-2025學(xué)年九年級(jí)數(shù)學(xué)第二學(xué)期期末綜合素質(zhì)評(píng)價(jià)一、選擇題(每題3分，共30分)1如圖，把太陽(yáng)與地平線分別抽象成圓和直線，則該圖所呈現(xiàn)的直線與圓的位置關(guān)系是()A．相切B．相交C．相離D．不確定2三個(gè)大小一樣的正方體按如圖擺放，它的俯視圖是()3如圖，⊙O的直徑AB與弦AC的夾角為25°，過(guò)點(diǎn)C的切線PC與AB的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)P，則∠P的度數(shù)為()A．25°B．30°C．35°D．40°4下列圖形中是棱錐的側(cè)面展開(kāi)圖的是()5在Rt△ABC中，∠C＝90°，若cosB＝eq\f(4,5)，則tanA的值為()A.eq\f(4,3)B.eq\f(3,5)C.eq\f(3,4)D.eq\f(5,4)6如圖，在由邊長(zhǎng)為1的小正方形組成的網(wǎng)格中，點(diǎn)A，B，C，E在格點(diǎn)上，連結(jié)AE，BC，點(diǎn)D在BC上且滿足AD⊥BC，則∠AED的正切值是()A.eq\f(1,2)B．7C.eq\f(\r(5),2)D.eq\f(\r(5),5)7一個(gè)幾何體由若干個(gè)大小相同的小正方體組成，它的俯視圖和左視圖如圖所示，那么組成該幾何體所需小正方體的個(gè)數(shù)最少為()A．4B．5C．6D．78如圖是兩個(gè)同心圓，大圓半徑為5cm，小圓半徑為4cm，若大圓的弦AB與小圓有兩個(gè)公共點(diǎn)，則AB的取值范圍是()A．4＜AB＜5B．6＜AB＜10C．6≤AB＜10D．6＜AB≤109如圖，一款可調(diào)節(jié)的筆記本電腦支架放置在水平桌面上，調(diào)節(jié)桿BC＝eq\r(2)a，AB＝b，AB的最大仰角為α.當(dāng)∠C＝45°時(shí)，則點(diǎn)A到桌面的最大高度是()A.eq\f(a＋b,cosα)B.eq\f(b,sinα)C．a(chǎn)＋bcosαD．a(chǎn)＋bsinα10如圖，⊙O是正方形ABCD的內(nèi)切圓，點(diǎn)E，F(xiàn)，G，H分別在正方形ABCD的四條邊上，EF和GH分別為⊙O的切線．設(shè)△BEF和△DGH的周長(zhǎng)分別為a和b，則下列說(shuō)法正確的是()A．a(chǎn)<b B．a(chǎn)>bC．a(chǎn)＝b D．無(wú)法比較a與b的大小二、填空題(每題4分，共24分)11小明和小紅在陽(yáng)光下行走，小明身高1.75m，他的影長(zhǎng)為2.0m，小紅比小明矮7cm，此刻小紅的影長(zhǎng)是________m.12一輪船以16海里/時(shí)的速度從港口A出發(fā)向東北方向航行，另一輪船以12海里/時(shí)的速度同時(shí)從港口A出發(fā)向東南方向航行，離開(kāi)港口1.5小時(shí)后，兩船相距________．13如圖，某數(shù)學(xué)興趣小組用一張半徑為30cm的扇形紙板做成一個(gè)圓錐形帽子(接縫忽略不計(jì))，如果做成的圓錐形帽子的底面半徑為8cm，那么這張扇形紙板的面積為_(kāi)_______cm2.(結(jié)果保留π)14如圖，點(diǎn)O，I分別是銳角三角形ABC的外心、內(nèi)心，若∠BAC＝8∠OAC＝48°，則∠BCI的度數(shù)為_(kāi)_______．15如圖，直線a⊥b，垂足為H，點(diǎn)P在直線b上，PH＝4cm，O為直線b上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)．若以1cm為半徑的⊙O與直線a相切，則OP的長(zhǎng)為_(kāi)_______．16某區(qū)域平面示意圖如圖所示，點(diǎn)O在河的一側(cè)，AC和BC表示兩條互相垂直的公路．甲勘測(cè)員在B處測(cè)得點(diǎn)O位于北偏東41.32°，乙勘測(cè)員在A處測(cè)得點(diǎn)O位于南偏西60°，測(cè)得AC＝300m，BC＝400m，則點(diǎn)O到AC的距離約為_(kāi)_______m．