新人教版九年級上冊數(shù)學知識點歸納第二拾一章一元二次方程21.1一元二次方程在一種等式中，只具有一種未知數(shù)，且未知數(shù)的最高次數(shù)是2次的整式方程叫做一元二次方程。一元二次方程有四個特點：(1)只具有一種未知數(shù)；(2)且未知多次數(shù)最高次數(shù)是2；(3)是整式方程．要判斷一種方程與否為一元二次方程，先看它與否為整式方程，若是，再對它進行整頓．假如能整頓為ax2+bx+c=0(a≠0)的形式，則這個方程就為一元二次方程．（4）將方程化為一般形式：ax2+bx+c=0時，應滿足（a≠0）21.2降次——解一元二次方程解一元二次方程的基本思想措施是通過“降次”將它化為兩個一元一次方程。一元二次方程有四種解法：1、直接開平措施：用直接開平措施解形如(x-m)2=n(n≥0)的方程，其解為x=±m(xù).直接開平措施就是平方的逆運算.一般用根號表達其運算成果.2、配措施通過配成完全平方式的措施，得到一元二次方程的根的措施。這種解一元二次方程的措施稱為配措施，配方的根據(jù)是完全平方公式。1.轉化：將此一元二次方程化為ax^2+bx+c=0的形式(即一元二次方程的一般形式）2.系數(shù)化1：將二次項系數(shù)化為13.移項：將常數(shù)項移到等號右側4.配方：等號左右兩邊同步加上一次項系數(shù)二分之一的平方5.變形：將等號左邊的代數(shù)式寫成完全平方形式6.開方：左右同步開平方7.求解：整頓即可得到原方程的根3、公式法公式法：把一元二次方程化成一般形式，然後計算鑒別式△=b2-4ac的值，當b2-4ac≥0時，把各項系數(shù)a,b,c的值代入求根公式x=(b2-4ac≥0)就可得到方程的根。因式分解法：把方程變形為一邊是零，把另一邊的二次三項式分解成兩個一次因式的積的形式，讓兩個一次因式分別等于零，得到兩個一元一次方程，解這兩個一元一次方程所得到的根，就是原方程的兩個根。這種解一元二次方程的措施叫做因式分解法。21.3實際問題與一元二次方程列一元二次方程解應用題是列一元一次方程解應用題的繼續(xù)和發(fā)展從列方程解應用題的措施來講，列出一元二次方程解應用題與列出一元一次方程解應用題是非常相似的，由于一元一次方程未知數(shù)是一次，因此此類問題大部分都可通過算術措施來處理．假如未知數(shù)出現(xiàn)二次，用算術措施就很困難了，正由于未知數(shù)是二次的，因此可以用一元二次方程處理有關面積問題，通過兩次增長的平均增長率問題，數(shù)學問題中波及積的某些問題，經營決策問題等等．第二拾二章二次函數(shù)22.1二次函數(shù)及其圖像二次函數(shù)（quadraticfunction）是指未知數(shù)的最高次數(shù)為二次的多項式函數(shù)。二次函數(shù)可以表達為y=ax2+bx+c(a不為0)。其圖像是一條主軸平行于y軸的拋物線。一般的，自變量x和因變量y之間存在如下關系：一般式y(tǒng)=ax2+bx+c(a≠0,a、b、c為常數(shù))，頂點坐標為(-b/2a，(b2-4ac)/4a)；頂點式y(tǒng)=a(x-h)2+k(a≠0,a、h、k為常數(shù))或y=a(x-h)２+k(a≠0,a、h、k為常數(shù))，頂點坐標為（h，k）對稱軸為x=h，頂點的位置特性和圖像的開口方向與函數(shù)ｙ＝ax２的圖像相似，有時題目會指出讓你用配措施把一般式化成頂點式；交點式y(tǒng)=a(x-x1)(x-x2)[僅限于與x軸有交點A（x1，0）和B（x2，0）的拋物線]；重要概念：a，b，c為常數(shù)，a≠0，且a決定函數(shù)的開口方向，a>0時，開口方向向上，a<0時，開口方向向下。a的絕對值還可以決定開口大小,a的絕對值越大開口就越小,a的絕對值越小開口就越大。y在平面直角坐標系中作出二次函數(shù)y=x2的平方的圖像，y可以看出，二次函數(shù)的圖像是一條永無止境的拋物線。不一樣的二次函數(shù)圖像假如所畫圖形精確無誤，那么二次函數(shù)將是由一般式平移得到的。x軸對稱x1.拋物線是軸對稱圖形。