目錄

目錄1

一、導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用4

（一）、導(dǎo)數(shù)的幾何意義4

1、利用導(dǎo)數(shù)求直線的傾斜角或其范圍4

2、“在”與“過”求曲線做蜘程7

3、利用導(dǎo)數(shù)值求參數(shù)值12

（二）、導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用16

1、利用導(dǎo)數(shù)證明或求解函數(shù)單調(diào)區(qū)間（不含參）16

2、分類討論法證明或求解函數(shù)單調(diào)區(qū)間（含參）20

3、已知函數(shù)單調(diào)區(qū)間求參數(shù)范圍25

4、構(gòu)造函數(shù)，并用函數(shù)單調(diào)性判斷函數(shù)值大小29

5、利用導(dǎo)數(shù)求解函數(shù)極值洸

6、利用函數(shù)極值求參數(shù)值38

7、利用導(dǎo)數(shù)求解函數(shù)最值42

8、利用導(dǎo)數(shù)解決函數(shù)的極值點問題47

9、利用導(dǎo)數(shù)解決“恒”“能”成立問題51

10、利用導(dǎo)數(shù)解決函數(shù)零點、交點方程的根的問題55

11、利用導(dǎo)數(shù)證明不等式60

12、利用導(dǎo)數(shù)解決雙變量問題⑨

13、參變分離法解決導(dǎo)數(shù)問題69

14、構(gòu)造函數(shù)法解決導(dǎo)數(shù)問題74

15、利用二次求導(dǎo)解決導(dǎo)數(shù)問題78

二解纜用嬲、覿次常頻語、劇8

（一）、簡單的線性規(guī)劃8

1、幾何意義求最值83

（二）、定積分91

1、分91

（三）、數(shù)系的擴充和復(fù)數(shù)的引入93

1、利用復(fù)數(shù)的概念求參數(shù)93

2、根據(jù)復(fù)數(shù)相等條件求參數(shù)或復(fù)數(shù)95

3、根據(jù)復(fù)數(shù)幾何意義求復(fù)數(shù)所在象限98

4、根據(jù)復(fù)數(shù)幾何意義求參數(shù)或模的范圍101

（四）、常用邏輯用語10B

1、充分必要條件及命題否定、否命題103

三、解析幾何107

（一）、直線和圓的方程107

1、直接法求直線的方程1OT

2、待定系數(shù)法求直線的方程111

3、已知兩直線位置關(guān)系求參數(shù)值或范圍114

4、求直接的定點118

5、直線相關(guān)的對稱問題⑵

6、幾何法求圓的方程125

7、待定系數(shù)法求圓的方程129

8、幾何法求弦長132

9、利用點到直繃姬昨決恥觸植妣點的距離颼：

（二）、橢圓139

1、利用橢圓定義解決焦點三角形周長和邊長問題139

2、待定系數(shù)法求橢圓方程144

3、直接法解決離心率問題148

4、構(gòu)造齊次方程求離心率的值或范圍152

5、利用自變量范圍求離心率的范圍157

（三）、雙曲線163

1、待定系數(shù)法求雙曲線方程1?

