高級中學(xué)名校試題PAGEPAGE1福建省漳州市2025屆高三畢業(yè)班第三次教學(xué)質(zhì)量檢測數(shù)學(xué)試題（漳州三模）一、單選題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1.銳角的內(nèi)角的對邊分別為，則“”是“”的（

）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件【答案】C【解析】因?yàn)槭卿J角三角形，所以，若，則，即，又在上單調(diào)遞增，所以成立.若，且，則，所以成立.所以“”是“”的充要條件.故選：C.2.已知集合，，則（

）A. B.C. D.【答案】D【解析】因?yàn)榧?，，，所以，故選項(xiàng)A錯誤.，故選項(xiàng)B錯誤.，故選項(xiàng)C錯誤.，故選項(xiàng)D正確.故選：D.3.已知復(fù)數(shù)，在復(fù)平面內(nèi)，復(fù)數(shù)，對應(yīng)的點(diǎn)分別為，，且點(diǎn)與點(diǎn)關(guān)于直線對稱，則（）

A. B. C. D.5【答案】A【解析】因，所以點(diǎn)因?yàn)辄c(diǎn)與點(diǎn)關(guān)于直線對稱，所以.所以故選:A.4.某工廠產(chǎn)生的廢氣經(jīng)過濾后排放，過濾過程中廢氣中的污染物含量單位：與時間單位：間的關(guān)系為，其中，，若在前5h內(nèi)消除了的污染物，則15h后污染物含量還剩余（

）A. B. C. D.【答案】D【解析】當(dāng)時，；當(dāng)時，，即；當(dāng)時，，故選：D.5.已知，若在區(qū)間上不單調(diào)，則的取值范圍是（

）A. B. C. D.【答案】B【解析】畫出函數(shù)的部分圖象如圖所示，因?yàn)椋砸驗(yàn)樵趨^(qū)間上不單調(diào)，所以解得故選：B.6.記數(shù)列的前n項(xiàng)和為，已知，，則（

）A.1024 B.1023 C.513 D.256【答案】B【解析】由，得，因?yàn)?，所以，所以，所以是首?xiàng)為4，公比為2的等比數(shù)列，所以，所以，所以.故選：B.7.已知點(diǎn)M是拋物線上一動點(diǎn)，過點(diǎn)M作直線MN與圓相切于點(diǎn)N，則面積的最小值為（

）A.4 B. C.5 D.【答案】A【解析】由題意得：表示以圓心，以為半徑的圓，可知，所以，所以當(dāng)取得最小值時，的面積最小.設(shè)，則，令，則，令，則，所以單調(diào)遞增，即單調(diào)遞增.又，所以當(dāng)時，，單調(diào)遞增，當(dāng)時，，單調(diào)遞減.所以，即面積的最小值為故選：A.8.設(shè)A，B是兩個隨機(jī)事件，且，，則下列說法正確的是（

）A. B.C.若A與B互斥，則 D.若，則A與B相互獨(dú)立【答案】C【解析】對于A選項(xiàng)，，若，則，不符合題意，故A選項(xiàng)不正確；對于B選項(xiàng)，，若，則，所以，即不符合題意.故B選項(xiàng)不正確；對于C選項(xiàng)，因?yàn)锳與B互斥，所以，又，，所以，，所以，故，故C選項(xiàng)正確；對于D選項(xiàng)，，不能說明成立，故D選項(xiàng)不正確.故選：C.二、多選題：本題共3小題，共18分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對的得6分，部分選對的得2分，有選錯的得0分.9.如圖，在四棱錐中，底面ABCD是邊長為2的正方形，底面ABCD，，E為線段PB的中點(diǎn)，F(xiàn)為線段BC上的動點(diǎn)，則（

）A.平面平面PBCB.平面PCDC.當(dāng)平面AEF時，三棱錐的體積為D.當(dāng)F是BC的中點(diǎn)時，三棱錐外接球的表面積為【答案】ACD【解析】因?yàn)?，E為線段PB的中點(diǎn)，所以，因?yàn)榈酌鍭BCD，又底面ABCD，所以，因?yàn)榈酌鍭BCD是正方形，所以，又，平面PAB，所以平面.因?yàn)槠矫鍼AB，所以.又，PB，平面PBC，所以平面，因?yàn)槠矫鍭EF，所以平面平面PBC，故選項(xiàng)A正確；當(dāng)F為線段BC的中點(diǎn)時，由E為線段PB的中點(diǎn)，可得，又平面，平面，所以平面，若平面，又，平面，所以平面平面，又平面，所以平面，又平面，平面平面，所以，又顯然與不平行，故B錯誤；當(dāng)平面AEF時，，因?yàn)镋為線段PB的中點(diǎn)，所以F為線段BC的中點(diǎn)，所以，因?yàn)槠矫鍭BCD，平面ABCD，所以，又，E為PB的中點(diǎn)，所以，因?yàn)槠矫鍼AB，平面PAB，所以，所以三棱錐的體積，故選項(xiàng)C正確；因?yàn)槠矫鍼BC，，所以三棱錐可補(bǔ)全為長方體.設(shè)三棱錐外接球的半徑為R，則，所以三棱錐外接球的表面積為，所以選項(xiàng)D正確.故選：ACD.10.在中，，，向量在向量上的投影向量為，則（

