2011年高考數(shù)學(xué)

一、2011年高考數(shù)學(xué)全部知識點整理+經(jīng)典例題詳細(xì)解析

高中數(shù)學(xué)必修一、高中數(shù)學(xué)必修二、高中數(shù)學(xué)必修三、高中數(shù)學(xué)必

修四、

高中數(shù)學(xué)必修五、高中數(shù)學(xué)選修2-1、高中數(shù)學(xué)選修2-2、高中數(shù)學(xué)

選修2-3

高中數(shù)學(xué)選修4-5

二、【內(nèi)部資料】2009-2010年高考數(shù)學(xué)模擬壓軸大題總結(jié)+詳細(xì)解

析

《20H年高考數(shù)學(xué)總復(fù)習(xí)系列》—高中數(shù)學(xué)必修一

第一章、集合

一般地，一組確定的、互異的、無序的對象的全體構(gòu)成集

合，簡稱集，用大寫字母來表示；集合中的各個對象稱為元素，用

小寫字母來表示，元素x在集合4中，稱x屬于Z,記為xe/,

否則稱x不屬于記作

例如，通常用N,Z,Q,B,。+分別表示自然數(shù)集、整數(shù)集、有理

數(shù)集、實數(shù)集、正有理數(shù)集，不含任何元素的集合稱為空集，用0

來表示。集合分有限集和無限集兩種。

集合的表示方法有列舉法：將集合中的元素一一列舉出來寫在大括

號內(nèi)并用逗號隔開表示集合的方法，如｛1,2,3｝；描述法：將集合

中的元素的屬性寫在大括號內(nèi)表示集合的方法。例如｛有理數(shù)｝,

｛x|x>0｝分別表示有理數(shù)集和正實數(shù)集。

定義2子集：對于兩個集合彳與8,如果集合/中的任何一個元

素都是集合8中的元素，則/叫做B的子集，記為Nq8,例如

N三Z。規(guī)定空集是任何集合的子集，如果/是5的子集，B也是

/的子集，則稱/與8相等。如果4是8的子集，而且8中存在元

素不屬于4則/叫8的真子集。

使[理解c8包含兩個意思：①/與8相等、②4是5的真

子集

定義3交集，=

定義4并集，A^B=｛^\xeAs^ceB].

定義5補集，若N=/,則GA=｛x|xe/,且xeZ｝稱為/在/中

的補集。

定義6集合｛x[“<x<b,xe火,“<毋記作開區(qū)間（a,6）,集合

｛x|<7<x<Z）,xe<6｝記作閉區(qū)間[a,6],R記作（一8,+8）.

定義7空集。是任何集合的子集,是任何非空集合的真子集。

對集合中元素三大性質(zhì)的理解

（1）確定性

集合中的元素，必須是確定的.對于集合/和元素。，要么

aeA,要么。任4,二者必居其一.比如：”所有大于100的數(shù)”

組成一個集合，集合中的元素是確定的.而“較大的整數(shù)”就不能構(gòu)

成一個集合，因為它的對象是不確定的.再如，“較大的樹”、”較高

的人”等都不能構(gòu)成集合.

(2)互異性

對于一個給定的集合，集合中的元素一定是不同的.任何兩個

相同的對象在同一集合中時，只能算作這個集合中的一個元素.如：

由。，片組成一個集合，則。的取值不能是0或1.

(3)無序性

集合中的元素的次序無先后之分.如：山1,2,3組成一個集合，

也可以寫成1,3,2組成一個集合，它們都表示同一個集合.

幫你總結(jié)：學(xué)習(xí)集合表示方法時應(yīng)注意的問題

(1)注意a與｛。｝的區(qū)別.a是集合｛。｝的一個元素，而｛a｝是含

有一個元素。的集合，二者的關(guān)系是aw｛a｝.

(2)注意0與｛0｝的區(qū)別.。是不含任何元素的集合，而｛0｝是含

有元素0的集合.

(3)在用列舉法表示集合時，一定不能犯用｛實數(shù)集｝或｛R｝來表

示實數(shù)集R這一類錯誤，因為這里"大括號''已包含了“所有”的意思.

用特征性質(zhì)描述法表示集合時，要特別注意這個集合中的元素

是什么，它應(yīng)具備哪些特征性質(zhì)，從而準(zhǔn)確地理解集合的意義.例

如：

集合｛(%,=中的元素是(x,y),這個集合表示二元

方程歹=4的解集，或者理解為曲線歹=正上的點組成的點集；

集合卜卜=中的元素是x,這個集合表示函數(shù)y=4中

自變量X的取值范圍；

集合卜卜=4｝中的元素是丁，這個集合表示函數(shù)y=?中

函數(shù)值y的取值范圍；

集合k=五｝中的元素只有一個(方程丁=五),它是用列舉

法表示的單元素集合.

(4)常見題型方法：當(dāng)集合中有n個元素時，有2n個子集，有2巳1

個真子集，有尸-2個非空真子集。

例1已知/={y|y=x?-4x+3,xeR}

5==-x2-2x+2,XGR},求ND8.

22

正解：Vy=x-4x+3=(x-2)-l^-l,

y=-x2-2x+2=-（x+Ip+3W3,

/={y?2-1},8={y?W3},

.,./nB=3-lWyW3}.

