第九章整式63題（7類壓軸題專練）壓軸題型一整式之數(shù)字規(guī)律類題型1．（2023秋·全國·七年級專題練習）發(fā)現(xiàn)規(guī)律解決問題是常見解題策略之一．已知數(shù)，則這個數(shù)的個位數(shù)為（

）A．3 B．4 C．5 D．62．（2023·四川·九年級專題練習）對于正數(shù)x，規(guī)定，例如：，，，，計算：（）A．199 B．200 C．201 D．2023．（2023秋·福建莆田·八年級期末）對整式進行如下操作：將與另一個整式相加，使得與的和等于，表示為，稱為第一次操作；將第一次操作的結果與另一個整式相減，使得與的差等于，表示為，稱為第二次操作；將第二次的操作結果與另一個整式相加，使得與的和等于，表示為，稱為第三次操作；將第三次操作的結果與另一個整式相減，使得與的差等于，表示為，稱為第四次操作，以此類推，下列四種說法：①；②；③；④當n為奇數(shù)時，第n次操作結果；當n為偶數(shù)時，第n次操作結果；四個結論中正確的有()A．1個 B．2個 C．3個 D．4個4．（2023秋·全國·七年級專題練習）從3開始的連續(xù)奇數(shù)按右圖的規(guī)律排列，其余位置數(shù)字均為．

（1）第行第列的數(shù)字是．（2）數(shù)字在圖中的第行，第列．5．（2023·湖北恩施·統(tǒng)考二模）觀察下列按一定規(guī)律排成的一組數(shù)：，從左起第個數(shù)記，則，．6．（2023秋·全國·七年級專題練習）在一次數(shù)學活動課上，李老師將一副撲克牌中的紅桃共張牌挑出，打亂順序隨機發(fā)給了甲、乙、丙三名同學，每人三張牌．已知甲的三張牌數(shù)字之和是，乙的三張牌數(shù)字之和與丙的三張牌數(shù)字之和相同，且乙的三張牌上的數(shù)字都是奇數(shù)．寫出甲的三張牌上的數(shù)字是，丙的三張牌上的數(shù)字是．7．（2023秋·湖北武漢·七年級統(tǒng)考開學考試）一串數(shù)：；，，；，，，，；，…(1)第100個數(shù)是________；(2)是第________個數(shù)；(3)前2023個數(shù)的和是________．8．（2023·全國·七年級專題練習）桌子上有7張反面向上的紙牌，每次翻轉n張（n為正整數(shù)）紙牌，多次操作后能使所有紙牌正面向上嗎？用“+1”、“”分別表示一張紙牌“正面向上”、“反面向上”，將所有牌的對應值相加得到總和，我們的目標是將總和從變化為．(1)當時，每翻轉1張紙牌，總和的變化量是2或，則最少次操作后所有紙牌全部正面向上；(2)當時，每翻轉2張紙牌，總和的變化量是，多次操作后能使所有紙牌全部正面向上嗎？若能，最少需要幾次操作？若不能，簡要說明理由；(3)若要使多次操作后所有紙牌全部正面向上，寫出n的所有可能的值．9．（2023春·安徽合肥·七年級合肥市五十中學西校?？计谥校┱J真閱讀材料，然后回答問題：我們初中學習了多項式的運算法則，相應的，我們可以計算出多項式的展開式，如：．．．……；下面我們依次對展開式的各項系數(shù)進一步研究發(fā)現(xiàn)，當取正整數(shù)時可以單獨列成表中的形式：…………………1

1………………1

2

1……………1

3

3

1…………1

4

6

4

1………1

5

10

10

5

1……1

6

15

20

15

6

1……上面的多項式展開系數(shù)表稱為“楊輝三角形”；仔細觀察“楊輝三角形”，用你發(fā)現(xiàn)的規(guī)律回答下列問題：(1)多項式的第三項的系數(shù)______；(2)請你預測一下多項式展開式的各項系數(shù)之和______；(3)拓展：①寫出展開式中含項的系數(shù)為______；②展開式按的升冪排列為：，若，求的值．壓軸題型二整式之圖形規(guī)律類題型1．（2023·江西宜春·統(tǒng)考二模）如圖，將一枚跳棋放在七邊形的頂點處，按順時針方向移動這枚跳棋2023次．移動規(guī)則是：第次移動個頂點（如第一次移動1個頂點，跳棋停留在處，第二次移動2個頂點，跳棋停留在處）．按這樣的規(guī)則，在這2023次移動中，跳棋不可能停留的頂點是（