）A.邊上的高為 B.C. D.邊上的中線為【答案】ABD【解析】如圖，過點(diǎn)C作于點(diǎn)D，則向量在向量上的投影向量為，由已知，所以，設(shè)，則，又，所以，所以，在中，，又，所以，所以，，，所以，在中，易得，所以邊BC的高為，故選項(xiàng)A正確；在中，由余弦定理的推論得，又因?yàn)?，所以，故選項(xiàng)B正確；，故選項(xiàng)C錯誤；設(shè)的中點(diǎn)為，則，所以，則，故選項(xiàng)D正確，故選：ABD.11.已知函數(shù)對任意x，都有，且，則（

）A. B.C.是奇函數(shù) D.是的極小值點(diǎn)【答案】AC【解析】對于A，令，則，令，，則，得，故A正確；對于B，令，，則，得，故B錯誤；對于C，令，則，故是奇函數(shù)，故C正確；對于D，由得，令，則有，取，則當(dāng)時，，則時，，單調(diào)遞增；則時，，單調(diào)遞減，則在處取得極大值，故D錯誤.故選：AC.三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12.記等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，且，，則__________.【答案】【解析】設(shè)，則，得，故，從而.同時由可知，即，故，所以.故答案為：.13.的展開式中，常數(shù)項(xiàng)為__________.【答案】【解析】展開式的通項(xiàng)公式為，，令可得（舍去），所以的展開式中不存在常數(shù)項(xiàng)，的展開式的通項(xiàng)公式為，，令可得，所以的展開式中常數(shù)項(xiàng)為，的展開式的通項(xiàng)公式為，，令可得，所以的展開式中不存在常數(shù)項(xiàng)，的展開式的通項(xiàng)公式為，，令可得，所以的展開式中的常數(shù)項(xiàng)為，又的展開式中沒有常數(shù)項(xiàng)，所以的展開式的常數(shù)項(xiàng)為故答案為:14.已知橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為，，上頂點(diǎn)為B，直線交橢圓C于點(diǎn)M，直線交橢圓C于點(diǎn)N，且，則橢圓C的方程為__________.【答案】【解析】依題意得，所以直線的方程為，代入中，解得，因?yàn)?，所以，所以，所以直線BN的方程為，代入中，解得，因?yàn)镸，，N三點(diǎn)共線，所以，即，化簡得，又，所以，，所以橢圓C的方程為.故答案為：.四、解答題：本題共5小題，共60分.解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟.15.甲在進(jìn)行某項(xiàng)試驗(yàn)時，設(shè)計了A，B兩種方案.為了判斷方案的選擇對試驗(yàn)結(jié)果是否有影響，方案A運(yùn)行了60次，試驗(yàn)成功了40次;方案B運(yùn)行了70次，試驗(yàn)成功了60次.（1）根據(jù)題干信息，完善以下列聯(lián)表，依據(jù)的獨(dú)立性檢驗(yàn)，能否認(rèn)為方案的選擇對試驗(yàn)結(jié)果有影響.方案結(jié)果合計成功未成功AB合計（2）以題干樣本數(shù)據(jù)中兩個方案試驗(yàn)成功的頻率為相應(yīng)試驗(yàn)成功的概率，若甲在每次試驗(yàn)中，選擇方案A的概率為現(xiàn)已知甲在一次試驗(yàn)中獲得了成功，請問此次試驗(yàn)選擇方案A的概率是多少.參考公式及數(shù)據(jù)：.解：（1）完善列聯(lián)表如下，方案結(jié)果合計成功未成功A402060B601070合計10030130零假設(shè)方案的選擇對試驗(yàn)結(jié)果沒有影響，根據(jù)列聯(lián)表中的數(shù)據(jù)，經(jīng)計算可得，根據(jù)小概率值的獨(dú)立性檢驗(yàn)，我們推斷不成立，即認(rèn)為方案的選擇對試驗(yàn)結(jié)果有影響，此推斷犯錯的概率不超過；（2）在一次試驗(yàn)中，選擇方案A記為事件A，選擇方案B記為事件B，試驗(yàn)成功記為事件，由題意，得A與B是對立事件，且，，，，所以，故甲在一次試驗(yàn)中獲得了成功，則此次試驗(yàn)選擇方案A的概率是.16.如圖，四棱錐的底面是正方形，且，是以為頂角的等腰直角三角形，平面平面（1）求四棱錐的體積.（2）試判斷在內(nèi)包括邊界是否存在一點(diǎn)Q使得二面角的平面角取到不需要確定點(diǎn)Q的具體位置解：（1）如圖，設(shè)點(diǎn)O是AB的中點(diǎn)，連接由題可知，，所以因?yàn)?，所以因?yàn)槠矫嫫矫鍭BCD，平面平面，平面PAB，所以平面，所以PO的長為點(diǎn)P到平面ABCD的距離.所以.（2）解法一：因?yàn)槠矫?