解析：這道題要注意研究的元素（看豎線前的元素），均是y,所以

要求出兩個集合中y的范圍再求交集，A中的y范圍是求表達式的

值域、因此此題是表示兩個函數(shù)值域的集合.

例2若4={2,4a3-2a2-a+7],

B=（1,4z+1）cT—2tz+21———3tz—8）＞/+/+3。+7],且

4「8={25},試求實數(shù)a.

正解：VACIB={2,5},...由/一2〃-4+7=5,

解得Q=2或4=±1.

當(dāng)a=l時，/-2。+2=1與元素的互異性矛盾，故舍去“=1；

當(dāng)a=7時,5={10,5,2,4},此時405={2,4,5},這與

3口8={2,5}矛盾，故又舍去a=—1；

當(dāng)a=2時，/={2,4,5},B={1,3,2,5,25},此時

4nB={2,5}滿足題意,故。=2為所求.

解析：此題緊緊抓住集合的三大性質(zhì)：①確定性②互異性③無序

性

1.（2010年江蘇高考1）設(shè)集合A={-l,l,3},B={a+2,I+4},ADB={3},

則實數(shù)a=______________

方法：將集合B兩個表達式都等于3,且抓住集合三大性質(zhì)?！敬鸢浮?/p>

1.

2V2

2.（2010.湖北卷2.）設(shè)集合人={。，7）%|1+彳=1},

8={（》））|丁=3*},則人門8的子集的個數(shù)是（)

A.4B.3C.2D.1

方法：注意研究元素，是點的形式存在，A是橢圓，B是指數(shù)函數(shù),

有數(shù)形結(jié)合方法，交于兩個點，說明集合中有兩個元素，還要注意,

題目求子集個數(shù)，所以是22=4［答案］A

集合穿針轉(zhuǎn)化引線(最新)

一、集合與常用邏輯用語

3.若p:3》2-8x+4>0,q:(x+l)(x-2)>0,則~y?是「q的

().

(A)充分條件(B)必要條件

(C)充要條件(D)既不充分又不必要條件

2

解析：?.?0：3，一8%+4〉0,即x<—或x>2,

3

-:2WxW2.

3

???q:(x+l)(x—2)>0,即x<—1或x>2,

飛：一1WxW2.

山集合關(guān)系知：-<p=>飛，而「qd-'P.

F是飛的充分條件，但不是必要條件.故選(A).

4.若左eR,則“左>3”是“方程上----匚=1表示雙曲線”

k-3k+3

的().

(A)充分條件(B)必要條件

(C)充要條件(D)既不充分又不必要條件

x2

解析:方程-^=1表示雙曲線

k-3k+3

。（左一3）（左+3）>0=左>3或左<—3.故選（A）.

二、集合與函數(shù)

5.已知集合

尸={jk=-X?+2,xeR},Q-{x\y--x+2,xeR},那么

pn。等于().

(A)(0,2),(1,1)(B){(0,2),(1,1))

(C){1,2}(D){"W2}

解析：山代表元素可知兩集合均為數(shù)集，又尸集合是函數(shù)

夕=—f+2中的y的取值范圍，故P集合的實質(zhì)是函數(shù)夕=一/+2

的值域.而。集合則為函數(shù)y=-x+2的定義域，從而易知

。口。=帥忘2},選⑴).

評注：認(rèn)識一個集合，首先要看其代表元素，再看該元素的屬

性，本題易因誤看代表元素而錯選(B)或(C).

三、集合與方程

6.已知/={x,2+(p+2)x+l=0,xeR},B-{x|x>0},且

“口8=0，求實數(shù)p的取值范圍.

解析：集合/是方程/+(2+2)》+1=0的解集，

則由4n8=0，可得兩種情況：

①/=0,則由A=(p+2)2—4<0,得-4</?<0；

②方程/+(p+2)x+1=0無正實根，因為x,x2=1〉0,

△20,

則有《于是220.

—(p+2)<0,

綜上，實數(shù)p的取值范圍為{p|p>-4}.

四、集合與不等式

7.已知集合

A={a辰2+4x-l，-2--。恒成立},B={x|x2-(2m+l)x+m(m+1)<0}

若求實數(shù)m的取值范圍.

解析：由不等式辦2+4》一12一2一一“恒成立，

可得(a+2)x2+4x+(a-l)N0,(X)

3

(1)當(dāng)a+2=0,即a=—2時，(:※)式可化為X》一，顯

4

然不符合題意.

(2)當(dāng)a+2/0時，欲使(X)式對任意x均成立，必需滿

a+2>0,

足4-

AW0,

a>—2,

即4,

42-4(o+2)(a-1)^0,

解得A={a\a^2].

集合B是不等式x2-(2m+l)x+a(加+1)<0的解集，

可求得8={x\m<x<w+1},

結(jié)合數(shù)軸，只要加+1〉2即可，解得m>\.

五、集合與解析兒何

例6已知集合A={(x,y)|x2+ZMX-y+2=0}和

B={(x,歹),一歹+1=0,0WxW2},

如果/n3*0，求實數(shù)m的取值范圍.

解析：從代表元素(x,夕)看，這兩個集合均為點集，又

/+加'—丁+2=0及x—歹+1=0是兩個曲線方程，故

的實質(zhì)為兩個曲線有交點的問題，我們將其譯成數(shù)學(xué)語言即為：“拋

物線一+儂一^+2=0與線段x—y+l=0(0WxW2)有公共

點，求實數(shù)機的取值范圍.“

,|X2+/MX-V+2=0,，口

由《，得

［x-y+1=0(0Wx<2),

x2+(w-l)x+l=0(0^x<2),①

■：AC\B^0,

方程①在區(qū)間［0,2］上至少有一個實數(shù)解.

