第12講拋體運動

——劃重點之精細講義系列

?考點導(dǎo)航'

考點1平拋運動的基本規(guī)律及重要結(jié)論

考點2斜面類的平拋運動模型

考點3平面及半圓約束模型

考點4類平拋運動

考點5多體平拋問題及相遇與臨界問題

考點6斜拋運動

一.平拋運動

1.定義：以一定的初速度沿水平方向拋出的物體只在重力作用下的運動。

2.性質(zhì)：平拋運動是加速度為g的勻加速曲線運動，其運動軌跡是拋物線。

3.平拋運動的條件：

(1)加0,沿水平方向；(2)只受重力作用。

4.研究方法：平拋運動可以分解為水平方向的勻速直線運動和豎直方向的自由落體運動。

5.基本規(guī)律(如圖所示)：以拋出點為原點，水平方向(初速度用方向)為人?軸,豎直向下方

向為)，軸，建立平面直角坐標系，?'］：

(1)水平方向：做勻速直線主動，速度Kr=H),位移

(2)豎直方向：做自由落體運動，速度b=gf,位移y=%，2。

(3)合速度：y=dy/+W，方向與水平方向夾角為a,則tana=，=2。

合位移：§=產(chǎn)于，方向與水平方向的夾角為。，tan。=?=畀。

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二.斜拋運動

1.定義：招物體以一定的初速度沿斜向上或斜向下拋出，物體僅在重力的作用下所做的運動,

叫做斜拋運動.

2.性質(zhì)：加速度恒為g的勻變速曲線運動，軌跡是拋物線.

3.基本規(guī)律

以斜向上拋為例說明，如圖分示.

(1)水平方向：M=1，OCOS0,F^x=O.

(2)豎直方向：vov=vosin0,F合y=mg.

因此斜拋運動可以看做是水平方向的勻速直線運動和豎直方向的豎直上(下)拋運動的合運動.

前考點剖析理重點

考點1：平拋運動的基本規(guī)律及重要結(jié)論

1.平拋運動的分解方法與技巧

?？迹貉剀壍阑蚱淝芯€方向入射

則用基本公式

聯(lián)立：x=卬￡①/分解速度

y=卜產(chǎn)②已知速度〈聯(lián)立：i=為①

無思路時或其夾角。Ii=儀②

V=l^o③

xS?ie=匕③求解

v=gt?求解

y平拋運動

題思路

推論法已知位移.分解位移

或其夾角a\即：無=為￡①

①速度反向延長線過位移中點y="必②

②tana=2tan0

tana=>③求解

\x

2.平拋運動四個重要結(jié)論

(D飛行時間：由[=、!《■如,時間取決于下落高度兒與初速度口。無關(guān)。

(2)水平射程：工=幅=1，叭僧，即水平射程由初速度卬和下落高度〃共同決定，與其他因素

無關(guān)。

(3)落地速度：V=A/^+V?=y[^-i-2gii,以a表示落地速度與A1軸正方向間的夾角，有tana

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=￥=隼&所以落地速度只與初速度也和下落高度人有關(guān)。

V.xV0

(4)平拋物體運動中的速度變化：水平方向分速度保持VK=VO,豎直方向，加速度恒為g,速度

曠對,從拋出點看，每隔4時間的速度的矢量關(guān)系如圖所示。這一矢量關(guān)系有兩個特點：

①任意時刻V的速度水平分量均等于初速度V0：

②任意相等時間間隔4內(nèi)的速度改變量均豎直向下，且Ay=Ay產(chǎn)g4。

3.平拋運動的兩個推論

(1)做平拋(或類平拋)運動的物體任一時刻的瞬時速度的反向延長線一定通過此時水平位移

的中點，如下圖所示。

(2)做平拋(或類平拋)運動的物體在任一時刻，設(shè)其速度方向與水平方向的夾角為。，位移

與水平方向的夾角為0則tana=2tan。。如上圖。

迪契源P

【考向1】某同學觀察一平拋小球，發(fā)現(xiàn)當小球拋出0.3s后小球的速度與水平方向成37。角，落地時

速度方向與水平方向成60。角，小球可看作質(zhì)點，已知tan37o=：,g=lOm/s2,下列說法正確的是

()

A.小球初速度的大小為5m/sB.小球落地時速度大小為8m/s

C.小球拋出時距離地而的高度為3.2mD.小球拋出的水平射程為百m

【答案】B

【詳解】A.當小球拋出0.3s后小球的豎直分速度為

Vyi=gti=3m/s

則，水平方向的分速度為

tan37°

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故A錯誤;

