高等代數(shù)

教案

秦文釗

一'章（節(jié)'目）授課計(jì)劃第頁

第二章引言授課

授課章節(jié)名稱§1

時(shí)數(shù)

教

學(xué)

通過本節(jié)的學(xué)習(xí)，使學(xué)生了解行列式的背景

目

的

教

學(xué)

要求學(xué)生熟練掌握二、三級(jí)行列式的對(duì)角線計(jì)算法則

要

求

教

學(xué)

二、三元線性方程組的計(jì)算公式，二、三級(jí)行列式的對(duì)角線計(jì)算法則

重

點(diǎn)

教

學(xué)

難二、三元線性方程組的計(jì)算公式

點(diǎn)

教學(xué)

方法與

啟發(fā)式講練相結(jié)合

手段

作業(yè)與

無

思考題

閱讀

1.張禾瑞，郝炳新編：《高等代數(shù)》，高等教育出版社。

書目或

2.王萼芳：《高等代數(shù)》，高等教育出版社。

參考

3.田孝貴等：《高等代數(shù)》，高等教育出版社

資料

教

學(xué)

后

記

二'課時(shí)教學(xué)內(nèi)容第頁

教學(xué)內(nèi)容小結(jié)

解方程是代數(shù)中的一個(gè)基本白勺問題，特別是ZE中學(xué)所學(xué)代數(shù)中，解

方程占有重要地位.這一章和下一■-翼主要討論一般E月多元一次方程組，即

線性方程組.

一、對(duì)于二元線性方;程組

anxx卜anx2=仇，

<

〃2i%i--。22%2=。2，

當(dāng)ana22—a12a21w0時(shí),止匕方程組有唯一解E,即

_4“22-%2b2Q]]Z?2—

X1一，%2一

2]]^^22*2]2^^21

我彳門稱。11。22一。12a21為二2及行列式:,用符w1■表示為

_a\\〃12

%1。22—012a2l-

〃21a22

于是上述解可以用二級(jí)行.列式敘文+為：

當(dāng)二級(jí)行列式

%2/0

〃21出2

時(shí)，該方程組有唯一解，即

仇見2au2

〃

b?出221%

x\一，X1—

，12112

。2]^^22。2122

二、對(duì)于三元線性方:程組有木1仿的結(jié)1侖設(shè)有三三元線性方程組

f6

11],X?+〃]3J3二仇,

<aX?1d2,,?^/23,%=b?，

[a3Ml+“32X2+“33”。3=2?

稱代數(shù)式22a33+42a23-%2a21a33—%3a22a31為

4+。自'21^^32a11。23。32

三級(jí)行列式，用符號(hào)表示,為：

二'課時(shí)教學(xué)內(nèi)容第頁

教學(xué)內(nèi)容小結(jié)

Cly?^^12^^13

^^12^^23^^31^^13,’21^^32^^32^^33^^13^^22^^31^^21(122^^23

%i%2。33

當(dāng)三級(jí)行列式

CI11^^12^^13

d^^21^^22^^23

。31。32〃33

時(shí)，上述三元線性方程4H有唯一解，解為

4d2d3

1d2d3d

其中

b["12°

“13'b、d-y?^^12

’23，2^^21'b2^^23，3^^21^^22b2.

d{—b2a22，

,33”31”3“33”31”32

打。32c仇

三、〃元線性方程勢(shì)1

%1%1+%2%2+.?,+%〃%〃=>,

〃2i%i+〃22%2---------ha2nXn=82，

<

4/1+%2》2+---+annXn=bn

是否也有類似的結(jié)論呢?為此，首先給出“級(jí)行列式的定義并討論它的性質(zhì)，

最后來解決這一問題，X士是本章的主要內(nèi)容.