對稱軸為直線x=-b/2a。對稱軸與拋物線唯一的交點為拋物線的頂點P。尤其地，當b=0時，拋物線的對稱軸是y軸（即直線x=0）頂點2.拋物線有一種頂點P，坐標為P(-b/2a，4ac-b2)/4a)當-b/2a=0時，P在y軸上；當Δ=b2-4ac=0時，P在x軸上。開口3.二次項系數(shù)a決定拋物線的開口方向和大小。當a＞0時，拋物線向上開口；當a＜0時，拋物線向下開口。|a|越大，則拋物線的開口越小。決定對稱軸位置的原因4.一次項系數(shù)b和二次項系數(shù)a共同決定對稱軸的位置。當a與b同號時（即ab＞0），對稱軸在y軸左；由于若對稱軸在左邊則對稱軸不不小于0，也就是-b/2a<0,因此b/2a要不小于0，因此a、b要同號當a與b異號時（即ab＜0），對稱軸在y軸右。由于對稱軸在右邊則對稱軸要不小于0，也就是-b/2a>0,因此b/2a要不不小于0，因此a、b要異號可簡樸記憶為左同右異，即當a與b同號時（即ab＞0），對稱軸在y軸左；當a與b異號時即ab＜0），對稱軸在y軸右。實際上，b有其自身的幾何意義：拋物線與y軸的交點處的該拋物線切線的函數(shù)解析式（一次函數(shù)）的斜率k的值。可通過對二次函數(shù)求導得到。決定拋物線與y軸交點的原因5.常數(shù)項c決定拋物線與y軸交點。拋物線與y軸交于（0，c）拋物線與x軸交點個數(shù)6.拋物線與x軸交點個數(shù)Δ=b2-4ac＞0時，拋物線與x軸有2個交點。Δ=b2-4ac=0時，拋物線與x軸有1個交點。Δ=b2-4ac＜0時，拋物線與x軸沒有交點。當a>0時，函數(shù)在x=-b/2a處獲得最小值,當a<0時，函數(shù)在x=-b/2a處獲得最大值當b=0時，拋物線的對稱軸是y軸，7.特殊值的形式①當x=１時y=a+b+c②當x=-1時y=a-b+c③當x=2時y=4a+2b+c④當x=-2時y=4a-2b+c用函數(shù)觀點看一元二次方程1.假如拋物線與x軸有公共點，公共點的橫坐標是，那么當時，函數(shù)的值是0，因此就是方程的一種根。2.二次函數(shù)的圖象與x軸的位置關系有三種：沒有公共點，有一種公共點，有兩個公共點。這對應著一元二次方程根的三種狀況：沒有實數(shù)根，有兩個相等的實數(shù)根，有兩個不等的實數(shù)根。實際問題與二次函數(shù)在平常生活、生產和科研中，求使材料最省、時間至少、效率最高等問題，有些可歸結為求二次函數(shù)的最大值或最小值。第二拾三章旋轉23.1圖形的旋轉1.圖形的旋轉（1）定義：在平面內，將一種圓形繞一種定點沿某個方向（順時針或逆時針）轉動一種角度，這樣的圖形運動叫做旋轉，這個定點叫做旋轉中心，轉動的角稱為旋轉角。（2）生活中的旋轉現(xiàn)象大體有兩大類：一類是物體的旋轉運動，如時鐘的時針、分針、秒針的轉動，風車的轉動等；另一類則是由某一基本圖形通過旋轉而形成的圖案，如香港尤其行政區(qū)區(qū)旗上的紫荊花圖案。（3）圖形的旋轉不變化圖形的大小和形狀，旋轉是由旋轉中心和旋轉角所決定，旋轉中心可以在圖形上也可以在圖形外。（4）會找對應點，對應線段和對應角。2.旋轉的基本特性：（1）圖形在旋轉時，圖形中的每一種點都繞旋轉中心旋轉了同樣大小的角度。（2）圖形在旋轉時，對應點到旋轉中心的距離相等，對應線段相等，對應角相等；（3）圖形在旋轉時，圖形的大小和形狀都沒有發(fā)生變化。3.幾點闡明：（1）在理解旋轉特性時，首先要對照圖形，找出旋轉中心、旋轉方向、對應點、旋轉角。（2）旋轉的角度是對應線段的夾角或對應頂點與旋轉中心連線的夾角。（3）旋轉中心確實定分兩種狀況，即在圖形上或在圖形外，若在圖形上，哪一點旋轉過程中位置沒有變化，哪一點就是旋轉中心；若在圖形外，對應點連線的垂直平分線的交點就是旋轉中心。23.2中心對稱中心對稱：把一種圖形繞著某一點旋轉180°，假如它可以與另一種圖形重疊，那么這劉遇圖形有關這個點對稱或中心對稱。中心對稱的性質：①有關中心對稱的劉遇圖形，對應點所連線段都通過對稱中心，并且被對稱中心所平分。②有關中心對稱的劉遇圖形是全等形。