B.小球落地時豎直方向的分速度為

vy2=%tan60。=4百m/s

小球落地時速度大小為

故B正確：

C.小球拋出時距離地面的高度為

h==2.4m

2g

故C錯誤；

D.小球下落時間為

“出=咨

95

小球拋出的水平射程為

873

x=vt=——m

oo

故D錯誤。

故選Bo

【考向2】（2024.陜西?二模）在2023年世界飛鏢錦標賽總決賽中，范格文以3:0戰(zhàn)勝威廉姆斯獲得

總冠軍。若先后兩次飛鏢的拋出點在同一豎直線上的A、B兩點，將飛鏢沿水平方向拋出后，飛鏢均

扎在靶心處，兩飛鏢的軌跡如圖乙中曲線1、2所示，飛鏢扎在靶上瞬間的速度與水平方向的夾角分

別為a、0。已知A8、8。的豎直高度相同，飛鏢可視為質(zhì)點，空氣阻力忽略不計。則下列說法正確

的是（）

甲乙

A.先后兩次飛鏢在空中的運動時間之比為2:1

B.先后兩次飛鏢拋出時的初速度大小之比為1:四

C.a=20

D.sina=2sin￡

【答案】B

【詳解】A.由題意，假設(shè)2下落的高度為人則1下落的高度為2〃，豎直方向做自由落體運動,

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則由公式

12

y=29t

得

所以1,2在空中運動的時間之比為

色=在

A錯誤：

B.假設(shè)兩飛鏢的初速度分別為01、02,兩飛鏢的水平位移相同，設(shè)為人，則有

1bL需

女=Xjt

解得

VO1：VO2=1：&

B正確；

CD.兩飛鏢落在。點的豎直速度分別為

=gn=

Vy2=gt2=yfzgh

又

Vyl4/i

tana=——=—

%

VyO2h

tan/?=上=一

■）2x

由以上整理得

tana=2tan/?

CD錯誤。

故選B。

【考向3］（多選）如圖所示為一個簡易足球場，球門寬為6m。一個同學在球門中線距離球門4m處

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采用頭球?qū)⒆闱蝽斎肭蜷T的左下方死角（圖中夕點）。同學頂球點的高度為1.8m。從頭頂球到球落

A.足球的位移小于5m

B.足球運動的時間為0.6s

C.足球初速度的大小約為8.3m/s

D.足球在豎直方向上速度增加了6m/s

【答案】BCD

【詳解】A.設(shè)球門寬為L,同學頂球點的高度為伍同學在球門中線距離球門的距離為s,則足球的

I-\jx2h2=J52+1.82m?5.3m

故足球的位移大于5m,A錯誤：

B.足球做平拋運動，足球運動的時間由豎直方向決定，豎直方向做自由落體運動，則

代入數(shù)據(jù)得

C.足球初速度的大小

*5

V=7=T-rm/sX8.3m/s

OIU.o

C正確；

D.足球在豎直方向上的末速度

vy=gt=10x0.6m/s=6m/s豎直方向上的初速度為0,足球在豎直方向上速度增加了6m/s,D正

端

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故選BCD.

匚考點剖柘理重點

考點2：斜面類的平拋運動模型

1.模型特點

平拋運動與斜面結(jié)合的問題，一般是研究物體從斜面頂端平拋或者往斜面上拋的過程，解決這

美問題一般仍是在水平和豎直方向上分解。求解的關(guān)飩在于深刻理解通過與斜面的關(guān)聯(lián)而給出的隱

含條件。

2.模型分析:

模型分類解題思路方法總結(jié)

分解速度：

①分解速度；

手H打刻餌向Vy=gl,

②在撞擊斜面的時刻，速度方向與水平方向的夾角與斜面的

+n叭）伏）

aUn°=~f傾角互余。

,,即

人—gtan0

①分解位移；

②以不同的初速度拋出小球，只要落到斜面時速度的方向都

平行或者速度方向與斜面的夾角都相等；

③速度與斜面平行時，距離斜面最遠，滿足以下四個特點：

、由即可求出距離斜面最遠的時間。

分解位移：Alan9=3=&,

匕%

x=vot,

B、該時刻是全運動過程的中間時刻。

產(chǎn)府1、，

C、該時刻之前與該時刻之后豎直方向上的位移之比為1:3。

而tan0=二,D、利用分解加速度和分解速度即可以求出距離斜面的最遠

.,、2Man0距離：心=且=遜強

聯(lián)n工得/一

S2gl2gcos9

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【考向4】一滑雪運動員以一定的初速度從一平臺上滑出，剛好落在一斜坡上的8點，且與斜坡沒

有撞擊，則A、月兩點連線與豎直方向所成夾角a和斜坡傾角〃的關(guān)系為()