首先，由△=(〃?-1)2-4、0,得利》3或加W-1.

當(dāng)m>3時，由X］+%2=—(%-1)<0及須%2=1知，方程①只

有負(fù)根，不符合要求：

當(dāng)n7<—1時，山西+々=一(加一1)>0及X］》2=1〉0知，方

程①有兩個互為倒數(shù)的正根，故必有?根在區(qū)間(0,1］內(nèi)，從而方程

①至少有一個根在區(qū)間［0,2］內(nèi).

綜上，所求加的取值范圍是(—00,-1］.

第二章、函數(shù)

定義1映射，對于任意兩個集合Z,B,依對應(yīng)法則/,若對/中

的任意一個元素x,在B中都有唯一一個元素與之對應(yīng),則稱fA-B

為一個映射。

定義2函數(shù)，映射/Z—8中，若4,5都是非空數(shù)集，則這個映

射為函數(shù)。4稱為它的定義域，若xJ,yeB,且_/(x)=y(即x對應(yīng)

8中的y),則y叫做x的象，x叫y的原象。集合{;(xpwZ}叫函數(shù)

的值域。通常函數(shù)由解析式給出，此時函數(shù)定義域就是使解析式有

意義的未知數(shù)的取值范圍，如函數(shù)尸36-1的定義域為

｛x［%K）jX￡R｝.

定義才反函數(shù)，若函數(shù)（通常記作后（x））是一一映射，則

它的逆映射/：4-8叫原函數(shù)的反函數(shù)，通常寫作月"U）.這里求

反函數(shù)的過程是：在解析式尸/（x）中反解工得沙七），然后將

互換得內(nèi)U）,最后指出反函數(shù)的定義域即原函數(shù)的值域。例如：

函數(shù)尸——的反函數(shù)是產(chǎn)1--（xW0）.