一‘章（節(jié)'目）授課計(jì)劃第頁

授課

授課章節(jié)名稱§2排列

時(shí)數(shù)

教

學(xué)

通過本節(jié)的學(xué)習(xí)，使學(xué)生掌握有關(guān)排列的相關(guān)知識(shí)

目

的

教

學(xué)要求學(xué)生掌握有關(guān)排列的基本概念、并能熟練掌握排列逆序數(shù)的計(jì)算

要與奇偶性的確定。

求

教

學(xué)

有關(guān)排列的基本概念、排列的奇偶性。

重

點(diǎn)

教

學(xué)

難排列逆序數(shù)的計(jì)算與奇偶性的確定

點(diǎn)

教學(xué)

方法與講授法

手段

作業(yè)與

思考題

閱讀

1.張禾瑞，郝炳新編：《高等代數(shù)》，高等教育出版社。

書目或

2.王萼芳：《高等代數(shù)》，高等教育出版社。

參考

3.田孝貴等：《高等代數(shù)》，高等教育出版社

資料

教

學(xué)

后

記

二'課時(shí)教學(xué)內(nèi)容第頁

教學(xué)內(nèi)容小結(jié)

一、排列的定義

定義1由1,2,…，〃組成的一個(gè)有序數(shù)組稱為一個(gè)〃級(jí)排列.

”級(jí)排列的總數(shù)是〃!.

顯然12…〃也是一個(gè)〃級(jí)排列，這個(gè)排列具有自然順序，就是按遞增

的順序排起來的；其它的排列或多或少地破壞自然順序.

定義2在一個(gè)排列中，如果一對(duì)數(shù)的前后位置與大小順序相反，即

前面的數(shù)大于后面的數(shù)，那么它們就稱為一個(gè)逆序，一個(gè)排列中逆序的

總數(shù)就稱為這個(gè)排列的逆序數(shù).

排列工一…力的逆序數(shù)記為

例：排列53214的逆序數(shù)7

定義3逆序數(shù)為偶數(shù)的排列稱為偶排列；逆序數(shù)為奇數(shù)的排列稱為

奇排列。

應(yīng)該指出，我們同樣可以考慮由任意〃個(gè)不同的自然數(shù)所組成的排

歹U,一般也稱為〃級(jí)排列。對(duì)這樣一般的〃級(jí)排列，同樣可以定義上面這

些概念。

二、排列的奇偶性

把一個(gè)排列中某兩個(gè)數(shù)的位置互換，而其余的數(shù)不動(dòng)，就得到另一

個(gè)排列.這樣一個(gè)變換稱為一個(gè)對(duì)換。顯然，如果連續(xù)施行再次相同的對(duì)

換，那么排列就還原了。由此得知，一個(gè)對(duì)換把全部"級(jí)排列兩兩配對(duì)，

使每?jī)蓚€(gè)配成對(duì)的〃級(jí)排列在這個(gè)對(duì)換下互變。

定理1對(duì)換改變排列的奇偶性.

這就是說，經(jīng)過一次對(duì)換，奇排列變成偶排列，偶排列變成奇排列.

推論在全部〃級(jí)排列排列中，奇、偶排列的個(gè)數(shù)相等，各有旬/2個(gè).

定理2任意一個(gè)九級(jí)排列與排列12…〃都可以經(jīng)過一系列對(duì)換互變，

并且所作對(duì)換的個(gè)數(shù)與這個(gè)排列有相同的奇偶性.

結(jié)論：任意兩個(gè)排列都可以經(jīng)過一系列對(duì)換互變.

一'章（節(jié)'目）授課計(jì)劃第頁

授課

授課章節(jié)名稱§3n級(jí)行列式

時(shí)數(shù)

教

學(xué)

使學(xué)生掌握行列式的定義

目

的

教

學(xué)

要求學(xué)生真正的理解行列式的定義以及行與列地位的對(duì)稱

要

求

教

學(xué)

一般行列式的定義、行與列的地位是對(duì)稱的

重

點(diǎn)

教

學(xué)

難行列式的定義

點(diǎn)

教學(xué)

方法與講授法啟發(fā)式

手段

作業(yè)與

思考題

閱讀

1.張禾瑞，郝炳新編：《高等代數(shù)》，高等教育出版社。

書目或

2.王萼芳：《高等代數(shù)》，高等教育出版社。

參考

3.田孝貴等：《高等代數(shù)》，高等教育出版社

資料

教

學(xué)