2、相同漸近線的雙曲線方程求法167

3、直接法解決離心率問題170

4、構(gòu)造齊次方程求離心率的值或范圍176

5、漸近線綜合問題181

6、利用自變量范圍求離心率的范圍185

（四）、拋物線191

1、定義法求焦半徑⑼

2、定義轉(zhuǎn)化法求距離的最值問題191

3、定義法求焦點弦199

（五）、圓錐曲線的綜合應(yīng)用20B

1＞弦長問題208

2、面積問題208

3、中點弦問題214

4、范圍問題218

5、定點問題223

6、定值問題229

7、向量共線問題233

四、坐標(biāo)系與參數(shù)方程238

（一）、坐標(biāo)系238

1、坐標(biāo)法與平面直角坐標(biāo)系中的變換238

2、已知點求極坐標(biāo)、極坐標(biāo)與直角坐標(biāo)互換、極坐標(biāo)下兩點距離計算1

3、圓的極坐標(biāo)方程244

4、直線的極坐標(biāo)方程248

5、圓錐曲線的極坐標(biāo)方程251

（二）、參數(shù)方程254

1、曲線的參數(shù)方程254

2、橢圓、雙曲線、拋物線的參數(shù)方程258

3、圓錐曲線方程的綜合應(yīng)用261

4、直線的參數(shù)方程2ffi

5、利用弦長公式韋達(dá)定理求值268

一、導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用

（一）、導(dǎo)數(shù)的幾何意義

1、利用導(dǎo)數(shù)求直線的傾斜角或其范圍

1曲線j/=為戶-2在點x=l處的切線的傾斜角為（）

A.30°B.45°C.135°D.165°

【答案】B

【分析】

求出函數(shù)在X=1處的導(dǎo)數(shù)后可求切線的傾斜角.

【詳解】

因為"=^x2-2,故"=%,故y|.v=i=1,

設(shè)曲線在處的切線的傾斜角為戊，則tana=1,

而a￡0m,故。1H,

故選：B.

2若函數(shù)人式）=存始+也%—％+3,則曲線"=/（久）在點（1/（1））處切線的傾斜角為（）

A.30°B.60°C.120°D.150°

【答案】B

【分析】

先求出導(dǎo)數(shù)，即可求出切線的斜率，進(jìn)而求出傾斜角.

【詳解】

因為函數(shù)/（x）=不聲爐+]nx-x+3的導(dǎo)數(shù)是f

所以/（1）=73.

設(shè)曲線y=/（x）在點（1/（1））處切線的傾斜角為60<0<11，則tan6=0,

所以0=60°.

故選：B.

3函數(shù)/X=2%2-3久+lnx的圖象在點1,71處的切線斜率為（）

A.0B.1C.2D.3

【答案】C

【分析】

利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義求斜率.

【詳解】

因為/x=2%2-3x+lnx,所以/x=4%-3+J,/1=2,蝴x的圖象在l,f1處的切線斜率為

2.

mc

4若/x=eEnx,貝yX的切線的傾斜角戊滿足（）

A.一定為銳角B.一定為鈍角

C.可能為直角D.可能為0。

【答案】A

【分析】

求出導(dǎo)函數(shù)，判斷導(dǎo)數(shù)的正負(fù)，為此引入新函數(shù)（部分函數(shù)），由導(dǎo)數(shù)確定單調(diào)性極值后得正負(fù)，從而得出結(jié)論.

【詳解】

PAev(xlnx+1)

f(x)=eAlnx+=

xx

設(shè)g(x)=x\nx4-1,則g(x)=\nx+1,

ii

0vxv1時，g(x)v0,g(x)遞減，x>j時，g(%)>0,g(x)遞增，

而g-1In工+1=1-1>0,所以％>0時，g(%)二g1>0,所以

eeeee

切線斜率均為正數(shù)，傾斜角為銳

角.故選：A

5點P在曲線"=爐-X+]上移動，設(shè)點P處切線的傾斜角為a,則角a的取值范圍是（）

A.0,nH3IT

￡R>.,

c3，宜八及113n“

C.1,TTD.0,U一,TC

424

【答案】D

【分析】

結(jié)合導(dǎo)數(shù)的幾何意義求出切線的斜率的取值范圍進(jìn)而根據(jù)斜率與傾斜角的關(guān)系以及傾斜角的范圍即可求出結(jié)果.

【詳解】K3n

y=3x2-1>-1,B|Jtana>-1,Xae0,ir，所以“G0,一U-,n

24

故選：D.

6函數(shù)/%=e》sin%的圖象在點0,70處的切線的傾斜角為（）

A.0B.~C.~D.-

436

【答案】B

【分析】

利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義，即可求切線的斜率，即得切線的傾斜角.