1-XX

補充知識點：

定理1互為反函數(shù)的兩個函數(shù)的圖象關(guān)于直線尸對稱。

定理2在定義域上為增（減）函數(shù)的函數(shù)，其反函數(shù)必為增（減）

函數(shù)。

定義4函數(shù)的性質(zhì)。

（1）單調(diào)性：設(shè)函數(shù)<x）在區(qū)間/上滿足對任意的X1,X2d/并且

X2,總有/（X1）勺（X2）（/（X）次㈤），則稱人X）在區(qū)間/上是增（減）函數(shù)，

區(qū)間/稱為單調(diào)增（減）區(qū)間。

（2）奇偶性：設(shè)函數(shù)詞x）的定義域為D,且D是關(guān)于原點對稱的

數(shù)集，若對于任意的xGD,都有/（.尸加），則稱加?）是奇函數(shù)；若

對任意的xGD,都有義-x）Yx）,則稱大x）是偶函數(shù)。奇函數(shù)的圖象

關(guān)于原點對稱，偶函數(shù)的圖象關(guān)于y軸對稱。

（3）周期性：對于函數(shù)段），如果存在一個不為零的常數(shù)T,使得

當(dāng)x取定義域內(nèi)每一個數(shù)時，/（x+7）=/a）總成立，則稱為口為周期函

數(shù)，7稱為這個函數(shù)的周期，如果周期中存在最小的正數(shù)To,則這

個正數(shù)叫做函數(shù)Jx）的最小正周期。

摩竭如果實藪則數(shù)集｛x|aVx〈6,xGR｝叫做開區(qū)間，記作

（a,b）,集合"爛爛打^咫記作閉區(qū)間口,力，集合國?！礌€6｝記作半

開半閉區(qū)間（。力］,集合｛x|qSr<6｝記作半閉半開區(qū)間團,b）,集合｛x|x>a｝

記作開區(qū)間（。,+8）,集合｛x降a｝記作半開半閉區(qū)間（-8,4

定義《函數(shù)的圖象，點集｛（x,y）片/（x）,xWD｝稱為函數(shù)月（x）的圖象，

其中D為兀0的定義域。通過畫圖不難得出函數(shù)月a）的圖象與其他

函數(shù)圖象之間的關(guān)系3力>0）：

（1）向右平移。個單位得到產(chǎn)標(biāo)-"）的圖象；

（2）向左平移。個單位得到尸/x+a）的圖象；

（3）向下平移b個單位得到月U）年的圖象；

（4）與函數(shù)月（㈤的圖象關(guān)于y軸對稱；

（5）與函數(shù)產(chǎn)由-x）的圖象關(guān)于原點成中心對稱；

（6）與函數(shù)月^（x）的圖象關(guān)于直線產(chǎn)r對稱；（7）與函數(shù)嚴(yán)次\?）

的圖象關(guān)于x軸對稱。________

定理3復(fù)合函數(shù)產(chǎn)/［以刈的單調(diào)性，記住四個字：例

如尸-----，u=2-x在（-8,2）上是減函數(shù)，尸一在（0,+oo）上是

2-xu

減函數(shù)，所以尸一!一在（-oo,2）上是增函數(shù)。

2-x

注：復(fù)合函數(shù)單調(diào)性的判斷方法為同增異減。這里不做嚴(yán)格論證，

求導(dǎo)之后是顯然的。

1.二次函數(shù)：當(dāng)QW0H寸，y=ax2+bx+c或J(x)=ax2-^bx-^c稱為關(guān)于x

的二次函數(shù)，其對稱軸為直線k-2,另外配方可得

1a

J（x）=a（x-xof+J（xo）,其中xo=?g,下同。

2.二次函數(shù)的性質(zhì)：當(dāng)a>0時:/（x）的圖象開口向上，在區(qū)間（心,

劭］上隨自變量X增大函數(shù)值減?。ê喎Q遞減），在［劭,?8）上隨自變

量增大函數(shù)值增大（簡稱遞增）。當(dāng)QVO時，情況相反。

3.當(dāng)a>0時，方程於尸0即加+隊+片?！俸筒坏仁揭?瓜+心。②

及af+bx+cvO…③與函數(shù)小）的關(guān)系如下（記△斗?農(nóng)）。

1）當(dāng)△>（）時，方程①有兩個不等實根，設(shè)工1/2（修〈了2），不等式②

和不等式③的解集分別是或X*｝和｛小］VxF｝，二次函數(shù)./）

圖象與x軸有兩個不同的交點，y（x）還可寫成<x）=a（x?X］）（x?X2）.

2）當(dāng)△=（）時，方程①有兩個相等的實根Xi=X2=Xo=-2,不等式②

2a

和不等式③的解集分別是｛MxH—2｝和空集0,《X）的圖象與x軸

2a

有唯一?公共點。

3）當(dāng)△<0日，方程①無解，不等式②和不等式③的解集分別是R

和0式x）圖象與x軸無公共點。

當(dāng)"0時，請讀者自己分析。

4ac-62

4,二次函數(shù)的最值:若a>0,當(dāng)x=x時，危）取最小值火沏尸--------，

04（7

2

b4QC—b

若亦0,則當(dāng)x=x（）=----時,左）取最大值-o）=--------------.對于給定

2a4a

區(qū)間［m/］上的二次函數(shù)人工）=加+云+電>0）,當(dāng)x（）￡［m,川時，，危）在

［m,上的最小值為於0）;當(dāng)x（）vm時。心）在［m,網(wǎng)上的最小值為>（m）；

當(dāng)配>〃時，/（x）在［m,網(wǎng)上的最小值為/（〃）（以上結(jié)論由二次函數(shù)圖

象即可得出）。

定義I能判斷真假的語句叫命題，如“3>5”是命題，“蘿卜好大”不

是命題。不含邏輯聯(lián)結(jié)詞“或”、“且"、“非”的命題叫做簡單命題，

由簡單命題與邏輯聯(lián)結(jié)詞構(gòu)成的命題由復(fù)合命題。

“P或4”復(fù)合命題只有當(dāng)p，4同為假命題時為假，否則

為真命題；“P且復(fù)合命題只有當(dāng)p,夕同時為真命題時為真，否

則為假命題;P與“非P”即"P"恰好一真一假。

定義2原命題：若p則q（p為條件，g為結(jié)論）；逆命題：若q則

p；否命題:若非p貝心；逆否命題：若非4則非p。

原命題與其逆否命題同真假。一個命題的逆命題和否命

題同真假。

反證法的理論依據(jù)是矛盾的排中律，而未必是證明原命

題的逆否命題。

定義3如果命題“若。則q”為真，則記為否則記作在

命題“若P則夕”中,如巢已知p=>q,則p是q的充分條件;如柬q=>p,

則稱p是q的必要條件；如果p=?q但q不=>p,則稱p是g的完

分非必要奏件；如果p不二>［但則p森為q的必要非充分

條件；若且g=>p,則p是g的充要彖件。

二、基礎(chǔ)例題（必懂）

1.數(shù)形結(jié)合法。

例1(09.江西)求方程的正根的個數(shù).

X

【解】分別畫出產(chǎn),山和尸」的圖象，由圖象可知兩

X

者有唯一交點，所以方程有?個正根。

例2(2010.廣西模擬)求函數(shù)

尸Jx4-3x-_6x+13-—x~+1的最大值。

(解】Ax)=7(X2-2)2+(X-3)2-^(x2-l)2+(x-0)2,記點

P(x,x2),A(3,2),B(0，1)，則./)表示動點尸到點力和8距離

因為|以卜|%兇/用=132+(2—1)2=師，當(dāng)且僅當(dāng)P為AB延長線

與拋物線尸2的交點時等號成立。

所以

2.函數(shù)性質(zhì)的應(yīng)用。

(x-1)2+1997(%-1)=-1

例3(10、全國)設(shè)xjGR,且滿足「\7

(y-1)3+1997(^-1)=1

求x+y.

【解】設(shè)劉尸尸+1997/,先證人/)在(Q,+oo)上遞增。事實上，

若a<b,則_/(b)/a)=63-J+1997(6-a)=(6-a)(62+6a+a2+i997)>0,所以

刖遞增。

山題設(shè)/(x-l尸所以x-l=l-y,所以x+■尸2.

例4(10、全國)奇函數(shù)人均在定義域(-1,1)內(nèi)是減函數(shù)，又

X1-?)+/(l-t/2)<0,求a的取值范圍。

【解】因為次為是奇函數(shù)，所以<1-/尸貢//)，由題設(shè)

Xl-a)</(a2-l)?