(結(jié)果保留整數(shù)，參考數(shù)據(jù)：sin41.32°≈0.66，cos41.32°≈0.75，tan41.32°≈0.88，eq\r(3)≈1.73)三、解答題(17～19題每題6分，20，21題每題8分，22，23題每題10分，24題12分，共66分)17求下列各式的值：(1)2sin30°＋3cos60°－4tan45°；(2)tan60°－(4－π)0＋2cos30°＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,4)))eq\s\up12(－1).18星期六上午兄妹二人在中心廣場(chǎng)上玩耍時(shí)，妹妹突然微笑著對(duì)哥哥說(shuō)：“咦，哥，我踩到你的‘腦袋’了．”哥哥說(shuō)：“是因?yàn)槲覀兊挠白釉谕恢本€上．”如圖．請(qǐng)你根據(jù)他們的對(duì)話，完成下列問(wèn)題．(1)畫(huà)出此時(shí)妹妹在陽(yáng)光下的影子；(2)若哥哥的身高為1.8m，哥哥和妹妹之間的距離為3.6m，而妹妹的影子長(zhǎng)為3.2m，求妹妹的身高．19某幾何體的三視圖如圖所示，其中主視圖中半圓的半徑為2.請(qǐng)求出該幾何體的體積和表面積．如圖，堤壩AB長(zhǎng)為10m，坡度i為1∶0.75，底端A在地面上，堤壩與對(duì)面的山之間有一深溝，山頂D處立有高20m的鐵塔CD.小明欲測(cè)量山高DE，他在A處看到鐵塔頂端C剛好在視線AB上，又在壩頂B處測(cè)得塔底D的仰角α為26°35′.求堤壩高及山高DE.(sin26°35′≈0.45，cos26°35′≈0.89，tan26°35′≈0.50，小明身高忽略不計(jì)，結(jié)果精確到1m)21如圖，⊙O是△ABC的內(nèi)切圓，與AB，BC，CA分別相切于點(diǎn)D，E，F(xiàn)，∠DEF＝45°.連結(jié)BO并延長(zhǎng)交AC于點(diǎn)G，AB＝4，AG＝2.(1)求∠A的度數(shù)；(2)求⊙O的半徑．如圖，在菱形ABCD中，對(duì)角線AC，BD相交于點(diǎn)E，⊙O經(jīng)過(guò)A，D兩點(diǎn)，交對(duì)角線AC于點(diǎn)F，連結(jié)OF交AD于點(diǎn)G，且AG＝GD.(1)求證：AB是⊙O的切線；(2)已知⊙O的半徑與菱形的邊長(zhǎng)之比為5∶8，求tan∠ADB的值．在學(xué)習(xí)《解直角三角形》一章時(shí)，小明同學(xué)對(duì)一個(gè)角的倍角的三角函數(shù)值與該角的三角函數(shù)值是否具有關(guān)系產(chǎn)生了濃厚的興趣，并進(jìn)行了一些研究．(1)初步嘗試：我們知道：tan60°＝________，tan30°＝________，發(fā)現(xiàn)結(jié)論：tanA________2taneq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)∠A))(填“＝”或“≠”)．(2)實(shí)踐探究：在解決“在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝2，BC＝1，求taneq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)∠A))的值”這一問(wèn)題時(shí)，小明想構(gòu)造包含eq\f(1,2)∠A的直角三角形，如圖①，延長(zhǎng)CA至點(diǎn)D，使得DA＝AB，連結(jié)BD，可得∠D＝eq\f(1,2)∠BAC，問(wèn)題即轉(zhuǎn)化為求∠D的正切值．請(qǐng)按小明的思路求taneq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)∠A))的值．(3)拓展延伸：如圖②，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，tanA＝eq\f(1,3).求出tan2∠A的值．我們可以通過(guò)中心投影的方法建立圓上的點(diǎn)與直線上點(diǎn)的對(duì)應(yīng)關(guān)系，用直線上點(diǎn)的位置刻畫(huà)圓上點(diǎn)的位置，如圖，AB是⊙O的直徑，直線l是⊙O的切線，B為切點(diǎn)．P，Q是圓上兩點(diǎn)(不與點(diǎn)A重合，且在直徑AB的同側(cè))，分別作射線AP，AQ交直線l于點(diǎn)C，D.(1)如圖①，當(dāng)AB＝6，eq\o(BP,\s\up8(︵))的長(zhǎng)為π時(shí)，求BC的長(zhǎng)；(2)如圖②，當(dāng)eq\f(AQ,AB)＝eq\f(3,4)，eq\o(BP,\s\up8(︵))＝eq\o(PQ,\s\up8(︵))時(shí)，求eq\f(BC,CD)的值；(3)如圖③，當(dāng)sin∠BAQ＝，BC＝CD時(shí)，連結(jié)BP，PQ，直接寫(xiě)出eq\f(PQ,BP)的值．

