中心對稱和中心對稱圖形是兩個不一樣而又緊密聯(lián)絡的概念．它們的區(qū)別是：中心對稱是指兩個全等圖形之間的互相位置關系，這兩個圖形有關一點對稱，這個點是對稱中心，兩個圖形有關點的對稱也叫做中心對稱．成中心對稱的兩個圖形中，其中一種上所有點有關對稱中心的對稱點都在另一種圖形上，反之，另一種圖形上所有點的對稱點，又都在這個圖形上；而中心對稱圖形是指一種圖形自身成中心對稱．中心對稱圖形上所有點有關對稱中心的對稱點都在這個圖形自身上．假如將中心對稱的兩個圖形當作一種整體（一種圖形），那么這個圖形就是中心對稱圖形；一種中心對稱圖形，假如把對稱的部分當作是兩個圖形，那么它們又是有關中心對稱．

也就是說：

①中心對稱圖形：假如把一種圖形繞著某一點旋轉(zhuǎn)180度後能與自身重疊，那么我們就說，這個圖形成中心對稱圖形。

②中心對稱：假如把一種圖形繞著某一點旋轉(zhuǎn)180度後能與另一種圖形重疊，那么我們就說，這兩個圖形成中心對稱。中心對稱圖形正（2N）邊形（N為不小于1的正整數(shù)），線段，矩形，菱形，圓只是中心對稱圖形平行四邊形等．既不是軸對稱圖形又不是中心對稱圖形不等邊三角形，非等腰梯形等．中心對稱的性質(zhì)①有關中心對稱的兩個圖形是全等形。

②有關中心對稱的兩個圖形，對稱點連線都通過對稱中心，并且被對稱中心平分。

③有關中心對稱的兩個圖形，對應線段平行（或者在同一直線上）且相等。

識別一種圖形與否是中心對稱圖形就是看與否存在一點，使圖形繞著這個點旋轉(zhuǎn)180°後能與原圖形重疊。

中心對稱是指兩個圖形繞某一種點旋轉(zhuǎn)180°後，可以完全重疊，稱這兩個圖形有關該點對稱，該點稱為對稱中心.兩者相輔相成，兩圖形成中心對稱，必有對稱中點，而點只有能使兩個圖形旋轉(zhuǎn)180°後完全重疊才稱為對稱中點.

圓知識框圖【圓的基本知識】〖幾何中圓的定義〗

幾何說：平面上到定點的距離等于定長的所有點構成的圖形叫做圓。定點稱為圓心，定長稱為半徑。

軌跡說：平面上一動點以一定點為中心，一定長為距離運動一周的軌跡稱為圓周，簡稱圓。

集合說：到定點的距離等于定長的點的集合叫做圓。

〖圓的有關量〗

圓周率：圓周長度與圓的直徑長度的比叫做圓周率，值是3.1170679...，一般用π表達，計算中常取3.14為它的近似值(但奧數(shù)常取3或3.1416)。

圓弧和弦：圓上任意兩點間的部分叫做圓弧，簡稱弧。不小于半圓的弧稱為優(yōu)弧，不不小于半圓的弧稱為劣弧。連接圓上任意兩點的線段叫做弦。通過圓心的弦叫做直徑。

圓心角和圓周角：頂點在圓心上的角叫做圓心角。頂點在圓周上，且它的兩邊分別與圓有另一種交點的角叫做圓周角。

內(nèi)心和外心：過三角形的三個頂點的圓叫做三角形的外接圓，其圓心叫做三角形的外心。和三角形三邊都相切的圓叫做這個三角形的內(nèi)切圓，其圓心稱為內(nèi)心。

扇形：在圓上，由兩條半徑和一段弧圍成的圖形叫做扇形。

圓錐側面展開圖是一種扇形。這個扇形的半徑稱為圓錐的母線。

〖圓和圓的有關量字母表達措施〗

圓—⊙半徑—r弧—⌒直徑—d

扇形弧長／圓錐母線—l周長—C面積—S

〖圓和其他圖形的位置關系〗

圓和點的位置關系：以點P與圓O的為例（設P是一點，則PO是點到圓心的距離），P在⊙O外，PO＞r；P在⊙O上，PO＝r；P在⊙O內(nèi)，PO＜r。

直線與圓有3種位置關系：無公共點為相離；有兩個公共點為相交,這條直線叫做圓的割線；圓與直線有唯一公共點為相切，這條直線叫做圓的切線，這個唯一的公共點叫做切點。以直線AB與圓O為例（設OP⊥AB于P，則PO是AB到圓心的距離）：AB與⊙O相離，PO＞r；AB與⊙O相切，PO＝r；AB與⊙O相交，PO＜r。