又/(x)在定義域(-1,1)上遞減，所以解得(Xqvi。

例5(10、全國)設(shè)危)是定義在(-co,+oo)上以2為周期的函

數(shù)，對％EZ,用4表示區(qū)間(2h1,2好1],已知當(dāng)xG/o時，

求在4上的解析式。

【解】設(shè)xG/*,則2hl<x￡24+1,

所以J(x-2k)=(x-2k)2.

又因為人勸是以2為周期的函數(shù)，

所以當(dāng)x64時，於)=/-2左)=(x-2女尸.

例6(10、全國)解方程：

(3x-l)(-6x+5+1)+(2x-3)(J4x~-12x+13+1)=0.

【解】令m=3x-l,n=2x-3,方程化為

m(』m?+4+1)+〃(J/+4+1)=0.①

若m=0,貝lj山①得〃=0,但m,〃不同時為0,所以mWO,〃W0.

i)若m>0,則由①得u<0,設(shè)+4+1),則如)在(0,+oo)

.4

上是增函數(shù)。又./(m)=/(?〃)，所以m=-w,所以3x-l+2x-3=0,所以x=—.

4

ii)若m<0,且/?>0o同理有m+〃=0尸不，但與m<0矛盾。

4

綜上，方程有唯一實數(shù)解尸不

3.配方法。

例7(經(jīng)典例題)求函數(shù)1+72x4-1的值域。

【解】y=x++1=；[2r+l+2J2x+1+1]-1

=-(72X+1+1)-1>--1=--.

222

當(dāng)x=-1?時，y取最小值-；，所以函數(shù)值域是[-；,+8)。

4.換元法。

例8(經(jīng)典例題)求函數(shù)

產(chǎn)(VT+X++2)(71-x2+1)jC[0,1]的值域。

【解】令J1+X+"-x=u,因為XG[0,1],所以2<U2=2+2A/1-X2<4,

所以后MuK,所以避上2g"1W4W2,所以

222

產(chǎn)”,u?G[桓+2,8]?

所以該函數(shù)值域為[2+痣，8]。

5.判別式法。

Y2——3Y+4

例9求函數(shù)尸2的值域。

【解】由函數(shù)解析式得Ol)x2+3e+l)x+4y_4=0.①

當(dāng)yH1時，①式是關(guān)于X的方程有實根。

所以△=9/1)2-16"DK),解得一9W1.

7

又當(dāng)尸1時，存在尸0使解析式成立，

所以函數(shù)值域為7]。

6.關(guān)于反函數(shù)。

例10(10年寧夏)若函數(shù)y=/(x)定義域、值域均為R,且存在反

函數(shù)。若人》)在G8,+00)上遞增，求證：產(chǎn)/(X)在(?<?,+8)上也是增函

數(shù)。

【證明】設(shè)乃<》2,且為=fl(Xl),y2=yl(X2)，則X\=j[y\),應(yīng)或⑸，若乃比，

則因為./U)在(-8,+8)上遞增，所以片頭2與假設(shè)矛盾，所以力勺2。

即產(chǎn)/(X)在(?<?,+8)遞增。

j14Y4-1

例ii(經(jīng)典例題)設(shè)函數(shù)—尸，------，解方程：於)=/(外.

V3x+2

2I

【解】首先大X)定義域為(-00,—)U[—,+00);其次，設(shè)町,必

34

是定義域內(nèi)變量，且

24x,+14x,+15(x,-x,)

X1<X2<--；--------------------——=-------———-——>0,

33X24-23X14-2(3X2+2)(3.+2)

21

所以人X)在(-00,.-)上遞增，同理坊)在[?一，+00)上遞增。

34

在方程小)歹(外中，記上)=/*U)=y，則.莊0,又由/匕)=》得加)=%，

所以xNO,所以，+8).

4

若xWy,設(shè)則")=》勺口尸工，矛盾。

同理若也可得出矛盾。而以x=y.

即/(x)=x，化簡得3X5+2X4-4X-1=0,

BP(X-1)(3X4+5X3+5X2+5X+1)=0,

因為x>0,所以3x4+5x3+5x2+5.r+1>0,所以x=1.

7.待定系數(shù)法。

例1(經(jīng)典例題)設(shè)方程?4+1=0的兩根是明仇求滿足

加尸Kp尸切1)=1的二次函數(shù)兀0.

【解】設(shè)段)=一+以乜(〃w0),

則由已知次a)=|V(B尸a相減并整理得(a-p)[(a+p)a+6+l]=0,

因為方程f-x+l=O中Aw0,

所以a。p,所以(a+B)a+b+l=O.

又a+B=l,所以a+加4=0.

又因為/(l)=6f+/H-C=l,

所以c-l=l,所以c=2.

又b=-(a+1),所以J(x)=ax2-(a+l)x+2.

再由/(a)=P得<2a2-(67+l)a+2=p,

所以aa2-aa+2=a+p=1,所以aa2-aa+1=0.

即q(a2?a+l)+l?(7=0,即1?〃=0,

所以0=1,

所以./(x)=x2-2x+2.

8.方程的思想

例2(10.全國)已知於尸/w滿足4g(1方1,?1y2)05,求人3)

的取值范圍。

【解】因為"4勺(1戶如區(qū)1,

所以

l<：Al)=c-a<4.

