數(shù)學(xué)中考學(xué)問點系統(tǒng)總結(jié)

專題一數(shù)與式

考點、實數(shù)的概念與分類

1、實數(shù)的分類

有理數(shù)：整數(shù)（包括：正整數(shù)、、負整數(shù)）和分數(shù)（包括：有限小數(shù)和無限環(huán)循

21

小數(shù)）都是有理數(shù).如：一，藥，，…，西，

無理數(shù)：無限不環(huán)循小數(shù)叫做無理數(shù)如：兀，一氏…（兩個之間依次多個）.

實數(shù)；有理數(shù)和無理數(shù)

-正整數(shù)

統(tǒng)府；「有理數(shù)［整數(shù)（有限或無限循環(huán)性數(shù)）［負整數(shù)為實數(shù).

I分數(shù)f正分數(shù)

實數(shù)《工負分數(shù)

一無理數(shù)（無限不循環(huán)小數(shù)）［建蠹

苜理數(shù)

「正數(shù)Y

?l無理數(shù)

「有理數(shù)

L負數(shù)y

l無理數(shù)

、無理數(shù)

在理解無理數(shù)時，要抓住“無限不循環(huán)”這一時之，它包含兩層意思:

是無限小數(shù)；二是不循環(huán).二者缺一不行.歸納起來有四類：

0開方開不盡的數(shù)，如右,啦等；

0有特定意義的數(shù)，如圓周率兀，或化簡后含有兀的數(shù)，如：等；

0有特定結(jié)構(gòu)的數(shù)，如…等；

0某些三角函數(shù)，如等

留意：推斷一個實數(shù)的屬性（如有理數(shù)、無理數(shù)），應(yīng)遵循：一化簡，二辨

析，三推斷.要留意：“神似”或"形似"都不能作為推斷的標準.

、非負數(shù)：正實數(shù)與零的統(tǒng)稱。（表為：＞）

常見的非負數(shù)，有：

（為一切實數(shù)）

＜II

-yfa（＞）

性質(zhì)：若干個非負數(shù)的和為，則每個非負擔數(shù)均為。

、數(shù)軸：規(guī)定了原點、正方向和單位長度的直線叫做數(shù)軸（畫數(shù)軸時,

要留意上述規(guī)定的三要素缺一不行）0

解題時要真正駕馭數(shù)形結(jié)合的思想，理解實數(shù)與數(shù)軸的點是一一對應(yīng)

的，并能敏捷運用。

①畫一條水平直線，在直線上取一點表示（原點），選取某一長度作

為單位長度，規(guī)定直線上向右的方向為正方向，就得到數(shù)軸（“三要

素”）

②任何一個有理數(shù)都可以用數(shù)軸上的一個點來表示。

③假如兩個數(shù)只有符號不同，那么我們稱其中一個數(shù)為另外一個數(shù)

的相反數(shù)，也稱這兩個數(shù)互為相反數(shù)。

作用：.直觀地比較實數(shù)的大小.明確體現(xiàn)確定值意義.建立點與實數(shù)的

一對應(yīng)關(guān)系。

、相反數(shù)

實數(shù)與它的相反數(shù)時一對數(shù)（只有符號不同的兩個數(shù)叫做互為相反數(shù)，零

的相反數(shù)是零），從數(shù)軸上看，互為相反數(shù)的兩個數(shù)所對應(yīng)的點關(guān)于原點

對稱，假如與互為相反數(shù)，則有，一，反之亦成立。即：（）實數(shù)。的相反數(shù)

是-〃.（）〃和Z?互為相反數(shù)oa+Z?=0.

、確定值

一個數(shù)的確定值就是表示這個數(shù)的點與原點的距離，＞o零的確定值時它

本身，也可看成它的相反數(shù)，若，則）；若，則正數(shù)大于零，負數(shù)小

于零，正數(shù)大于一切負數(shù)，兩個負數(shù)，確定值大的反而小。

（）一個正實數(shù)的確定值是它本身；一個負實數(shù)的確定值是它的相反數(shù)；的

確定值是.

即：

〔另有兩種寫法〕

（）實數(shù)的確定值是一個非負數(shù)，從數(shù)軸上看，一個實數(shù)的確定值就是數(shù)軸

上表示這個數(shù)的點到原點的距離.

☆（）幾個非負數(shù)的和等于零則每個非負數(shù)都等于零，例如：若

\[a+回+/=0,貝Ua=0,b=0,c=0.

留意：II4符號“II”是“非負數(shù)”的標記;數(shù)的確定值只有一個;處

理任何類型的題目，只要其中有“||”出現(xiàn)，其關(guān)鍵一步是去掉|”

符號。

、倒數(shù)

假如與互為倒數(shù)，則有，反之亦成立。倒數(shù)等于本身的數(shù)是和。零沒有倒

數(shù)。

即()實數(shù)。(〃,)的倒數(shù)是

a

()。和〃互為倒數(shù)oH=l。

()留意沒有倒數(shù).

、有效數(shù)字

一個近似數(shù)四舍五入到哪一位，就說它精確到哪一位，這時，從左邊

第一個不是零的數(shù)字起到右邊精確的數(shù)位止的全部數(shù)字，都叫做這個數(shù)的

有效數(shù)字。

、科學(xué)記數(shù)法

把一個數(shù)寫做±〃xlO〃的形式，其中是整數(shù)，這種記數(shù)法叫

做科學(xué)記數(shù)法。

0確定。是只有一位整數(shù)數(shù)位的數(shù).

0確定：當原數(shù)》時，〃等于原數(shù)的整數(shù)位數(shù)減；；當原數(shù)〈時，〃是負

整數(shù)，它的確定值等于原數(shù)中左起第一個非零數(shù)字前零的個數(shù)(含整數(shù)位

上的零)。

例如：一=一X,=X".

0.近似值的精確度：一般地，一個近似數(shù)，四舍五入到哪一位，就說這

個近似數(shù)精確到哪一位

0按精確度或有效數(shù)字取近似值，確定要與科學(xué)計數(shù)法有機結(jié)合起來.