）

A．、 B．、 C．、、 D．、、2．（2023秋·廣東深圳·七年級南山實驗教育麒麟中學?？计谀┤鐖D，點在線段的延長線上，且線段，第一次操作：分別取線段和的中點、；第二次操作：分別取線段和的中點，；第三次操作：分別取線段和的中點，；……連續(xù)這樣操作20次，則每次的兩個中點所形成的所有線段之和（

）A． B． C． D．3．（2023秋·貴州畢節(jié)·七年級校聯(lián)考期末）如圖，甲、乙兩動點分別從正方形的頂點同時沿正方形的邊開始移動，甲點依順時針方向環(huán)行，乙點依逆時針方向環(huán)行．若甲的速度是乙的速度的3倍，則它們第2022次相遇在邊（）上．A． B． C． D．4．（2023春·黑龍江哈爾濱·六年級哈爾濱市蕭紅中學校考階段練習）觀察下列圖形：它們是按一定規(guī)律排列的，依此規(guī)律，第6個圖形共有．

5．（2023·江蘇·七年級假期作業(yè)）我國南宋數(shù)學家楊輝年所著的《詳解九章算法》一書里出現(xiàn)了如圖所示的表（圖①），即楊輝三角．現(xiàn)在將所有的奇數(shù)記“”，所有的偶數(shù)記為“”，則前行如圖②，前行如圖③，求前行“”的個數(shù)為．6．（2023·北京·九年級專題練習）有黑、白各6張卡片，分別寫有數(shù)字1至6把它們像撲克牌那樣洗過后，數(shù)字朝下，如圖排成兩行，排列規(guī)則如下：

①左至右，按數(shù)字從小到大的順序排列；②黑、白卡片數(shù)字相同時，黑卡片放在左邊．將第一行卡片用大寫英文字母按順序標注，第二行卡片用小寫英文字母按順序標注，則白卡片數(shù)字1擺在了標注字母的位置，標注字母e的卡片寫有數(shù)字．7．（2023·全國·七年級專題練習）數(shù)學問題：計算（其中，都是正整數(shù)，且，）．探究問題：為解決上面的數(shù)學問題，我們運用數(shù)形結合的思想方法，通過不斷地分割一個面積為的正方形，把數(shù)量關系和幾何圖形巧妙地結合起來，并采取一般問題特殊化的策略來進行探究．探究一：計算．第次分割，把正方形的面積二等分，其中陰影部分的面積為．第次分割，把上次分割圖中空白部分的面積繼續(xù)二等分，陰影部分的面積之和為．第次分割，把上次分割圖中空白部分的面積繼續(xù)二等分，．第次分割，把上次分割圖中空白部分的面積最后二等分，所有陰影部分的面積之和，最后空白部分的面積是．第次分割圖可得等式：．

探究二：計算．第次分割，把正方形的面積三等分，其中陰影部分的面積為．第次分割，把上次分割圖中空白部分的面積繼續(xù)三等分，陰影部分的面積之和為．第次分割，把上次分割圖中空白部分的面積繼續(xù)三等分，．第次分割，把上次分割圖中空白部分的面積最后三等分，所有陰影部分的面積之和為，最后空白部分的面積是．根據(jù)第次分割圖可得等式：，兩邊同除以，得．