A-tan。?嬴；=2B.tan0.tana=2

C.tana?2=2D.tan0?tana=1

tan。

【答案】B

【詳解】由題知到達4點時，運動員的速度方向剛好沿斜面向下，根據(jù)平行四邊形定則知

血。="=竺

v0V0

,、y7g尸at

tan(90°—?)=—=-----=--

xvQtZvQ

則

tan。=2tan(90°-a)=2x」一

tana

tan。?tana=2

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故選B0

【考向5］如圖所示，豎直平面內(nèi)有一足夠長且與水平方向成30。的斜面，斜面上有A、8兩點，。

點正上方的S點為小球的發(fā)射點，其中OS、OA、A8的長度均為初速度孫的小球水平射出，正好

可以擊中A點，不計空氣阻力，當?shù)刂亓铀俣葹間,以下說法正確的是（）

---S--->

,J

______

A.若將發(fā)射速度增大到2%，則正好擊中8點

B.小球分別擊中A點和B點時速度方向與斜面夾角%>

C.小球分別擊中A點和B點，在空中飛行時間％=2。

D.調(diào)整為大小使小球擊中3點，則擊中時速度大小為日而

【答案】B

【詳解】A.如圖所示，過A點做水平面，當下落高度相同時所用時間相同，若以2%射出小球，水

平位移為原來2倍，會過8點正上方的配點，不會正好擊中8點，故A錯誤；

B.落至斜面上時速度偏角為

…4gt

tan?=—=—

v0v0

位移偏角為

gt

tan/?=

vot2v0

對比可知

tan0=2tan/?

由圖口J知，落至A點時位移偏角/?較大，速度偏角8較大，速度與癖面夾角

a=0-30°

故小球分別擊中A點和8點時速度與斜面夾角%>QB，故B正確；

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擊中8點時，豎直方向

I+2/sin30°=gg埼

可得

之工2cl

故C錯誤；

D.調(diào)整為大小使小球擊中B點，水平方向、豎直方向分別有

2Zcos30°=vot

2,

聯(lián)立解得

則擊中時速度大小為

V=J詔+3）2=

故D錯誤。

故選B。

【考向6】（多選）冬奧會中跳臺滑雪項目是勇敢者的運動，運動員踏著專用滑雪板，不帶雪杖在助

滑區(qū)上獲得高速后水平飛出，圖乙是滑道的簡略示意圖，飛行著陸區(qū)斜面傾角為0,從飛出點水平

飛出時的速度大小為%,各功能區(qū)的高度和坡度都是定值，運動員可視為質(zhì)點和忽略各種阻力，重:

力加速度為g（）

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儼/

甲

A.運動員水平飛出后，當/=2an。時，運動員離斜面最遠

B.由于運動員質(zhì)量不同，因此落在飛行著陸區(qū)時的速度方向不同

C.運動員水平飛出后到落回斜面的時間是空則

D.運動員水平飛出后離斜面最遠距離為嚅

【答案】AD

【詳解】A.運動員離斜面最遠時速度方向與斜面平行，即滿足

運動員豎直方向的速度大小

vy=votan0

從飛出到離斜面最遠時速度方向的時間

"產(chǎn)tan。

故A正確;

B.運動員在飛行著陸區(qū)做平拋運動，根據(jù)位移分解有

2辿

vot

著陸時，令速度與水平方向夾角為a,根據(jù)速度分解有

1,2

gtqgt

tana=—=-----=2tan6

%蓊。。

可知，運動員落在飛行著陸區(qū)時的速度方向相同，故B錯誤;

C.運動員在飛行著陸區(qū)做平拋運動，令落點到飛出點間距為L,則有

LsinO=LcosO=vot

解得

2vtan0

t=----o------

9

枚C錯誤:

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D.運動員在飛行著陸區(qū)做平拋運動，將運動沿斜坡與垂直于斜坡分解，垂直于斜坡方向分運動為

初速度為%sin6,加速度為gcos8的雙向勻變速直線運動，當速度減為0時，距離斜坡最遠，利用逆

向思維有

2

(vosin0)=2gcos8"max

解得

_(%sin6)

max=2gcos0

故D正確。

故選ADo

【考向7］（多選）如圖所示，一小球從斜面上的某點以速度v水平拋出，落在斜而上A點。平拋末

速度與豎直方向的夾角為/?，平拋位移與豎直方向的夾角為服已知斜面與水平面夾角為仇重力加

B.平拋的時間￡=等

c.平拋的豎直位移/1=口3D.平拋拋末速度為+4〃2tan2。

a

【答案】CD

【詳解】ABC.小球做平拋運動，水平方向做勻速直線運動

x=vt

豎直方向做自由落體運動

12

根據(jù)題意

X

tana=-

y

v

tan/?=——

%

又

I'y=gt

分析題意

tanatan0=1

聯(lián)立解得

tana=2tan?

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2vtan0

t=--------

9

2v2tan20

h=-----------

9

故AB錯誤、C正確；

D.豎直方向的速度

2vtan0

v=gt=g-----------=2vtan0

y9

平拋末速度為

22222

v=Jv+vy=5/v+4vtan0

故D正確。

故選CDo

【考向8］（多選）某運動員從滑雪跳臺以不同的速度見水平跳向?qū)γ鎯A角為45。的斜坡（如圖所示）,

已知跳臺的高度為人不計空氣阻力，重力加速度為小則下列說法正確的是（）

P

A.若運動員以最短位移落到斜坡上，則在空中所用時間為區(qū)

q2g

B.若運動員落到斜坡上時速度與斜坡垂直，則在空中所用時間為住

C.若該運動員落到斜坡上某位置時速度最小，則在空中所用時間為啟

D.該運動員落到斜坡上的最小速度為J（遍-l）g/i

【答案】BD

【詳解】A.若若運動員以最短位移落到斜坡上，則其位移垂直P。，根據(jù)幾何關(guān)系可知，此種情況

下運動員下落的高度為?，根據(jù)平拋運動在豎直方向做自由落體運動可得

解得運動員在空中下落時間為

故A錯誤:

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B.若運動員落到斜坡上時速度與斜坡垂直，則有

=tan45°,vy=gtY

根據(jù)幾何關(guān)系有

---------=tan45°

（h-2g嚀）

聯(lián)立解得

枚B正確：

CD.設(shè)該運動員落到斜坡上某位置時速度最小所用時間為匕，最小速度為〃則在水平方向有

x=vQt2

豎直方向有

根據(jù)幾何關(guān)系有

X

-——=tan450

h-y

而該運動員落在斜坡上時的速度

I*=J詔+（/2）2

聯(lián)立以上各式可得

M=&+；3）2-妙

變式可得

V2=4-怖曲2+（訴-1勵

可知,當

kVs

-=—at

即

是速度有最小值

v=J（而-i）gh

枚C錯誤，D正確。

第14頁共65頁

故選BDo

匚考點剖柘理重點

考點3：平面及半圓約束模型

1.豎直面及水平面約束模型

本模型中的障礙主要是對水平或豎直位移彩成限制，以及所能形成的臨界狀態(tài)情景。

圖甲中整直位移一定，對水平位移可形成最大值與最小值的限制；

圖乙中水平位移一定，使飛行時間受到初速度的限制；

圖丙中豎直陣礙高度一定，優(yōu)越過律礙的初速度、拋出點的高度形成限制；

圖丁中對水平位移、豎直位移均可形成限制：速度較小時整直位移一定，速度較大時水平位移

一定。

2.半圓形約束模型

平拋運動與圓形障礙模型中物體拋出點位置不同限制關(guān)系不同，有對位移與球面半徑之間形成

限制關(guān)系的，如圖甲、乙、丙、丁所示，可分解位移處理.如在圖甲中產(chǎn)R±&es。,y=Rsi，泊;也有

對速度方向限制的，如圖戊、己所示，可分解速度處理。

若物體從球面沿水平直徑拋出，隨拋出速度的增大，飛行時間先增大后減小、水平位移一直增大,

落到球面上時速度方向不可能垂直于球面。

『韋友遜55盧

【考向9】（2024.浙江?二模）如圖在水平地面上放置一邊長為0.8m的正方形水箱，一水管可在A8C。

面內(nèi)繞八點轉(zhuǎn)動8W90。，已知出水口截面枳為5cm2,出水速率為2.5m/s,不計水管管口長度及一切

阻力，水落至液面或打至側(cè)壁不再彈起，則（）

第15頁共65頁

A.任何方向噴出的水柱都能打到DCGH或CGFB側(cè)面

B.水在空中運動時間的最大值為0.32或s

C.空中運動的水的質(zhì)量最大值為0.5kg

D.若保持。不變，則隨著液面上升，水在空中運動的時長逐漸縮短

【答案】C

【詳解】AB.根據(jù)平拋知識，如果全都落在水平面上，則在豎直方向上

1>

力=弘如

水平方向上

X=vot

求得

t=0.4s,x=Im

而由幾何關(guān)系可知

AC=0.8&>1m

所以不是所有方向噴出的水都能達到。CG”或CGF8側(cè)面，水在空中運動時間的最大值為￡=0.4s,

AB錯誤：

C.水的流量為

Q==2.5x5x10-4m3/s=1.25x10-3m3/s

空中運動的水的質(zhì)量最大值為

m=pQt=1.0x103x1.25x10-3x0.5kg=0.5kg

C正確：

D.若保持6與AD邊一個較小的角或者與AB邊一個較小的角不變，使噴出的水打到側(cè)面一個較高

位置處，則隨著液面上升，水在空中運動的時長先不變，然后再減小，D錯誤。

故詵C。

【考向10］（2024.浙江?三模）如圖所示，網(wǎng)球發(fā)球機在距離墻L處將網(wǎng)球以不同的水平速度射出打

到豎直墻上。已知墻上的。點與網(wǎng)球出射點等高，4、8兩點分別為兩個擊中點，OA=AB,擊中4

點的網(wǎng)球水平射出時的速度為火,空氣阻力忽略不計，網(wǎng)球可看作質(zhì)點。下列說法正確的是（）

第16頁共65頁

A.擊中B點的網(wǎng)球水平射出時的速度為2%

B.擊中B點的網(wǎng)球水平射出時的速度為：氣

C.要使原來擊中A點的網(wǎng)球能擊中3點，網(wǎng)球發(fā)球機應(yīng)沿。。方向后退苧L

D.要使原來擊中B點的網(wǎng)球能擊中A點，網(wǎng)球發(fā)球機應(yīng)沿OP方向前進（1一號）L

【答案】D

【詳解】AB.網(wǎng)球在豎直方向上做自由落體運動

1

如=/債9

1_

yoB=滑&

因04=AB,所以

3=

又

x=votA

X=VBQtB

得擊中8點的網(wǎng)球水平射出時的速度為

V2

VB0=~2~V0

AB錯誤：

C.要使原來擊中A點的網(wǎng)球能擊中4點，運動時間變長為原來的后倍，所以水平距離也應(yīng)變?yōu)?