、實數(shù)大小的比較

學(xué)問、數(shù)軸

規(guī)定了原點、正方向和單位長度的直線叫做數(shù)軸(畫數(shù)軸時，要留意

上述規(guī)定的三要素缺一不行)。

解題時要真正駕馭數(shù)形結(jié)合的思想，理解實數(shù)與數(shù)軸的點是一一對應(yīng)

的，并能敏捷運用。

學(xué)問、實數(shù)大小比較的幾種常用方法

0數(shù)軸比較：在數(shù)軸上表示的兩個數(shù)，右邊的數(shù)總比左邊的數(shù)大。

0求差比較：設(shè)、是實數(shù)，

4-/?>()=〃>人，

a-b=Ooa=b,

〃一/?<()<=>a

()求商比較法：設(shè)、是兩正實數(shù)，

a,a,a,

—>!<=>?>b\—=1。〃=b\—<!<=>?</?;

bbb

0確定值比較法：設(shè)、是兩負實數(shù)，則時>例。?！慈?/p>

0平方法：設(shè)、是兩負實數(shù)，則。

、實數(shù)的運算(做題的基礎(chǔ)，分值相當大)

、加法交換律a+b=b+a

、加法結(jié)合律(a+〃)+c=a+(Z?+c)

、乘法交換律ab—ba

、乘法結(jié)合律(ab)c=a(bc)

、乘法對加法的安排律a(b+c)=ah^ac

、實數(shù)的運算依次

1.先算乘方開方，再算乘除，最終算加減，假如有括號，就先算括

號里面的。

2.(同級運算)從“左”到"右"(如:gx)；(有括號時)由“小”

到“中”到“大”。

、有理數(shù)的運算：

加法：①同號相加，取相同的符號，把確定值相加。②異號相加，確定值

相等時和為；確定值不等時，取確定值較大的數(shù)的符號，并用較大的

確定值減去較小的確定值。③一個數(shù)與相加不變。

減法：減去一個數(shù)，等于加上這個數(shù)的相反數(shù)。

乘法：①兩數(shù)相乘，同號得正，異號得負，確定值相乘。②任何數(shù)與相乘

得。③乘積為的兩個有理數(shù)互為倒數(shù)。

除法：①除以一個數(shù)等于乘以一個數(shù)的倒數(shù)。②不能作除數(shù)。

乘方：求個相同因數(shù)的積的運算叫做乘方，乘方的結(jié)果叫塞，叫底數(shù)，叫

次數(shù)。

考點、實數(shù)與二次根式

、平方根

假如一個數(shù)的平方等于，那么這個數(shù)就叫做的平方根(或二次方跟)。

一個正數(shù)有兩個平方根，他們互為相反數(shù)；零的平方根是零；負數(shù)沒

有平方根。

正數(shù)的平方根記做“土，？'。

、算術(shù)平方根

正數(shù)的正的平方根叫做的算術(shù)平方根，記作3、

正數(shù)和零的算術(shù)平方根都只有一個，零的算術(shù)平方根是零。

「〃N)廣4a>0

47=\a\=^；留意右的雙重三良為性：

a(a<)a>

留意：算術(shù)平方根與確定值

①聯(lián)系：都是非負數(shù)，質(zhì)II

②區(qū)分：II中，為一切實數(shù);右中，為非負數(shù)。

、算術(shù)平方根的估算方法：兩端靠近法.

例如：估算#.（精確到.）

*/22<6<32.*.2<^<3.

又,?,2.42=5.76,2.52=6.25

又.??更靠近.，

>/6=2.4

、立方根

假如一個數(shù)的立方等于，那么這個數(shù)就叫做的立方根（或的三次方

根）。

一個正數(shù)有一個正的立方根；一個負數(shù)有一個負的立方根；零的立方

根是零。

留意：心=一溫,這說明三次根號內(nèi)的負號可以移到根號外面。

二次根式

、二次根式

式子右（〃20）叫做二次根式，二次根式必需滿意：含有二次根號

被開方數(shù)必需是非負數(shù)。

、最簡二次根式

若二次根式滿意：被開方數(shù)的因數(shù)是整數(shù)，因式是整式；被開方數(shù)中

不含能開得盡方的因數(shù)或因式，這樣的二次根式叫做最簡二次根式。

化二次根式為最簡二次根式的方法和步驟:

0假如被開方數(shù)是分數(shù)(包括小數(shù))或分式，先利用商的算數(shù)平方

根的性質(zhì)把它寫成分式的形式，然后利用分母有理化進行化簡。

0假如被開方數(shù)是整數(shù)或整式，先將他們分解因數(shù)或因式，然后把

能開得盡方的因數(shù)或因式開出來。

、同類二次根式

幾個二次根式化成最簡二次根式以后，假如被開方數(shù)相同，這幾個二

次根式叫做同類二次根式。

、二次根式的性質(zhì)

()(y/a)2=a(a>0)

廠a(a>0)

()c=時二y

J-a(a<0)

()4ab=>[a?4b(a>0,/?>0)

0注：

、根式運算法則：

⑴加法法則(合并同類二次根式)；

⑵乘、除法法則；

⑶分母有理化：擊..

?指數(shù)

⑴彳巴(?！币粠?，乘方運算)

①＞時，②V時，“〃＞（是偶數(shù)），/V（是奇數(shù)）

⑵零指數(shù)：?！悖ūR）

負整指數(shù)：。一「V（#是正整數(shù)）

、二次根式混合運算

二次根式的混合運算與實數(shù)中的運算依次一樣，先乘方，再乘除，最

終加減，有括號的先算括號里的（或先去括號）。

考點、代數(shù)式與整式

、代數(shù)式

用運算符號把數(shù)或表示數(shù)的字母連接而成的式子叫做代數(shù)式。單獨的

一個數(shù)或一個字母也是代數(shù)式。

表示方根的代數(shù)式叫做根式C

含有關(guān)于字母開方運算的代數(shù)式叫做無理式。

‘系數(shù)

單項式＜

次數(shù)

整式?'項

有理式?