探究三：計算．（仿照上述方法，只畫出第次分割圖，在圖上標注陰影部分面積，并寫出探究過程）

解決問題：根據(jù)前面探究結果：__________．__________．（只填空，其中，都是正整數(shù)，且，）拓廣應用：計算．8．（2023春·吉林長春·七年級長春市第八十七中學?？茧A段練習）如圖，在正方形中，，動點P從點A出發(fā)，以速度沿的線路運動，同時動點Q從B出發(fā)，以的速度沿的線路運動，設運動的時間為．(1)當點P在上運動時，①用含t的代數(shù)式表示線段的長度．②當時，求t的值．(2)動點M從D點出發(fā)，以每秒的速度在線段上作往返運動，點M與點P同時出發(fā)，當點P停止運動時，點M也停止運動，連接，③當點P與點M第一次重合時，求t的值，并直接寫出此時線段的長度．④當點M落在線段上時，直接寫出t的取值范圍．9．（2023·全國·七年級假期作業(yè)）（1）為了計算的值，我們構造圖形（圖），共行，每行依次比上一行多一個點．此圖形共有個點．如圖2，添出圖形的另一半，此時共行列，有個點，由此可得．用此方法，可求得（直接寫結果）．（2）觀察下面的點陣圖（如圖3），解答問題：填空：①；②．（3）請構造一圖形，求（畫出示意圖，寫出計算結果）．壓軸題型三整式的加減計算1．（2023秋·七年級課時練習）合并同類項的結果為（

）A．0 B． C．m D．無法確定2．（2023春·重慶沙坪壩·七年級重慶南開中學?？计谥校┮阎獌蓚€整式，，用整式與整式求和后得到整式，整式與整式作差后得到整式，整式與整式求和后得到新的整式，整式與整式作差后得到新的整式，…，依次交替進行“求和、作差”運算得到新的整式．下列說法：①當時，；②整式與整式結果相同；③；④．正確的個數(shù)是（

）A． B． C． D．3．（2023春·重慶·七年級重慶一中?？计谀┯凶宰笙蛴乙来闻帕械娜齻€整式，，，，將任意相鄰的兩個整式相加，所得之和等于在兩個整式中間，可以產生一個整式串；，，，，，這稱為第1次“加法操作”；將第1次“加法操作”后的整式串按上述方法再做一次“加法操作”，可以得到第2次“加法操作”后的整式串；…，以此類推，下列說法：①當時，第1次“加法操作”后，整式串中所有整式的積為負數(shù)；②第次“加法操作”后，整式串中倒數(shù)第二個整式為；③第4次“加法操作”后，整式串中所有整式之和為．其中正確的個數(shù)是（

）A．0 B．1 C．2 D．34．（2023春·重慶九龍坡·七年級重慶市育才中學?？计谥校┤粢粋€四位正整數(shù)（各個數(shù)位均不為0），千位數(shù)字比百位數(shù)字大2，十位數(shù)字比個位數(shù)字大3，則稱該數(shù)為“二三數(shù)”，例如、都是“二三數(shù)”．將一個四位正整數(shù)的百位和十位交換位置后得到四位數(shù)，．若為“二三數(shù)”，且能被9整除，滿足條件的所有值中，的最小值為_________．5．（2023春·重慶榮昌·八年級統(tǒng)考期末）如果一個三位數(shù)的十位數(shù)字比百位數(shù)字與個位數(shù)字之和大2，我們稱這個三位數(shù)為“榮慶數(shù)”，我們將“榮慶數(shù)”的各位數(shù)字之和記為，比如152，百位數(shù)字與個位數(shù)字之和為，十位數(shù)字是5，，所以152是“榮慶數(shù)”，；若一個“榮慶數(shù)”是13的倍數(shù)，則的最大值是．6．（2023秋·福建泉州·七年級統(tǒng)考期末）已知x是有理數(shù)，且x有無數(shù)個值可以使得代數(shù)式的值是同一個常數(shù)，則此常數(shù)為．7．（2023春·重慶江北·七年級統(tǒng)考開學考試）如果一個三位自然數(shù)的任意兩個相鄰數(shù)位上，左邊數(shù)位上的數(shù)總比右邊數(shù)位上的數(shù)小1，那么我們把這樣的自然數(shù)叫做“小順數(shù)”．交換的百位數(shù)字和個位數(shù)字位置，得到一個新的三位數(shù)，記，例如：是“小順數(shù)”，對應的，則．(1)最小的三位“小順數(shù)”是______；最大的三位“小順數(shù)”是______；(2)設“小順數(shù)”的百位數(shù)字是，已知是3的倍數(shù)，求滿足條件的所有“小順數(shù)”．8．（2023秋·四川成都·七年級統(tǒng)考期末）一個各個數(shù)位上的數(shù)字均不為零的四位正整數(shù)，若其千位數(shù)字與十位數(shù)字之和等于8，百位數(shù)字與個位數(shù)字之和也等于8，則稱這個四位正整數(shù)為“樂群數(shù)”．例如：1276，∵，，∴，∴1276是“樂群數(shù)”．又如：3254，∵3＋5＝8，，∴3254不是“樂群數(shù)”．(1)請判斷：1473______“樂群數(shù)”，6523______“樂群數(shù)”（填“是”或“不是”）；(2)已知一個“樂群數(shù)”的千位比百位數(shù)字小3，把它的千位和百位數(shù)字分別與十位和個位數(shù)字對調，對調后得到的新數(shù)比原數(shù)大3762，求這個“樂群數(shù)”；(3)是否存在千位數(shù)字比百位數(shù)字小，且被7除余3的“樂群數(shù)”？若存在，請求出滿足條件的“樂群數(shù)”；若不存在，請說明理由．9．（2023秋·江西贛州·七年級統(tǒng)考期末）已知：b是最小的正整數(shù)，且a、b、c滿足，請回答問題．