后

記

二'課時(shí)教學(xué)內(nèi)容第頁

教學(xué)內(nèi)容小結(jié)

一、”級(jí)行列式的概念

在給出〃級(jí)行列式的定義之前，先來看一下二級(jí)和三級(jí)行列式的定義。我

們有

an

=%1^^22^"12^"21(1)

〃21

a\\an〃13

a2la22〃23—22a33+^12^*23^31+3121a3223a32^12^21^333122a31(2)

〃31a32〃33

從二級(jí)和三級(jí)行列式的定義中可以看出，它們都是一些乘積的代數(shù)和，而

每一項(xiàng)乘積都是由行列式中位于不同的行和不同的列的元素構(gòu)成的，并且展開

式恰恰就是由所有這種可能的乘積組成.另一方面，每一項(xiàng)乘積都帶有符號(hào).這符

號(hào)是按什么原則決定的呢？在三級(jí)行列式的展開式⑵中，項(xiàng)的一般形式可以寫

成

&j產(chǎn)2戶3上3◎)

其中/山3是L2,3的一個(gè)排列.可以看出,當(dāng)//2/3是偶排歹U時(shí).對(duì)應(yīng)的項(xiàng)在

⑵中帶有正號(hào)，當(dāng)/"2/3是奇排列時(shí)帶有負(fù)號(hào).

定義4〃級(jí)行列式

^^22

an\an2

等于所有取自不同行不同列的〃個(gè)元素的乘積

aaa

ijt2.j2"'nj?(5)

的代數(shù)和，這里//…九是1,2,…，〃的一個(gè)排列，每一項(xiàng)(5)都按下面規(guī)則帶有符

號(hào)；當(dāng)工人是偶排列時(shí)，(5)帶有正號(hào)，當(dāng)/"2是奇排列時(shí)，(5)帶有負(fù)

號(hào).這一定義可寫成

二'課時(shí)教學(xué)內(nèi)容第頁

教學(xué)內(nèi)容小結(jié)

%]。12…ain

〃21一°

a22。2n=2（-1）-"也…。/⑹

anlan2…ann

這里z表示■對(duì)所有〃級(jí)排列以3和.

定義表明,為了計(jì)算〃級(jí)行3川式，首先作所有可能由位于不同行不同

列元素構(gòu)成的5乘積.把構(gòu)成這些期3積的元素按行指標(biāo)排成自然順序，然后

由列指標(biāo)所成1的排列的奇偶性來決定這一項(xiàng)的符號(hào).

由定義看1乩〃級(jí)行列式是由加項(xiàng)組成的.

例1計(jì)算行列式

0001

0020

0300-

4000

例2計(jì)算上三角形行列式

0a22

00ann

a”。12

°。22??,Cl2n

.=ana22---am.（8）

001?1ann

這個(gè)行列式就?等于主對(duì)角線（從左上角到右下角這條對(duì)角線）上元素的

乘積.特別主對(duì)角線以外的元素4已為零的行列式稱為對(duì)角形行列式.對(duì)角

形行列式的值,早于主對(duì)角線上元素的乘積.

容易看出,當(dāng)行列式的元素全是數(shù)域中的數(shù)時(shí)，它的值也是數(shù)域中

的一個(gè)數(shù).

二'課時(shí)教學(xué)內(nèi)容第頁

教學(xué)內(nèi)容小結(jié)

二、行列式的性質(zhì)

在行列式的定義中，為了決定每一項(xiàng)的正負(fù)號(hào)，把元素按行指標(biāo)排

起來.事實(shí)上，數(shù)的乘法是交換的，因而這些元素的次序是可以任意寫的，

一般地，〃級(jí)行列式中的項(xiàng)可以寫成

，%/,,為“,(11)

其中hh…""2是兩個(gè)n級(jí)排列.利用排列的性質(zhì)，不難證明，(11)

的符號(hào)等于

(_])改論-in)+六/1,2???，〃)([2)