【詳解】

由題意得，fx=exsinx+excosx=exsinx+cosx,

所以函數(shù)/x的圖象在點0,70處的切線的斜率k=/0=1,則所求切線的傾斜角為:

故選：B.

7已知曲線"=編和j/=log“x與直線y=x相切于同一點P,則大于1的。的值為（）（下歹ije=2.71828…

是自然對數(shù)的底數(shù)）I

2e1

A.eB.e2C.eD.ee

【答案】D

【分析】

ax0\na=1

根據(jù)公切線方程設(shè)出點P（xo,xo）,求導(dǎo)，聯(lián)立]=1，利用換底公式、對數(shù)恒等式進(jìn)行求解.

xo\na-

【詳解】

依題意，直線，二x是兩條曲線的公切線，

切點為P,設(shè)P（xo,久0）,

,1

x=1

因為（旌）=a\na9（log^x）x\na

且公切線的斜率為1,

〃叫n〃=1（1）

瞅1

xoTna⑵’

由(2)得:志"，即久。=需，

由換底公式得：xo=log^e,

將此式代入(1)得a}o&ie\na=1,

BPe\na=1,解得〃=e*.

故選：D.

10g2X,X>1

8.已知函數(shù)穴：0=J-丘,若函數(shù)烈燈有兩個零點，則k的取值范圍是()

-4%+LXW

1

A.0「B.0,」^C.0」D.~

4eln2e4eln2

【答案】D

【分析】

作出了x的圖象，函數(shù)g(x)有兩個零點，即"=/x與有兩個交點，根據(jù)圖象，利用數(shù)形結(jié)合即可求解結(jié)

果.

【詳解】

\0g2X,X>1

作出穴幻=]的圖象，如圖所示，

■4x+l,x<

則有l(wèi)-，解得xo=e,

k=xoln2

i

所以相切時的斜率k=-&；

將函數(shù)V=kx的圖象順時針旋轉(zhuǎn)，

當(dāng):三kv時，fix)與J；=kx有2個交點，滿足題意；

當(dāng)Ovkv彳時，/(x)與y=kx有3個交點，不滿足題意；

當(dāng)ks0時，/(%)與y=kx有1個交點，不滿足題意；

1

當(dāng)卜三eln2時,兀<)與j/=kx有0個或1個交點，不滿足題意.

故選：D

【點睛】

函數(shù)零點的求解與判斷方法：

(1)直接求零點：令/(x)=0,如果能求出解，則有幾個解就有幾個零點；

(2)零點存在性定理：利用定理不僅要函數(shù)在區(qū)間口，如上是連續(xù)不斷的曲線，%(0?/⑸vO,還必須結(jié)合函數(shù)的圖象

與性質(zhì)(如單調(diào)性、奇偶性)才能確定函數(shù)有多少個零點；

(3)利用圖象交點的個數(shù)：將函數(shù)變形為兩個函數(shù)的差，畫兩個函數(shù)的圖象，看其交點的橫坐標(biāo)有幾個不同的值，就有幾個不

同的零點.

9已知函數(shù)/(X)=A/X-Inx,若/(X)在戈=XI和X=X2(X1豐X2)處切線平行，則

Aj+_1>1B.戈1X2v128C.Xi+X2<32D.x2+x2>512

Vxiy/x221

【答案】D

【分析】

求函數(shù)導(dǎo)數(shù)，進(jìn)而利于導(dǎo)數(shù)的幾何意義得切線斜率，列方程化簡，結(jié)合基本不等式可得解.

【詳解】

1

由/(X)=/_Inx,得=--[%>0),

X

11_1_1

2^/xi占x2

整理得：二■一廠MX

12

???-=―-+-->2/1,則一——<—，?,^1X22256,

2Vxiyfx2vJxiX2“1X216

xi。久2,???X1X2>256.-??%24-x2>2xiX2=512.