代數(shù)式?多項式《次數(shù)

排列

■

分式

、無理式

留意：①從外形上推斷;②區(qū)分：6、S是根式，但不是無理式（是

無理數(shù)）。

、單項式

只含有數(shù)字與字母的積的代數(shù)式叫做單項式。

留意：單項式是由系數(shù)、字母、字母的指數(shù)構(gòu)成的，其中系數(shù)不能用

帶分數(shù)表示，如，這種表示就是錯誤的，應(yīng)寫成。一個單項式中，全部字

母的指數(shù)的和叫做這個單項式的次數(shù)。如-5〃3/C是次單項式。

留意：系數(shù)與指數(shù)：區(qū)分與聯(lián)系：①從位置上看;②從表示的意義上看

其含義有：

①不含有加、減運算符號.

②字母不出現(xiàn)在分母里.

③單獨的一個數(shù)或者字母也是單項式.

④不含“符號”.

多項式

、多項式

幾個單項式的和叫做多項式。其中每個單項式叫做這個多項式的項。

多項式中不含字母的項叫做常數(shù)項。多項式中次數(shù)最高的項的次數(shù)，叫做

這個多項式的次數(shù)。

單項式和多項式統(tǒng)稱整式。

用數(shù)值代替代數(shù)式中的字母，依據(jù)代數(shù)式指明的運算，計算出結(jié)果，

叫做代數(shù)式的值。

留意：（）求代數(shù)式的值，一般是先將代數(shù)式化簡，然后再將字母的取

值代入。

0求代數(shù)式的值，有時求不出其字母的值，須要利用技巧，“整

體”代入。

、同類項

全部字母相同，并且相同字母的指數(shù)也分別相同的項叫做同類項。幾

個常數(shù)項也是同類項。

條件：①字母相同;②相同字母的指數(shù)相同

合并依據(jù)：乘法安排律

、去括號法則

0括號前是“二把括號和它前面的號一起去掉，括號里各項都

不變號。

0括號前是把括號和它前面的號一起去掉，括號里各

項都變號。

、整式的運算法則

整式的加減法：()去括號；()合并同類項。

整式的乘法：(孫〃都是正整數(shù))

=。皿(小,〃都是正整數(shù))

(")"二〃》"5都是正整數(shù))

(a-b)(a-b)=a2-b2

(a-b)2=a2+lab+b2

(a-h)2=a2-lab+b2

整式的除法：/+/=亡〃。幾〃都是正整數(shù),"0)

留意：()單項式乘單項式的結(jié)果仍舊是單項式。

0單項式與多項式相乘，結(jié)果是一個多項式，其項數(shù)與因式中

多項式的項數(shù)相同。

0計算時要留意符號問題，多項式的每一項都包括它前面的符

號，同時還要留意單項式的符號。

0多項式與多項式相乘的綻開式中,有同類項的要合并同類項。

0公式中的字母可以表示數(shù)，也可以表示單項式或多項式。

()?！?Uaw0);。一"=，(〃w0,〃為正整麴

0多項式除以單項式，先把這個多項式的每一項除以這個單項

式，再把所得的商相加，單項式除以多項式是不能這么計算的。

考點、整式的乘除同上

考點、因式分解

、因式分解

把一個多項式化成幾個整式的積的形式，叫做把這個多項式因式分解,

也叫做把這個多項式分解因式。

、因式分解的常用方法

0提公因式法：ab+ac=a(b+c)

0運用公式法:①2=(〃+〃)(〃一份

=

擴展-r=~\---=T-j=~二)I----1V^+

：Jn+yjn—\yjn+J〃-I卜"+-1)

②a2+2ab+b2=(a+b)2a2-2ab+b2=(a-b)2

擴展：=''+J±2或孑2

同理：(]、2]或，

=x±干

\x±-=x2+-7±2x2^-V|-|2

Ix)x-

③(+)(—+)=+.④(r(++)=—；+=(+);(-)=(+)--

公式拓展：⑥

(x+y+z)3=x3+y3+z3+3x2y+3xy2+3y2z+3yz2+3x2z+3xz2+6xyz

3y322

?x+y4-z-3xyz=(x+y+z)(f+y+z-xy-yz-xz)

?x4+x2y2+y4=(x2+盯+y2)(x2-xy+y2)

⑨]+2+3+…+d)+3”〃J)

⑩1+3+5+…+(2〃-3)+(2〃-1)=〃2

(11)2+4+6H---F(2〃—2)+2n=〃(〃+1)

()分組分解法：ac+ad+be+bd=a(c+d)+b(c+cl)=(a+b)(c+d)

0十字相乘法：a'+(〃+「)〃+網(wǎng)=3+p)(a+4)

、因式分解的一般步驟：

0假如多項式的各項有公因式，那么先提取公因式。

0在各項提出公因式以后或各項沒有公因式的狀況下，視察多項式

的項數(shù)：項式可以嘗試運用公式法分解因式；項式可以嘗試運用公式法、

十字相乘法分解因式；項式與項式以上的可以嘗試分組分解法分解因式

0分解因式必需分解到每一個因式都不能再分解為止。

考點、分式

、分式的概念

一般地，用、表示兩個整式，:就可以表示成4的形式，假如中含有

D

字母，式子4就叫做分式。其中，叫做分式的分子，叫做分式的分母。分

D

式和整式通稱為有理式。

、分式的性質(zhì)

0分式的基本性質(zhì)：

分式的分子和分母都乘以(或除以)同一個不等于零的整式，分式的

值不變。

基本性質(zhì)：--(W)

aam

0分式的變號法則：

分式的分子、分母與分式本身的符號，變更其中任何兩個，分式的值

不變。

符號法則：

、分式的運算法則

acacacadad

—x—=—;—：—=—x-=—;

bdbdbdbcbe

技巧：

、繁分式：①定義：分子或分母中又含有分式的分式，叫做繁分式.②化

簡方法（兩種）通常把繁分式寫成分子除以分母的形式，再利用分式的除

法法則進行化簡.

