大題基礎(chǔ)練(二)數(shù)列

1.已知等差數(shù)列｛斯｝和正項(xiàng)等比數(shù)列｛瓦｝滿足：的=岳=2,b5=an,

且3b4是仇和打的等差中項(xiàng).

(1)求數(shù)列｛詼｝和｛瓦｝的通項(xiàng)公式；

(2)設(shè)Cn=an+bn,求數(shù)列｛%｝的前〃項(xiàng)和Sn.

解：(1)設(shè)d為數(shù)列｛%｝的公差，q為數(shù)列｛瓦｝的公比，

由題意得6。4=辦5+。6,即寸+q—^二。，

解得q=2或q=—3,

因?yàn)閿?shù)列｛兒｝各項(xiàng)均為正，所以q>0,即q=2,

n1=n

所以bn=brq~2.

bs=<zn=32=+10d,解得d—3,

所以4"=ai+(〃-l)d=2+3(〃-1)=3〃-1;

(2)由(1)得：詼+兒=3〃一1+2”,

所以S"=2+2]+5+22H----1~3〃一1+2"=(2+5+…+3〃一1)+

n(2+3〃-1),筆屋若號(hào)2口,

(21+22-\-----F2")=

2

所以%=￥+￡+2"+1-2.

2.(2021?廣東省高三專題練習(xí))已知各項(xiàng)均不相等的等差數(shù)列｛“”｝

的前4項(xiàng)和為10,且41,為，。4是等比數(shù)列｛仇｝的前3項(xiàng).

(1)求CLntbni

(2)設(shè)品=瓦+”(q+1),求｛盤｝的前〃項(xiàng)和S".

解：⑴設(shè)數(shù)列｛詼｝的公差為d(d/O),

,-4X(4—1)―

由題意，S4=4ai+---------------d=4防+6/=10,①

又因?yàn)?1,?2,。4成等比數(shù)列，所以鬲=。1。4,

^(ai-1-d)2=ai(ai~\-3d),得訪=d,②

聯(lián)立①②可得，4i=d=l

所以a?=n,bn=2"-i;

(2)因?yàn)閏i%(]+D=2"一】+“,

所以S"=(2°+2]+…+2"-1)+(1—4+；—4+~+，一占)=

223nn+1

1一2〃,11

1-2+L〃+1=2”-

所以數(shù)列｛盤｝的前n項(xiàng)和S?為3”=2"一冷\

3.已知正項(xiàng)等差數(shù)列｛詼｝滿足：Sn=cA+cA-\----卜屈,〃￡N*,

S”是數(shù)列｛g｝的前〃項(xiàng)和.

(1)求數(shù)列｛詼｝的通項(xiàng)公式；

4〃

⑵令瓦=(T)"⑵L1)(2。“+1)(=N*)，數(shù)列｛瓦｝的前〃

項(xiàng)和為T",求72".

解：(1)正項(xiàng)等差數(shù)列｛a”｝滿足：SE=加+/+…+扁

當(dāng)n=l時(shí)，解得m=1;

當(dāng)n=2時(shí)，S3=ai+房，

整理得屋一42—2=0,

解得42=2或一1(負(fù)值舍去)，

故公差d=a2—ai=l,

故cin=n.

(2)由(1)得：

瓦（1）（2a?-1）（2a?+l）（“（2n—1）（2〃+l）

f11

（-1）\2n-l+2M4-lJ,

所以r=-i----卜4i1+4Ji=4i=

2n|3+3|+5|H4n—l4〃十14〃十1

4〃

4〃+l，

4.已知數(shù)列｛詼｝滿足：01+42+43+…+詼=〃一詼，〃《N*.

（1）求41,42的值；

（2）求數(shù)列｛詼｝的通項(xiàng)公式；

（3）令瓦=（2一〃）（即一1）,如果對(duì)任意〃6N*,都有。

求實(shí)數(shù)，的取值范圍.