12

故選D.

【點睛】

本題主要考查了導(dǎo)數(shù)的幾何意義及基本不等式，屬于難題.

B已知瓦/2分別是函數(shù)/(x)=|lnx|圖象上不同的兩點幾E處的切線，/112分別與"軸交于點A,B,且Z1與2垂

直相交于點P,則4ABP的面積的取值范圍是

A.(0,1)B.(0,2)C.[0,+oo)D.(l,+oo)

【答案】A

【詳解】)八，

-Inx,0<x<1

由題意得/x=Inx=.設(shè)尸(x,lnx),P(x,-lnx)(x>1,0vxv1),由導(dǎo)數(shù)的

I.nx,x>0c11122212

11

幾何意義可得切線h,12的斜率分別為ki=,fc2=-,

XlX2

由條件可得klk2=--=-1,所以X1X2=1,故X2=-.

久蒞1巧1

又切線Zi的方程為"-lnxi=~[x-xi),切線上的方程為"+ln%2=--(%—曾)，即

XlX2

y-lnxi=-xix-,在兩切線方程中，分別令x=0可得切線與]/軸的交點分別為

71(0,-1+Inxi).5(0,1+Inxi),故|AB|=2.

y-Inxi=-(x-xi)2

.xi出上,ZXLInZi

由1，可得點pJnxn-

y-Inxi=-xix-1+*1+呼

x1

:,S&ABP=TABXP=v--=1(由于故等號不成立).

z1+x?1+xf

.?.△ABP的面積的取值范圍是.選A.

0,1

點睛：

(1)由于曲線的兩條切線垂直，故切點的橫坐標(biāo)必為一個小于1,一個大于1,解題時要注意這一隱含條件.

(2)三角形面積的最值問題可根據(jù)題意得到面積的表達(dá)式，然后根據(jù)表達(dá)式的特征，選擇是利用基本不等式求解還是利用

函數(shù)知識求解，利用基本不等式時要注意不等式使用的條件.

2、“在”與“過”求曲線的切線方程

n函數(shù)/x=xlnx-2在x=1處的切線方程為（）

A.2x+y-0B.2x-y-4=0C.x-y-3=0D.x+y+1=0

【答案】C

【分析】

利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義即可求切線方程.

【詳解】

"fx=xlnx-2,

???/x=lnx+1,f1=-2,

f1=1,

???/x在1,-2處的切線為："+2=x-l,即久一"-3=0.

故選：C.

2曲線/（x）=e-K+%2在點（o,/（o））處的切線方程為（）

A.%+y-1=0B.x-y+1=0C.x-y-1=0D.x+y+1=0

【答案】A

【分析】

利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義即可求解.

【詳解】

"fx—e-x+x2

???/x=-e~x+2x,f0=1

f0=—1

???在（0,1）處切線方程為："一l=-x,即x+"-1=0.

故選：A-

B曲線7%=守一為2在點0,/0處的切線方程為（）

A.y=x+lB.y=2x+lC.y=-ix+1D.y=-x+1

【答案】A

【分析】

分別求出切點及斜率，再用點斜式即可求切線方程.

【詳解】

因為/x=ev-x2,W./x=ex-2x,

又/0=1,/0=1,故所求切線方程為j/=x+L

Afc?：A

?已知函數(shù)/x=[-2x+lnx,則函數(shù)7%在點1J1處的切線方程為（）

A.2%+y-2=0B.2%-y-1=0

C.2x+y-1=0D.2x—y+1=0

【答案】c

【分析】

求出/1、/1的值，利用點斜式可得出所求切線的方程.

【詳解】

_11

因為/x=---2++,所以/1=-2,

又/1=-1,故函數(shù)/x在點1,/1處的切線方程為y--1=-2x-1,化簡得2x+"-1=0.

樹：C.