(1)請直接寫出a、b、c的值．______，______，______；(2)a、b、c所對應的點分別為A、B、C，點P為一動點，其對應的數(shù)為x，點P在0到2之間運動時即（時），請化簡式子：（請寫出化簡過程）；(3)在（1）（2）的條件下，點A、B、C開始在數(shù)軸上運動，若點A以每秒1個單位長度的速度向左運動，同時，點B和點C分別以每秒2個單位長度和5個單位長度的速度也向左運動，運動時間為t，是否存在t，使A、B、C中一點是其它兩點的中點，若存在，求t的值，若不存在，說明理由．壓軸題型四整式的乘法1．（2023春·重慶南川·八年級統(tǒng)考期末）有個依次排列的整式：第1項是，用第1項乘，所得之積記為，將第1項加上得到第2項，再將第2項乘得到，將第2項加上得到第3項……以此類推，某數(shù)學興趣小組對此展開研究，得到下列4個結論：①第4項為；②；③若第2023項的值為0，則；④當時，第項的值為．以上結論正確的個數(shù)為（

）A．1個 B．2個 C．3個 D．4個2．（2023春·浙江·七年級專題練習）若實數(shù)x，y，z滿足，求（

）A．5 B．10 C．15 D．203．（2023春·七年級課時練習）若，則等于（

）A．2020 B．2019 C．2018 D．－20204．（2023秋·四川眉山·七年級統(tǒng)考期末）閱讀材料，回答下列問題：材料一：積的乘方，把積的每一個因式分別乘方，再把所得的冪相乘．即：．材料二：等式成立試求：（1）．（2）．5．（2023春·全國·七年級專題練習）填空：；；；…(1)；(2)猜想：；（其中為正整數(shù)，且）(3)利用（2）中的猜想的結論計算：①②．6．（2023·江蘇·七年級假期作業(yè)）已知，，，現(xiàn)給出3個數(shù)a，b，c之間的四個關系式：①；②；③；④．其中，正確的關系式是（填序號）．7．（2023·全國·八年級專題練習）若的乘積中不含與項，求的值．8．（2023春·江蘇蘇州·七年級蘇州市立達中學校?？计谥校╅喿x以下材料，回答下列問題：小明遇到這樣一個問題：求計算所得多項式的一次項系數(shù)．小明想通過計算所得的多項式解決上面的問題，但感覺有些繁瑣，他想探尋一下，是否有相對簡潔的方法．他決定從簡單情況開始，先找所得多項式中的一次項系數(shù)．通過觀察發(fā)現(xiàn)：

