特殊平行四邊形的性質與判定典例精練【例1】(2023隨州)如圖,矩形ABCD的對角線AC,BD相交于點O,DE∥AC,CE∥BD.(1)求證:四邊形OCED是菱形;(2)若BC=3,DC=2,求四邊形OCED的面積.【例2】如圖，點A，F(xiàn)，C，D在同一條直線上，點B，E分別在直線AD的兩側，且.AB=DE,∠A=∠D,AF=DC.(1)求證：四邊形BCEF是平行四邊形；(2)若∠ABC=90°,AB=4,BC=3,當AF=時,四邊形BCEF是菱形.【例3】(2024貴州)如圖,四邊形ABCD的對角線AC與BD相交于點O,AD‖BC,∠ABC=90(1)請從以上①②中任選1個作為條件，求證：四邊形ABCD是矩形；(2)在(1)的條件下,若.AB=3,AC=5,，求四邊形ABCD的面積.針對訓練1.(2024武漢)小美同學按如下步驟作四邊形ABCD：①畫∠MAN；②以點A為圓心，1個單位長度為半徑畫弧，分別交AM，AN于點B，D；③分別以點B，D為圓心，1個單位長度為半徑畫弧,兩弧交于點C;④連接BC,CD,BD.若∠A=44°,則∠CBD的大小是()A.64°B.66°C.68°D.70°2.(2024成都)如圖，在矩形ABCD中，對角線AC與BD相交于點O，則下列結論一定正確的是()A.AB=ADB.AC⊥BDC.AC=BDD.∠ACB=∠ACD3.(2024吉林)如圖,在平面直角坐標系中,點A的坐標為(-4,0),點C的坐標為(0,2).以OA,OC為邊作矩形OABC,若將矩形OABC繞點O順時針旋轉90°,得到矩形OA'B'C',則點B'的坐標為()A.(-4,-2)B.(-4,2)C.(2,4)D.(4,2)4.(2024四川)如圖,在矩形ABCD中,AB=6,BC=8,點E在DC上,把△ADE沿AE折疊,點D恰好落在邊BC上的點F處,則cos∠CEF的值為()A.74B.73C.5.(2024上海)已知四邊形ABCD為矩形,過A,C作對角線BD的垂線,過B,D作對角線AC的垂線，如果以四條垂線為邊拼成一個四邊形，那這個四邊形為()A.菱形B.矩形C.直角梯形D.等腰梯形6.(2024廣西)如圖，兩張寬度均為3cm的紙條交叉疊放在一起，交叉形成的銳角為60°，則重合部分構成的四邊形ABCD的周長為cm.7.如圖,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,AC=3,BC=4,D是AB上一動點,過點D作DE⊥AC于點E,DF⊥BC于點F,連接EF,則線段EF的最小值是()A.2.5B.2.4C.2.2D.28.如圖,正方形ABCD的邊長為4,G是邊BC上一點,且BG=3,連接AG,過點D作DE⊥AG于點E,作BF∥DE交AG于點F,則EF的長為()A.25B.65C.49.如圖，O是坐標原點，菱形ABOC的頂點B在x軸的負半軸上，頂點C的坐標為(3，4)，則頂點A的坐標為()A.(-4,2)B.?3410.(2024緩化)如圖,四邊形ABCD是菱形,CD=5,BD=8,AE⊥BC于點E,則AE的長是()A.24511.如圖,矩形ABCD的對角線AC,BD交于點O,AB=6,BC=8,過點O作OE⊥AC,交AD于點E,過點E作EF⊥BD,垂足為F,則OE+EF的值為.12.(2024山東)將一張矩形紙片(四邊形ABCD)按如圖所示的方式對折，使點C落在AB上的點C'處,折痕為MN,點D落在點D'處,C'D'交AD于點E.若BM=3,BC'=4,A13.(2024重慶)如圖，在邊長為4的正方形ABCD中，點E是BC上一點，點F是CD的延長線上一點,連接AE,AF,AM平分∠EAF交CD于點M.若BE=DF=1,則DM的長度為()A.2B.5C.6D.1214.