15.設(shè)函數(shù)/(x)=爐+〃-2"+若y(x)為奇函數(shù)，則曲線在點1/1處的切線方程為()

A.y=4x-1B.y=5x-2C.y=4x-2D.y=5x-6

【答案】B

【分析】

根據(jù)函數(shù)f(x)的奇偶性，可得m然后分別求得了11,最后可得直線方程.

【詳解】

由函數(shù)/(%)=x3+a-2x2+ax為奇函數(shù)

所以f-x=-fx

由/(-x)=-%3+a-2-2+a-x=-x3+a-2x2-ax

x

所以一X3+a-2x2-ax=-x3+a-2x2+ax=a=2

所以=x3+2x,貝曠(%)=3x2+2

所以/(I)=3/1=5

所以所求切線方程為"-3=5x-1,即j/=5x-2

雌B

6若直線]/=1與曲線/(x)=ae*-x2相切，則“=()

A.2eB.eC.~D'~

ee

【答案】c

【分析】

利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義即可求解.

【詳解】

設(shè)"=1與f(x)相切于(xo,1),/x=aex-2x,

則fxo—laex0-x2=1_?..

Jfrx八，即un飛,--.x2-2x4-1=A0,.,.%=1,

J=0o

oaem-2xo=000

ae-1=11-=a=—2

Afcifec

j已知a為常數(shù)，函數(shù)/x=2ax2+xlnx-1有兩個極值點xi,為2久iv龍，則下列結(jié)論正確的是()

1i11

A.--<a<0B.0<a<~C.a<--D.a>~

eeee

【答案】A

【分析】

求導(dǎo)得/x=ax+Inx,4-gx=\nx,hx=-ax,轉(zhuǎn)化條件為函數(shù)gx、hx的圖象有兩個不同交點，由

導(dǎo)數(shù)的幾何意義、函數(shù)的圖象以及數(shù)形結(jié)合可得-1<a<0.

e

【詳解】

]

???/x=+x\nx-1,

x=ax+Inx,

所以若要使函數(shù)/x有兩個極值點，則/x有兩個零點,

令gx=\nxfhx=-ax,則函數(shù)g%、hx的圖象有兩個不同交點,

易知直線〃X=一〃%恒過點0,0,gX=+,

xo,lnxo,

則V二一〃，所以久0=,a=-

%0e

所以當(dāng)且僅當(dāng)/v〃v°時,函數(shù)gX、hx的圖象有兩個不同交點,

所以要使函數(shù)/X有兩個極值點，則v〃v0.

故選：A.

8已知/x=xlnx,若過一點m,n可以作出該函數(shù)的兩條切線，則下列選項一定成立的是（）

2

A.n<m\nmB.n>m\nmC.--e<n<0D.m<1

e

【答案】A

【分析】

設(shè)切點為tflnf,求得切線方程為"=Inf+1x-t,可得出￡-m\nt+n-m=0,令gt=t-mint+

n-m,分機<0、m>0兩種情況討論,利用導(dǎo)數(shù)分析函數(shù)gf的單調(diào)性，根據(jù)方程gt=0有兩根可得出結(jié)果.

【詳解】

設(shè)切點為,對函數(shù)7%求導(dǎo)得/x=\nx+1,則切線斜率為/t=Int+1,

所以，切線方程為y-t\nt=Inf+1x-2，即》=lnt+1x-f,

所以，〃=mInf+1-K可得于一mln方+〃-m=0,

令gt=t-mlnf+〃一加，其中f>0,由題意可知，方程gf=0有兩個不等的實根.

①當(dāng)加三Off寸，對任意的t>0,gt>0,此時函數(shù)gt在0,+8上單調(diào)遞增，

則方程gf=0至多只有一個根，不合乎題意；

②當(dāng)團(tuán)>0盹當(dāng)0v￡v/n時，gtvO,此fl寸函數(shù)gt單調(diào)遞減，

當(dāng)f>加時，gf>0,此時函數(shù)gt單調(diào)遞增.