專題二方程與不等式

方程的分類

［一元一次方程

有八理E方.程二口V整式方程一元二次方程

方程廣I*高次方程

分式方程

*無理方程

考點一元一次方程與可以化為一元一次方程的分式方程

一元一次方程的概念

、方程

含有未知數(shù)的等式叫做方程。

、方程的解

能使方程兩邊相等的未知數(shù)的值叫做方程的解。

、等式的性質(zhì)

0等式的兩邊都加上（或減去）同一個數(shù)或同一個整式，所得結(jié)果

仍是等式。

0等式的兩邊都乘以（或除以）同一個數(shù)（除數(shù)不能是零），所得結(jié)

果仍是等式。

4--?（金）

、一元一次方程

只含有一個未知數(shù)，并且未知數(shù)的最高次數(shù)是的整式方程叫做一元一

次方程，其中方程ar+b=o（x為未知數(shù)，a=0）叫做一元一次方程的標準形

式，是未知數(shù)的系數(shù)，是常數(shù)項。

留意：解法

一元一次方程的解法：去分母一去括號一移項-合并同類項一

系數(shù)化成一解。驗根

說明：對于以x為未知數(shù)的最簡方程,若沒有給出字母和的取值范圍,

其解有下面三種狀況：

①。聲（）時一元一次方程，有唯一解.

②々=（）,人工。時，方程無解.

③。=0,b=0時，方程有多數(shù)個解.

分式方程

、分式方程

分母里含有未知數(shù)的方程叫做分式方程。

、分式方程的一般方法

解分式方程的思想是將“分式方程”轉(zhuǎn)化為“整式方程，它的一般解

法是：

0去分母，方程兩邊都乘以最簡公分母

0解所得的整式方程

0驗根：將所得的根代入最簡公分母，若等于零，就是增根，應(yīng)當

舍去；若不等于零，就是原方程的根。

、分式方程的特殊解法

換元法：

換元法是中學(xué)數(shù)學(xué)中的一個重要的數(shù)學(xué)思想，其應(yīng)用特別廣泛，當分

式方程具有某種特殊形式，一般的去分母不易解決時，可考慮用換元法。

留意.方程的增根與遺根

（）在方程變形時，能產(chǎn)生不適合原方程的根叫做方程的增根.

0在方程變形時，由于盲目變形,在方程的兩邊同除以含有未知數(shù)的代數(shù)

式，從而導(dǎo)致方程遺根.

、常用的相等關(guān)系

1.行程問題（勻速運動）

基木關(guān)系:

■

甲一相遇處一乙

⑴相遇問題（同時動身）:

S甲S乙"甲=壇

⑵追與問題（同時動身）:

甲一二~捅遇處）

AC+S乙；,甲=f乙(CB)

（甲）一

乙一（相遇處）

若甲動身小時后，乙才動身，而后在處追上甲，則

s甲二s乙；，甲='+七

⑶水中航行：5=船速+水速；”=船速-水速

⑷配料問題：溶質(zhì)溶液x濃度

溶液溶質(zhì)溶劑

（5）.增長率問題：冊=q（1±r產(chǎn)

（6）.工程問題：基本關(guān)系：工作量工作效率X工作時間（常把工作量

看著單位""）。

（7）.幾何問題：常用勾股定理，幾何體的面積、體積公式，相像形與

有關(guān)比例性質(zhì)等。

留意語言與解析式的互化

如，“多”、“少”、“增加了”、“增加為（到）”、“同時”、“擴大為（到）”、

“擴大了”、……

又如，一個三位數(shù)，百位數(shù)字為，十位數(shù)字為，個位數(shù)字為，則這個

三位數(shù)為：100a,而不是。

留意從語言敘述中寫出相等關(guān)系。

如，比大，則或或。又如，與的差為，貝上㈤留意單位換算

如，“小時”“分鐘”的換算、、單位的一樣等。

列方程（組）解應(yīng)用題

是中學(xué)數(shù)學(xué)聯(lián)系實際的一個重要方面。其詳細步驟是：

⑴審題。理解題意。弄清問題中已知量是什么，未知量是什么，問題

給出和涉與的相等關(guān)系是什么。

⑵設(shè)元（未知數(shù)）。①干脆未知數(shù)②間接未知數(shù)（往往二者兼用）。一

般來說，未知數(shù)越多，方程越易列，但越難解。

⑶用含未知數(shù)的代數(shù)式表示相關(guān)的量。

⑷找尋相等關(guān)系（有的由題目給出，有的由該問題所涉與的等量關(guān)系

給出），列方程。一般地，未知數(shù)個數(shù)與方程個數(shù)是相同的。

⑸解方程與檢驗。

⑹答案。

綜上所述，列方程（組）解應(yīng)用題實質(zhì)是先把實際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問

題（設(shè)元、列方程），在由數(shù)學(xué)問題的解決而導(dǎo)致實際問題的解決（列方

程、寫出答案）。在這個過程中，列方程起著承前啟后的作用。因此，列

方程是解應(yīng)用題的關(guān)鍵。

考點二元一次方程組

、二元一次方程

含有兩個未知數(shù)，并且未知項的最高次數(shù)是的整式方程叫做二元一次

方程，它的一般形式是（

、二元一次方程的解

使二元一次方程左右兩邊的值相等的一對未知數(shù)的值，叫做二元一次

方程的一個解C

、二元一次方程組

兩個（或兩個以上）二元一次方程合在一起，就組成了一個二元一次方

程組。一般形式：（4，3卬%，%Q不全為）

二元一次方程組的解

使二元一次方程組的兩個方程左右兩邊的值都相等的兩個未知數(shù)的

值，叫做二元一次方程組的解。

、二元一次方程組的解法

基本思想：“消元”

解法：（）代入法0加減法⑶二元一次方程組代入黑^法》一元一次方程

組.

、三元一次方程

把含有三個未知數(shù)，并且含有未知數(shù)的項的次數(shù)都是的整式方程。

、三元一次方程組

由三個（或三個以上）一次方程組成，并且含有三個未知數(shù)的方程組，叫

做三元一次方程組。（）一般形式：

0解法:

三元一次方程組代人曹F妣）二元一次方程組代入黨譽法》一元一次方程

組.

考點一元一次不等式〔組〕

、不等式

用不等號表示不等關(guān)系的式子，叫做不等式。＞、V、＞、＜、,。

、不等式的解集

對于一個含有未知數(shù)的不等式，任何一個適合這個不等式的未知數(shù)的

值，都叫做這個不等式的解。

對于一個含有未知數(shù)的不等式，它的全部解的集合叫做這個不等式的

解的集合，簡稱這個不等式的解集。

求不等式的解集的過程，叫做解不等式。

、用數(shù)軸表示不等式的方法

、不等式基本性質(zhì)

⑴、不等式兩邊都加上（或減去）同一個數(shù)或同一個整式，不等號的

方向不變。

⑵、不等式兩邊都乘以（或除以）同一個正數(shù)，不等號的方向不變。

⑶、不等式兩邊都乘以（或除以）同一個負數(shù)，不等號的方向變更。

不等式的性質(zhì)：（1）＞＜—?