中心對稱圖形：把一種圖形繞著某一種點旋轉180°，假如旋轉後的圖形可以與本來的圖形重疊，那么這個圖形叫做中心對稱圖形。對稱點的坐標規(guī)律：①有關x軸對稱：橫坐標不變，縱坐標互為相反數(shù)，②有關y軸對稱：橫坐標互為相反數(shù)，縱坐標不變，③有關原點對稱：橫坐標、縱坐標都互為相反數(shù)。23.3課題學習圖案設計靈活運用平移、旋轉、軸對稱等變換進行圖案設計．圖案設計就是通過圖形變換(平移、旋轉、軸對稱或幾種的組合)把基本圖形構成具有一定意義的新圖形，圖案設計時不僅要看與否對的使用了圖形變換，還要看圖案與否很好的體現(xiàn)了設計意圖．第二拾四章圓24.1圓定義：（1）平面上到定點的距離等于定長的所有點構成的圖形叫做圓。（2)平面上一條線段，繞它的一端旋轉360°，留下的軌跡叫圓。圓心：（1）如定義（1）中，該定點為圓心（2）如定義（2）中，繞的那一端的端點為圓心。（3）圓任意兩條對稱軸的交點為圓心。（4）垂直于圓內任意一條弦且兩個端點在圓上的線段的二分點為圓心。注：圓心一般用字母O表達直徑：通過圓心，并且兩端都在圓上的線段叫做圓的直徑。直徑一般用字母d表達。半徑：連接圓心和圓上任意一點的線段，叫做圓的半徑。半徑一般用字母r表達。圓的直徑和半徑均有無數(shù)條。圓是軸對稱圖形，每條直徑所在的直線是圓的對稱軸。在同圓或等圓中：直徑是半徑的2倍，半徑是直徑的二分之一.d=2r或r=二分之d。圓的半徑或直徑決定圓的大小，圓心決定圓的位置。圓的周長：圍成圓的曲線的長度叫做圓的周長，用字母C表達。圓的周長與直徑的比值叫做圓周率。圓的周長除以直徑的商是一種固定的數(shù)，把它叫做圓周率，它是一種無限不循環(huán)小數(shù)（無理數(shù)），用字母π表達。計算時，一般取它的近似值，π≈3.14。直徑所對的圓周角是直角。90°的圓周角所對的弦是直徑。圓的面積公式：圓所占平面的大小叫做圓的面積。πr^2，用字母S表達。一條弧所對的圓周角是圓心角的二分之一。在同圓或等圓中，相等的圓心角所對的弧相等，所對的弦相等，所對的弦心距也相等。在同圓或等圓中，假如兩條弧相等，那么他們所對的圓心角相等，所對的弦相等，所對的弦心距也相等。在同圓或等圓中，假如兩條弦相等，那么他們所對的圓心角相等，所對的弧相等，所對的弦心距也相等。周長計算公式1.、已知直徑：C=πd2、已知半徑：C=2πr3、已知周長：D=c\π4、圓周長的二分之一:1\2周長(曲線)5、半圓的長：1\2周長+直徑面積計算公式：1、已知半徑：S=πr平方2、已知直徑：S=π（d\2）平方3、已知周長：S=π(c\2π)平方24.2點、直線、圓和圓的位置關系1.點和圓的位置關系①點在圓內點到圓心的距離不不小于半徑②點在圓上點到圓心的距離等于半徑③點在圓外點到圓心的距離不小于半徑2.過三點的圓不在同一直線上的三個點確定一種圓。3.外接圓和外心通過三角形的三個頂點可以做一種圓，這個圓叫做三角形的外接圓。外接圓的圓心是三角形三條邊垂直平分線的交點，叫做三角形的外心。4.直線和圓的位置關系相交：直線和圓有兩個公共點叫這條直線和圓相交，這條直線叫做圓的割線。相切：直線和圓有一種公共點叫這條直線和圓相切，這條直線叫做圓的切線，這個點叫做切點。相離：直線和圓沒有公共點叫這條直線和圓相離。5.直線和圓位置關系的性質和鑒定假如⊙O的半徑為r，圓心O到直線的距離為d，那么①直線和⊙O相交；②直線和⊙O相切；③直線和⊙O相離。圓和圓定義：兩個圓沒有公共點且每個圓的點都在另一種圓的外部時，叫做這兩個圓的外離。兩個圓有唯一的公共點且除了這個公共點外，每個圓上的點都在另一種圓的外部，叫做兩個圓的外切。兩個圓有兩個交點，叫做兩個圓的相交。兩個圓有唯一的公共點且除了這個公共點外，每個圓上的點都在另一種圓的內部，叫做兩個圓的內切。兩個圓沒有公共點且每個圓的點都在另一種圓的內部時，叫做這兩個圓的內含。原理：圓心距和半徑的數(shù)量關系：兩圓外離＜＝＞d＞R+r兩圓外切＜＝＞d=R+r兩圓相交＜＝＞R-r<d<R+r(R>＝r)兩圓內切＜＝＞d=R-r(R>r)兩圓內含＜＝＞d<R-r(R>r)24.3正多邊形和圓1、正多邊形的概念：各邊相等，各角也相等的多邊形叫做正多邊形。