兩圓之間有5種位置關系：無公共點的，一圓在另一圓之外叫外離，在之內(nèi)叫內(nèi)含；有唯一公共點的，一圓在另一圓之外叫外切，在之內(nèi)叫內(nèi)切；有兩個公共點的叫相交。兩圓圓心之間的距離叫做圓心距。兩圓的半徑分別為R和r，且R≥r，圓心距為P：外離P＞R+r；外切P=R+r；相交R-r＜P＜R+r；內(nèi)切P=R-r；內(nèi)含P＜R-r。圓的平面幾何性質(zhì)和定理一有關圓的基本性質(zhì)與定理

⑴圓確實定：不在同一直線上的三個點確定一種圓。

圓的對稱性質(zhì)：圓是軸對稱圖形，其對稱軸是任意一條通過圓心的直線。圓也是中心對稱圖形，其對稱中心是圓心。垂徑定理：垂直于弦的直徑平分這條弦，并且平分弦所對的2條弧。逆定理：平分弦（不是直徑）的直徑垂直于弦，并且平分弦所對的2條弧。

⑵有關圓周角和圓心角的性質(zhì)和定理在同圓或等圓中，假如兩個圓心角，兩個圓周角，兩組弧，兩條弦，兩條弦心距中有一組量相等，那么他們所對應的其他各組量都分別相等。一條弧所對的圓周角等于它所對的圓心角的二分之一。直徑所對的圓周角是直角。90度的圓周角所對的弦是直徑。

⑶有關外接圓和內(nèi)切圓的性質(zhì)和定理

①一種三角形有唯一確定的外接圓和內(nèi)切圓。外接圓圓心是三角形各邊垂直平分線的交點，到三角形三個頂點距離相等；

②內(nèi)切圓的圓心是三角形各內(nèi)角平分線的交點，到三角形三邊距離相等。

③S三角=1/2*△三角形周長*內(nèi)切圓半徑

④兩相切圓的連心線過切點（連心線：兩個圓心相連的線段）

⑤圓O中的弦PQ的中點M，過點M任作兩弦AB，CD，弦AD與BC分別交PQ于X，Y，則M為XY之中點。

〖有關切線的性質(zhì)和定理〗

圓的切線垂直于過切點的半徑；通過半徑的一端，并且垂直于這條半徑的直線，是這個圓的切線。

切線的鑒定措施：通過半徑外端并且垂直于這條半徑的直線是圓的切線。

切線的性質(zhì)：（1）通過切點垂直于這條半徑的直線是圓的切線。（2）通過切點垂直于切線的直線必通過圓心。（3）圓的切線垂直于通過切點的半徑。

切線長定理：從圓外一點到圓的兩條切線的長相等，那點與圓心的連線平分切線的夾角。

〖有關圓的計算公式〗

1.圓的周長C=2πr=πd2.圓的面積S=πr^2;3.扇形弧長l=nπr/180

4.扇形面積S=π（R^2-r^2）5.圓錐側面積S=πrl圓的解析幾何性質(zhì)和定理〖圓的解析幾何方程〗

圓的原則方程：在平面直角坐標系中，以點O（a，b）為圓心，以r為半徑的圓的原則方程是（x-a）^2+（y-b）^2=r^2。

圓的一般方程：把圓的原則方程展開，移項，合并同類項後，可得圓的一般方程是x^2+y^2+Dx+Ey+F=0。和原則方程對比，其實D=-2a，E=-2b，F(xiàn)=a^2+b^2-r^2。

圓的離心率e=0，在圓上任意一點的曲率半徑都是r。

〖圓與直線的位置關系判斷〗

平面內(nèi)，直線Ax+By+C=0與圓x^2+y^2+Dx+Ey+F=0的位置關系判斷一般措施是：

1.由Ax+By+C=0，可得y=（-C-Ax）／B，（其中B不等于0），代入x^2+y^2+Dx+Ey+F=0，即成為一種有關x的一元二次方程f（x）=0。運用鑒別式b^2-4ac的符號可確定圓與直線的位置關系如下：

