試卷第=page11頁，共=sectionpages33頁試卷第=page11頁，共=sectionpages33頁2025年中考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)等腰等邊三角形“三線合一”訓(xùn)練小專題1．如圖，在中，，于點(diǎn)E，過點(diǎn)A作，連接并延長，交于點(diǎn)C．(1)求證：．(2)連接，求證：四邊形是平行四邊形．2．如圖，在中，，，，動點(diǎn)D從點(diǎn)A出發(fā)，沿線段以每秒2個單位的速度向B運(yùn)動，過點(diǎn)D作交所在的直線于點(diǎn)F，連接．設(shè)點(diǎn)D運(yùn)動時間為秒．(1)當(dāng)時，求的面積．(2)當(dāng)是等腰三角形時，求的值．3．在四邊形中，(1)如圖①，求證：(2)如圖②，在邊上分別取中點(diǎn)M、N，連接．若，求的度數(shù)．4．如圖，是等腰的底邊上的中線，過點(diǎn)作，交于點(diǎn)．(1)求證：是等腰三角形．(2)求證：．5．如圖，在中，，，垂足為，點(diǎn)在上．求證：．6．如圖，在中，，，直線過點(diǎn)A，．過點(diǎn)作于D．在的延長線上取點(diǎn)，使得，連接，．(1)依題意用沒有刻度的直尺和圓規(guī)補(bǔ)全圖形（要求：尺規(guī)作圖，不寫做法，保留作圖痕跡）；(2)用等式表示，，之間的數(shù)量關(guān)系，并證明（請補(bǔ)全下方思路）．思路：①在的延長線上取點(diǎn)F，使得，連接．②由垂直平分，依據(jù)線段的垂直平分線的性質(zhì)可得___________，結(jié)合已知可得；根據(jù)等腰三角形的“三線合一”可得；③設(shè)，可以用含的代數(shù)式表示出___________，___________，從而證明出；④于是可證（___________），從而得到_________（用含，的代數(shù)式表示）．7．如圖，在中，，于點(diǎn)D，是的外角的平分線．(1)求證：；(2)若平分交于點(diǎn)N，證明為等腰直角三角形．8．如圖，在中，，，過點(diǎn)A作邊的垂線交的延長線于點(diǎn)E，點(diǎn)F是垂足，連接，交于點(diǎn)O．(1)求證：四邊形是正方形；(2)求證：．9．如圖，在等腰中，，，過點(diǎn)作于點(diǎn)．(1)求的長；(2)若點(diǎn)是邊的中點(diǎn)，連接，求的值．10．如圖，在中，是的中點(diǎn)，，．(1)求證：四邊形是矩形；(2)若，求的長．11．如圖1，中，，，E為AB的中點(diǎn)，連接CE，過點(diǎn)A作于點(diǎn)D，交于點(diǎn)F．(1)求的度數(shù)；(2)求證：；(3)如圖2，等腰直角中，，，CD平分，交AB于點(diǎn)D，于點(diǎn)E，若，求的面積．12．在中，，為的高，點(diǎn)P從C點(diǎn)出發(fā)沿射線方向以每秒1個單位的速度運(yùn)動，設(shè)點(diǎn)P的運(yùn)動時間為t．(1)求線段的長．(2)連接，當(dāng)為等腰三角形時，求t的值．13．如圖，在中，，是的高．點(diǎn)分別在上，且，連接．(1)求證：；(2)若，求的度數(shù)．14．已知：如圖，在中，，是邊上的高線，是邊上的中線，于G，．(1)求證；(2)求的度數(shù)；(3)若，求．15．如圖1，在中，，，點(diǎn)以每秒1個單位長度的速度，從點(diǎn)出發(fā)沿方向向終點(diǎn)運(yùn)動，同時，點(diǎn)以每秒2個單位長度的速度，從點(diǎn)出發(fā)沿方向向終點(diǎn)運(yùn)動，當(dāng)其中一個點(diǎn)到達(dá)終點(diǎn)時，另一個點(diǎn)也隨之停止運(yùn)動．設(shè)運(yùn)動時間為秒，請解答下列問題：(1)當(dāng)為何值時，；(2)在點(diǎn)、的運(yùn)動過程中，是否存在某一時刻，使得的面積等于6？若存在，請求出的值；若不存在，請說明理由．(3)如圖2，是的中點(diǎn)，連接，與交于點(diǎn)，是否存在某一時刻，使得？若存在，請求出的值；若不存在，請說明理由．答案第=page11頁，共=sectionpages22頁答案第=page11頁，共=sectionpages22頁《2025年中考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)等腰等邊三角形“三線合一”訓(xùn)練小專題》參考答案1．(1)證明見解析(2)證明見解析【分析】本題考查了等腰三角形的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，平行四邊形的判定，熟練掌握平行四邊形的判定方法是解答本題的關(guān)鍵．（1）根據(jù)三線合一證明即可；（2）根據(jù)證明得，進(jìn)而可證四邊形是平行四邊形．【詳解】（1）證明：，，．（2）證明：，．在和中，，．，四邊形是平行四邊形．2．(1)(2)5或或4【分析】本題考查的是勾股定理、三角形的面積計算、等腰三角形的性質(zhì)，靈活運(yùn)用分情況討論思想是解題的關(guān)鍵．（1）過點(diǎn)C作于H，先根據(jù)勾股定理求出，再根據(jù)等面積法計算即可；（2）分、、三種情況，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)、勾股定理計算即可．