第6節(jié)數(shù)學(xué)歸納法最新考綱1.了解數(shù)學(xué)歸納法原理；2.能用數(shù)學(xué)歸納法證實(shí)一些簡(jiǎn)單數(shù)學(xué)命題.1/341.數(shù)學(xué)歸納法證實(shí)一個(gè)與正整數(shù)n相關(guān)命題，可按以下步驟進(jìn)行：(1)(歸納奠基)證實(shí)當(dāng)n取______________________時(shí)命題成立；(2)(歸納遞推)假設(shè)n＝k(k≥n0，k∈N*)時(shí)命題成立，證實(shí)當(dāng)________時(shí)命題也成立.只要完成這兩個(gè)步驟，就能夠斷定命題對(duì)從n0開(kāi)始全部正整數(shù)n都成立.知

識(shí)

梳

理第一個(gè)值n0(n0∈N*)n＝k＋12/342.數(shù)學(xué)歸納法框圖表示3/34[慣用結(jié)論與微點(diǎn)提醒]1.數(shù)學(xué)歸納法證題時(shí)初始值n0不一定是1.2.推證n＝k＋1時(shí)一定要用上n＝k時(shí)假設(shè)，不然不是數(shù)學(xué)歸納法.4/34診斷自測(cè)1.思索辨析(在括號(hào)內(nèi)打“√”或“×”)(1)用數(shù)學(xué)歸納法證實(shí)等式“1＋2＋22＋…＋2n＋2＝2n＋3－1”，驗(yàn)證n＝1時(shí)，左邊式子應(yīng)為1＋2＋22＋23.(

)(2)全部與正整數(shù)相關(guān)數(shù)學(xué)命題都必須用數(shù)學(xué)歸納法證實(shí).(

)(3)用數(shù)學(xué)歸納法證實(shí)問(wèn)題時(shí)，歸納假設(shè)能夠不用.(

)(4)不論是等式還是不等式，用數(shù)學(xué)歸納法證實(shí)時(shí)，由n＝k到n＝k＋1時(shí)，項(xiàng)數(shù)都增加了一項(xiàng).(

)5/34解析對(duì)于(2)，有些命題也能夠直接證實(shí)；對(duì)于(3)，數(shù)學(xué)歸納法必須用歸納假設(shè)；對(duì)于(4)，由n＝k到n＝k＋1，有可能增加不止一項(xiàng).答案

(1)√

(2)×

(3)×

(4)×6/34解析三角形是邊數(shù)最少凸多邊形，故第一步應(yīng)檢驗(yàn)n＝3.答案

C7/348/34答案

D9/3410/345.用數(shù)學(xué)歸納法證實(shí)“當(dāng)n為正奇數(shù)時(shí)，xn＋yn能被x＋y整除”，當(dāng)?shù)诙郊僭O(shè)n＝2k－1(k∈N*)命題為真時(shí)，進(jìn)而需證n＝________時(shí)，命題亦真.解析因?yàn)椴介L(zhǎng)為2，所以2k－1后一個(gè)奇數(shù)應(yīng)為2k＋1.答案

2k＋111/346.(·寧波調(diào)研)用數(shù)學(xué)歸納法證實(shí)“當(dāng)n為正偶數(shù)時(shí)，xn－yn能被x＋y整除”第一步應(yīng)驗(yàn)證n＝________時(shí)，命題成立；第二步歸納假設(shè)成立應(yīng)寫(xiě)成________.解析因?yàn)閚為正偶數(shù)，故第一個(gè)值n＝2，第二步假設(shè)n取第k個(gè)正偶數(shù)成立，即n＝2k，故應(yīng)假設(shè)成x2k－y2k能被x＋y整除.答案

2

x2k－y2k能被x＋y整除12/34考點(diǎn)一用數(shù)學(xué)歸納法證實(shí)等式證實(shí)