2、正多邊形與圓的關系：

(1)將一種圓n(n≥3)等分(可以借助量角器)，依次連結各等分點所得的多邊形是這個圓的內接正多邊形。

(2)這個圓是這個正多邊形的外接圓。

3、正多邊形的有關概念：

(1)正多邊形的中心——正多邊形的外接圓的圓心。

(2)正多邊形的半徑——正多邊形的外接圓的半徑。

(3)正多邊形的邊心距——正多邊形中心到正多邊形各邊的距離。

(4)正多邊形的中心角——正多邊形每一邊所對的外接圓的圓心角。

4、正多邊形性質：

(1)任何正多邊形均有一種外接圓。

(2)正多邊形都是軸對稱圖形，當邊數(shù)是偶數(shù)時，它又是中心對稱圖形，正n邊形的對稱軸有n條。

(3)邊數(shù)相似的正多邊形相似。

重點：正多邊形的有關計算。

知識講解1、正多邊形定義：各邊相等，各角也相等的多邊形叫正多邊形。

例如：正三角形、正四邊形(正方形)、正六邊形等等。假如一種正多邊形有n條邊，那么，這個多邊形叫正n邊形。

再如：矩形不是正多邊形，由于它只具有各角相等，而各邊不一定相等；菱形不是正多邊形，由于，它只具有各邊相等，而各角不一定相等。

2、正多邊形與圓的關系。

正多邊形與圓有親密關系，把圓提成n(n≥3)等份，依次連結分點所得的多邊形是這個圓的內接正n邊形。

相鄰分點間的弧相等，則所對的弦(正多邊形的邊)相等，相鄰兩弦所夾的角(多邊形的每個內角)都相等，從而得出，所連的多邊形滿足了所有邊都相等，所有內角都相等，從而這個多邊形就是正多邊形。

如：將圓6等分，即，則AB＝BC＝CD＝DE＝EF＝FA。

觀測∠A、∠B、∠C、∠D、∠E、∠F所對的弧可以發(fā)現(xiàn)都是相等的弧，因此，∠A＝∠B＝∠C＝∠D＝∠E＝∠F。因此，將一種圓6等分，依次連結各分點所得到的是⊙O的內接正六邊形。