由題意可得gfmm=gm=m-m\nm+n-m=n-m\nm<0,<mlnm.

故選：A

j己知函數(shù)/（x）是定義在R上的偶函數(shù)，且/x+1為奇函數(shù).若/1=一2,則曲線"=/（劃在點

-9J-9處的切線方程為（）

A.2x-y+14=0B.2x+y+14=0

9派

C.2%+y+18=0D.2%-y+18=0

【答案】D

【分析】

由題可得函數(shù)的周期為4,可求/-9=0,利用外K+2]=-/(-x)=-/(x)可得/(x+2)=/(-x)=

-/(x),可求/C-9)=2,即得娘方程

【詳解】

???函數(shù)是定義在R上的偶函數(shù)，且/x+1為奇函數(shù)，

=/(%),-/(%+1)=fQ-x+1),

二/0+2)=-fC-x)=-/(幻，

+4]=-f[x+2)=f[x}，

函數(shù)/(x)的周期為4,

令％=-1可得/(1)==-/(1)即/⑴=/C-i)=o

-9=/C-l)=/(1)=0>

由於+2)=_/(_%)=一/(%)得f0+2)=)C-x)=-f(x)，

f(%+4)=/(%),yf1=-2

???/C-9)=/C-l)=-f⑴=2,

曲線在點一9/一9處的切線方程為0=2(x+9)即2x-"+18=0.

故選：D.

0若曲線/(x)=lnx+在點xo,fX)處的切線方程為j/=k%+匕，則k+匕的最小值為()

1c1

A.-1B.-jc'D.1

乙乙

【答案】C

【分析】

利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義求出函數(shù)在切點出的切線方程，進(jìn)而得SUk+匕=1+Inxo--,構(gòu)造函數(shù)M(x)=1+Inx

xo2x

-1(x>0),利用導(dǎo)數(shù)求出函數(shù)的最小值即可得到答案.

[詳解]

由/(X)=Inx4--X,則切點為X0,X04--X0

22

求導(dǎo)/(X)=~,則切線金座k=-+—,

x2xo2

切線方程為y=J+}(x-％o)+Inxo+]xo,即y=J+土工+Inxo-1

則k+匕=1+Inxo-(xo>0]

0[<1][

令"(x)=-+Inx-—(%>0),則瓦(%)=---=-----,令u(%)=0,得x=1

x2xx2x2

當(dāng)0vxv1時，u(%)<0,“(%)單調(diào)遞減;聲%>1時，u(x)>0,w(x)單調(diào)遞增；

故當(dāng)x=1時，函數(shù)瓦(x)取得最小值u(l)=1，即k+匕的最小值為1

22

AfcifeC

【點睛】

方法點睛：本題主要考查了利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義求曲線在某點處的切線方程，以及利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性與極值，求切

線常見考法：

(1)已知切點力xo,fxo求斜率k,即求該點處的導(dǎo)數(shù)值：k=/'xo.

(2)已知斜率k,求切點Axx,fxi,艮叫方程/xi=k.

yi=/(xi)

⑶若求過點P(xo』o)的切線方程，可設(shè)切點為由,求解即可.

yo-i/i=/(xi)(xo-x

3、利用導(dǎo)數(shù)值求參數(shù)值

N1

21.已知曲線"=7「-31n》的一條切線的斜率為則切點的橫坐標(biāo)為()

A.3B.2C.1D.3或一2

【答案】A

【分析】

由題得"=~1X-3-(X>0),設(shè)切點的橫坐標(biāo)為相，解方程1工m-3-1=~即得解.

2x2m2

【詳解】

由題得y=-x--(x>0).

2_久131

設(shè)切點的橫坐標(biāo)為加，則,加一一=一，解得機=3或機=一2(舍去).