=

解：（1）因?yàn)?1+。2+匹+...-\-ann—an,所以m=l—解

13

得。1=5，同理可得41+。2=2—42,解得。2=1；

（2）因?yàn)椤?+02+03+…+斯=〃-4”,①

貝有ai+ai-\-ai-\---F?n4-?n+i=（n4-l）—?n+i,②

②一①可得24"+i—詼=1,即出+1—1=；（即一1）,又“1—1=一

所以數(shù)列｛斯一1｝是首項(xiàng)為-4,公比為：的等比數(shù)列，則有an=l

（n—2

（3）由⑵可得詼=1一舊,則瓦,=（2一〃）（詼-1）=方1，

,、,n~ln~2n—l~2（〃一2）3~n,

n<3

因?yàn)閎n+i—bn=^+r—^-=前n=37>0,則>

由仇+1—"?V0,可得〃>3,

所以bi<b2<b3=b4>b5>->b?>-,

故?！庇凶畲笾?。3=。4=:，所以對(duì)任意〃￡N*,有"

OO

如果對(duì)于任意〃￡N*,都有仇即兒〈^一/恒成立，

貝”(瓦)maxW產(chǎn)一3，所以黑產(chǎn)一',解得W—T或

所以實(shí)數(shù)，的取值范圍為-8,—1J4-00.

5.(2021?佛山第一次模擬)在①log2??+i=log2an+l,②)“+1Un+

2",③忌+i—?！?1。"=2忌3">0)這三個(gè)條件中任選一個(gè)，補(bǔ)充在下面問

題中，并作答，

已知｛瓦一曲｝為等差數(shù)列，｛瓦｝的前〃項(xiàng)和為S”且窈=2,岳=2,

加=14,,是否存在正整數(shù)左，使得SQ2021?若存在，求

左的最小值：若不存在，說明理由.

注：如果選擇多個(gè)條件分別作答，按第一個(gè)解答計(jì)分.

_

解：選①：由log2a?+i=loga,t+l得log2a?+ilog2an=l,

所以｛log2詼｝是首項(xiàng)為log2ai=l,公差為1的等差數(shù)列,

所以10g2詼=1+("-1)義1=〃，故詼=2".

又岳=2,加=14,41=2,。3=8,

所以歷一。1=0,——s=6,

所以等差數(shù)列｛瓦,一?！保墓頳=(加—四)二(_—0)=3,

JA

=

所以bn~anbi—ai+(n—l)d=3(n—l),

所以瓦=2"+3(〃-1),

S”=(2i+22+23+…+2")+3(1+2+3+…+〃)-3〃=2"+1—2+

3n2-3〃

2

由Sn>2021得〃210,即存在正整數(shù)k,使得Sk>2021.且女的最

小值為10.

322

選②：由?！?1=詼+2"得。2一。1=21，a~a=2,

。4-43=23,詼一=

2(1—2〃1)

相加得a”-ai=2i+22+23H-----F2n-1=------——=2"—2,

-1/

又m=2,所以%=2"(〃22),

顯然。1=2也滿足。"=2"("22),故詼=2".

下同選①.

選③：由忌+L?！?1。"=2底整理得(G"+1—2斯)(“"+1+&)=0,

又詼>0,所以。"+1=2。"，即=2,

Un

所以｛詼｝是首項(xiàng)為2,公比為2的等比數(shù)列，所以詼=2".

下同選①.

6.已知函數(shù)/(x)=logd(左為常數(shù)，左>0且4W1).

(1)在下列條件中選擇一個(gè)使數(shù)列｛小｝是等比數(shù)列，說明

理由；

①數(shù)列(A?！?｝是首項(xiàng)為2,公比為2的等比數(shù)列；

②數(shù)列伏詼)｝是首項(xiàng)為4,公差為2的等差數(shù)列；

③數(shù)列(/1(“")｝是首項(xiàng)為2,公差為2的等差數(shù)列的前n項(xiàng)和構(gòu)成

的數(shù)列.

(2)在(1)的條件下，當(dāng)左=&時(shí)，設(shè)斯瓦=奈',求數(shù)列｛瓦｝的

前〃項(xiàng)和Tn.