3、正多邊形的有關計算。(1)首先要明確與正多邊形計算的有關概念：即正多邊形的中心O，正多邊形的半徑Rn——就是其外接圓的半徑，正多邊形的邊心距rn，正多邊形的中心角αn，正多邊形的邊長an。(2)正n邊形的n條半徑把正n邊形提成n個全等的等腰三角形，等腰三角形的頂角就是正n邊形的中心角都等于；假如再作出正n邊形各邊的邊心距，這些邊心距又把這n個等腰三角形提成了2n個全等的直角三角形。如圖：是一種正n邊形ABCD……根據(jù)以上講解，我們來分析RtΔAOM的基本元素：斜邊OA——正n邊形的半徑Rn；一條直角邊OM——正n邊形的邊心距rn；一條直角邊AM——正n邊形的邊長an的二分之一即AM＝an；銳角∠AOM——正n邊形的中心角αn的二分之一即∠AOM＝；銳角∠OAM——正n邊形內角的二分之一即∠OAM＝[(n－2)·180°]；可以看到在這個直角三角形中的各元素恰好反應了正n邊形的各元素。因此，就可以把正n邊形的有關計算歸納為解直角三角形的問題。4、正多邊形的有關作圖。(1)使用量角器來等分圓。由于在同圓中相等的圓心角所對的弧也相等，因此作相等的圓心角(即等分頂點在圓心的周角)可以等分圓；根據(jù)同圓中相等弧所對的弦相等，依次連接各分點就可畫出對應的正n邊形。(2)用尺規(guī)來等分圓。對于某些特殊的正n邊形，還可以用圓規(guī)和直尺作出圖形。①正四、八邊形。在⊙O中，用尺規(guī)作兩條互相垂直的直徑就可把圓提成4等份，從而作出正四邊形。再逐次平分各邊所對的弧(即作∠AOB的平分線交于E)就可作出正八邊形、正拾六邊形等，邊數(shù)逐次倍增的正多邊形。②正六、三、拾二邊形的作法。通過簡樸計算可知，正六邊形的邊長與其半徑相等，因此，在⊙O中，任畫一條直徑AB，分別以A、B為圓心，以⊙O的半徑為半徑畫弧與⊙O相交于C、D和E、F，則A、C、E、B、F、D是⊙O的6等分點。顯然，A、E、F(或C、B、D)是⊙O的3等分點。同樣，在圖(3)中平分每條邊所對的弧，就可把⊙O12等分……。5、正多邊形的對稱性。正多邊形都是軸對稱圖形，一種正n邊形共有n條對稱軸，每條對稱軸都通過正n邊形的中心，假如正多邊形有偶數(shù)條邊，那么，它又是中心對稱圖形，它的中心就是對稱中心。如：正三角形、正方形。24.4弧長和扇形面積知識點1、弧長公式由于360°的圓心角所對的弧長就是圓周長C＝2R，因此1°的圓心角所對的弧長是，于是可得半徑為R的圓中，n°的圓心角所對的弧長l的計算公式：，闡明：（1）在弧長公式中，n表達1°的圓心角的倍數(shù)，n和180都不帶單位“度”，例如，圓的半徑R＝10，計算20°的圓心角所對的弧長l時，不要錯寫成。（2）在弧長公式中，已知l，n，R中的任意兩個量，都可以求出第三個量。

知識點2、扇形的面積如圖所示，陰影部分的面積就是半徑為R，圓心角為n°的扇形面積，顯然扇形的面積是它所在圓的面積的一部分，由于圓心角是360°的扇形面積等于圓面積，因此圓心角為1°的扇形面積是，由此得圓心角為n°的扇形面積的計算公式是。又由于扇形的弧長，扇形面積，因此又得到扇形面積的另一種計算公式：。

知識點3、弓形的面積（1）弓形的定義：由弦及其所對的弧（包括劣弧、優(yōu)弧、半圓）構成的圖形叫做弓形。（2）弓形的周長＝弦長＋弧長（3）弓形的面積如圖所示，每個圓中的陰影部分的面積都是一種弓形的面積，從圖中可以看出，只要把扇形OAmB的面積和△AOB的面積計算出來，就可以得到弓形AmB的面積。當弓形所含的弧是劣弧時，如圖1所示，

當弓形所含的弧是優(yōu)弧時，如圖2所示，當弓形所含的弧是半圓時，如圖3所示，注意：（1）圓周長、弧長、圓面積、扇形面積的計算公式。

圓周長弧長圓面積扇形面積公式（2）扇形與弓形的聯(lián)絡與區(qū)別（2）扇形與弓形的聯(lián)絡與區(qū)別圖示面積

知識點4、圓錐的側面積圓錐的側面展開圖是一種扇形，如圖所示，設圓錐的母線長為l，底面圓的半徑為r，那么這個扇形的半徑為l，扇形的弧長為2，圓錐的側面積，圓錐的全面積闡明：（1）圓錐的側面積與底面積之和稱為圓錐的全面積。（2）研究有關圓錐的側面積和全面積的計算問題，關鍵是理解圓錐的側面積公式，并明確圓錐全面積與側面積之間的關系。知識點5、圓柱的側面積圓柱的側面積展開圖是矩形，如圖所示，其兩鄰邊分別為圓柱的高和圓柱底面圓的周長，若圓柱的底面半徑為r，高為h，則圓柱的側面積，圓柱的全面積知識小結：圓錐與圓柱的比較名稱圓錐圓柱圖形圖形的形成過程