假如b^2-4ac>0，則圓與直線有2交點，即圓與直線相交。

假如b^2-4ac=0，則圓與直線有1交點，即圓與直線相切。

假如b^2-4ac<0，則圓與直線有0交點，即圓與直線相離。

2.假如B=0即直線為Ax+C=0，即x=-C／A，它平行于y軸（或垂直于x軸），將x^2+y^2+Dx+Ey+F=0化為（x-a）^2+（y-b）^2=r^2。令y=b，求出此時的兩個x值x1、x2，并且規(guī)定x1<x2，那么：

當x=-C／A<x1或x=-C／A>x2時，直線與圓相離；

當x1<x=-C／A<x2時，直線與圓相交；

半徑r，直徑d

在直角坐標系中，圓的解析式為：（x-a）^2+(y-b)^2=r^2

x^2+y^2+Dx+Ey+F=0

=>(x+D/2)^2+(y+E/2)^2=D^2/4+E^2/4-F

=>圓心坐標為(-D/2,-E/2)

其實不用這樣算太麻煩了

只要保證X方Y方前系數(shù)都是1

就可以直接判斷出圓心坐標為(-D/2,-E/2)

這可以作為一種結論運用的

且r=根號（圓心坐標的平方和-F）圓知識點總結平面上到定點的距離等于定長的所有點構成的圖形叫做圓。

圓心：圓中心固定的一點叫做圓心。用字母0表達

直徑：通過圓心，并且兩端都在圓上的線段叫做圓的直徑。用字母d表達。

半徑：連接圓心和圓上任意一點的線段，叫做圓的半徑。用字母r表達。

圓的直徑和半徑均有無數(shù)條。在同圓或等圓中：直徑是半徑的2倍，半徑是直徑的1／2.

圓的半徑?jīng)Q定了圓的大小，圓心決定了圓的位置。

圓的周長：圍成圓的曲線的長度叫做圓的周長，用C表達。

圓的周長與直徑的比值叫做圓周率。

圓周率是一種固定的數(shù)，它是一種無限不循環(huán)小數(shù)，用字母π表達。近似等于3.14。

直徑所對的圓周角是直角。90度的圓周角所對的弦是直徑。

圓的面積公式：πr方，用字母S表達。

概率初步知識框圖二次函數(shù)知識框圖定義與定義體現(xiàn)式一般地，自變量x和因變量y之間存在如下關系：

一般式：y=ax^2+bx+c(a≠0，a、b、c為常數(shù))，則稱y為x的二次函數(shù)。

頂點式：y=a(x-h)^2+k

交點式（與x軸）：y=a(x-x1)(x-x2)

重要概念：（a，b，c為常數(shù)，a≠0，且a決定函數(shù)的開口方向，a>0時，開口方向向上，a<0時，開口方向向下。IaI還可以決定開口大小,IaI越大開口就越小,IaI越小開口就越大。）二次函數(shù)體現(xiàn)式的右邊一般為二次。

x是自變量，y是x的二次函數(shù)

x1,x2=[-b±√(b^2-4ac)]/2a(即一元二次方程求根公式)二次函數(shù)的圖像在平面直角坐標系中作出二次函數(shù)y=x²的圖像，

可以看出，二次函數(shù)的圖像是一條永無止境的拋物線。拋物線的性質(zhì)1.拋物線是軸對稱圖形。對稱軸為直線x=-b/2a。對稱軸與拋物線唯一的交點為拋物線的頂點P。

尤其地，當b=0時，拋物線的對稱軸是y軸（即直線x=0）

2.拋物線有一種頂點P，坐標為P(-b/2a，(4ac-b²)/4a)

當-b/2a=0時，P在y軸上；當Δ=b²-4ac=0時，P在x軸上。

3.二次項系數(shù)a決定拋物線的開口方向和大小。

當a＞0時，拋物線向上開口；當a＜0時，拋物線向下開口。

|a|越大，則拋物線的開口越小。

4.一次項系數(shù)b和二次項系數(shù)a共同決定對稱軸的位置。

當a與b同號時（即ab＞0），對稱軸在y軸左；由于若對稱軸在左邊則對稱軸不不小于0，也就是-b/2a<0,因此b/2a要不小于0，因此a、b要同號

當a與b異號時（即ab＜0），對稱軸在y軸右。由于對稱軸在右邊則對稱軸要不小于0，也就是-b/2a>0,因此b/2a要不不小于0，因此a、b要異號

實際上，b有其自身的幾何意義：拋物線與y軸的交點處的該拋物線切線的函數(shù)解析式（一次函數(shù)）的斜率k的值。可通過對二次函數(shù)求導得到。

5.常數(shù)項c決定拋物線與y軸交點。

拋物線與y軸交于（0，c）

6.拋物線與x軸交點個數(shù)