(2024廣西)如圖,在邊長為5的正方形ABCD中,E,F,G,H分別為各邊的中點,連接AG,BH,CE,DF,交點分別為M,N,P,Q,那么四邊形MNPQ的面積為()A.1B.2C.5D.1015.(2024天津)如圖,正方形ABCD的邊長為32,對角線AC,BD相交于點O,點E在CA的延長線上,OE=5,連接DE.(1)線段AE的長為;(2)若F為DE的中點,則線段AF的長為.16.(2024包頭)如圖,在菱形ABCD中,∠ABC=60°,AB=6,，AC是一條對角線，E是AC上一點，過點E作EF?AB,垂足為F，連接DE.若17.如圖,在菱形ABCD中,對角線AC,BD相交于點O,E是CD的中點,連接OE.過點C作CF‖BD交OE的延長線于點F，連接DF.求證：(1)△ODE?△FCE;(2)四邊形OCFD是矩形.18.(2024呼倫貝爾)如圖,在平行四邊形ABCD中,點F在邊AD上,AB=AF,連接BF,點O為BF的中點，AO的延長線交邊BC于點E，連接EF.(1)求證:四邊形ABEF是菱形;(2)若平行四邊形ABCD的周長為22，CE=1,∠BAD=12019.如圖,矩形EFGH的頂點E,G分別在菱形ABCD的邊AD,BC上,頂點F,H在菱形ABCD的對角線BD上.(1)求證:BG=DE;(2)若E為AD的中點,FH=2,，求菱形ABCD的周長.參考答案典例精練【例1】(2023隨州)如圖,矩形ABCD的對角線AC,BD相交于點O,DE∥AC,CE∥BD.(1)求證:四邊形OCED是菱形;(2)若BC=3,DC=2,求四邊形OCED的面積.解:(1)證明:∵DE∥AC,CE∥BD,∴四邊形OCED是平行四邊形.又∵在矩形ABCD中,OC=OD,∴□OCED是菱形.(2)由題意,得S矩形ABCD=BC·CD=6.∴【例2】如圖,點A,F,C,D在同一條直線上,點B,E分別在直線AD的兩側,且AB=DE,∠A=∠D,AF=DC.(1)求證：四邊形BCEF是平行四邊形；(2)若∠ABC=90°,AB=4,BC=3,當AF=7解:(1)證明:∵AF=DC,∴AF+FC=DC+FC,即AC=DF.在△ABC和△DEF中{AC=DF,∠A=∠D,∴△ABC≌△DEF(SAS).∴BC=EF,∠ACB=∠DFE.∴BC∥EF.∴四邊形BCEF是平行四邊形.【例3】(2024貴州)如圖,四邊形ABCD的對角線AC與BD相交于點O,AD∥BC,∠ABC=90°,有下列條件:①AB∥CD,②AD=BC.(1)請從以上①②中任選1個作為條件，求證：四邊形ABCD是矩形；(2)在(1)的條件下,若AB=3,AC=5,求四邊形ABCD的面積.解:(1)選擇①.證明:∵AB∥CD,AD∥BC,∴四邊形ABCD是平行四邊形.又∵∠ABC=90°,∴四邊形ABCD是矩形.選擇②.證明:∵AD=BC,AD∥BC,∴四邊形ABCD是平行四邊形.又∵∠ABC=90°,∴四邊形ABCD是矩形.2∴矩形ABCD的面積是3×4=12.針對訓練1.(2024武漢)小美同學按如下步驟作四邊形ABCD：①畫∠MAN；②以點A為圓心，1個單位長度為半徑畫弧，分別交AM，AN于點B，D；③分別以點B，D為圓心，1個單位長度為半徑畫弧,兩弧交于點C;④連接BC,CD,BD.若∠A=44°,則∠CBD的大小是(C)A.64°B.66°C.68°D.70°2.(2024成都)如圖，在矩形ABCD中，對角線AC與BD相交于點O，則下列結論一定正確的是(C)A.AB=ADB.AC⊥BDC.AC=BDD.∠ACB=∠ACD3.(2024吉林)如圖,在平面直角坐標系中,點A的坐標為(-4,0),點C的坐標為(0,2).以OA,OC為邊作矩形OABC,若將矩形OABC繞點O順時針旋轉90°,得到矩形OA'B'C',則點B'的坐標為(C)A.(-4,-2)B.(-4,2)C.(2,4)D.(4,2)4.