由一種直角三角形旋轉得到的，如Rt△SOA繞直線SO旋轉一周。由一種矩形旋轉得到的，如矩形ABCD繞直線AB旋轉一周。圖形的構成一種底面和一種側面兩個底面和一種側面?zhèn)让嬲归_圖的特性扇形矩形面積計算措施

第二拾五章概率初步25.1隨機事件與概率1．隨機試驗與樣本空間具有下列三個特性的試驗稱為隨機試驗：(1)試驗可以在相似的條件下反復地進行；·(2)每次試驗的也許成果不止一種，但事先懂得每次試驗所有也許的成果；(3)每次試驗前不能確定哪一種成果會出現(xiàn)．試驗的所有也許成果所構成的集合為樣本空間，用表達，其中的每一種成果用表達，稱為樣本空間中的樣本點，記作．2．隨機事件在隨機試驗中，把一次試驗中也許發(fā)生也也許不發(fā)生、而在大量反復試驗中卻展現(xiàn)某種規(guī)律性的事情稱為隨機事件(簡稱事件)．一般把必然事件(記作)與不也許事件(記作)看作特殊的隨機事件．3．頻率與概率的定義(1)頻率的定義設隨機事件A在n次反復試驗中發(fā)生了次，則比值／n稱為隨機事件A發(fā)生的頻率，記作，即.(2)概率的記錄定義在進行大量反復試驗中，隨機事件A發(fā)生的頻率具有穩(wěn)定性，即當試驗次數(shù)n很大時，頻率在一種穩(wěn)定的值(0<<1)附近擺動，規(guī)定事件A發(fā)生的頻率的穩(wěn)定值為概率，即．(3)古典概率的定義具有下列兩個特性的隨機試驗的數(shù)學模型稱為古典概型：(i)試驗的樣本空間是個有限集，不妨記作;(ii)在每次試驗中，每個樣本點(）出現(xiàn)的概率相似，即．在古典概型中，規(guī)定事件A的概率為．(4)幾何概率的定義假如隨機試驗的樣本空間是一種區(qū)域(可以是直線上的區(qū)間、平面或空間中的區(qū)域)，且樣本空間中每個試驗成果的出現(xiàn)具有等也許性，那么規(guī)定事件Ａ的概率為·25.2用列舉法求概率1、當一次試驗中，也許出現(xiàn)的成果是有限個，并且多種成果發(fā)生的也許性相等時，可以用被關注的成果在所有試驗成果中所占的比分析出事件中該成果發(fā)生的概率，此時可采用列舉法．2、列舉法就是把要數(shù)的對象一一列舉出來分析求解的措施．但有時一一列舉出的狀況數(shù)目很大，此時需要考慮怎樣去排除不合理的狀況，盡量減少列舉的問題也許解的數(shù)目.3、運用列表法或樹形圖法求概率的關鍵是：①注意多種狀況出現(xiàn)的也許性務必相似；②其中某一事件發(fā)生的概率；③在考察多種狀況出現(xiàn)的次數(shù)和某一事件發(fā)生的次數(shù)時不能反復也不能遺漏；4、用列表法或樹形圖法求得的概率是理論概率，而試驗估計值是頻率，它一般受到試驗次數(shù)的影響而產生波動，因此兩者不一定一致，試驗次數(shù)較多時，頻率穩(wěn)定于概率，但并不完全等于概率。25.3用頻率估計概率在做大量反復試驗時，伴隨試驗次數(shù)的增長，一種隨機事件出現(xiàn)的頻率應當穩(wěn)定于該事件發(fā)生的概率。事件發(fā)生的頻率與概率既有區(qū)別又有聯(lián)絡：事件發(fā)生的頻率不一定相似，是個變數(shù)，而事件發(fā)生的概率是個常數(shù)；但它們之間又有親密的聯(lián)絡，伴隨試驗次數(shù)的增長，頻率越來越穩(wěn)定于概率。在詳細操作過程中，大家往往發(fā)現(xiàn)：雖然多次試驗成果的頻率逐漸穩(wěn)定于概率，但也許無論做多少次試驗，兩者之間存在著一定的偏差。應當注意：這種偏差的存在是常常的，并且是正常的。此外，由于受到某些原因的影響，通過試驗得到的估計成果往往不太理想，甚至有也許出現(xiàn)極端狀況，此時我們應對的地看待這樣的成果并嘗試著對成果進行合理的解釋。對試驗成果的頻率與理論概率的偏差的理解也是形成隨機觀念的一種重要環(huán)節(jié)。在實際應用中，當試驗次數(shù)越大時，出現(xiàn)極端狀況的也許性就越小。因此，我們常常通過做大量反復試驗來獲得事件發(fā)生的頻率，并用它作為概率的估計值。