按(12)來決定行列式中每一項(xiàng)的符號(hào)的好處在于，行指標(biāo)與列指標(biāo)的地位

是對(duì)稱的，因而為了決定每一項(xiàng)的符號(hào)，同樣可以把每一項(xiàng)按列指標(biāo)排

起來，于是定義又可以寫成

“11"12…a\n

沏=2(-1嚴(yán)3”2."(⑸

.,?￥2-"in

anlan2…ann

由此即得行列式的下列性質(zhì)：

性質(zhì)1行列互換，行列式不變.即

“11"12…aina\\"21…ani

“2ia22…a2nana22…an2/1乙、

..=..,.(16)

%2…anna\n“2〃…^nn

性質(zhì)1表明，在行列式中行與列的地位是對(duì)稱的，因之凡是有關(guān)行

的性質(zhì)，對(duì)列也同樣成立.例如由(8)即得下三角形的行列式

a”0…0

〃21〃22.一0

???—^11^22,，，ann

an\an2…ann

一‘章(節(jié)'目)授課計(jì)劃第頁

授課

授課章節(jié)名稱§4n級(jí)行列式的性質(zhì)

時(shí)數(shù)

教

學(xué)

通過本節(jié)學(xué)習(xí)，使學(xué)生能熟練掌握行列式性質(zhì)的應(yīng)用

目

的

教

學(xué)

要求學(xué)生能熟練掌握行列式性質(zhì)及其應(yīng)用

要

求

教

學(xué)

行列式的性質(zhì)及其應(yīng)用

重

點(diǎn)

教

學(xué)

難行列式性質(zhì)的應(yīng)用

點(diǎn)

教學(xué)

方法與講授法啟發(fā)式

手段

作業(yè)與

思考題

閱讀

1.張禾瑞，郝炳新編：《高等代數(shù)》，高等教育出版社。

書目或

2.王萼芳：《高等代數(shù)》，高等教育出版社。

參考

3.田孝貴等：《高等代數(shù)》，高等教育出版社

資料

教

學(xué)

后

記

二'課時(shí)教學(xué)內(nèi)容第頁

教學(xué)內(nèi)容小結(jié)

行列式的計(jì)算是一個(gè)重要的問題，也是一個(gè)很復(fù)雜的問題.因此有必

要進(jìn)一步討論行列式的性質(zhì).利用這些性質(zhì)來簡(jiǎn)化行列式的計(jì)算.

在行列式的定義中，雖然每一項(xiàng)是"個(gè)元素的乘積，但是由于這〃個(gè)

元素是取自不同的行與列，所以對(duì)于某一確定的行中〃個(gè)元素（譬如

%,62,…,勾〃）來說，每一項(xiàng)都含有其中的一個(gè)且只含有其中的一個(gè)元素.

因之，〃級(jí)行列式的〃!項(xiàng)可以分成〃組，第一組的項(xiàng)都含有小,第二組

的項(xiàng)都含有《2等等?再分別把i行的元素提出來，就有

a\\"12…a\n

a”***CLQ

：：；=%4+—42+…+生,（1）

d1nldn2r,?,ann

其中為代表那些含有％的項(xiàng)在提出公因子因之后的代數(shù)和（至于&究

竟是哪一些項(xiàng)的和暫且不管，到§6再來討論）.從以上討論可以知道，4

中不再含有第，行的元素，也就是4I，A2,…,A”全與行列式中第i行的元

素?zé)o關(guān).由此即得.

性質(zhì)2

a\\an…a\na\\an…ain

k%ikai2???kain=kanai2???ain

an\a,,21,,ann氏1見，2…a,m

這就是說，一行的公因子可以提出去，或者說以一數(shù)乘行列式的一行相

當(dāng)于用這個(gè)數(shù)乘此行列式.

令上=0,就有如果行列式中一行為零，那么行列式為零.

二'課時(shí)教學(xué)內(nèi)容第頁

教學(xué)內(nèi)容小結(jié)

性質(zhì)3

a\\a\2…a\na\\a\2…a\na\\an…a\n

?????????

****,*

4+C]b2+c2bn+cj=4b2???bn+Gc2???cn.

a疝a"2a1manlan2???ann\anian2???a1m

這就是說，如果某一行是兩組數(shù)的和，那么這個(gè)行列式就等于兩個(gè)行列

式的和，而這兩個(gè)行列式除這一行以外全與原來行列式的對(duì)應(yīng)的行一樣.