解：(1)①③不能使｛詼｝成等比數(shù)列.②可以：由題意大服)=4+

（〃一l）X2=2〃+2,

a阱5+1)+2

即k)gfc?"=2〃+2,得。"=杉"+2,且力0,所以-^―=女2”+2

因?yàn)槌?shù)4>0且左學(xué)1,所以左2為非零常數(shù)，

所以數(shù)列｛詼｝是以"為首項(xiàng)，〃為公比的等比數(shù)列.

n+1

⑵由(1)知所=心優(yōu)2)"-1=m+2,所以當(dāng)左=/時(shí)，an=2.

E、，.2"+1

因?yàn)?"瓦=4〃2_]，

所以bn=昌五,所以瓦，=⑵―1)1(2〃+1)=2

11'

2n—12〃+1/

北=岳+岳+…+瓦=/1_:+;_/+…+占_六)=:

k_-L]=q

(2n+1)~ln+V

7.已知｛詼｝為等差數(shù)列，如，公，的分別是下表第一、二、三行

中的某一個(gè)數(shù)，且"2,"3中的任何兩個(gè)數(shù)都不在下表的同一列.

項(xiàng)目第一列第二列第三列

第一行

第二行469

第三行1287

請(qǐng)從①“1=2,②41=1,③41=3的三個(gè)條件中選一個(gè)填入上表,

使?jié)M足以上條件的數(shù)列｛詼｝存在；并在此存在的數(shù)列｛詼｝中，試解答

下列兩個(gè)問題：

(1)求數(shù)列｛詼｝的通項(xiàng)公式；

(2)設(shè)數(shù)列｛瓦｝滿足兒=(一1)"+1成，求數(shù)列｛瓦｝的前n項(xiàng)和Tn.

解：(1)若選擇條件①，當(dāng)?shù)谝恍械谝涣袨?1時(shí)，由題意知，可

能的組合有，“1=2,42=6,的=7不是等差數(shù)列，的=2,。2=9,43=8

不是等差數(shù)列；

當(dāng)?shù)谝恍械诙袨榈臅r(shí)，由題意知，可能的組合有，物=2,02=4,

“3=7不是等差數(shù)列，

41=2,42=9,的=12不是等差數(shù)列；當(dāng)?shù)谝恍械谌袨?1時(shí)，

由題意知，可能的組合有，41=2,“2=4,43=8不是等差數(shù)列，?1=2,

“2=6,43=12不是等差數(shù)列，

則放在第一行的任何一列，滿足條件的等差數(shù)列｛服｝都不存在，

若選擇條件②，則放在第一行第二列，結(jié)合條件可知41=1,42=4,

43=7,

則公差d=42—。1=3,所以l)d=3〃-2,〃￡N*,

若選擇條件③，當(dāng)?shù)谝恍械谝涣袨榈臅r(shí)，由題意知，可能的組

合有，41=3,42=6,43=7不是等差數(shù)列，41=3,42=9,。3=8不

是等差數(shù)列；

當(dāng)?shù)谝恍械诙袨?1時(shí)，由題意知，可能的組合有，41=3,02=4,

43=7不是等差數(shù)列，

的=3,42=9,的=12不是等差數(shù)列；當(dāng)?shù)谝恍械谌袨橛蓵r(shí)，

由題意知，可能的組合有，41=3,42=4,43=8不是等差數(shù)列，41=3,

“2=6,43=12不是等差數(shù)列，

則放在第一行的任何一列，滿足條件的等差數(shù)列｛斯｝都不存在，

綜上可知：an=3n—2,〃￡N*.

(2)由Q)知,瓦=(一1嚴(yán)1(3〃-2產(chǎn)，所以當(dāng)〃為偶數(shù)時(shí)，

，"=①+。2+。3+—+瓦,=鬲一成+質(zhì)一欣+~+底-1-*=（。1+

?2）（?1—?2）+（。3-。4）（的+。4）+…+（。”-1+編（％-1—ttlt）=-3ml+。2+

n(l+3〃-2)

的+…+詼)=-3X一/+括

當(dāng)n為奇數(shù)時(shí),Tn=Tn-\+bn=~—I)2+1(n—1)+(3H—2)2

93

—n=2k9左￡N)

所以TL