答案一、1.C2.C3.D4.D5.A6.A7.B8.D9．D【點(diǎn)撥】如圖，過(guò)點(diǎn)A作AF⊥BE于點(diǎn)F，過(guò)點(diǎn)B作BG⊥CD于點(diǎn)G，在Rt△ABF中，AF＝AB·sinα＝bsinα，在Rt△BCG中，BG＝BC·sin45°＝eq\r(2)a×eq\f(\r(2),2)＝a，∴點(diǎn)A到桌面的最大高度為BG＋AF＝a＋bsinα.10．C【點(diǎn)撥】如圖，易知BQ＝eq\f(1,2)AB，BT＝eq\f(1,2)BC，PD＝eq\f(1,2)AD，DY＝eq\f(1,2)DC.∵四邊形ABCD是正方形，∴AB＝BC＝AD＝DC，∴BQ＝BT＝DP＝DY.由切線長(zhǎng)定理得QE＝EW，WF＝FT，PH＝HS，SG＝GY，∴△BEF的周長(zhǎng)是BE＋BF＋EW＋WF＝BE＋BF＋QE＋FT＝BQ＋BT＝BC，△DGH的周長(zhǎng)是DH＋DG＋HS＋GS＝DH＋DG＋HP＋GY＝DP＋DY＝DC＝BC.∵△BEF和△DGH的周長(zhǎng)分別為a和b，∴a＝b.二、11.1.9212.30海里13.240π14．24°【點(diǎn)撥】連結(jié)OC.∵8∠OAC＝48°，∴∠OAC＝6°.∵點(diǎn)O為△ABC的外心，∴OA＝OC.∴∠OCA＝∠OAC＝6°.∴∠AOC＝180°－6°－6°＝168°.∴∠ABC＝eq\f(1,2)∠AOC＝84°.∵∠ACB＋∠BAC＋∠ABC＝180°，∴∠ACB＝180°－48°－84°＝48°.∵點(diǎn)I為△ABC的內(nèi)心，∴CI平分∠ACB.∴∠BCI＝eq\f(1,2)∠ACB＝24°.15．3cm或5cm【點(diǎn)撥】由題意知⊙O與直線a相切時(shí)，切點(diǎn)為H，∵⊙O的半徑為1cm，∴OH＝1cm.當(dāng)點(diǎn)O在點(diǎn)H的左側(cè)，⊙O與直線a相切時(shí)，如圖①，OP＝PH－OH＝4－1＝3(cm)；當(dāng)點(diǎn)O在點(diǎn)H的右側(cè)，⊙O與直線a相切時(shí)，如圖②，OP＝PH＋OH＝4＋1＝5(cm)．綜上OP的長(zhǎng)為3cm或5cm.16．276【點(diǎn)撥】如圖，過(guò)點(diǎn)O作ON⊥BC于N，OM⊥AC于M，則易知四邊形ONCM為矩形，∴ON＝MC，OM＝NC.設(shè)OM＝NC＝xm，則BN＝(400－x)m，在Rt△BNO中，∠BON＝41.32°，∴MC＝ON＝eq\f(BN,tan41.32°)≈eq\f(400－x,0.88)m，在Rt△AOM中，∠OAM＝60°，∴AM＝eq\f(OM,tan60°)＝eq\f(x,\r(3))＝eq\f(\r(3),3)xm.∵AC＝AM＋CM，∴300≈eq\f(\r(3),3)x＋eq\f(400－x,0.88)，解得x≈276，即點(diǎn)O到AC的距離約為276m.三、17.【解】(1)原式＝2×eq\f(1,2)＋3×eq\f(1,2)－4×1＝1＋eq\f(3,2)－4＝－eq\f(3,2).(2)原式＝eq\r(3)－1＋2×eq\f(\r(3),2)＋4＝eq\r(3)－1＋eq\r(3)＋4＝2eq\r(3)＋3.18．【解】(1)如圖，線段AB為此時(shí)妹妹在陽(yáng)光下的影子．(2)如圖．∵DE⊥BE，CA⊥EB，∴∠DEA＝∠CAB＝90°.∵DA∥CB，∴∠DAE＝∠CBA，∴△DAE∽△CBA，∴eq\f(DE,CA)＝eq\f(EA,AB).∵哥哥的身高為1.8m，哥哥和妹妹之間的距離為3.6m，妹妹的影子長(zhǎng)為3.2m，即DE＝1.8m，AE＝3.6m，AB＝3.2m，∴eq\f(1.8,CA)＝eq\f(3.6,3.2)，∴CA＝1.6m，∴妹妹的身高是1.6m.19．