2m2

A

2函數(shù)/x=x3+ax2+3%-9,x在％=-3時取得極值，則口等于()

A.4B.5C.6D.7

【答案】B

【分析】

求出導(dǎo)函數(shù)/(幻，電A(-3)=0即可求a.

【詳解】

由題意，/(%)=3x2+2flx+3,1/(-3)=0,

?,./(-3)=27—6a+3=0,可得〃=5.

.-.f(x)=3%2+10x+3=(3x+1)(%+3),

當(dāng)/(X)>°，有無>一/或％v-3,則-8,-3、-,+00上/X遞增；

當(dāng)/(X)v0,有一3vxv--，則-3,-上/x遞減；

33

.??%=-3是/x的極值點.

綜上，a=5.

雌B

3直線"=5x+匕是曲線"=爐+2x+1的一條切線，則實數(shù)匕=()

A.-1或1B.-1或3C.-1D.3

【答案】B

【分析】

利用導(dǎo)數(shù)求得切點坐標(biāo)，進(jìn)而求得b的值.

【詳解】

令y=3久2+2=5,解得3=±1,故切點為1,4或一1,一2,

而匕="-5x,=4-5=-1或匕=—2--5=3.

AfcifeB

i已知V=x-1與曲線"=ln(x-n)相切，則a的值為()

A.-1B.0C.1D.2

【答案】B

【分析】

根據(jù)題意設(shè)出切點坐標(biāo)，進(jìn)而對函數(shù)求導(dǎo)，然后根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義求得答案.

【詳解】

由題意，設(shè)切點為xo,xo-1,W,xo-1=Inxo-a=------，所以-------=1=>%0-a=1,所以Ko-

x-axo—a

1=00xo=1,則In1—fl=0=>a=0.

故選：B.

3若曲線j/=x3+a%在點1,。+1處的切線方程為］/=7x+加，則機=()

A.3B.-3C.2D.-2

【答案】D

【分析】

由導(dǎo)數(shù)求出參數(shù)m將切點代入切線方程即可求出機.

【詳解】

y=3x2+a,依題意可得3+a=7,即a=4,因為a+1=7+m,所以m=—2.

雌D

?已知fx=x3+ax2+b(a,bGR),峻j/=fx在點l,f1處的切線方程為K一"+1=0,貝曠x

的極大值為()

A.0B.~rOn50

327

【答案】C

【分析】

曲線"=/x在點1,71處的切線方程為％-］/+1=0，可薊1=2,/1=1.由此建立關(guān)于。、匕的方程

組，進(jìn)而確定函數(shù)解析式；然后用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的極值即可.

【詳解】

因為曲線y=/x在點l,f1處的切線方程為x-y+1=0,

所以/1=2,f1=1,

、井工一r/口1+a+b=2皿0a=-1

進(jìn)而可得，解得，

3+2a=lo=2

故/x=x3-x2+2,fx=3x2-2x=x(3x-2)

27

由/x>0,解得%v0或x>3；好%<0,解得0vxv石.

故/X在XW(-8,0］上單調(diào)遞增，在XG0,-上單調(diào)遞減，在XG&,+8上單調(diào)遞增,

33

故/x在x=0處取得極大值，且/%的極大值為/0=2.

C

1已知曲線"=x+lnx在點1,1處的切線與曲線］/=aN+a+2x+1相切，則。=()

A.4B.8C.2D.1

【答案】B

【分析】

求出］/=X+Inx的導(dǎo)數(shù)，求得切線的斜率，可得切線方程，再由于切線與曲線"=+〃+2%+1相切，有且只

有一切點，進(jìn)而可聯(lián)立切線與曲線方程，根據(jù)△=0得到a的值.

【詳解】

解：y=x+Inx的導(dǎo)數(shù)為yz=1+-,

曲線y=x+Inx在x=1處的切線斜率為k-2,

則曲線y=x+Inx在x=1處的切線方程為"-1=2x-1,即y=2x-1.