試驗次數(shù)越多，得到的估計成果就越可靠。第二拾六章反比例函數(shù)26.1知識點1反比例函數(shù)的定義一般地，形如（k為常數(shù)，）的函數(shù)稱為反比例函數(shù)，它可以從如下幾種方面來理解：⑴x是自變量，y是x的反比例函數(shù)；⑵自變量x的取值范圍是的一切實數(shù)，函數(shù)值的取值范圍是；⑶比例系數(shù)是反比例函數(shù)定義的一種重要構成部分；⑷反比例函數(shù)有三種體現(xiàn)式：①（），②（），③（定值）（）；⑸函數(shù)（）與（）是等價的，因此當y是x的反比例函數(shù)時，x也是y的反比例函數(shù)。（k為常數(shù)，）是反比例函數(shù)的一部分，當k=0時，，就不是反比例函數(shù)了，由于反比例函數(shù)（）中，只有一種待定系數(shù)，因此，只要一組對應值，就可以求出k的值，從而確定反比例函數(shù)的體現(xiàn)式。26.2知識點2用待定系數(shù)法求反比例函數(shù)的解析式由于反比例函數(shù)（）中，只有一種待定系數(shù)，因此，只要一組對應值，就可以求出k的值，從而確定反比例函數(shù)的體現(xiàn)式。26.3知識點3反比例函數(shù)的圖像及畫法反比例函數(shù)的圖像是雙曲線，它有兩個分支，這兩個分支分別位于第一、第三象限或第二、第四象限，它們與原點對稱，由于反比例函數(shù)中自變量函數(shù)中自變量，函數(shù)值，因此它的圖像與x軸、y軸都沒有交點，即雙曲線的兩個分支無限靠近坐標軸，但永遠達不到坐標軸。反比例的畫法分三個環(huán)節(jié)：⑴列表；⑵描點；⑶連線。再作反比例函數(shù)的圖像時應注意如下幾點：①列表時選用的數(shù)值宜對稱選用；②列表時選用的數(shù)值越多，畫的圖像越精確；③連線時，必須根據(jù)自變量大小從左至右（或從右至左）用光滑的曲線連接，切忌畫成折線；④畫圖像時，它的兩個分支應所有畫出，但切忌將圖像與坐標軸相交。26.4知識點4反比例函數(shù)的性質☆有關反比例函數(shù)的性質，重要研究它的圖像的位置及函數(shù)值的增減狀況，如下表：反比例函數(shù)（）的符號圖像性質①的取值范圍是，y的取值范圍是②當時，函數(shù)圖像的兩個分支分別在第一、第三象限，在每個象限內，y隨x的增大而減小。①的取值范圍是，y的取值范圍是②當時，函數(shù)圖像的兩個分支分別在第二、第四象限，在每個象限內，y隨x的增大而增大。注意：描述函數(shù)值的增減狀況時，必須指出“在每個象限內……”否則，籠統(tǒng)地說，當時，y隨x的增大而減小“，就會與事實不符的矛盾。反比例函數(shù)圖像的位置和函數(shù)的增減性，是有反比例函數(shù)系數(shù)k的符號決定的，反過來，由反比例函數(shù)圖像（雙曲線）的位置和函數(shù)的增減性，也可以推斷出k的符號。如在第一、第三象限，則可知?！罘幢壤瘮?shù)（）中比例系數(shù)k的絕對值的幾何意義。如圖所示，過雙曲線上任一點P（x，y）分別作x軸、y軸的垂線，E、F分別為垂足，則反比例函數(shù)（）中，越大，雙曲線越遠離坐標原點；越小，雙曲線越靠近坐標原點。雙曲線是中心對稱圖形，對稱中心是坐標原點；雙曲線又是軸對稱圖形，對稱軸是直線y=x和直線y=－x。第二拾七章相似圖形的相似概述假如兩個圖形形狀相似,但大小不一定相等,那么這兩個圖形相似。（相似的符號：∽）鑒定假如兩個多邊形滿足對應角相等，對應邊的比相等，那么這兩個多邊形相似。相似比相似多邊形的對應邊的比叫相似比。相似比為1時，相似的兩個圖形全等。性質相似多邊形的對應角相等，對應邊的比相等。相似多邊形的周長比等于相似比。相似多邊形的面積比等于相似比的平方。相似三角形鑒定1.兩個三角形的兩個角對應相等2.兩邊對應成比例,且夾角相等3.三邊對應成比例4.平行于三角形一邊的直線和其他兩邊或兩邊延長線相交，所構成的三角形與原三角形相似。例題∵∠A=∠A';∠B=∠B'\o"查看圖片"