⑵--?＞（＞）

（3）＞^-?＜（＜）

⑷（傳遞性）?-?

、一元一次不等式

⑴、一元一次不等式的概念

一般地，不等式中只含有一個未知數(shù)，未知數(shù)的次數(shù)是，且不等式的

兩邊都是整式，這樣的不等式叫做一元一次不等式。＞、V、＞、＜、*

（力）。

⑵、一元一次不等式的解法（在數(shù)軸上表示解集）

解一元一次不等式的一般步驟：

0去分母0去括號0移項。合并同類項0將項的系數(shù)化為

即通過去分母、去括號、移項合并同類項，把不等式化為依〉力（或

依＜份（4=0）的形式，再把系數(shù)化為得出不等式的解集.

說明：在去分母和化系數(shù)為時，需特殊留意不等式兩邊同時乘以（或除以）

一個負數(shù)，要將不等號變更方向，其解集狀況如下：

①當?！?時，（或）.

②當”0時，閾.

③當。=0時，若〃之0,不等式無解（或不等式的解集為一切實數(shù)）.

④當。=0時，若〃<0,不等式的解為一切實數(shù)（或不等式無解）.

、一元一次不等式組

⑴、一元一次不等式組的概念

幾個一元一次不等式合在一起，就組成了一個一元一次不等式組。

幾個一元一次不等式的解集的公共部分，叫做它們所組成的一元一次

不等式組的解集。

求不等式組的解集的過程，叫做解不等式組。

當任何數(shù)都不能使不等式同時成立，我們就說這個不等式組無解或其

解為空集。

⑵、一元一次不等式組的解法（在數(shù)軸上表示解集）

0分別求出不等式組中各個不等式的解集

0利用數(shù)軸求出這些不等式的解集的公共部分，即這個不等式組的

解集。

即先求出不等式組中每一個不等式的解集，再利用數(shù)軸求出這些不等式的

解集的公共部分，即為不等式組的解集.

兩個一元一次不等式所組成的不等式組的解集的一般狀況可見下表（其中

a<b).

口訣不等式解集在數(shù)軸上表示

組

同小取

x<a

小Clb

同大取

x>bA卜

大Zb

大小取

a<x<l

中—aI:bA

兩背為不等式

空組無解ab

考點一元二次方程

、一元二次方程

含有一個未知數(shù)，并且未知數(shù)的最高次數(shù)是的整式方程叫做一元二次

方程。

、一元二次方程的一般形式

以+c=o（〃5t0）,它的特征是：等式左邊H^一個關(guān)于未知數(shù)的二次

多項式，等式右邊是零，其中a/叫做二次項，叫做二次項系數(shù)；叫做一

次項，叫做一次項系數(shù)；叫做常數(shù)項。

、一元二次方程的解法

①、干脆開平方法

利用平方根的定義干脆開平方求一元二次方程的解的方法叫做干脆開

平方法。干脆開平方法適用于解形如(X+〃)2=〃的一元二次方程。依據(jù)平

方根的定義可知，X是的平方根，當〃之。時，x+a=±4b,x=-a±\[b9

當〈時，方程沒有實數(shù)根°

②、配方法

配方法是一種重要的數(shù)學(xué)方法，它不僅在解一元二次方程上有所應(yīng)用,

而且在數(shù)學(xué)的其他領(lǐng)域也有著廣泛的應(yīng)用。配方法的理論依據(jù)是完全平方

公式1±2"+b2=(〃+b)2,把公式中的看做未知數(shù)，并用代替，則有

x2±2bx+b2=(x±b)2o

③、公式法

公式法是用求根公式解一元二次方程的解的方法，它是解一元二次方

程的一般方法。

一元二次方程ax2+bx+c=0(〃+0)的求根公式：

x=、；——(b2-4ac>0)

④、因式分解法

因式分解法就是利用因式分解的手段，求出方程的解的方法，這種方

法簡潔易行，是解一元二次方程最常用的方法。

、一元二次方程根的判別式

根的判別式△=〃-4"

一元二次方程爾+〃x+c=0(aw0)中，b2-4ac叫做一元二次方程

〃/+法+c=0(〃。0)的根的判別式，通常用來表示，BPA=Z?2-4ac

①△)()=方程有兩個不相等的實數(shù)根.

②△=()=方程有兩個相等的實數(shù)根.

③△<()=方程無實數(shù)根.

④△8)=方程有兩個實數(shù)根。

反之：

①一元二次方程有兩個不等實根=

②一元二次方程有兩個相等實根n

③一元二次方程無實根=

④一元二次方程有兩個實根n

結(jié)論：()若二次三項式。*+法+。是完全平方式，則方程g?+〃x+c=()的

判別式八。

0方程"2+尿+C=O有實數(shù)根，包括兩種狀況：①。工。有兩個實數(shù)根,

②4=0,只有一個實數(shù)根。

說明：根的判別式最常見的用法有：

①不解方程判別一元二次方程根的狀況。

②由方程根的狀況確定某些字母的值或范圍.