Δ=b²-4ac＞0時，拋物線與x軸有2個交點。

Δ=b²-4ac=0時，拋物線與x軸有1個交點。

_______

Δ=b²-4ac＜0時，拋物線與x軸沒有交點。X的取值是虛數(shù)（x=-b±√b²－4ac的值的相反數(shù)，乘上虛數(shù)i，整個式子除以2a）

當a>0時，函數(shù)在x=-b/2a處獲得最小值f(-b/2a)=4ac-b²/4a；在{x|x<-b/2a}上是減函數(shù)，在{x|x>-b/2a}上是增函數(shù)；拋物線的開口向上；函數(shù)的值域是{y|y≥4ac-b²/4a}相反不變

當b=0時，拋物線的對稱軸是y軸，這時，函數(shù)是偶函數(shù)，解析式變形為y=ax²+c(a≠0)

7.定義域：R

值域：（對應解析式，且只討論a不小于0的狀況，a不不小于0的狀況請讀者自行推斷）①[(4ac-b²)/4a，正無窮）；②[t，正無窮）

奇偶性：偶函數(shù)

周期性：無

解析式：

①y=ax²+bx+c[一般式]

⑴a≠0

⑵a＞0，則拋物線開口朝上；a＜0，則拋物線開口朝下；

⑶極值點：（-b/2a，(4ac-b²)/4a）；

⑷Δ=b²-4ac,

Δ＞0，圖象與x軸交于兩點：

（[-b-√Δ]/2a，0）和（[-b+√Δ]/2a，0）；

Δ＝0，圖象與x軸交于一點：

（-b/2a，0）；

Δ＜0，圖象與x軸無交點；

②y=a(x-h)²+t[配方式]

此時，對應極值點為（h，t），其中h=-b/2a，t=(4ac-b²)/4a）；

③y=a(x-x1)(x-x2)[交點式]

a≠0，此時，x1、x2即為函數(shù)與X軸的兩個交點，將X、Y代入即可求出解析式（一般與一元二次方程連用）。[編輯本段]二次函數(shù)與一元二次方程尤其地，二次函數(shù)（如下稱函數(shù)）y=ax²+bx+c，

當y=0時，二次函數(shù)為有關x的一元二次方程（如下稱方程），

即ax²+bx+c=0

此時，函數(shù)圖像與x軸有無交點即方程有無實數(shù)根。

函數(shù)與x軸交點的橫坐標即為方程的根。

1．二次函數(shù)y=ax²，y=a(x-h)²，y=a(x-h)²+k，y=ax²+bx+c(各式中，a≠0)的圖象形狀相似，只是位置不一樣，它們的頂點坐標及對稱軸如下表：

解析式

y=ax²y=ax²+K

y=a(x-h)²

y=a(x-h)²+k

y=ax²+bx+c

頂點坐標

(0，0)(0，K)

(h，0)

(h，k)

(-b/2a，sqrt[4ac-b²]/4a)

對稱軸

x=0x=0

x=h

x=h

x=-b/2a

當h>0時，y=a(x-h)²的圖象可由拋物線y=ax²向右平行移動h個單位得到，

當h<0時，則向左平行移動|h|個單位得到．

當h>0,k>0時，將拋物線y=ax²向右平行移動h個單位，再向上移動k個單位，就可以得到y(tǒng)=a(x-h)²+k的圖象；

當h>0,k<0時，將拋物線y=ax²向右平行移動h個單位，再向下移動|k|個單位可得到y(tǒng)=a(x-h)²+k的圖象；

當h<0,k>0時，將拋物線向左平行移動|h|個單位，再向上移動k個單位可得到y(tǒng)=a(x-h)²+k的圖象；

當h<0,k<0時，將拋物線向左平行移動|h|個單位，再向下移動|k|個單位可得到y(tǒng)=a(x-h)²+k的圖象；

因此，研究拋物線y=ax^2+bx+c(a≠0)的圖象，通過配方，將一般式化為y=a(x-h)²+k的形式，可確定其頂點坐標、對稱軸，拋物線的大體位置就很清晰了．這給畫圖象提供了以便．

2．拋物線y=ax²+bx+c(a≠0)的圖象：當a>0時，開口向上，當a<0時開口向下，對稱軸是直線x=-b/2a，頂點坐標是(-b/2a，[4ac-b²]/4a)．