(2024四川)如圖,在矩形ABCD中,AB=6,BC=8,點E在DC上,把△ADE沿AE折疊,點D恰好落在邊BC上的點F處,則cos∠CEF的值為(A)A.74B.73C.5.(2024上海)已知四邊形ABCD為矩形,過A,C作對角線BD的垂線,過B,D作對角線AC的垂線，如果以四條垂線為邊拼成一個四邊形，那這個四邊形為(A)A.菱形B.矩形C.直角梯形D.等腰梯形6.(2024廣西)如圖，兩張寬度均為3cm的紙條交叉疊放在一起，交叉形成的銳角為60°，則重合部分構成的四邊形ABCD的周長為83cm.7.如圖,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,AC=3,BC=4,D是AB上一動點,過點D作DE⊥AC于點E,DF⊥BC于點F,連接EF,則線段EF的最小值是(B)A.2.5B.2.4C.2.2D.28.如圖,正方形ABCD的邊長為4,G是邊BC上一點,且BG=3,連接AG,過點D作DE⊥AG于點E,作BF∥DE交AG于點F,則EF的長為(C)A.25B.65C.459.如圖，O是坐標原點，菱形ABOC的頂點B在x軸的負半軸上，頂點C的坐標為(3，4)，則頂點A的坐標為(C)A.(-4,2)B.?3410.(2024緩化)如圖,四邊形ABCD是菱形,CD=5,BD=8,AE⊥BC于點E,則AE的長是(A)A.245C.24C.48D.12B.611.如圖,矩形ABCD的對角線AC,BD交于點O,AB=6,BC=8,過點O作OE⊥AC,交AD于點E,過點E作EF⊥BD,垂足為F,則OE+EF的值為2412.(2024山東)將一張矩形紙片(四邊形ABCD)按如圖所示的方式對折，使點C落在AB上的點C'處,折痕為MN,點D落在點D'處,C'D'交AD于點E.若BM=3,BC'=4,A13.(2024重慶)如圖,在邊長為4的正方形ABCD中,點E是BC上一點,點F是CD的延長線上一點,連接AE,AF,AM平分∠EAF交CD于點M.若BE=DF=1,則DM的長度為(D)A.2B.5C.6D.1214.(2024廣西)如圖,在邊長為5的正方形ABCD中,E,F,G,H分別為各邊的中點,連接AG,BH,CE,DF,交點分別為M,N,P,Q,那么四邊形MNPQ的面積為(C)A.1B.2C.5D.1015.(2024天津)如圖,正方形ABCD的邊長為32(1)線段AE的長為2;(2)若F為DE的中點,則線段AF的長.1016.(2024包頭)如圖,在菱形ABCD中,∠ABC=60°,AB=6，AC是一條對角線，E是AC上一點,過點E作EF⊥AB,垂足為F,連接DE.若解:過D作DH⊥AC于H.∵在菱形ABCD中,∠ABC=60°,AB=6,∴AB=BC=CD=AD,∠ADC=∠ABC=60°.∴△ABC,△ACD都是等邊三角形.∴∠EAF=6∵EF⊥AB,∴∠AEF=30°,∴AE=2AF.又∵CE=AF,∴AE=2CE,∴CE=2,∴HE=CH-CE=1.在Rt△CDH中,D∴DE=17.如圖,在菱形ABCD中,對角線AC,BD相交于點O,E是CD的中點,連接OE.過點C作CF∥BD交OE的延長線于點F,連接DF.求證:(1)△ODE≌△FCE;(2)四邊形OCFD是矩形.證明:(1)∵E是CD的中點,∴DE=CE.∵CF∥OD,∴∠ODE=∠FCE.在△ODE和△FCE中{(2)∵△ODE≌△FCE,∴OD=CF.∵CF∥BD,∴四邊形OCFD是平行四邊形.∵四邊形ABCD是菱形,∴AC⊥BD.∴∠COD=90°.∴四邊形OCFD是矩形.18.(2024呼倫貝爾)如圖,在平行四邊形ABCD中,點F在邊AD上,AB=AF,連接BF,點O為BF的中點，AO的延長線交邊BC于點E，連接EF.(1)求證:四邊形ABEF是菱形;(2)若平行四邊形ABC