倍，即網(wǎng)球發(fā)球機應(yīng)向后退（夜-1R,c錯誤：

D.要使原來擊中8點的網(wǎng)球能擊中A點，運動時間變短為原來的日倍，所以水平距離也應(yīng)變?yōu)槿毡叮?/p>

印網(wǎng)球發(fā)球機應(yīng)向前進（1-日）L故D正確。

改選D。

【考向11】（2024?北京大興?三模）中國的面食文化博大精深，種類繁多,其中“山西刀削面”堪稱天

下一絕，傳統(tǒng)的操作手法是一手托面一手拿刀，直接將面削到開水鍋里。如圖所示，小面片剛被削

離時距開水鍋的高度為L,與鍋沿的水平距離為L，鍋的半徑也為乙若將削出的小面片的運動視為

平拋運動，且小面片都落入鍋中，重力加速度為g,則下列關(guān)于所叁小面片的描述正確的是（）

第17頁共65頁

A.空中相鄰兩個面片匕行過程中水平距離可能逐漸變大

B.掉落位置不相同的小面片，從拋出到落水前瞬間速度的變化量不同

C.落入鍋中時，最大速度是最小速度的3倍

D.若初速度為%,則照<%<4^

【答案】A

【詳解】A.面片飛行過程中水平方向做勻速直線運動，若先飛出的面片初速度較大，則空中相鄰

兩個面片飛行過程中水平距離逐漸變大，故A正確；

R.掉落位置不相同的小面片,下落高度相同,由/i=ggt2可知.下落的時間相等,由Au=gt可知.

從拋出到落水前瞬間速度的變化星相等，故B錯誤：

CD.由/i=：gt2可知，下落時間為

水平位移的范圍為

L<x<3L

則初速度的取值范圍為

L3L

7<Vo<T

可得

落入鍋中時的導(dǎo)育分速度為

Vy=y[2gL

則落入鍋中時，最大速度

最小速度為

第18頁共65頁

可知，落入鍋中時，最大速度不是最小速度的3倍，故CD錯誤。

故選Ao

【考向12］如圖所示，在豎直放置的半球形容器的中心。點分別以水平初速度力、口沿相反方向拋

出兩個小球1和2（可視為質(zhì)點），最終它們分別落在圓弧上的A點和B點,已知OA與08互相垂

直，且。A與豎直方向成a角，則兩小球的初速度之皖為（）

A.tan?B.cosa

C.tanaVtanaD.cosa\/cosa

【答案】C

【詳解】兩小球被拋出后都做平拋運動，設(shè)容器的半徑為/?，兩小球運動的時間分別為小Z2o則對

球I有

Rs\na=viti，Rcosa=ggt；

對球2有

Rcosa=V2(2fRsina=5g抬

解得

—=tanaVtana

%

故選C。

【考向13］如圖是一個豎直放置的圓環(huán)，A8為半圓環(huán)ACB的水平直徑，。為環(huán)上的最低點，一個

小球從A點以速度北水平拋出，經(jīng)一段時間I與半圓環(huán)相撞，不計空氣阻力。則下列判斷正確的是

A.孫越大，運動時間越長

B.發(fā)現(xiàn)小球有兩次運動時間相同，則這兩次拋出的初速度一定相同

第19頁共65頁

C.要使小球掉到環(huán)上時的豎宜分速度最大，小球應(yīng)該落在c點

D.只需外取值合適，可能使小球垂直撞擊圓環(huán)

【答案】C

【詳解】A.根據(jù)

1,

h=-at2

小球做平拋運動，運動時間取決于高度差，與火無關(guān)，故A錯誤:

C.小球的豎直分速度為

vy=gt

可知當小球落在C點時，高度差最大，時間最長，豎直分速度最大，故C正確：

B.小球運動時間由高度差決定，當小球分別落在點兩側(cè)等高的圓弧位置上時，運動時間相等，對應(yīng)

的水平位移不同，則初速度不同，故B錯誤：

D.若小球垂直撞擊圓環(huán)，則此時速度方向反向延長線過圓心，由平拋運動的規(guī)律可知，速度方向

反向延長線過水平位移中點，但小球落在圓弧上時水平位移必定小于2上即小球的速度反向延長線

必不可能過半圓的圓心，故D錯誤。

故選C。

【考向14］（多選）如圖所示為固定的半圓形豎直軌道，AB為水平直徑，。為圓心，同時從A點水

平拋出甲、乙兩個小球，初速度分別為巧、外，落在軌道上的C、D兩點，0C、。。連線與豎直方

向的夾角均為30。，忽略空氣阻力，兩小球均可視為質(zhì)點。則（）

A.甲、乙兩球同時落到軌道上

B.Vj：v2=1:3

C.乙球的速度變化量比甲球的大

D.乙球在。點速度的反向延長線一定過。點

【答案】AB

【詳解】AC.由圖可知，兩個物體下落的高度是相等的，根據(jù)

L12

h=-at2

又

第20頁共65頁

Av=gt

可知甲乙兩球下落到軌道的時間相等，甲乙兩球下落到軌道的速度變化相等，故A正確，C錯誤:

B.設(shè)圓形軌道的半徑為R,則甲水平位移為

Xi=R—/?sin30°=0.5/?