3．拋物線y=ax²+bx+c(a≠0)，若a>0，當x≤-b/2a時，y隨x的增大而減??；當x≥-b/2a時，y隨x的增大而增大．若a<0，當x≤-b/2a時，y隨x的增大而增大；當x≥-b/2a時，y隨x的增大而減?。?/p>

4．拋物線y=ax²+bx+c的圖象與坐標軸的交點：

(1)圖象與y軸一定相交，交點坐標為(0，c)；

(2)當△=b²-4ac>0，圖象與x軸交于兩點A(x?，0)和B(x?，0)，其中的x1,x2是一元二次方程ax²+bx+c=0

(a≠0)的兩根．這兩點間的距離AB=|x?-x?|此外，拋物線上任何一對對稱點的距離可以由|2×（-b/2a）－A|（A為其中一點的橫坐標）

當△=0．圖象與x軸只有一種交點；

當△<0．圖象與x軸沒有交點．當a>0時，圖象落在x軸的上方，x為任何實數(shù)時，均有y>0；當a<0時，圖象落在x軸的下方，x為任何實數(shù)時，均有y<0．

5．拋物線y=ax²+bx+c的最值：假如a>0(a<0)，則當x=-b/2a時，y最小(大)值=(4ac-b²)/4a．

頂點的橫坐標，是獲得最值時的自變量值，頂點的縱坐標，是最值的取值．

6．用待定系數(shù)法求二次函數(shù)的解析式

(1)當題給條件為已知圖象通過三個已知點或已知x、y的三對對應值時，可設解析式為一般形式：

y=ax²+bx+c(a≠0)．

(2)當題給條件為已知圖象的頂點坐標或?qū)ΨQ軸或極大（?。┲禃r，可設解析式為頂點式：y=a(x-h)²+k(a≠0)．

(3)當題給條件為已知圖象與x軸的兩個交點坐標時，可設解析式為兩根式：y=a(x-x?)(x-x?)(a≠0)．

7．二次函數(shù)知識很輕易與其他知識綜合應用，而形成較為復雜的綜合題目。因此，以二次函數(shù)知識為主的綜合性題目是中考的熱點考題，往往以大題形式出現(xiàn)．相似知識框圖相似三角形的認識對應角相等，對應邊成比例的兩個三角形叫做相似三角形。（similartriangles）。

互為相似形的三角形叫做相似三角形相似三角形的鑒定措施根據(jù)相似圖形的特性來判斷。（對應邊成比例，對應角相等）

1.平行于三角形一邊的直線(或兩邊的延長線)和其他兩邊相交,所構成的三角形與原三角形相似；

（這是相似三角形鑒定的引理，是如下鑒定措施證明的基礎。這個引理的證明措施需要平行線分線段成比例的證明）

2.假如一種三角形的兩個角與另一種三角形的兩個角對應相等,那么這兩個三角形相似；

3.假如兩個三角形的兩組對應邊的比相等,并且對應的夾角相等,那么這兩個三角形相似；

4.假如兩個三角形的三組對應邊的比相等,那么這兩個三角形相似；

絕對相似三角形

1.兩個全等的三角形一定相似。

2.兩個等腰直角三角形一定相似。

3.兩個等邊三角形一定相似。

直角三角形相似鑒定定理

1.斜邊與一條直角邊對應成比例的兩直角三角形相似。

2.直角三角形被斜邊上的高提成的兩個直角三角形與原直角三角形相似，并且提成的兩個直角三角形也相似。

射影定理三角形相似的鑒定定理推論

推論一：頂角或底角相等的那個的兩個等腰三角形相似。

推論二：腰和底對應成比例的兩個等腰三角形相似。

推論三：有一種銳角相等的兩個直角三角形相似。

推論四：直角三角形被斜邊上的高提成的兩個直角三角形和原三角形都相似。

推論五：假如一種三角形的兩邊和其中一邊上的中線與另一種三角形的對應部提成比例，那么這兩個三角形相似。

推論六：假如一種三角形的兩邊和第三邊上的中線與另一種三角形的對應部提成比例，那么這兩個三角形相似。相似三角形的性質(zhì)1.相似三角形的一切對應線段(對應高、對應中線、對應角平分線、外接圓半徑、內(nèi)切圓半徑等）的比等于相似比。

2.相似三角形周長的比等于相似比。

3.相似三角形面積的比等于相似比的平方。相似三角形的特例可以完全重疊的兩個三角形叫做全等三角形。（congruenttriangle