立85

又-1<^2)=4a<<5,/3)=-X2)-1),

5〃85

所以3乂(?1)+~x5十—x4,

所以?1y3)020.

9.利用二次函數(shù)的性質(zhì)。

例3(經(jīng)典例題)已知二次函數(shù)/(X尸qf+bx+cQAceR,4。0),若

方程/(》)=、無實根，求證：方程/(/(x))=x也無實根。

【證明】若內(nèi)0,因為<x)=x無實根，所以二次函數(shù)g(x)=/a)5圖象

與軸無公共點且開口向上，所以對任意的即兀

xxeR?/(x)-x>0r)>x,

從而服))的)。

所以Mx))>x>所以方程Mx))=x無實根。

注：請讀者思考例3的逆命題是否正確。

10.利用二次函數(shù)表達式解題。

例4(經(jīng)典例題)設(shè)二次函數(shù)/(幻=-+云+出>0),方程危尸x的

兩根內(nèi),應(yīng)滿足

a

(I)當(dāng)XG(O,X])時，求證：x勺(分5；

(II)設(shè)函數(shù)兀0的圖象關(guān)于x=xo對稱，求證：Xo<y.

【證明】因為Xi,x2是方程7(x)-x=0的兩根，所以Xx)-x=a(x?xi)(x?x2)，

即yfx)=a(x?x】)(%?x2)+'.

(I)當(dāng)x￡(0,Xi)時，x-X|<0,x-X2<0,a>0,所以

其次/(X)?X]=(X?Xi)[4(X?X2)+l]=a(X?Xl)[x-X2+1]<0，所以7(X)VX].

a

綜上，X</(X)<Xj.

(II)人工)=4(工-修)(工?工2)+尸辦2+[1-。(工1+、2)卜+公1%2,

由Z4(再+、2)—1M+、21

2a22a

所以x0--=-........-=-fx2<0,

°222a2<2a)

所以x。<

11.構(gòu)造二次函數(shù)解題。

例5(經(jīng)典例題)已知關(guān)于X的方程(ox+l尸=4論尸),4>1,求證:

方程的正根比1小，負(fù)根比-1大。

【證明】方程化為2/x2+2ax+1-a2=0.

構(gòu)造外)=2。42+2。"1-a2,

A1)=(?+1)2>0,/-1)=(a-1)2>0,,/(0)=1-a2<0,即△>(),

所以兀r)在區(qū)間(-1,0)和(0,1)上各有一根。

即方程的正根比1小，負(fù)根比-1大。

12.定義在區(qū)間上的二次函數(shù)的最值。

丫4+/?5

例6(經(jīng)典例題)當(dāng)x取何值時，函數(shù)尸一\——廠取最小值？

'，+1)2

求出這個最小值。

【解】y=l-----1----/--，令I(lǐng)-=u,貝U0<u<l?

x2+1(x2+l)2x2+1

、2

1

2+里〉2

y=5u-u+l=5U-------

5

1072020

119

且當(dāng)〃=歷即x=±3時，卅片癡

例7設(shè)變量x滿足x2+hx<-x[h<-l),并且x2+bx的最小值是-1,

求b的值。

【解】由f+6爛Rk1),得0<x<-(/?+1).

7)/)2i

i)-—￡-(6+1)?即bg?2時，f+bx的最小值為——=——,所

以居=2,所以〃=±J5(舍去)。

ii)-|>-(6+l),即b>?2時，d+版在［o,?(什1)］上是減函數(shù)，

13

所以f+bx的最小值為6+1乃+1=--力=--.

22

3

綜上，b=--.

2

13.一元二次不等式問題的解法。

例8(經(jīng)典例題)已知不等式組,“-x+a~a<①②的整

x+2a>1

數(shù)解恰好有兩個，求。的取值范圍。

【解】因為方程x2-x+a-a2=0的兩根為xi=a,X2=l-a,

若把0,則XiK.①的解集為由②得x>l-2a

因為1-2介1孫所以把0,所以不等式組無解。

若°>0,i)當(dāng)0<q<一時，X|〈X2,①的解集為

2

因為所以不等式組無整數(shù)解。

ii)當(dāng)o=,時，a=l-a,①無解。

2

iii)當(dāng)時，a>l-a,由②得x>l-2a,

2

所以不等式組的解集為

又不等式組的整數(shù)解恰有2個，

所以a-(l-a)>l且a-(l-a)<3,

所以1<把2,并且當(dāng)IqK時，不等式組恰有兩個整數(shù)解0,1。

綜上，a的取值范圍是\<a<2.

14.充分性與必要性。

例9(經(jīng)典例題)設(shè)定數(shù)4B,C使得不等式

A(x-y)(x-z)+B(y-z)(y-x)+C(z-x)(z-y)>0①

對一切實數(shù)x,y,z都成立，問4B,C應(yīng)滿足怎樣的條件？(要求

寫出充分必要條件，而且限定用只涉及4B,C的等式或不等式表

示條件)

【解】充要條件為/，B,C>0KA^+C^^AB+BC+CA).