平面平面，平面平面，所以平面,所以即為二面角的平面角,因?yàn)槭且詾轫斀堑牡妊苯侨切?，二面角的大小為，?dāng)Q與在線段上時，二面角的平面角為；當(dāng)Q與點(diǎn)P重合時，二面角平面角為.所以當(dāng)點(diǎn)Q在在內(nèi)包括邊界運(yùn)動時，根據(jù)二面角變化的連續(xù)性可知存在一點(diǎn)Q使得二面角的平面角取到.解法二：以點(diǎn)O為坐標(biāo)原點(diǎn)，OB所在直線為x軸，過點(diǎn)O作AD的平行線為y軸，OP所在直線為z軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則點(diǎn)，，，則，設(shè)平面PAD的法向量為，則即取，從而可得易知平面ACD的一個法向量為設(shè)平面PAD與平面ACD的夾角為，則，即平面PAD與平面ACD的夾角為下同解法一.17.設(shè)過點(diǎn)，的動直線，交于點(diǎn)P，，的斜率之積恒為（1）求動點(diǎn)P的軌跡C的方程.（2）設(shè)直線l與曲線C交于點(diǎn)M，若以MN為直徑作圓，該圓恒過點(diǎn)（i）請判斷直線l是否符合如下的結(jié)論①或結(jié)論②，并給予證明.結(jié)論①：過定點(diǎn)；結(jié)論②：的斜率為定值.（ii）是否存在直線l使得為等腰直角三角形?若存在，請求出此時的面積；若不存在，請說明理由.解：（1）設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為，直線，的斜率為，,根據(jù)斜率定義可得，根據(jù)斜率之積恒為1，可得化簡可得動點(diǎn)P的軌跡C的方程為（2）（i）符合結(jié)論②證明如下：當(dāng)直線l的斜率不存在時，設(shè)直線l的方程為由題意可得，解得，不符合題意，舍去當(dāng)直線l的斜率存在時，設(shè)直線l的方程為設(shè)，，聯(lián)立該直線與曲線C的方程可得，則，若以MN為直徑作圓，該圓恒過點(diǎn)A，則等價于，即可得，則，化簡可得，即可得或當(dāng)時，可知直線l恒過定點(diǎn)，此時不滿足題中條件，故舍去.故，即直線l的斜率恒為定值,因此l符合結(jié)論②;（ii）不存在.理由如下：根據(jù)（i）可得直線l的方程為，此時M，N的坐標(biāo)為，，線段MN中點(diǎn)T的坐標(biāo)為，則直線AT與直線l始終不垂直，由此可得不可能是等腰直角三角形.18.已知函數(shù)，，（1）當(dāng)時，設(shè)函數(shù)的圖象、的圖象與函數(shù)的圖象的交點(diǎn)分別為P，Q，求線段PQ中點(diǎn)M的坐標(biāo).（2）若對恒成立，求實(shí)數(shù)k的取值范圍.（3）若函數(shù)至少有兩個相異的零點(diǎn)，求整數(shù)k的最大值.解：（1）當(dāng)時，函數(shù)與函數(shù)互為反函數(shù)，兩個函數(shù)的圖象關(guān)于直線對稱，函數(shù)的圖象也關(guān)于直線對稱，所以P，Q關(guān)于直線對稱.綜上可知點(diǎn)M為函數(shù)的圖象與直線的交點(diǎn)，計算可得M的坐標(biāo)為（2）不等式恒成立等價于恒成立，即恒成立，構(gòu)造函數(shù)，上式等價于易知為單調(diào)遞增函數(shù)，所以，等價于，設(shè)函數(shù)，求導(dǎo)可得，當(dāng)時，；當(dāng)時，；由此可得在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，即可得，由此可得k的取值范圍是（3）的定義域?yàn)?，由函?shù)，可得，由（2）可知，當(dāng)時，，即可得在上單調(diào)遞增，所以函數(shù)至多只有一個零點(diǎn).所以當(dāng)函數(shù)至少有兩個相異的零點(diǎn)時，，又因?yàn)閗為整數(shù)，所以不妨令，則，當(dāng)時，，，當(dāng)時，，此時函數(shù)至少存在兩個零點(diǎn)，由此可得整數(shù)k的最大值為19.若一個平面圖形是由三點(diǎn)，，構(gòu)成的三角形，則的面積；若一個平面圖形是不規(guī)則的平面圖形，則可通過割補(bǔ)法將其分解為規(guī)則的圖形分別運(yùn)算面積后再通過求和估算面積.已知點(diǎn)，，，，設(shè)曲線，直線以及x軸所圍成的封閉區(qū)域?yàn)椋?）分別計算三角形和五邊形的面積.（2）設(shè)的面積為求數(shù)列的前n項(xiàng)和，并用多邊形的面積估算封閉區(qū)域的面積.（3）同學(xué)甲提出另一個方案來估算的面積：用多邊形的面積來估算的面積得到，利用與證明不等式：恒成立.解：（1）由題意可知點(diǎn)，，，結(jié)合題中所給的面積公式可得三角形的面積為由題意可知點(diǎn)，，，，，在坐標(biāo)系中描出