乙水平位移為

不=R+/?sin30°=1.5/?

可得

不=3X1

水平方向做勻速宜線運動，則有

%：口2=1：3

故B正確；

D.設(shè)乙球在。點速度偏轉(zhuǎn)角為a,有

tana=----

%乙

設(shè)乙球在。點位移偏轉(zhuǎn)角為8,有

tanJ

2%乙

可見

tana=2tan0

即在D點速度反向延長線平分水平位移，所以乙球在。點速度的反向延長線不過。點，故D錯誤。

故選AB。

【考向15］（多選）如圖所示，半徑為/?的半圓形槽豎直放置，其圓心為O,且直徑AC水平。一可

視為質(zhì)點的小球從A點正上方的P處以速度之（大小未知）水平向右拋出，恰好垂直打在槽上，此

時小球速度與豎直方向的夾角為53。。已知重力加速度大小為g,sin530=0.8,cos530=0.6,不計空氣

阻力，則（）

A.小球的初速度%=

B.以之間的高度

C.若將小球以不同速率從A點水平拋出，也有可能垂直打到槽上

第21頁共65頁

D.若將小球以不同速率從。點水平拋出，小球落到槽上時的速度最小值為5P嬴

【答案】AD

【詳解】A.小球豎直方向的速度為

v03

小球做平拋運動，水平方向有

R+Rsin53°=vQt

豎直方向有

%=gt

解得小球的初速度為

(12^

%-

故A正確；

B.用之間的高度

h=^-RcosS3°=—R

2g40

故B錯誤；

C.若小球垂直打在槽上，則速度方向延長線過圓心，根據(jù)平拋運動的推論平拋運動速度的反向延長

線過水平位移的中點，小球打在槽上，水平位移小于半圓形槽直徑，速度方向延長線不可能過圓心，

故若將小球以不同速率從A點水平拋出，不可能垂直打到槽上，故C錯誤；

D.將小球以不同速率從O點水平拋出，設(shè)小球、圓心連線與水平方向的夾角為。，則

x-Reos?！獀ot

1

y=RsinO=2g產(chǎn)

小球落到槽上時的速度為

”=.+%=卜(彘+|siM

根據(jù)數(shù)學關(guān)系可得，當

13八

入.八=—5in0

zsm02

時，小球落到槽上時的速度最小，為

Vmin=JCgR

故D正確。

故選ADo

第22頁共65頁

【考向16】水平放置的圓柱體正二方有一點P,將一個小球從。點以為沿垂直于圓柱體軸線方向水

平拋出，其飛行一段時間后，恰由。點沿切線飛過，測得圓心O與。的連線與OP的夾角為"試

求：

(I)小球從。運動到。的時間/；

(2)小球的初始位置。點到圓柱體最高點的高度H。

【詳解】(I)設(shè)小球在。點時的速度為％,在。點豎直方向的速度為內(nèi),如圖所示

根據(jù)幾何關(guān)系可得到。點速度同水平方向夾角為。，則

tan。=—

孫

可得

vy=votan0

小球做平拋運動，豎直方向為自由落體運動

v=gt,t=匕

yg

代人數(shù)據(jù)得

_votan0

9

(2)平拋運動，在水平方向勻速運動

2

votan0

由幾何關(guān)系

第23頁共65頁

A二。二%

'sin。gcosO

豎直方向位移

12

y=2gt

可得

22

votan0

小球距圓柱體的高度

H=y-R(1—cos0)

聯(lián)立可得

H_孫2tai?J_%2+叱

2ggeos。g

道考點剖析理重點

考點4：類平拋運動

1.模型概述

有些物體的運動與平拋運動很相似，也是在與初速度方向垂直的恒定外力作用下運動，其軌跡

與平拋運動相似，我們把這種運動稱為夷平拋運動，這樣的運動系統(tǒng)稱作“類平拋”模型。

2.正確理解類平拋運動的特點

（1）受力特點：物體所受合力為恒力，且與初速度的方向垂直。

（2）運動特點：在初速度見方向做勻速直線運動，在合力方向做初速度為零的勻加速直線運

產(chǎn)合

動，加速度

3.求解方法

（1）常規(guī)分解法：將類平拋運動分解為沿初速度方向的勻速支線運動和垂直于初速度方向（即

沿合力方向）的勻加速直線運動，兩分運動彼此獨立，互不影響，且與合運動具有等時性。

（2）特殊分解法：對于有些問題，可以過拋出點建立適當?shù)闹苯亲鴺讼?，將加速度分解為小?/p>

G.V,初速度V0分解為以、4,然后分別在X、），方向列方程求解。

【考向17］（多選）如圖所示的光滑固定斜面長為I、寬為反傾角為6,一物塊（可看成質(zhì)點）從斜

面左上方頂點戶沿水平方向射入，恰好從底端右側(cè)Q點離開斜面，已知重力加速度為g，不計空氣阻

力（）

第24頁共65頁

B.物體軌跡變加速曲線運動

C.物塊由P運動到Q所用的時間t=扁^

D.物塊由P點水平射入時初速度的大小為=b舊?