、一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系

假如方程點+"+C=0(。。0)的兩個實數(shù)根是孫々，那么，。也就是說,

對于任何一個有實數(shù)根的一元二次方程，兩根之和等于方程的一次項系數(shù)

除以二次項系數(shù)所得的商的相反數(shù)；兩根之積等于常數(shù)項除以二次項系數(shù)

所得的商。

留意⑴逆定理：若M+%=，〃，為,％=〃，則以元1，%為根的一元二次方

程是：-V2-nvc+/?=0o

2

⑵常用等式：X：+X；=（X,+x2）-2XIX2

2=（內(nèi)2

（X[-x2）+x2）-4XXX2

⑶，⑷

、一元二次方程的應(yīng)用題

（）商品利潤問題：每件商品利潤售價-進價

漲價時：

商品總利潤每件商品利潤X商品件數(shù)（原來利潤漲價）X（原來件數(shù)-削

減件數(shù)）

降價時：

商品總利澗每件商品利澗X商品件數(shù)（原來利潤-降價）X（原來件數(shù)增

加件數(shù)）

0增長率問題：

①41+工）”=力（其中〃是原來數(shù)量，〃是增長次數(shù)，〃是〃次增長后到達數(shù)）

②a+〃（1+x）+a（l+x）2=b

0矩形內(nèi)修路問題的常用思路是用平移集中法。

列方程（組）解應(yīng)用題，千萬不要死記硬背例題的類型與其解法，要詳細問

題詳細分析，一般來講，應(yīng)按下面的步驟進行：

.審題：弄清題意和題目中的已知量、未知量，并能找出能夠表示應(yīng)用問

題的全部含義的等量關(guān)系.

.設(shè)未知數(shù)：選擇一個或幾個適當?shù)奈粗?，用字母表示，并依?jù)題目的

數(shù)量關(guān)系，用含未知數(shù)的代數(shù)式表示相關(guān)的未知量.

?列方程（組）：依據(jù)等量關(guān)系列出方程（組）.

?解方程（組）：其過程可以省略，但要留意技巧和方法。

.檢驗：首先檢查所列方程(組)是否正確，然后檢驗所得方程的解是否符

合題意.

.寫答：不要遺忘單位名稱.

、分式方程的解法

①一般解法：去分母法，即方程兩邊同乘以最簡公分母.

②特殊解法：換元法.

()驗根：由于在去分母過程中，當未知數(shù)的取值范圍擴大而有可能產(chǎn)生增

根.因此，驗根是解分式方程必不行少的步驟，一般把整式方程的根的值

代人最簡公分母，看結(jié)果是不是零，使最簡公分母為零的根是原方程的增

根，必需舍去.

說明：解分式方程，一般先考慮換元法，再考慮去分母法.

?二元二次方程組

()由一個二元一次方程和一個二元二次方程組成的方程組.

()由一個二元二次方程和一個可以分解為兩個二元一次方程組成的方程

組.

基本解法是：消元，轉(zhuǎn)化為解一元二次方程；降次，轉(zhuǎn)化為解二元一次方

程組.

專題三函數(shù)

考點位置與坐標

、平面直角坐標系

在平面內(nèi)畫兩條相互垂直且有公共原點的數(shù)軸，就組成了平面直角坐

標系0

其中，水平的數(shù)軸叫做軸或橫軸，取向右為正方向；鉛直的數(shù)軸叫做

軸或縱軸，取向上為正方向；兩軸的交點(即公共的原點)叫做直角坐標

系的原點；建立了直角坐標系的平面，叫做坐標平面。

為了便于描述坐標平面內(nèi)點的位置，把坐標平面被軸和軸分割而成的

四個部分，分別叫做第一象限、其次象限、第三象限、第四象限。

留意：軸和軸上的點，不屬于任何象限。

、點的坐標的概念

點的坐標用(，)表示，其依次是橫坐標在前，縱坐標在后，中間有

分開，橫、縱坐標的位置不能顛倒。平面內(nèi)點的坐標是有序?qū)崝?shù)對，當力

時，(，)和(，)是兩個不同點的坐標

點的坐標：設(shè)點是坐標平面內(nèi)的任一點，由點向X軸作垂線，垂足對應(yīng)

著工軸上的一個實數(shù)。；由點向y軸作垂線，垂足對應(yīng)著y軸上一個實數(shù)6,

則點的坐標就是(。，b),其中。叫點的橫坐標，力叫做點的縱坐標.

說明：點的坐標的定義事實上給出了求點的坐標的一種特別重要的方法，

要留意橫坐標與縱坐標的依次不能顛倒.

、不同位置的點的坐標的特征

〔〕、各象限內(nèi)點的坐標的特征

點()在第一象限>0

點()在其次象限<=>x<0,y>0

點()在第三象限<0

點()在第四象限ox>0,y<0

〔〕、坐標軸上的點的特征

點()在軸上為隨意實數(shù)

點()在軸上ox=0,為隨意實數(shù)

點()既在軸上，又在軸上0,同時為零，即點坐標為(，)

(〕、兩條坐標軸夾角平分線上點的坐標的特征

點()在第一、三象限夾角平分線上o與相等

點()在其次、四象限夾角平分線上。與互為相反數(shù)

〔〕、和坐標軸平行的直線上點的坐標的特征

位于平行于軸的直線上的各點的縱坐標相同。

位于平行于軸的直線上的各點的橫坐標相同。

〔〕、關(guān)于軸、軸或遠點對稱的點的坐標的特征

點P(x,)，)關(guān)于輪的對稱點是6(x，-y).

點P(x，y)關(guān)于軸的對稱點是￡(T，y).

點P*，y)關(guān)于原點的對稱點是4(-弟-)，).

(〕、點到坐標軸與原點的距離

點()到坐標軸與原點的距離：

點()到軸的距離等于3

點()到軸的距離等于忖

點()到原點的距離等于J/+)，2

☆?〔〕()若II軸,則yP=yQ.

?()若II軸，則=XQ.

☆〔〕.若AQ],片)，B(A2,y2),當P3),%)是線段的中點時

*〔〕.若A(x，y),B(X2,y2),則

22

AB=7Ui-x2)+(y1-y2)

〔〕.坐標平面內(nèi)的點和有序?qū)崝?shù)對(，)之間建立了一一對應(yīng)關(guān)系.

考點函數(shù)的表示

函數(shù)的概念

.常量與變量：在某一變更過程中，可以取不同數(shù)值的量叫做變量；在某

一變更過程中保持數(shù)值不變的量叫做常量.

.函數(shù)：在某一變更過程中的兩個變量和，假如對于在某一范圍內(nèi)的每一

個確定的值，都有唯一確定的值和它對應(yīng)，那么就叫做的函數(shù)，其中做自

變量，是因變量.

()自變量取值范圍的確定

①整式函數(shù)自變量的取值范圍是全體實數(shù).

②分式函數(shù)自變量的取值范圍是使分母不為的實數(shù).