先證必要性，①可改寫為/(xM2-(B-/-C)(y-z)(x-y)+C(y-z)2K)②

若4=0,則由②對一切x,y^GR成立,則只有B=C,再由6知B=C=Q,

若NH0,則因為②恒成立，所以/X),/\=(B-A-CT(y-zy-4AC(y-z)2<0

恒成立，所以(8-4。2_4/任0,BPA^+C^^AB+BC+CA)

同理有8N0,Q0,所以必要性成立。

再證充分性，若/NO,B>0,。。且

1)若4=0,則由得(8?2式)，所以8=C,所以△=(),所

以②成立，①成立。

2)若/>0,則由③知△4),所以②成立，所以①成立。

綜上，充分性得證。

15.常用結(jié)論。

■■若。,6GR,同他國。+6區(qū)間+回.——絕對值不等式

【證明】因為-同&W|a|,-|b|W6W|6|,所以-(|。|+|6|)%+6'同+|仇

所以|a+*同+向(注：若m>0,貝IJ-mWxSm等價于慟Wm).

又團=|°+6-切傘+切+卜凱

即同-|6留。+外綜上定理1得證。

若R,貝！Ja2+b2>2ah；若xyGR,則x+y>2y［xy.

(證略)

注定理2可以推廣到〃個正數(shù)的情況，在不等式證明一章中詳細(xì)

論證。

第三章、基本初等函數(shù)

1.指數(shù)函數(shù)及其性質(zhì)：形如產(chǎn)a'S>O,q。1)的函數(shù)叫做指數(shù)函數(shù)，

其定義域為R,值域為(0,+℃),當(dāng)0<亦1時，產(chǎn)"是減函數(shù)，當(dāng)

時，產(chǎn)，為增函數(shù)，它的圖象恒過定點(0,1)。

2.分?jǐn)?shù)指數(shù)塞：=后,。了="",優(yōu)"=一,。:=—=。

3.對數(shù)函數(shù)及其性質(zhì)：形如尸/og?r(a>0,a。1)的函數(shù)叫做對數(shù)函數(shù),

其定義域為(0,+oo),值域為R,圖象過定點(1,0)。當(dāng)0<a〈l,

產(chǎn)/ogM為減函數(shù)，當(dāng)a>l時，y=/og/為增函數(shù)。

4.對數(shù)的性質(zhì)(M>0,N>0)；

1)"=M<=>x=/ogaM(a>0,。W1)；

2)loga(MN)=logaM+logaN；

M

3)loga(----)=logaM-logaN：4)logaM〃=z?!ogaM(萬能怛等式)

N

saM

5)loga=—logaM；6)a°=M;7)logab='(。也c>0,a,

nlog,,a

cW1).

5.函數(shù)1+q(a>0)的單調(diào)遞增區(qū)間是(—8,-⑷和［JZ,+oo),

單調(diào)遞減區(qū)間為「我,0卜口(0,五］。(請同學(xué)自己用定義證明)

6.連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)：若o<瓦加)在［a,6］上連續(xù)，且加)處)<0,則

./(x)=0在(a,6)上至少有一個實根。

1.構(gòu)造函數(shù)解題。

例1已知a,6,1),求證：ah+bc+ca+\>0.

【證明】設(shè)小尸3+c)x+bc+l1)),則是關(guān)于x的一次函

數(shù)。

所以要證原不等式成立，只需證人-1)>0且次1)>0(因為-lv"l).

因為4-1)=?S+c)+bc+1=(1-Z>)(1-c)>0,

/(1)=b+c+bc+a=(1+b)［1+c)>0,

所以/(<7)>0,即ab+hc+ca-^X>0.

例2(06)(柯西不等式)若外,夕2,...,即是不全為0的實數(shù)，仇，

歷,…也eR,則(￡/).(汽環(huán))這F等號當(dāng)且僅當(dāng)

/=1/=!/=1

存在〃ER,使0=,i=l,2,…，〃時成立。

【證明】令義X尸（￡a；

X2-2(Zai4)x+Z昭=Z(6》-)2，

i=\/=1

因為且對任意xGRj（x）K）,

所以△=4(24〃)-4(工a；)C^b；)<0.

展開得（、>；）（工b：以）2。

等號成立等價于外）=0有實根，即存在〃，使ai=/Libj,z=l,2,...,A7o

***注釋：根據(jù)許多行巾的2011年高考大綱，柯西不等式已經(jīng)淡化，

同學(xué)只需大致了解就即可，不需深入做題。

例3（10.全國卷）設(shè)x,yGR*,x4尸c,c為常數(shù)且cd（0,2],求

X~\—的最小值。

X

lxy

【解】u=x+一

Xy%

=xy+—+2.

孫

令xy=t,貝（J0</=xy<a+'）=—，設(shè)火。=什-,0</<—.

44t4

2/2~

因為0<絲2,所以0〈一口，所以刖在0,—上單調(diào)遞減。

4I4」

c2c24c24

所以川）而,//丁尸二+r，所以應(yīng)二+二+2.

44c4c

cc24

當(dāng)中士時，等號成立.所以u的最小值為±-+三+2.

24c2

2.指數(shù)和對數(shù)的運算技巧。

例4（經(jīng)典例題）設(shè)p,qeR.且滿足/og9P=/ogi20=/咱6俗+4），求包

P

的值。

【解】令log9P=Iogi2q=Iogi6（p+q）=t，貝I」p=9'，^=12',p+q=16'，

所以9'+12'=16',即1+（-1=|-|.

記X=旦=U-=f—,則i+x=f,解得x=[±炳

P9)⑴2

qq1±V5

又又>0,所以且=——.