性質(zhì)3顯然可以推廣到某一行為多組數(shù)的和的情形.

性質(zhì)4如果行列式中有兩行相同，那么行列式為零.所謂兩行相同就

是說兩行的對(duì)應(yīng)元素都相等.

性質(zhì)5如果行列式中兩行成比例，那么行列式為零.

性質(zhì)6把一行的倍數(shù)加到另一行，行列式不變.

性質(zhì)7對(duì)換行列式中兩行的位置，行列式反號(hào).

例1計(jì)算〃級(jí)行列式

abbb

babb

d=bbab

bbb■?■a

例2計(jì)算行列式

-231

503201298.

523

由于上（下）三角形行列式容易計(jì)算，因此計(jì)算行列式的一個(gè)基本方法是利用行

列式的性質(zhì)，把行列式化成上（下）三角形行列式進(jìn)行計(jì)算.

例3一個(gè)〃級(jí)行列式，假設(shè)它的元素滿足

%=一。"，i,j=l,2,---,n,（4）

證明，當(dāng)〃為奇數(shù)時(shí)，此行列式為零.

一'章（節(jié)'目）授課計(jì)劃第頁

授課

授課章節(jié)名稱§5行列式的計(jì)算

時(shí)數(shù)

教

學(xué)通過本節(jié)學(xué)習(xí)，使學(xué)生能熟練掌握矩陣的初等變換在行列式的計(jì)算中

目的應(yīng)用

的

教

學(xué)通過本節(jié)學(xué)習(xí)，要求學(xué)生能熟練掌握矩陣的初等變換在行列式的計(jì)算

要中的應(yīng)用

求

教

學(xué)

矩陣的初等變換、行列式計(jì)算

重

點(diǎn)

教

學(xué)

難行列式的計(jì)算

點(diǎn)

教學(xué)

講授法啟發(fā)式

方法與

手段

作業(yè)與

思考題

閱讀

1.張禾瑞，郝炳新編：《高等代數(shù)》，高等教育出版社。

書目或

2.王萼芳：《高等代數(shù)》，高等教育出版社。

參考

3.田孝貴等：《高等代數(shù)》，高等教育出版社

資料

教

學(xué)

后

記

二'課時(shí)教學(xué)內(nèi)容第頁

教學(xué)內(nèi)容小結(jié)

在§3我們看到，一個(gè)上三角形行列式

a\\"12…ain

°“22.??a2rl

00ann

就等于它主對(duì)角線上元素的乘積

%1。22'ann

這個(gè)計(jì)算是很簡(jiǎn)單的.下面我們想辦法把任意的〃級(jí)行列式化為上三角形

行列式來計(jì)算.

定義5由防個(gè)數(shù)排成的5行(橫的)“列(縱的)的表

/、

auan…a\n

〃21“22,,,“2〃

("sias2asn)

(1)

稱為一個(gè)SX"矩陣.

數(shù)為,/?==1,2,…,〃，稱為矩陣(1)的元素，i稱為元素%的

行指標(biāo)，J稱為列指標(biāo).當(dāng)一個(gè)矩陣的元素全是某一數(shù)域P中的數(shù)時(shí)，它

就稱為這一數(shù)域P上的矩陣.

"X"矩陣也稱為〃級(jí)方陣.一個(gè)〃級(jí)方陣

/、

“11an…a\n

A_〃21a22….

an2…ann)

定義一個(gè)九級(jí)行列式

a\\a12…ain

。21“22…2n

、

dn,\an2,,,ann

稱為矩陣A的行列式，記作|A|.

二'課時(shí)教學(xué)內(nèi)容第頁

教學(xué)內(nèi)容小結(jié)

定義6所謂數(shù)域P上矩陣的初等行變換是指下列三種變換：

1）以尸中一個(gè)非零的數(shù)乘矩陣的某一行；

2）把矩陣的某一行的c倍加到另一行，這里c是P中任意一個(gè)數(shù)；

3）互換矩陣中兩行的位置.