∴△ABC∽△A'B'C'性質1.相似三角形的一切對應線段(對應高、對應中線、對應角平分線、外接圓半徑、內切圓半徑等）的比等于相似比。2.相似三角形周長的比等于相似比。3.相似三角形面積的比等于相似比的平方位似假如兩個圖形不僅是相似圖形，并且每組對應點的連線交于一點，對應邊互相平行，那么這兩個圖形叫做位似圖形，這個點叫做位似中心，這時的相似比又稱為位似比。性質位似圖形的對應點和位似中心在同一直線上，它們到位似中心的距離之比等于相似比。位似多邊形的對應邊平行或共線。位似可以將一種圖形放大或縮小。位似圖形的中心可以在任意的一點，不過位似圖形也會伴隨位似中心的位變而位變。根據(jù)一種位似中心可以作兩個有關已知圖形一定位似比的位似圖形,這兩個圖形分布在位似中心的兩側,并且有關位似中心對稱。注意1、位似是一種具有位置關系的相似，因此兩個圖形是位似圖形，必然是相似圖形，而相似圖形不一定是位似圖形；2、兩個位似圖形的位似中心只有一種；3、兩個位似圖形也許位于位似中心的兩側，也也許位于位似中心的一側；4、位似比就是相似比．運用位似圖形的定義可判斷兩個圖形與否位似；5、平行于三角形一邊的直線和其他兩邊相交，所構成的三角形與原三角形位似。第二拾八章銳角三角函數(shù)銳角三角函數(shù)銳角角A的正弦（sin）,余弦（cos）和正切（tan）,余切（cot）以及正割（sec），（余割csc）都叫做角A的銳角三角函數(shù)。正弦（sin）等于對邊比斜邊，余弦（cos）等于鄰邊比斜邊正切（tan）等于對邊比鄰邊；直角三角形ABC中,角A的正弦值就等于角A的對邊比斜邊,余弦等于角A的鄰邊比斜邊正切等于對邊比鄰邊,解直角三角形勾股定理，只合用于直角三角形（外國叫“畢達哥拉斯定理”）a^2+b^2=c^2,其中a和b分別為直角三角形兩直角邊，c為斜邊。勾股弦數(shù)是指一組能使勾股定理關系成立的三個正整數(shù)。例如：3，4，5。他們分別是3，4和5的倍數(shù)。ABABCD⑴直角三角形兩個銳角互余；⑵直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的二分之一；⑶直角三角形中30°所對的直角邊等于斜邊的二分之一；⑷勾股定理：直角三角形中，兩直角邊的平方和等于斜邊的平方，即：在Rt△ABC中，若∠C＝90°，則a2+b2=c2；ABCacb⑸勾股定理的逆定理：假如三角形的一條邊的平方等于此外兩條邊的平方和，則這個三角形是直角三角形，即：在△ABCacb⑹射影定理：AC2=ADAB,BC2=BDAB,CD2=DADB．銳角三角函數(shù)的定義：如圖，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A，∠B，∠C所對的邊分別為a,b,c,則sinA=eq\f(a,c),cosA=eq\f(b,c),tanA=eq\f(a,b),cotA=eq\f(b,a)特殊角的三角函數(shù)值：（并會觀測其三角函數(shù)值隨的變化狀況）sincostancot30°eq\f(1,2)eq\f(1eq\f(\r(3),2)