也就是說，只需用中的一次項系數(shù)1乘以中的常數(shù)項3，再用中的常數(shù)項2乘以中的一次項系數(shù)2，兩個積相加，即可得到一次項系數(shù)．延續(xù)．上面的方法，求計算所得多項式的一次項系數(shù)．可以先用的一次項系數(shù)1，的常數(shù)項3，的常數(shù)項4，相乘得到12；再用的一次項系數(shù)2，的常數(shù)項2，的常數(shù)項4，相乘得到16；然后用的一次項系數(shù)3，的常數(shù)項2，的常數(shù)項3，相乘得到18，最后將12，16，18相加，得到的一次項系數(shù)為46．參考小明思考問題的方法，解決下列問題：(1)計算所得多項式的一次項系數(shù)為______．(2)計算所得多項式的一次項系數(shù)為______．(3)若計算所得多項式的一次項系數(shù)為0，則______．(4)計算所得多項式的一次項系數(shù)為______，二次項系數(shù)為______．(5)計算所得多項式的一次項系數(shù)為______，二次項系數(shù)為______．9．（2023·浙江嘉興·統(tǒng)考一模）對于代數(shù)式，不同的表達形式能表現(xiàn)出它不同的性質，若代數(shù)式，代數(shù)式，改變x的值，代數(shù)式A，B有不同的取值，如下表：x012340381524350381524觀察表格發(fā)現(xiàn)：當時，，當時，，我們把這種現(xiàn)象稱為代數(shù)式B參照代數(shù)式A取值延后，相應的延后值為1．(1)若代數(shù)式D參照代數(shù)式A取值延后，相應的延后值為2，求代數(shù)式D；(2)若代數(shù)式參照代數(shù)式A的取值延后，求相應的延后值；(3)若代數(shù)式參照代數(shù)式取值延后，求的值．壓軸題型五乘法公式1．（2023春·重慶沙坪壩·七年級重慶一中?？计谥校τ谖鍌€整式，：；：；：；：；：有以下幾個結論：①若為正整數(shù)，則多項式的值一定是正數(shù)；②存在有理數(shù)，，使得的值為；③若關于的多項式（為常數(shù)）不含的一次項，則該多項式的值一定大于．上述結論中，正確的個數(shù)是（

）A．0 B．1 C．2 D．32．（2023春·山東濟南·七年級統(tǒng)考期末）設，，．若，則的值是()A．5 B．6 C．7 D．83．（2023春·浙江紹興·八年級統(tǒng)考期末）已知實數(shù)x，y滿足，則的值為（

）A．－9 B． C．9 D．4．（2023·上?！て吣昙壖倨谧鳂I(yè)）請同學運用計算，解決問題：已知x、y、z滿足，求的最大值是．5．（2023·江蘇·七年級假期作業(yè)）設x，y滿足，，則．6．（2023秋·全國·九年級專題練習）若，滿足，則的值為．7．（2023秋·江蘇淮安·八年級淮安市浦東實驗中學?？奸_學考試）【知識生成】【知識生成】我們已經知道，通過計算幾何圖形的面積可以表示一些代數(shù)恒等式．例如圖1可以得到，基于此，請解答下列問題：【直接應用】（1）若，，求的值；【類比應用】（2）填空：①若，則；②若，則；【知識遷移】（3）兩塊全等的特制直角三角板如圖2所示放置，其中，，在一直線上，連接，．若，，求一塊直角三角板的面積．

8．（2023春·遼寧沈陽·七年級統(tǒng)考期中）【閱讀材料】“數(shù)形結合”是一種非常重要的數(shù)學思想方法．比如：北師大版七年級下冊教材在學習“完全平方公式”時，通過構造幾何圖形，用幾何直觀的方法解釋了完全平方公式：（如圖1）．利用“數(shù)形結合”的思想方法，可以從代數(shù)角度解決圖形問題，也可以用圖形關系解決代數(shù)問題．

【方法應用】根據(jù)以上材料提供的方法，完成下列問題：(1)由圖2可得等式：；由圖3可得等式：；(2)利用圖3得到的結論，解決問題：若，，則；(3)如圖4，若用其中x張邊長為a的正方形，y張邊長為b的正方形，z張邊長分別為a，b的長方形紙片拼出一個面積為長方形（無空隙、無重疊地拼接）．①請畫出拼出后的長方形；②；(4)如圖4，若有3張邊長為a的正方形紙片，4張邊長分別為a，b的長方形紙片，5張邊長為b的正方形紙片．從中取出若干張紙片，每種紙片至少取一張．把取出的這些紙片拼成一個正方形（無空隙、無重疊地拼接），則拼成的正方形的邊長最長可以為．9．（2023春·山東青島·七年級統(tǒng)考期末）閱讀理解：若滿足，求的值．解：設，，則，．∴；類比探究：（1）若滿足，求的值．（2）若滿足，求的值．友情提示（2）中的可通過逆用積的乘方公式變成．（3）若滿足，求的值．解決問題：（4）如圖，正方形和長方形重疊，重疊部分是長方形其面積是，分別延長、交和于、兩點，構成的四邊形和都是正方形，四邊形是長方形設，，，，延長至，使，延長至，使，過點、作、垂線，兩垂線交于點，求正方形的面積（結果是一個具體的數(shù)值）