一般說來，一個(gè)矩陣經(jīng)過初等行變換后，就變成了另一個(gè)矩陣.當(dāng)矩

陣A經(jīng)過初等行變換變成矩陣B時(shí)，我們寫成

A^B

若一個(gè)矩陣的任一行從第一個(gè)元素起至該行的第一個(gè)非零元素所在

的下方全為零，則稱這樣的矩陣為階梯形矩陣.

可以證明，任意一個(gè)矩陣經(jīng)過一系列初等行變換總能變成階梯形矩

陣.

現(xiàn)在回過來討論行列式的計(jì)算問題.一個(gè)〃級(jí)行列式可看成是由一個(gè)

〃級(jí)方陣A決定的，對(duì)于矩陣可以作初等行變換，而行列式的性質(zhì)2,6,

7正是說明了方陣的初等行變換對(duì)于行列式的值的影響.每個(gè)方陣A總可

以經(jīng)過一系列的初等行變換變成階梯形方陣，.由行列式性質(zhì)2,6,7,

對(duì)方陣每作一次初等行變換，相應(yīng)地，行列式或者不變，或者差一非零

的倍數(shù)，也就是

\A\=k\J\,k^O

顯然，階梯形方陣的行列式都是上三角形的，因此是容易計(jì)算的.

例計(jì)算

-25-13

1-9137

3-15-5

28-7-10

不難算出，用這個(gè)方法計(jì)算一個(gè)〃級(jí)的數(shù)字行列式只需要做

*+j—3次乘法和除法.特別當(dāng)〃比較大的時(shí)候，這個(gè)方法的優(yōu)越性就

二'課時(shí)教學(xué)內(nèi)容第頁

教學(xué)內(nèi)容小結(jié)

更加明顯了.同時(shí)還應(yīng)該看到，這個(gè)方法完全是機(jī)械的，因而可以用電子

計(jì)算機(jī)按這個(gè)方法來進(jìn)行行列式的計(jì)算.

對(duì)于矩陣同樣可以定義初等列變換，即

1）以尸中一個(gè)非零的數(shù)乘矩陣的某一列；

2）把矩陣的某一列的c倍加到另一列，這里c是P中任意一個(gè)數(shù)；

3）互換矩陣中兩列的位置.

為了計(jì)算行列式，也可以對(duì)矩陣進(jìn)行初等列變換.有時(shí)候，同時(shí)用初

等行變換和列變換，行列式的計(jì)算可以更簡(jiǎn)單些.

矩陣的初等行變換與初等列變換統(tǒng)稱為初等變換.

一‘章（節(jié)'目）授課計(jì)劃第頁

授課

授課章節(jié)名稱§6行列式按一行（列）展開

時(shí)數(shù)

教

學(xué)

通過本節(jié)的學(xué)習(xí)，可以以使行列式的計(jì)算更簡(jiǎn)化

目

的

教

學(xué)

要求學(xué)生會(huì)應(yīng)用行列式展開性質(zhì)來計(jì)算行列式

要

求

教

學(xué)

行列式按一行展開的性質(zhì)、展開性質(zhì)的應(yīng)用

重

點(diǎn)

教

學(xué)

難展開性質(zhì)的應(yīng)用

點(diǎn)

教學(xué)

講授法啟發(fā)式

方法與

手段

作業(yè)與

思考題

閱讀

1.張禾瑞，郝炳新編：《高等代數(shù)》，高等教育出版社。

書目或

2.王萼芳：《高等代數(shù)》，高等教育出版社。

參考

3.田孝貴等：《高等代數(shù)》，高等教育出版社

資料

教

學(xué)

后

記

二'課時(shí)教學(xué)內(nèi)容第頁

教學(xué)內(nèi)容小結(jié)

在§4看到，對(duì)于幾級(jí)行列式，有

“11"12…a\n

ailai2,_ain=*41+2A2~l------H=1，2,(D

anlan2'…rm

現(xiàn)在來研究這些&=l2…,“多展竟是:什么.

