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菱形的判定華師大版數(shù)學(xué)八年級(jí)下冊(cè)第十九章

矩形，菱形，正方形

新知導(dǎo)入取兩根長(zhǎng)度不等的細(xì)紙條，將兩根紙條的中點(diǎn)重合并固定在一起，用筆和直尺畫(huà)出紙條四個(gè)端點(diǎn)的連線，則這四條線段組成一個(gè)什么圖形，若轉(zhuǎn)動(dòng)其中一根紙條，使兩根紙條之間的夾角等于90°，請(qǐng)猜想這時(shí)圖形的形狀是什么圖形？1．定義：一組鄰邊相等的平行四邊形叫做菱形．菱形的定義作為我們判定菱形的基本方法，接下來(lái)我們從邊上來(lái)研究菱形的判定方法．∵四邊形ABCD是平行四邊形，AB=AD．∴四邊形ABCD是菱形．?dāng)?shù)學(xué)語(yǔ)言四條邊相等的四邊形是菱形．菱形的四條邊相等．逆命題這個(gè)逆命題成立嗎？作一個(gè)四條邊都相等的四邊形．步驟：1．畫(huà)兩條相等的線段AB、CD；2．分別以點(diǎn)B和點(diǎn)D為圓心，AB長(zhǎng)為半徑畫(huà)弧，兩弧相交于點(diǎn)C；3．連結(jié)BC、CD，即得一個(gè)四條邊都相等的四邊形ABCD．這個(gè)四邊形是菱形嗎？命題：四條邊相等的四邊形是菱形．已知：在四邊形ABCD中，

AB=BC=CD=DA．求證：四邊形ABCD是菱形．證明：∵AB=CD，AD=BC，∴四邊形ABCD是平行四邊形．又∵AB=AD，∴四邊形ABCD是菱形．定理：四條邊相等的四邊形是菱形．菱形判定定理1有三條邊相等的四邊形是菱形嗎？請(qǐng)同學(xué)動(dòng)手畫(huà)一畫(huà)，你發(fā)現(xiàn)什么結(jié)論？結(jié)論：有三條邊相等的四邊形不是菱形．?dāng)?shù)學(xué)語(yǔ)言：在四邊形ABCD中，∵AB=BC=CD=DA，∴四邊形ABCD是菱形．菱形的判定1：四條邊都相等的四邊形是菱形．例4如圖，在矩形ABCD中，點(diǎn)E、F、G、H分別是四條邊的中點(diǎn)，試問(wèn)四邊形EFGH是什么圖形？并說(shuō)明理由．解：∵H點(diǎn)為AD的中點(diǎn)，∴AH=HD，∵E點(diǎn)為AB的中點(diǎn)，AE=AB，G點(diǎn)為DC的中點(diǎn)，DG=CD，又∵AB=DC，∴AE=DG．∵∠HAE=∠HDG，∴△EAH≌△GDH，∴HE=HG，同理EF=FG=HG=HE，∴四邊形EFGH是菱形．若四邊形ABCD的對(duì)角線AC⊥BD，則四邊形ABCD是不是菱形？結(jié)論：對(duì)角線互相垂直的四邊形不能判定為菱形．對(duì)角線互相垂直的平形四邊形是菱形嗎？作一個(gè)兩條對(duì)角線互相垂直的平行四邊形．步驟：1．作兩條互相垂直的直線m，n，記交點(diǎn)為點(diǎn)O；2．以點(diǎn)O為圓心，適當(dāng)長(zhǎng)為半徑畫(huà)弧，在直線m上截取相等的兩條線段OA、OC；3．以點(diǎn)O為圓心，另一適當(dāng)長(zhǎng)為半徑畫(huà)弧，在直線n上截取相等的兩條線段OB、OD；4．順次連結(jié)所行的四點(diǎn)，即得一個(gè)對(duì)角線互相垂直且平分的四邊形ABCD，顯然，它是一個(gè)對(duì)角線互相垂直的平行四邊形．這個(gè)平行四邊形是菱形嗎？命題：對(duì)角線互相垂直的平行四邊形是菱形．已知：在平行四邊形ABCD中，AC⊥BD．求證：平行四邊形ABCD是菱形．證明：∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴OA=OC．又∵AC⊥BD，∴BA=BC，