【詳解】（1）解：如圖，過點(diǎn)C作于H，在中，，，，由勾股定理得：．，則，解得：，當(dāng)時，，則；（2）解：當(dāng)時，，∴，∴；當(dāng)時，，則，，即，解得：，由勾股定理得：，；當(dāng)時，，，，由勾股定理得：，，，，，，．綜上所述，是等腰三角形時，的值為5或或4，故答案為：5或或4．3．(1)證明見解析(2)【分析】本題主要考查了等腰三角形的性質(zhì)，四邊形內(nèi)角和定理，熟知等腰三角形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．（1）根據(jù)等邊對等角可得，再由角的和差關(guān)系可證明結(jié)論；（2）由三線合一定理得到，再由四邊形內(nèi)角和定理求解即可．【詳解】（1）證明：∵，∴，∵，∴（2）解：∵，M、N分別是的中點(diǎn)，∴，∴，∵，∴，∴．4．(1)見解析(2)見解析【分析】本題主要考查了等腰三角形的性質(zhì)與判定，平行線的性質(zhì)：（1）由三線合一定理得到，，由平行線的性質(zhì)得到，據(jù)此證明，即可證明，（2）根據(jù)和三線合一定理得到，根據(jù)等角對等腰得到，則可證明．【詳解】（1）證明：是中線，，，．，，，即為等腰三角形．（2）證明：，．5．見解析【分析】本題考查了等腰三角形三線合一，全等三角形的判定和性質(zhì)，熟練掌握全等三角形的判定定理是解題的關(guān)鍵；根據(jù)等腰三角形三線合一的性質(zhì)，然后利用證明，再根據(jù)全等三角形的性質(zhì)即可得出結(jié)論．【詳解】證明：，，在和中．6．(1)作圖見解析(2)；；；；【分析】（1）根據(jù)題意畫出圖形即可；（2）①根據(jù)題意畫出圖形即可；②依據(jù)線段垂直平分線的性質(zhì)和等腰三角形的“三線合一”即可求解；③證出，由直角三角形的性質(zhì)即可求解；④根據(jù)全等三角形的性質(zhì)與判定即可得出結(jié)論．【詳解】（1）解：如圖所示，（2）解：①在的延長線上取點(diǎn)F，使得，連接．②由作圖知垂直平分，∴，，∵，∴，；③設(shè)，∵，，∴，∵，∴，∴，∴，∴；④∴，∴，故答案為：；；；；．【點(diǎn)睛】本題考查了全等三角形的性質(zhì)與判定，等腰三角形的性質(zhì)，直角三角形的性質(zhì)，熟練掌握全等三角形的性質(zhì)與判定是解題的關(guān)鍵．7．(1)見解析(2)見解析【分析】此題考查等腰三角形的性質(zhì)，平行線的判定與性質(zhì)．（1）根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)和平行線的判定證明即可；（2）利用平分線的定義和平行線的性質(zhì)證明即可．【詳解】（1）證明：，，是的外角的平分線，，，，，，；（2）證明：由（1）得：，，，平分交于點(diǎn)N，，為等腰直角三角形．8．(1)見解析(2)見解析【分析】本題考查正方形的判定，三線合一，勾股定理：（1）三線合一，得到，證明，得到，推出四邊形是平行四邊形，再根據(jù)，，即可得證；（2）先證明，進(jìn)而得到，根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)，結(jié)合勾股定理得到，即可得出結(jié)果．【詳解】（1）證明：∵，，，∴，∵四邊形是平行四邊形．∴，∴，又∵，∴，∴，∴四邊形是平行四邊形，∵，，∴四邊形是正方形．（2）∵，∴，∵四邊形是正方形，∴，∴，∴，∵，，∴，∴．9．(1)(2)【分析】本題考查了解直角三角形，等腰三角形的性質(zhì)，勾股定理等知識，熟知等腰三角形的性質(zhì)及正切的定義是解題的關(guān)鍵．（）在中，根據(jù)的正弦值及的長求出的長，然后用勾股定理即可求解；（）將轉(zhuǎn)化為，在中求出的正切即可．【詳解】（1）解：∵，∴，則在中，，∵，，∴，∴；（2）解：∵，，∴，∵，點(diǎn)是邊的中點(diǎn)，∴，∴，又∵，∴，在中，，∴．10．(1)見解析(2)【分析】本題主要考查了矩形的判定以及性質(zhì)，三腰三角形三線合一的性質(zhì)，勾股定理等知識，掌握這些性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．（1）由等腰三角形三線合一的性質(zhì)得出，有平行線的性質(zhì)得出，結(jié)合已知條件可得出，即可證明四邊形是矩形．（2）由（1）可知四邊形是矩形．由矩形的性質(zhì)得出，，，由勾股定理求出，最后根據(jù)等面積法可得出，即可求出．【詳解】（1）證明：∵，是的中點(diǎn)，∴，∴，∵，∴，又∵，∴，∴四邊形是矩形；（2）解：由（1）可知四邊形是矩形．∴，∵，是的中點(diǎn)，∴，在中，，∵∴11．(1)(2)見解析(3)4【分析】本題主要考查了等腰三角形的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)．（1）根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)可得，，再由，即可求解；（2）根據(jù)題意可得為等腰直角三角形，從而得到，可證明，從而得到，即可求證；（3）分別延長，，相交于點(diǎn)F，由（2）得，，從而得到，再根據(jù)三角形的面積公式計算，即可求解．【詳解】（1）解：，為的中點(diǎn)，，，