P2

例5（經(jīng)典例題）對于正整數(shù)a,6,四％土）和實數(shù)x,y,z,w,若

。'="=，=70”,5.—H---F—=—,求證：a+b=c.

xyzw

【證明】由儲=//=/=70"'取常用對數(shù)得xlga=ylgb=zlgc=wlglO.

iJ,111,

所以一lga=—/g70,—lgb=—/g70,—lgc=—lg70,

wxwywz

相加得'（/ga+/g47gc戶（工+1+工/g70,由題設(shè)

wyxy

1111

—+—+—=——,

xyzw

所以/ga+/gb+/gc=/g70,所以lgabc=lg70.

所以Hc=70=2x5x7.

若67=1,則因為x/g（T=w/g70,所以w=0與題設(shè)矛盾，所以心1.

又Hbgc,且a,b,。為70的正約數(shù)，所以只有片2,6=5,c=7.

所以a+h=c.

例6（經(jīng)典例題）已知一（1,acW1,1,cW1.且

logaX+logc^llogbX,求證（?=（ac、"g"b.

【證明】山題設(shè)/ogM+/ogcJ產(chǎn)2/%小，化為以。為底的對數(shù)，得

logax21ogt/x

logt/x+——=----—,

log/log,b

22/o8ah

因為ac>0,acW1,所以logab=logacc,所以c=（ac）.

注：指數(shù)與對數(shù)式互化，取對數(shù)，換元，換底公式往往是解題的橋

梁。

3.指數(shù)與對數(shù)方程的解法。

解此類方程的主要思想是通過指對數(shù)的運算和換元等進行化簡求

解。值得注意的是函數(shù)單調(diào)性的應(yīng)用和未知數(shù)范圍的討論。

例7（經(jīng)典例題）解方程：3、+4'+5*=6;

【解】方程可化為（3）+（|）+（*）=1。設(shè).危尸

（耳）+（與］+（%）'則/（X）在（-8,+8）上是減函數(shù)，因為人3尸1,

所以方程只有一個解尸3.

x'+y=y12

例8（經(jīng)典例題）解方程組：(其中X/GR+).

、產(chǎn)'=X3

(x+y)lgx=121gy

【解】兩邊取對數(shù)，則原方程組可化為《

(x+y)lgy=3g/x

①②

把①代入②得(x+y)2/gx=36/gx,所以[(x+y)2-36]/gx=0.

由lgx=0得x=1,由(x+y)2-36=0(x,y￡R*)得x+y=6,

代入①得/gx=2助，即％=/,所以丁+/6=0.

又y>0,所以尸2,x=4.

x4

所以方程組的解為2

%=2

例9已知心0,。W1,試求使方程/og/x.成尸/隔2（工2.42）有解的k的

取值范圍。

【解】由對數(shù)性質(zhì)知，原方程的解X應(yīng)滿足

(x_ak)"=_Q~

<x-ak>0.①②③

x2-a2>0

若①、②同時成立，則③必成立，

,,__(x—ak)~=x2—a~

故只需解/7

x-ak>0

由①可得2kx=a(\+*),④

當(dāng)仁0時，④無解；當(dāng)上H0時，④的解是k硬土絲，代入②得

若枝0,則好>1,所以左<-1：若k>0,則好<1,所以O(shè)〈M1.

綜上，當(dāng)」U(0,)時,原方程有解。

《2011年高考數(shù)學(xué)總復(fù)習(xí)系列》—高中數(shù)學(xué)必修二

第一章立體幾何初步

-、基礎(chǔ)知識(理解去記)

(-)空間幾何體的結(jié)構(gòu)特征

(1)多面體——由若干個平面多邊形圍成的幾何體.

圍成多面體的各個多邊形叫叫做多面體的面，相鄰兩個面的公

共邊叫做多面體的棱，棱與棱的公共點叫做頂點。

旋轉(zhuǎn)體——把?個平面圖形繞它所在平面內(nèi)的一條定直線旋

轉(zhuǎn)形成的封閉幾何體。其中，這條定直線稱為旋轉(zhuǎn)體的軸。

(2)柱，錐，臺，球的結(jié)構(gòu)特征

1.棱柱

1.1棱柱一有兩個面互相平行，其余各面都是四邊形，并且每相

鄰兩個四邊形的公共邊都互相平行，山這些面所圍成的幾何體叫做

棱柱。

1.2相關(guān)棱柱幾何體系列(棱柱、斜棱柱、直棱柱、正

棱柱)的關(guān)系：陋

①

底面

側(cè)棱

f斜棱柱

棱柱，,，地現(xiàn)您T正棱柱

棱晅,口：底血>直棱柱，

其他棱柱…

②|四棱柱|底面為平行四邊形平行六面體側(cè)棱垂直于底面

直平行六面體|底面為矩形

--------?

長方體I底面為正方形正四棱柱側(cè)棱與，底面邊長相

等麗禰一~--------?

1.3棱柱的性質(zhì)：

①側(cè)棱都相等，側(cè)面是平行四邊形；

②兩個底面與平行于底面的截面是全等的多邊形；

③過不相鄰的兩條側(cè)棱的截面是平行四邊形；

④直棱柱的側(cè)里長與高相等,側(cè)面與對角面是矩形。

補充知識點長方體的性質(zhì)：

①長方體一條對角線長的平方等于一個頂點上三條