∴平行四邊形ABCD是菱形．（有一組鄰邊相等的平行四邊形是菱形）定理：對(duì)角線互相垂直的平行四邊形是菱形．?dāng)?shù)學(xué)語(yǔ)言：∵在□ABCD中，AC⊥BD，∴□ABCD是菱形．菱形的判定2：對(duì)角線互相垂直的平行四邊形是菱形．平行四邊形ABCDAC⊥BD菱形ABCD取兩根長(zhǎng)度不等的細(xì)紙條，將兩根紙條的中點(diǎn)重合并固定在一起，用筆和直尺畫(huà)出紙條四個(gè)端點(diǎn)的連線，則這四條線段組成一個(gè)什么圖形，若轉(zhuǎn)動(dòng)其中一根紙條，使兩根紙條之間的夾角等于90°，請(qǐng)猜想這時(shí)圖形的形狀是什么圖形？這四條線段組成平行四邊形，理由：對(duì)角線互相平分的四邊形是平行四邊形．當(dāng)兩根紙條之間的夾角等于90°時(shí)，這時(shí)圖形是菱形，理由：對(duì)角線互相垂直的平行四邊形是菱形．例5如圖，已知矩形ABCD的對(duì)角線AC的垂直平分線與邊AD、BC分別交于E、F．

求證：四邊形AFCE是菱形．分析：要證四邊形AFCE是菱形，由已知條件可知EF⊥AC，所以只需證明四邊形AFCE是平行四邊形，又知EF垂直平分AC，所以只需證明OE=OF．證明：∵四邊形ABCD是矩形，∴AE∥FC，∴∠1=∠2，∵EF平分AC，∴OA=OC．又∵∠AOE=∠COF=90°，∴△AOE≌△COF．∴四邊形AFCE是菱形（對(duì)角線互相垂直的平行四邊形是菱形）．課堂練習(xí)1．如圖所示，四邊形ABCD是矩形，AE∥BD，DE∥AC，則四邊形AODE是()A．平行四邊形但不是菱形B．矩形C．菱形D．無(wú)法確定C2．如圖，剪兩張對(duì)邊平行且寬度相同的紙條隨意交叉疊放在一起，轉(zhuǎn)動(dòng)其中一張，重合部分構(gòu)成一個(gè)四邊形，則下列結(jié)論中不一定成立的是()A．∠ABC＝∠ADC，∠BAD＝∠BCDB．AB＝BCC．AB＝CD，AD＝BCD．∠DAB＋∠BCD＝180°D3．如圖所示，AE是?ABCD的∠DAB的平分線，且交BC于點(diǎn)E，EF∥AB交AD于點(diǎn)F，則四邊形ABEF一定是_______．菱形4．如圖所示，在矩形ABCD中，E，F(xiàn)，G，H分別是邊AB，CD，BC，DA的中點(diǎn)，則四邊形EGFH是______形．菱5.如圖，在?ABCD中，E，F(xiàn)分別是AD，BC上的點(diǎn)，且DE＝BF，AC⊥EF.求證：四邊形AECF是菱形．證明：∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴AD＝BC，AD∥BC，∵DE＝BF，∴AE＝CF，∵AE∥CF，∴四邊形AECF是平行四邊形，∵AC⊥EF，∴平行四邊形AECF是菱形6．如圖，在平行四邊形ABCD中，邊AB的垂直平分線交AD于點(diǎn)E，交CB的延長(zhǎng)線于點(diǎn)F，連結(jié)AF，BE.(1)求證：△AGE≌△BGF；(2)試判斷四邊形AFBE的形狀，并說(shuō)明理由．解：(1)證明：∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴AD∥BC，∴∠AEG＝∠BFG，∵EF垂直平分AB，∴AG＝BG，∠AGE＝∠BGF，∴△AGE≌△BGF(AAS)(2)四邊形AFBE是菱形，理由如下：∵△AGE≌△BGF，∴AE＝BF，∵AD∥BC，∴四邊形AFBE是平行四邊形，又∵EF⊥AB，∴四邊形AFBE是菱形課堂總結(jié)有一組鄰邊相等的平行四邊形叫做菱形．對(duì)角線互相垂直的平行四