由于切線與曲線"=aN+a+2x+l相切，

y=ax2+〃+2x+1可?^y=2x-1,

得ax2+〃、+2=0,

又〃wO,兩線相切有一切點，

所以有△=〃2-8〃二0,

解得〃=8.

故選：B.

-X,X<1

8已知函數(shù)/x=，若不等式/%m久-k對任意的xeR恒成立，則實數(shù)k的取值范圍是(

Inx,x>1

)

A.一8,1B.1,4-00c.0,1D.一1,0

【答案】C

【分析】

作出函數(shù)/x的圖象，由題意可得在卜=x-k的圖象的上方，分別討論kv0、k=0、k>0,結(jié)合圖象的平移，

以及導(dǎo)數(shù)的幾何意義即可求解.

【詳解】

,-x,x<1_

作出函數(shù)/X=的圖象，

Inx,x>1

由不等式/x<x-k對任意的為eR恒成立，

可得"=/x的圖象不在"=x-k的圖象的上方，

且沙=%-k的圖象關(guān)于直線x=k對稱，

當(dāng)kv0時，由圖象可知不滿足題意；

當(dāng)k=0時，/x<x-k對任意的xeR恒成立，滿足題意；

當(dāng)k>0時，當(dāng)"=x-k的圖象與］/=/x的圖象相切，即有y=x-k為切線，

由/x=lnx可得/x=J，

設(shè)切點為m,n,可得切線的斜率為/m==1,則加=1,

所以n=Inm=0,所以0=1-k,解得：k=1,

則Ovkwl時，滿足題意.

綜上可得，實數(shù)k的取值范圍是0,1.

雌C.

B已知曲線/x=lnx+，x+匕在x=1處的切線是x軸，若方程/x=mmGR有兩個不等實根如陽,

則X1+X2的取值范圍是（）

A.0,jB.0,1C.2,+8D.4,+8

【答案】C

【分析】

木傭/x在％=1處的切線是％軸，求得〃,匕.利用/%研究/x的單調(diào)性，根據(jù)方程/x=mmeR有兩

個不等實根X1,X2,求得%1+久2的取值范圍.

【詳解】

fx的定義域為0,+oo,fx=^+a,

f-[=a+b=O

依題意可知J1解得a=-l,匕=1,

所以/x=Inx-x+1,fx=-1=，

所以fx在區(qū)間0,1上遞增，在1,+8上遞減，/1=0,

由于方程/x=mmWR有兩個不等實根xi,xz,

所以m<0,

不妨設(shè)0VX1V1VX2,

當(dāng)機r0時；XiT1,X2710XI+久2f2,

當(dāng)加t-8時，xi->O,X2T+8=>XI+X2T+8,

即%1+X2的取值范圍是2,+00.

C

【點睛】

本小題主要考查根據(jù)切線求參數(shù)，考查利用導(dǎo)數(shù)研究方程的根，屬于難題.

s若函數(shù)/%=Inx+/置與8%=%2+1的圖象有共同的切線"=n>0,則實數(shù)加=（）

A.2B.3C.4D.5

【答案】C

【分析】

聯(lián)立]/=a>0和g%=X2+1,運用判別式為0,求得1的值，設(shè)切線與"=7%的圖象相切于點（S/）,求

得/X的導(dǎo)數(shù)，得出關(guān)于加,S的方程，消去加，構(gòu)造函數(shù)〃S,利用導(dǎo)數(shù)求得函數(shù)的單調(diào)性，即可求解.

【詳解】

由fl>0和gx=x2+1聯(lián)立，可得x2+1-ax=0,

可得△=—4=0,解得a=2和a=-2（舍去），

所以切線方程為y=2x,

設(shè)切線與V=7%的圖象相切于點

由函數(shù)/x=Inx+含春，貝早x=x+

可得/s=1+———=2,且2s=Ins+,

s（s+l）2