三級(jí)行列式可以通過二級(jí)，行列式表方己

]^Z]2^^13

a22aI?〃2ia2.,a2\a22/c、

+〃i3.(2)

〃21a22〃23~_%2

a32。33。31033〃31a33

^31〃32/3

定義7在行列式

U???Qi

a1aIn

a,,,c1.ij.???ain

a???anjann

中劃去元素%所在的第i行與第j列,剩下的5-1)2個(gè)元素按原來的排法

V

構(gòu)成一個(gè)〃-1級(jí)行列式

a\\…"1"-1"LJ+1…"1〃

…4"磯…..總⑶

ai+l,l.??ai+l,j-lai+l,j+\…ai+l,n

aaa

n\,,,n,j-ln,j+\…明〃

稱為元素%的余子式，記作

Vv

下面證明

&=(—1產(chǎn)場(chǎng).(4)

為此先證明〃級(jí)行列式與〃-1級(jí)行列式的下面這個(gè)關(guān)系，

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教學(xué)內(nèi)容小結(jié)

〃12…a\,n-\ain

anan…a\,n-i

〃21422???a2,n-i。2H

a2i〃22…a2,n-\⑸

..?.一

an-\,ian-l,2…an-\,n-\1,”

an-i,ian-\,2…an-\,n-\

00???01

其次，在(1)中令為=ai2—=4T=4」i=-ain-0,陽=1,即可得證

定義8上面所談到的A,稱為元素傳的代數(shù)余子式.

VV

這樣，公式(1)就是說，行列式等于J良一行的元素分別與它們代數(shù)余

子式的乘積之和.在⑴中，如果令第，行的元素等于另外一行，譬如說，

第上行的元素，也就是

%=akj,j=1,2,

于是

an…a\n

akl…akn

akiA,i+ak2Ai2+,"+akA.=::

aklakn

a”i???ann

右端的行列式含有兩個(gè)相同的行，應(yīng)該為零，這就是說，在行列式中，

一行的元素與另一行相應(yīng)元素的代數(shù)余子式的乘積之和為零.

定理3設(shè)

a\\%2…a\n

〃21〃22??,a2n

d=:::

an\an2…ann

&表示元素劭的代數(shù)余子式，則下列公式成立：

VV

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教學(xué)內(nèi)容小結(jié)

d,當(dāng)k=i

ak\\\+ak2^i2+，,+akA=<(6)

0,當(dāng)kwi

d,當(dāng)I=j

+a2l^2j+'■+anlAnj=<(7)

0,當(dāng)/Hj

用連加號(hào)簡(jiǎn)寫為

S[d,當(dāng)k=i,d,當(dāng)/=_/,

/,aksAis=\u.ZQsAjzz<

普10,當(dāng)左Hz;5=10,當(dāng)⑺.

在計(jì)算數(shù)字行列式時(shí)，直接應(yīng)用展開式(6)或⑺不一定能簡(jiǎn)化計(jì)算，

因?yàn)榘岩粋€(gè)〃級(jí)行列式的計(jì)算換成〃個(gè)(〃-1)級(jí)行列式的計(jì)算并不減少

計(jì)算量，只是在行列式中某一行或某一列含有較多的零時(shí)，應(yīng)用公式(6)

或(7)才有意義.但這兩個(gè)公式在理論上是重要的.

例1計(jì)算行列式

53-120

17252

0-2310

0-4-140

02350

例2行列式

1111

%。2…%

d=a；“2〃3…an(8)

a；-'a/犬…

稱為〃級(jí)的范德蒙德(Varidermonde)行列式.證明,'寸任意的”(〃22),〃級(jí)范

德蒙德行列式等于%/,???,明這〃個(gè)數(shù)的所有可能的差

%—%(1<j<i<ri)的乘積.

用連乘號(hào)，這個(gè)結(jié)果可以簡(jiǎn)寫為.

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教學(xué)內(nèi)容小結(jié)

111???1

Q]。2***Q〃

2-2-2「2

Cl?***Q”=II(4-%)?

1<j<i<n

ara'】???康

由這個(gè)結(jié)果立即得出，范德蒙德行列式為2言的充要條件是%,4這

〃個(gè)數(shù)中至少7年兩個(gè)相等.