【答案】CD

【詳解】AB.物塊合力沿斜面向不，所以

ngsin。=ma

解得

a=gs\n0

物體做勻加速運動，故AB不符合題意；

C.沿斜面方向

解得

“3

Qgsin。

故C符合題意：

D.沿水平方向有

b=vot

解得

故D符合題意。

故選CD。

【考向18】（多選）如圖所示的坐標系，x軸水平向右，質(zhì)量為〃-0.5kg的小球從坐標原點。處，以

初速度%=6m/s斜向右上方拋U，同時受到斜向右上方恒定的風力,風=5N的作用，風力與火的

夾角為30。，風力與x軸正方向的夾角也為30。，重力加速度g取10nVs2,下列說法正確的是（)

第25頁共65頁

A.小球的加速度大小為10m/s2

B.加速度與初速度%的夾角為60°

C.小球做類斜拋運動

D.當小球運動到x軸上的P點（圖中未標出），則小球在P點的橫坐標為

【答案】AD

【詳解】A.由題意可知，風力與重力的夾角為120。，由于

F風=5N=mg

即風力與重力大小相等，根據(jù)矢量合成規(guī)律，可知合力與重力等大，則小球的加速度大小為10m/s2,

枚A正確：

B.由幾何關(guān)系可知，合力與初速度北方向垂直，即加速度方向與初速度北的夾角為90。，故B錯誤：

C.根據(jù)上述可知，加速度。與初速度北方向垂直，則小球做類平拋運動，故C錯誤：

D.設(shè)點的橫坐標為x,把x分別沿著必和垂直火分解，則有

=xsin30°,x2=xcos300

由類平拋運動的規(guī)律可得

=%3X2=衣產(chǎn)

解得

夕

t,=0n.6zs,x=-6\m

故D正確。

故選AD。

【考向19】風洞，被稱為飛行器的搖籃，我國的風洞技術(shù)世界領(lǐng)先。如圖所示，在一次實臉中，風

洞豎直放置且足夠長，質(zhì)量為m的小球從A點以速度%=10m/s沿直徑水平進入風洞。小球在風洞

中運動時受到的風力“恒定，方向豎直向上，風力大小”可在0~3/〃g間調(diào)節(jié)。小球可視作質(zhì)點，碰

壁后不反彈，重力加速度g取10m/s2,風洞橫截面直徑L=10m。

（I）當尸=0時，求小球撞擊右壁的速度大小和方向；

（2）保持％不變，調(diào)節(jié)”的大小，求小球撞擊右壁的區(qū)域長度。

第26頁共65頁

L

風

【答案】(I)10&m/s,速度方向與水平方向夾角為45°；(2)15m

【詳解】(1)當F=O時，小球做平拋運動，水平方向有

L=

解得

0=1S

豎直分速度為

=gh

小球撞擊右壁的速度大小

%=巧+哆1

令速度與水平方向夾角為8，則有

v=10V2m/s?3=45。

(2)結(jié)合上述，當尸=0時，小球做平拋運動，豎直方向的分位移

1)

力二5。中

解得

力=5m

當F=3mg時，根據(jù)牛頓第二定律有

37ng—mg=ma

小球做類平拋運動，則有

L=vofi?%=5a片

解得

為=10m

則小球撞擊右壁的區(qū)域長度

G=月+乃=15m

第27頁共65頁

前考點視I標理重點

考點5：多體平拋問題及相遇與臨界問題

1.定義：多體平拋運動問題是指多個物體在同一豎直平面內(nèi)平拋時涉及的問題。

2.三類常見的多體平拋運動

三類常見多體平拋

__________________人__________________

同一島度（或同一總）不同島度同時拋出同一點先后拋出

同時拋出

*

始終處于同一高而高度差始終與原來一致高度差隨時間均勻增大

（案）啡）（案）

取決于水平分運動取決于水平分運動取決于水平分運動

和豎直高度差和豎直分運動

3.平拋運動中相遇問題

拋體相遇問題要比運動學中的追及相遇問題復(fù)雜，因為它不再是一直線運動，通常是采用分解

方法分別對兩個運動方向獨立分析，再根據(jù)時間相等進行解答。也可以巧取參考系，使問題更加簡

單。

兩條平拋運動軌跡的相交處是兩物體的可能相遇處，兩物體要在此處相遇，必須同時到達此處。

2.平拋運動中的臨界問題

（1）在體育運動中，像乒乓球、排球、網(wǎng)球等都有中間網(wǎng)及邊界問題，要求球既能過網(wǎng)，又不出

邊界，某物理量（尤其是球速）往往要有一定的范圍限制，在這類問題中，確定臨界狀態(tài)，西好臨界

軌跡，是解決問題的關(guān)鍵點.

