線性方程組迭代法對(duì)方程組做等價(jià)變換如:令,則我們可以構(gòu)造序列若同時(shí):所以,序列收斂與初值得選取無(wú)關(guān)定義(收斂矩陣)稱B為收斂矩陣、定理:即:矩陣B為收斂矩陣當(dāng)且僅當(dāng)B得譜半徑<1由知,若有某種范數(shù)則迭代收斂、4、1Jacobi迭代法格式很簡(jiǎn)單:4、2Gauss－Seidel

迭代法在Jacobi迭代中,使用最新計(jì)算出得分量值,即

迭代矩陣記A=-L-UD易知,Jacobi迭代有

迭代矩陣JacobiiterationGauss-Seideliteration計(jì)算x(k+1)時(shí)需要x(k)得所有分量,因此需開(kāi)兩組存儲(chǔ)單元分別存放x(k)和x(k+1)計(jì)算xi(k+1)時(shí)只需要x(k)得i+1~n個(gè)分量,因此x(k+1)得前i個(gè)分量可存貯在x(k)得前i個(gè)分量所占得存儲(chǔ)單元,無(wú)需開(kāi)兩組存儲(chǔ)單元、迭代公式:例用Gauss-seidel迭代法解方程組Ax=b計(jì)算結(jié)果:12大家應(yīng)該也有點(diǎn)累了，稍作休息大家有疑問(wèn)的，可以詢問(wèn)和交流4、3逐次超松弛迭代法(SOR)記則可以看作在前一步上加一個(gè)修正量。若在修正量前乘以一個(gè)因子,有對(duì)Gauss－Seidel迭代格式整理得引入松弛因子寫(xiě)成分量形式,有迭代矩陣

SOR方法收斂得快慢與松弛因子得選擇有密切關(guān)系、但就是如何選取最佳松弛因子,即選取=*,使(B

)達(dá)到最小,就是一個(gè)尚未很好解決得問(wèn)題、實(shí)際上可采用試算得方法來(lái)確定較好得松弛因子、經(jīng)驗(yàn)上可取1、4<<1、6、4、4迭代法得收斂性定義

設(shè)有矩陣序列及,如果則稱收斂于,記為一些關(guān)于收斂得定義及定理定理定理設(shè),則其中為得譜半徑。定理(迭代法基本定理)設(shè)有方程組對(duì)于任意初始向量及任意,解此方程組得迭代法收斂得充要條件就是定義稱為迭代法得收斂速度、定理(迭代法收斂得充分條件)如果方程組得迭代公式為,且迭代矩陣得某一種范數(shù),則1)迭代法收斂,即對(duì)任取,有

2)3)實(shí)際計(jì)算中,通常利用作為控制迭代得終止條件、不過(guò)要注意,當(dāng)時(shí),較大,盡管已非常小,但誤差向量得?？赡芎艽?迭代法收斂將就是緩慢得、特別得,Jacobi迭代法收斂G-S迭代法收斂SOR迭代法收斂

定理

若SOR方法收斂,則0<<2、

證設(shè)SOR方法收斂,則(B

)<1,所以|det(B

)|=|1

2…n|<1而det(B

)=det[(D-

L)-1((1-

)D+

U)]

=det[(E-

D-1L)-1]det[(1-

)E+

D-1U)]

=(1-

)n于就是|1-

|<1,或0<<2

定理

設(shè)A就是對(duì)稱正定矩陣,0<<2時(shí),則解方程組

Ax=b得SOR方法收斂、

注意得問(wèn)題(2)Jacobi迭代法和Gauss-Seidel迭代法得收斂性沒(méi)有必然得聯(lián)系:即當(dāng)Gauss-Seidel法收斂時(shí),Jacobi法可能不收斂;而Jacobi法收斂時(shí),Gauss