【解】由三視圖可知，該幾何體由一個(gè)長(zhǎng)、寬、高分別為8，6，4的長(zhǎng)方體挖去一個(gè)底面直徑為4，高為6的半圓柱得到，則S＝6×4×2＋8×6＋2×6×2＋[8×4×2－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(4,2)))eq\s\up12(2)π]＋4π×eq\f(1,2)×6＝184＋8π，V＝8×6×4－eq\f(1,2)π×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(4,2)))eq\s\up12(2)×6＝192－12π.20．【解】如圖，過(guò)點(diǎn)B作BH⊥AE于點(diǎn)H，作BF⊥CE于點(diǎn)F，∵坡度i為1∶0.75，∴設(shè)BH＝4xm，AH＝3xm.∴AB＝eq\r(AH2＋BH2)＝5xm.∴5x＝10，解得x＝2.∴AH＝6m，BH＝8m.易得EF＝BH＝8m，BF＝EH，設(shè)DF＝am，∴CE＝CD＋DF＋EF＝20＋a＋8＝(28＋a)m.∵α＝26°35′，∴BF＝eq\f(DF,tan26°35′)≈eq\f(a,0.50)＝2a(m)．∴AE≈(6＋2a)m.∵坡度i為1∶0.75，鐵塔頂端C剛好在視線AB上，∴CE∶AE＝1∶0.75≈(28＋a)∶(6＋2a)，解得a≈12.∴DF≈12m.∴DE＝DF＋EF≈12＋8＝20(m)．答：堤壩高為8m，山高DE約為20m.21．【解】(1)連結(jié)OD，OF.∵⊙O是△ABC的內(nèi)切圓，與AB，AC相切于點(diǎn)D，F(xiàn)，∴OD⊥AB，OF⊥AC.∴∠ODA＝90°，∠OFA＝90°.又∵∠DOF＝2∠DEF＝2×45°＝90°，∴四邊形ADOF是矩形．∴∠A＝90°.(2)設(shè)⊙O的半徑為r，由(1)知四邊形ADOF是矩形．又∵OD＝OF，∴四邊形ADOF是正方形．∴OD∥AC，AD＝DO＝r.∴△BOD∽△BGA.∴eq\f(DO,AG)＝eq\f(BD,BA)，即eq\f(r,2)＝eq\f(4－r,4)，解得r＝eq\f(4,3).∴⊙O的半徑是eq\f(4,3).22．(1)【證明】連結(jié)OA，∵AG＝GD，∴易得OF⊥AD.∴∠OGA＝∠FGA＝90°.∵四邊形ABCD是菱形，∴∠GAF＝∠BAF.∴∠GAF＋∠AFG＝∠BAF＋∠AFG＝90°.∵OA＝OF，∴∠OAF＝∠OFA.∴∠OAB＝∠OAF＋∠BAF＝90°.又∵OA為⊙O的半徑，∴AB是⊙O的切線．(2)【解】設(shè)AG＝GD＝4a，∵⊙O的半徑與菱形的邊長(zhǎng)之比為5∶8，∴OA∶AG＝5∶4.∴OA＝5a＝OF.∴OG＝eq\r(OA2－AG2)＝3a.∴FG＝OF－OG＝2a.∵四邊形ABCD是菱形，∴BD⊥AC，即∠DEA＝90°＝∠FGA.∴∠ADB＝∠AFG.∴tan∠ADB＝tan∠AFG＝eq\f(AG,FG)＝eq\f(4a,2a)＝2.23．【解】(1)eq\r(3)；eq\f(\r(3),3)；≠(2)延長(zhǎng)CA至點(diǎn)D，使得DA＝AB，連結(jié)BD.在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝2，BC＝1，∴AB＝eq\r(AC2＋BC2)＝eq\r(22＋12)＝eq\r(5).∵AD＝AB，∴AD＝eq\r(5)，∠D＝∠ABD，∴∠BAC＝2∠D，CD＝AD＋AC＝eq\r(5)＋2，∴taneq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)∠BAC))＝tanD＝eq\f(BC,DC)＝eq\f(1,\r(5)＋2)＝eq\r(5)－2.(3)作AB的垂直平分線交AC于點(diǎn)E，連結(jié)BE，則AE＝BE，∴∠A＝∠ABE，∴∠BEC＝2∠A.∵在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，tanA＝eq\f(1,3)，∴BC＝1.設(shè)AE＝BE＝x，則EC＝3－x.在Rt△EBC中，x2＝(3－x)2＋12，解得x＝eq\f(5,3)，∴EC＝eq\f(4,3)，∴tan2∠A＝tan∠BEC＝eq\f(BC,CE)＝eq\f(3,4).24．【解】(1)連結(jié)OP，設(shè)∠BOP的度數(shù)為n°.∵AB＝6，eq\o(BP,\s\up8(︵))