，，，，，

而，；（2）證明：，，為等腰直角三角形，，

又，，，．

為的中點(diǎn)，，．（3）解：如圖，分別延長，，相交于點(diǎn)F，由（2）得，，

，，，的面積為．12．(1)4.8(2)6或9.6或【分析】本題考查了勾股定理、等腰三角形的性質(zhì)，熟練掌握等腰三角形的性質(zhì)和勾股定理是解本題的關(guān)鍵．（1）根據(jù)勾股定理求出的長，再用等面積法求解即可；（2）根動點(diǎn)運(yùn)動過程中形成三種等腰三角形，分情況即可求解．【詳解】（1）解：，在中，，，是C的高，，；（2）解：①當(dāng)時，即；②當(dāng)時，，，，；③當(dāng)時，設(shè)，則，，中，，，中，，解得．13．(1)見解析(2)【分析】本題考查的知識點(diǎn)是等腰三角形“三線合一”、全等三角形的判定、等邊對等角．（1）根據(jù)等腰三角形“三線合一”推得后即可用“邊角邊”證明全等；（2）根據(jù)等腰三角形“三線合一”及等邊對等角即可求解．【詳解】（1）證明：，是的高，，，∵，∴，在和中，，；（2）解：，，，，，．14．(1)證明見解析(2)(3)【分析】（1）如圖，連接，證明，，．可得是等邊三角形，可得，證明，結(jié)合，可得結(jié)論；（2）由，可得，，求解，結(jié)合，可得答案；（3）如圖，過作于，證明，求解，再進(jìn)一步解答即可．【詳解】（1）證明：如圖，連接，∵是邊上的高線，∴，∵，∴，，∵是中線，∴，∴．∴是等邊三角形，∴，∵，∴，∵，∴；（2）解：∵在中，，∴，，∴，∵，∴．（3）解：如圖，過作于，∵，∴，∵，∴，∴，∵，∴．【點(diǎn)睛】本題考查的是含30度角的直角三角形的性質(zhì)，等邊三角形的判定與性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，作出合適的輔助線是解本題的關(guān)鍵．15．(1)(2)存在，(3)存在，【分析】（1）由題意得，，再用表示出，且，根據(jù)，可知，從而得到關(guān)于的方程解之即可；（2）過點(diǎn)作于，作于，易得，推出，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)和勾股定理得到，從而得到，推出，最后利用，得到關(guān)于的方程，結(jié)合的取值范圍即可得到答案；（3）過點(diǎn)作于，于，交于，過點(diǎn)作于，則，由是的中點(diǎn)，得到，，推出，再利用勾股定理得到，然后利用面積關(guān)系，求得，再由勾股定理得到，易證，從而得到，求得，，，最后由，，推出，即，從而得到關(guān)于的方程解之即可．【詳解】（1）解：由題意得：，，，，，，，，，即，解得：，當(dāng)時，．（2）