例3證明

aU…a\k0???0

6Z]]***6Z]kbnb”

akX…akk0???0””

bllb!r?

C\\…C\k

b

aa,ib.

：：k\kk

…c也如…■

一‘章（節(jié)'目）授課計(jì)劃第頁

授課

授課章節(jié)名稱§7Cramer法則

時(shí)數(shù)

教

學(xué)通過本節(jié)的學(xué)習(xí)，使學(xué)生會(huì)運(yùn)用Gramer法則求線性方程組的解

目

的

教

學(xué)通過本節(jié)的學(xué)習(xí)，要求學(xué)生會(huì)運(yùn)用Gramer法則求線性方程組的解

要

求

教

學(xué)

Gramer法則的應(yīng)用

重

點(diǎn)

教

學(xué)

難Gramer法則的應(yīng)用

點(diǎn)

教學(xué)

講授法啟發(fā)式

方法與

手段

作業(yè)與

思考題

閱讀

1.張禾瑞，郝炳新編：《高等代數(shù)》，高等教育出版社。

書目或

2.王萼芳：《高等代數(shù)》，高等教育出版社。

參考

3.田孝貴等：《高等代數(shù)》，高等教育出版社

資料

教

學(xué)

后

記

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教學(xué)內(nèi)容小結(jié)

現(xiàn)在應(yīng)用行列式解決線性方程組的問題.在這里只考慮方程個(gè)數(shù)與未

知量個(gè)數(shù)相等的情形.

定理4如果線性方程組

[anxl+anx2+---+alnxn=仄,

anx,+a22x2+---+a,nxn=b2,

1(1)

+an2x2+---+a,mxn=bn

的系數(shù)矩陣

/、

a\\an…a\n

“21“22…a

A=:::2n⑵

…^nn)

的行列式

d=|A|w0

那么線性方程組(1)有解，并且解是唯一的，解可以通過系數(shù)表為

d]"2d/c、

玉=77，/=二7，…，九"二n7，⑶

aaa

其中力是把矩陣A中第j列換成常數(shù)項(xiàng)久也,…乩所成的矩陣的行列

式，即

a\\…"1JT"1"1J+1…31〃

力=%……%=(4)

%a“gbnanj+1a,m

定理中包含著三個(gè)結(jié)論：1)方程組有解；2)解是唯一的；3)解由

公式(3)給出.這三個(gè)結(jié)論是有聯(lián)系的，因此證明的步驟是：

1.把邑烏，…，冬)代入方程組，驗(yàn)證它確是解.

aaa

2.假如方程組有解，證明它的解必由公式⑶給出.

定理4通常稱為克拉默法則.

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教學(xué)內(nèi)容小結(jié)

例1解方程組

{2匹+%—5X3+x4=8,

%-3X-6X=9,

<24

2%2—%+2%4=—5,

[%+4X2-7X3+6X4=0.

應(yīng)該注意，定理4所討論的只是系數(shù)矩陣的行列式不為零的方程組，

它只能應(yīng)用于這種方程組；至于方程組的系數(shù)行列式為零的情形，將在

下一章的一般情形中一并討論.

常數(shù)項(xiàng)全為零的線性方程組稱為齊次線性方程組.顯然齊次方程組總

是有解的，因?yàn)?0,0,…,0)就是一個(gè)解，它稱為零解.對(duì)于齊次線性方程

組，我們關(guān)心的問題常常是，它除了零解以外，還有沒有其它解，或者

說，它有沒有非零解.對(duì)于方程個(gè)數(shù)與未知量個(gè)數(shù)相同的齊次線性方程組，

應(yīng)用克拉默法則就有

定理5如果齊次線性方程組

anxx+anx2+-??+ainxn=0,

a,x+ax+---+ax=0,

<l12222nn

[+2,2左2+…+=0

(10)

的系數(shù)矩陣的行列式|A|wO,那么它只有零解.換句話說，如果方程組(10)

有非零解，那么必有IA1=0.

例2求2在什么條件下，方程組