③二次根式函數(shù)自變量的取值范嗣是使被開方數(shù)是非負數(shù)的實數(shù)，若涉與

實際問題的函數(shù)，除滿意上述要求外還要使實際問題有意義.

()函數(shù)值：對于自變量在取值范圍內(nèi)的一個值所求得的函數(shù)的對應(yīng)值.

.函數(shù)常用的表示方法：解析法、列表法、圖象法.由函數(shù)的解析式作函

數(shù)的圖象，一般步驟是：列表、描點、連線.

考點一次函數(shù)

、正比例函數(shù)和一次函數(shù)的概念

一般地，假如)=履+b(,是常數(shù)，。)，那么叫做的一次函數(shù)。

特殊地，當一次函數(shù))，=&+〃中的為時，y=kx(為常數(shù)，工)。這時,

叫做的正比例函數(shù)。

☆說明：直線位置與常數(shù)的關(guān)系

()左確定直線的傾斜角(直線向上的方向與軸的正方向所形成的夾角的大

小).

①k>0=傾斜角為銳角.

②％>()=直線過點(，)且平行于軸的直線.

③A<()o傾斜角為鈍角.

()確定直線與軸交點的位置.

①>=直線與軸交點在軸的上方.

②=直線過原點.

③<=直線與軸交點在軸的下方；圖

0如圖,

()如圖，14=tana

()設(shè)直線/上有兩點，A(%,y),B(w，%)則

圖

、一次函數(shù)的圖像

全部一次函數(shù)的圖像都是一條直線

自

變

量

函

解析式取圖象增減性

數(shù)

值

范

圍

正

仝

比

體

例

實①當〉時，隨增大而

函

數(shù)增大；

數(shù)

②當〉〈時，隨增大

—全

而減小。

次體

函實

數(shù)數(shù)

3、一次函數(shù)、正比例函數(shù)圖像的主要特征：

一次函數(shù)），=履+〃的圖像是經(jīng)過點（,）的直線；正比例函數(shù)），=丘的

圖像是經(jīng)過原點（，）的直線。

的符的符號函數(shù)圖像圖像特征

號

/

圖像經(jīng)過一、二、三

/------------>

>

/象限，隨的增大而增大。

>

圖像經(jīng)過一、三、四

<A

7象限，隨的增大而增大。

/

圖像經(jīng)過一、二、四

>\、

象限，隨的增大而減小

<

圖像經(jīng)過二、三、四

<

------------?

\象限，隨的增大而減小。

\

注：當時，一次函數(shù)變?yōu)檎壤瘮?shù)，正比例函數(shù)是一次函數(shù)的特例。

、正比例函數(shù)的性質(zhì)

一般地，正比例函數(shù)），=打有下列性質(zhì)：

0當》時，圖像經(jīng)過第一、三象限，隨的增大而增大;

0當〈時，圖像經(jīng)過其次、四象限，隨的增大而減小。

、一次函數(shù)的性質(zhì)

一般地，一次函數(shù)丁二丘+〃有下列性質(zhì)：

0當〉時，隨的增大而增大

0當〈時，隨的增大而減小

、正比例函數(shù)和一次函數(shù)解析式的確定

確定一個正比例函數(shù)，就是要確定正比例函數(shù)定義式），二息（工）中的

常數(shù)。確定一個一次函數(shù)，須要確定一次函數(shù)定義式），=丘+〃（工）中的

常數(shù)和。解這類問題的一般方法是待定系數(shù)法。

斜率：為直線在軸上的截距

①直線的斜棧式方程，簡稱斜截式：=+（金）

②由直線上兩點確定的直線的兩點式方程，簡稱兩點式：

y=&+b=（tana）x+b=~~~—x（x-x））+y]

x2-x}

③由直線在“軸和、軸上的截距確定的直線的截距

式方程，簡稱截距式：

④設(shè)兩條直線分別為，4：y=3+4A：y=k2x+b2若則

有/J/4=占且2=2。若4_L/?o匕g=-1

⑤點（，）到直線（即：）的距離："=號需=也靜普

考點、反比例函數(shù)

、反比例函數(shù)的概念

一般地，函數(shù)（是常數(shù)，/）叫做反比例函數(shù)。反比例函數(shù)的解析式

也可以寫成），=攵/的形式。自變量的取值范圍是。的一切實數(shù)，函數(shù)的取

值范圍也是一切非零實數(shù)。

、反比例函數(shù)的圖像

反比例函數(shù)的圖像是雙曲線，它有兩個分支，這兩個分支分別位于第

一、三象限，或其次、四象限，它們關(guān)于原點對稱。由于反比例函數(shù)中自

變量工，函數(shù)工，所以，它的圖像與軸、軸都沒有交點，即雙曲線的兩個

分支無限接近坐標軸，但恒久達不到坐標軸。

、反比例函數(shù)的性質(zhì)

反比例

函數(shù)

的符號><

卜

圖像LJ

廠

①的取值范圍是W,①的取值范圍是工，

的取值范圍是W；的取值范圍是#;

②當,時，函數(shù)圖像的兩個分支分別②當〈時，函數(shù)圖像的兩個分支

性質(zhì)

在第一、三象限。在每個象限內(nèi)，分別

隨的增大而減小。在其次、四象限。在每個象限

內(nèi)，

隨的增大而增大。

、反比例函數(shù)解析式的確定

確定與埃是的方法仍是待定系數(shù)法。由于在反比例函數(shù)中，只有一個

待定系數(shù)，因此只須要一對對應(yīng)值或圖像上的一個點的坐標，即可求出的

值，從而確定其解析式。

、女的幾何意義

設(shè)PHy）是反比例函數(shù)圖象上任一點，過點作工軸、y軸的垂線，垂

足為，則

0△的面積⑻二綱.