（2）分析平施運動中的臨界問題時一般運用極限分析的方法，即把要求的物理量設(shè)定為極大或極

小，讓臨界問題突現(xiàn)出來，找到產(chǎn)生臨界的條件.

卡寺內(nèi)頊5必

【考向20】在同一水平直線上的兩位置分別沿同方向拋出兩小球A和B,其運動軌跡如圖所示，不

計空氣阻力，兩球在空中。點相遇，則（）

第28頁共65頁

A.應(yīng)先拋出A球B.應(yīng)先拋出B球

C.相遇時A球速率小于B球速率D.拋出時A球的初速度大于B球的初速度

【答案】D

【詳解】AB.由于相遇時A、B做平拋運動的豎直位移力相同，莊

1>

卜=刈

可知兩球卜落時間相同，兩球應(yīng)同時拋出，故AB錯誤：

CD.根據(jù)以上分析A、B做平拋運動的時間相同，但

XA>XB

由于水平方向做勻速直線運動，則

W>VffX

相遇時

V=J或+3）2

則相遇時A球速率大于B球速率，故C錯誤、故D正確。

故選Do

【考向21］如圖所示，A、B兩小球從同一豎直線上的不同位置水平拋出后，恰好在C位置相遇,

已知A、B兩球拋出時的速度分另！為盯、電，不計空氣阻力，下列詵法正確的是（）

O

A.兩球從拋出到運動至C點的時間相等

B.相遇時A球豎直方向的速度大于B球豎直方向的速度

C.A先拋出，且

D.B先拋出，且V/VV2

【答案】B

【詳解】AB.根據(jù)

h=呼=2g/t,hA>麗

得

以>5，UyA>vyB

枚A錯誤，B正確：

CD.水平方向做勻速直線運動的位移相等，由

第29頁共65頁

X=vot

得A先拋出，且

%<v2

故CD錯誤。

故選Bo

【考向22］如圖所示，相距為，的兩小球4、8位于同?高度的水平線上，現(xiàn)將A球向B球水平拋出，

初速度大小為火,同時釋放B球自由下落。A、B兩球與地面碰撞前后，水平分速度不變，豎直分速

度大小不變、方向相反。不計空氣阻力及小球與地面碰撞的時間，下列說法正確的是（）

A.兩小球可能無法相遇

B.兩小球一定不能在最高點相遇

C.從開始至相遇經(jīng)歷的時間一定為工

V。

D.若將兩球的初始高度變?yōu)樵瓉淼膬杀?，則相遇經(jīng)歷的時間變?yōu)樵瓉淼膬杀?/p>

【答案】C

【詳解】AB.兩球從同高度處開始運動，豎直方向均做自由落體運動，故兩球始終在同一高度上，

相遇時間只跟水平初速度北和初始水平距離有關(guān)，水平方向一定會相遇，且可能在任一高度相遇，

A錯誤：B錯誤；

C.相遇時間一定為

I

t=—

C正確；

D.相遇時間與高度無關(guān)，D錯誤。

故選C。

【考向23】（多選）如圖所示，同一豎直平面內(nèi)有四分之一圓環(huán)3c和傾角為53。的斜面AC,A、B

兩點與圓環(huán)3C的圓心0等高?，F(xiàn)將甲、乙小球分別從A、3兩點以初速度打、%沿水平方向同時拋

出，兩球恰好在C點相碰（不計空氣阻力），已知sin53。=0.8,cos53°=0.6,下列說法正確的是（

第30頁共65頁

A.初速度巧、.大小之比為3：4

B.若女大小變?yōu)樵瓉淼膬杀?，讓兩球仍?C豎直面相遇，則力應(yīng)增大到原來4倍

C.若七大小變?yōu)樵瓉淼?半，則甲球恰能落在斜面的中點。

D.若要甲球垂直擊中圓環(huán)8C,則%應(yīng)變?yōu)樵瓉淼?，?/p>

【答案】AD

【詳解】A.兩小球豎直位移相同，則運動時間相同，初速度％、I”大小之比為

%XiRtan37°3

V2%2R4

故A正確；

B.若讓兩球仍在OC豎直面相遇，則

XOA+X0B=XAB

其中

XOA=%%XOB=

若巧大小變?yōu)樵瓉淼膬杀叮瑒t時間，變?yōu)樵瓉淼囊话?，要能相遇，則B球的速度外要增大為原來的2

倍，故B錯誤；

C.甲球落在。、。兩點時的豎直位移之比為

匕」

712

根據(jù)t=后可知甲球落在。、C兩點時的時間之比為

“[%V2

甲球落在。、C兩點時的水平位移之比為

吟