壓軸題型六因式分解1．（2023春·重慶北碚·八年級西南大學附中?？茧A段練習）已知m，n均為正整數(shù)且滿足，則的最大值是（

）A．16 B．22 C．34 D．362．（2023·全國·八年級專題練習）已知，且，則-的值為（）A．2022 B．-2022 C．4044 D．-40443．（2023春·安徽合肥·七年級中國科技大學附屬中學?？茧A段練習）已知滿足，則的值為（

）A．1 B．－5 C．－6 D．－74．（2023春·浙江寧波·七年級寧波市海曙外國語學校?？计谥校┮阎?，為自然數(shù)，且，若，則，．5．（2023春·四川達州·八年級?？计谥校┤绻蚴椒纸獾慕Y果為．6．（2023·河北邯鄲·?？既＃┮阎獌蓚€正數(shù)，，可按規(guī)則擴充為一個新數(shù)在，，三個數(shù)中取兩個較大的數(shù)，按上述規(guī)則擴充得到一個新數(shù)，依此繼續(xù)擴充下去，將每擴充一次得到一個新數(shù)稱為一次操作，（1）若，，按上述規(guī)則操作三次，擴充所得的數(shù)是；（2）若，按上述規(guī)則操作五次后擴充所得的數(shù)為（，為正整數(shù)），則．7．（2023春·陜西榆林·八年級統(tǒng)考期末）19世紀的法國數(shù)學家蘇菲·熱門給出了一種分解因式的方法：他抓住了該式只有兩項，而且屬于平方和的形式，要使用公式就必須添一項，隨即將此項減去，即可得，人們?yōu)榱思o念蘇菲·熱門給出這一解法，就把它叫做“熱門定理”．根據(jù)以上方法，把下列各式因式分解：(1)；(2)．8．（2023春·全國·八年級專題練習）有足夠多的長方形和正方形卡片（如圖1），分別記為1號，2號，3號卡片．(1)如果選取4張3號卡片，拼成如圖2所示的一個正方形，請用2種不同的方法表示陰影部分的面積（用含，的式子表示）．方法1：__________________________________________________．方法2：__________________________________________________．(2)若，求的值．(3)如圖3，選取1張1號卡片，2張2號卡片，3張3號卡片，可拼成一個長方形（無縫隙不重疊），根技圖形的面積關系，因式分解：______．9．（2023春·七年級課時練習）做一做計算：探究歸納，如圖甲、圖乙是兩個長和寬都相等的長方形，其中長為，寬為．(1)根據(jù)圖甲、圖乙的特征用不同的方法計算長方形的面積，得到關于字母x的系數(shù)是1的兩個一次式相乘的計算規(guī)律，用數(shù)學式表達式為．嘗試運用，利用因式分解與整式乘法的關系，我們可以利用上述表達式得到一些二次三項式的因式分解．(2)若，則．(3)若可以分解成關于x的兩個一次式乘積的形式，則整數(shù)p的值一定是．(4)若可以分解成關于x的兩個一次式乘積的形式，則整數(shù)q的值一定是．A．4

B．0

C．有限個

D．有無數(shù)個壓軸題型七整式的除法1．（2023秋·安徽·八年級校聯(lián)考開學考試）觀察下列算式：①；②；③；…結合你觀察到的規(guī)律判斷的計算結果的末位數(shù)字為（

）A．1 B．3 C．5 D．72．（2023春·廣東惠州·七年級校考開學考試）在矩形內，將兩張邊長分別為和的正方形紙片按圖①，圖②兩種方式放置（圖①，圖②中兩張正