0矩形的面積=。4?%=|沖卜同。這就是系數(shù)攵的幾何意義.并且無論怎

樣移動，△的面積和矩形的面積都保持不變。

矩形面積4悶，平行四邊形面積2悶

二次函數(shù)的概念和圖像

、二次函數(shù)的概念

一般地，假如廣4+法+c（。也c是常數(shù)，。=0）,那么叫做的二次函

數(shù)。

y=ar+/以+。（。力"是常數(shù)，。工0）叫做二次函數(shù)的一般式°

、二次函數(shù)的圖像

二次函數(shù)的圖像是一條關(guān)于對稱的曲線，這條曲線叫拋物線。

拋物線的主要特征：

①有開口方向；②有對稱軸；③有頂點。

、二次函數(shù)圖像的畫法

五點法：

0先依據(jù)函數(shù)解析式，求出頂點坐標，在平面直角坐標系中描出頂

點，并用虛線畫出對稱軸

0求拋物線y=+版+。與坐標軸的交點：

當拋物線與軸有兩個交點時，描出這兩個交點與拋物線與軸的交點，

再找到點的對稱點。將這五個點按從左到右的依次連接起來，并向上或向

下延長，就得到二次函數(shù)的圖像。

當拋物線與軸只有一個交點或無交點時，描出拋物線與軸的交點與對

稱點。由、、三點可粗略地畫出二次函數(shù)的草圖。假如須要畫出比較精確

的圖像，可再描出一對對稱點、，然后順次連接五點，畫出二次函數(shù)的圖

像。

、二次函數(shù)的解析式（分）

二次函數(shù)的解析式有三種形式：

（）一般式：y=ax2+bx+c（a,b,c是常數(shù),〃工0）

（）頂點式：y=工一〃1十%（.,〃/是常數(shù)，a0）

（）當拋物線）=〃/+公+c與軸有交點時，即對應(yīng)二次好方程

0?+"+。=。有實根玉和與存在時，依據(jù)二次三項式的分解因式

2

ax+bx+c=a(x-x1)(x-x2),二次函數(shù)y=?+bx+c可轉(zhuǎn)化為兩根式

y=6Z(X-X1)(x-x2)o假如沒有交點，則不能這樣表示。

留意：拋物線位置由。、反。確定.

()。確定拋物線的開口方向

①4>0<=>開口向上.

②4<0=開口向下.

0C確定拋物線與軸交點的位置.

①C>0O圖象與軸交點在軸上方.

②C=0o圖象過原點.

③C<0。圖象與軸交點在軸下方.

()。、〃確定拋物線對稱軸的位置(對稱軸：)

①4、〃同號。對稱軸在軸左側(cè).

②〃=0=對稱軸是軸.

③久〃異號。對稱軸在軸右側(cè).

()頂點坐標白字).

()△=b2-4ac確定拋物線與軸的交點狀況.、

①△>=拋物線與軸有兩個不同交點.

O拋物線與軸有唯一的公共點(相切).

③。拋物線與軸無公共點.

0二次函數(shù)是否具有最大、最小值由推斷.

①當〉時，拋物線有最低點，函數(shù)有最小值.

②當〈時，拋物線有最高點，函數(shù)有最大值.

()2ci±b,々士人+c、牝±22?+c的符號的判定:

表達式，請代值，對應(yīng)值定正負；

對稱軸，用處多，三種式子。相約；

》軸兩側(cè)判以b,左同右異中為；

的兩側(cè)判2〃+〃，左同右異中為；

兩側(cè)判2々-〃，左異右同中為.

0函數(shù)圖象的平移：左右平移變，左右一；上下平移變常數(shù)項，上下;

平移結(jié)果先知道，反向平移是訣竅；平移方式不知道，通過頂點來找尋。

0對稱：+法+C?關(guān)于軸對稱的解析式為一y=av2+/?x+c,關(guān)于軸

對稱的解析式為+A(T)+C,關(guān)于原點軸對稱的解析式為

-y=r/(-x)2+/?(-%)+c,在頂點處翻折后的解析式為)，=-心-〃)2+%(相反,

定點坐標不變)。

0結(jié)論：①二次函數(shù))，=以2+云+C(〃HO)與軸只有一個交點=二次函

數(shù)的頂點在軸上=A;

②二次函數(shù)y=o?+/以+c("0)的頂點在軸上o二次函數(shù)的圖象關(guān)于

軸對稱=〃=0;

③二次函數(shù)y=cix2+bx+c(a^0)經(jīng)過原點，則oc=()。

0二次函數(shù)的解析式：

①一般式：5=蘇2+以+。(4工())，用于已知三點。

2

②頂點式：y=a(x-h)+k,用于已知頂點坐標或最值或?qū)ΨQ軸。

0交點式：y=a(XTjxTj,其中芭、工2是二次函數(shù)與軸的兩個交點的橫

坐標。若已知對稱軸和在軸上的裁距，也可用此式。

、二次函數(shù)的最值(分)

假如自變量的取值范圍是全體實數(shù)，那么函數(shù)在頂點處取得最大值(或

最小值)，即當時,。

假如自變量的取值范圍是陽WXWX2,那么，首先要看-2是否在自變

量取值范圍RWXW七內(nèi)，若在此范圍內(nèi)，則當-3時，；若不在此范圍內(nèi)，

2a

則須要考慮函數(shù)在為工工工九2范圍內(nèi)的增減性，假如在此范圍內(nèi)，隨的增大

而增大，則當元=當時，y最大=渥+g+C,當犬時，y最小=屁+g+C；

假如在此范圍內(nèi)，隨的增大而減小，貝I」當工=%時，y最大=渥+如+c,當

aX

X=W時,丁最小=2+"2+C。

、二次函數(shù)的性質(zhì)

二次函數(shù)的性質(zhì)

函二次函數(shù)

2

數(shù)y=ax+bx+c（a、b,c是常數(shù)，a00）

><

i

JL

圖1

像

0拋物線開口向上，并向上無限延長；0拋物線開口阿下，并向下無

()對稱軸是-二，頂點坐標是(-二，)；

性限延長；

2a2a

質(zhì)0在對稱軸的左側(cè)，即當〈-，時，0對稱軸是-?，頂點坐標是

2a2a

隨的增大而減??；在對稱軸的右側(cè)，2a)

即當＞-2時，隨的增大而增大，簡（）在對稱軸的左側(cè)，即當〈-?

2a2a

記左減右增；時，隨的增大而增大；在對

0拋物線有最低點，當-二時，有最稱軸的右側(cè)，即當■時，

2a2a

小值，隨的增大而減小，簡記左增

右減；

（）拋物線有最高點，當-，時，