(1)當(dāng)n＝1時(shí)，左邊＝右邊，所以等式成立.13/3414/34規(guī)律方法

(1)用數(shù)學(xué)歸納法證實(shí)等式問(wèn)題，要“先看項(xiàng)”，搞清等式兩邊組成規(guī)律，等式兩邊各有多少項(xiàng)，初始值n0是多少.(2)由n＝k時(shí)等式成立，推出n＝k＋1時(shí)等式成立，一要找出等式兩邊改變(差異)，明確變形目標(biāo)；二要充分利用歸納假設(shè)，進(jìn)行合理變形，正確寫(xiě)出證實(shí)過(guò)程，不利用歸納假設(shè)證實(shí)，就不是數(shù)學(xué)歸納法.15/34【訓(xùn)練1】

求證：(n＋1)(n＋2)·…·(n＋n)＝2n·1·3·5·…·(2n－1)(n∈N*).證實(shí)(1)當(dāng)n＝1時(shí)，等式左邊＝2，右邊＝2，故等式成立；(2)假設(shè)當(dāng)n＝k(k∈N*)時(shí)等式成立，即(k＋1)(k＋2)·…·(k＋k)＝2k·1·3·5·…·(2k－1)，那么當(dāng)n＝k＋1時(shí)，左邊＝(k＋1＋1)(k＋1＋2)·…·(k＋1＋k＋1)＝(k＋2)(k＋3)·…·(k＋k)(2k＋1)(2k＋2)＝2k·1·3·5·…·(2k－1)(2k＋1)·2＝2k＋1·1·3·5·…·(2k－1)(2k＋1)，所以當(dāng)n＝k＋1時(shí)等式也成立.由(1)(2)可知，對(duì)全部n∈N*等式成立.16/34考點(diǎn)二用數(shù)學(xué)歸納法證實(shí)不等式【例2】

(·浙江五校聯(lián)考)等比數(shù)列{an}前n項(xiàng)和為Sn.已知對(duì)任意n∈N*，點(diǎn)(n，Sn)均在函數(shù)y＝bx＋r(b>0，且b≠1，b，r均為常數(shù))圖象上. (1)求r值；17/3418/3419/3420/34規(guī)律方法應(yīng)用數(shù)學(xué)歸納法證實(shí)不等式應(yīng)注意問(wèn)題(1)當(dāng)碰到與正整數(shù)n相關(guān)不等式證實(shí)時(shí)，應(yīng)用其它方法不輕易證，則可考慮應(yīng)用數(shù)學(xué)歸納法.(2)用數(shù)學(xué)歸納法證實(shí)不等式關(guān)鍵是由n＝k成立，推證n＝k＋1時(shí)也成立，證實(shí)時(shí)用上歸納假設(shè)后，可采取分析法、綜正當(dāng)、求差(求商)比較法、放縮法、結(jié)構(gòu)函數(shù)法等證實(shí)方法.21/3422/3423/3424/34考點(diǎn)三歸納——猜測(cè)——證實(shí)25/3426/34規(guī)律方法

(1)利用數(shù)學(xué)歸納法能夠探索與正整數(shù)n相關(guān)未知問(wèn)題、存在性問(wèn)題，其基本模式是“歸納—猜測(cè)—證實(shí)”，即先由合情推剪發(fā)覺(jué)結(jié)論，然后經(jīng)邏輯推理論證結(jié)論正確性.(2)“歸納—猜測(cè)—證實(shí)”基本步驟是“試驗(yàn)—?dú)w納—猜測(cè)—證實(shí)”.高中階段與數(shù)列結(jié)合問(wèn)題是最常見(jiàn)問(wèn)題.27/34【訓(xùn)練3】

設(shè)函數(shù)f(x)＝ln(1＋x)，g(x)＝xf′(x)，x≥0，其中f′(x)是f(x)導(dǎo)函數(shù). (1)令g1(x)＝g(x)，gn＋1(x)＝g(gn(x))，n∈N*，求gn(x)表示式； (2)若f