【專題五：平面向量】一：考綱要求1.平面向量的實(shí)際背景及基本概念： 了解向量的實(shí)際背景。 理解平面向量的概念，理解兩個(gè)向量相等的含義。 理解向量的幾何表示。2.向量的線性運(yùn)算： 掌握向量加法、減法的運(yùn)算，并理解其幾何意義。 掌握向量數(shù)乘的運(yùn)算及其幾何意義，理解兩個(gè)向量共線的含義。 了解向量線性運(yùn)算的性質(zhì)及其幾何意義。3.平面向量的基本定理及坐標(biāo)表示： 了解平面向量的基本定理及其意義。 掌握平面向量的正交分解及其坐標(biāo)表示。 會(huì)用坐標(biāo)表示平面向量的加法、減法與數(shù)乘運(yùn)算。 理解用坐標(biāo)表示的平面向量共線的條件。4.平面向量的數(shù)量積： 理解平面向量數(shù)量積的含義及其物理意義。 了解平面向量的數(shù)量積與向量投影的關(guān)系。 掌握數(shù)量積的坐標(biāo)表達(dá)式，會(huì)進(jìn)行平面向量數(shù)量積的運(yùn)算。 能運(yùn)用數(shù)量積表示兩個(gè)向量的夾角，會(huì)用數(shù)量積判斷兩個(gè)平面向量的垂直關(guān)系。5.向量的應(yīng)用： 會(huì)用向量方法解決某些簡(jiǎn)單的平面幾何問(wèn)題。 會(huì)用向量方法解決簡(jiǎn)單的力學(xué)問(wèn)題與其他一些實(shí)際問(wèn)題。二．考情分析考點(diǎn)要求考題統(tǒng)計(jì)考情分析1.向量的概念與線性運(yùn)算：理解向量的概念，掌握向量的加法、減法和數(shù)乘運(yùn)算，以及它們的幾何意義和運(yùn)算律。能夠運(yùn)用向量的線性運(yùn)算解決相關(guān)的幾何問(wèn)題，如判斷向量共線、三點(diǎn)共線等。2.平面向量基本定理及坐標(biāo)表示：了解平面向量基本定理，掌握平面向量的正交分解及其坐標(biāo)表示。會(huì)用坐標(biāo)表示平面向量的加法、減法與數(shù)乘運(yùn)算，理解用坐標(biāo)表示的平面向量共線的條件，能夠通過(guò)向量的坐標(biāo)運(yùn)算解決向量的平行、垂直等問(wèn)題。3.平面向量的數(shù)量積：理解平面向量數(shù)量積的含義及其物理意義，了解平面向量的數(shù)量積與向量投影的關(guān)系。掌握數(shù)量積的坐標(biāo)表達(dá)式，會(huì)進(jìn)行平面向量數(shù)量積的運(yùn)算，能運(yùn)用數(shù)量積表示兩個(gè)向量的夾角，會(huì)用數(shù)量積判斷兩個(gè)平面向量的垂直關(guān)系，還能利用數(shù)量積解決與向量模長(zhǎng)、夾角相關(guān)的問(wèn)題，以及一些幾何圖形中的數(shù)量關(guān)系問(wèn)題。4.向量的應(yīng)用：會(huì)用向量方法解決某些簡(jiǎn)單的平面幾何問(wèn)題，如證明平行、垂直、求線段長(zhǎng)度、夾角等；會(huì)用向量方法解決簡(jiǎn)單的力學(xué)問(wèn)題與其他一些實(shí)際問(wèn)題，體現(xiàn)向量的工具性作用。2022年新高考Ⅰ卷：第3題，5分。新高考Ⅱ卷：第4題，5分。全國(guó)甲卷理數(shù)：第13題，5分。全國(guó)甲卷文數(shù)：第13題，5分。全國(guó)乙卷理數(shù)：第3題，5分。全國(guó)乙卷文數(shù)：第9題，5分。2023年新高考Ⅰ卷：第3題，5分。新課標(biāo)Ⅰ卷：第5題，5分。新課標(biāo)Ⅱ卷：第9題，5分。全國(guó)甲卷理數(shù)：第11題，5分。全國(guó)甲卷文數(shù)：第10題，5分。全國(guó)乙卷理數(shù)：第19題，12分（向量作為條件參與，部分分值涉及向量）。全國(guó)乙卷文數(shù)：第6題，5分。北京卷：第9題，5分。天津卷：第13題，5分（雙空題，平面向量部分占一定分值）。2024年新高考Ⅰ卷：第3題，5分。新課標(biāo)Ⅰ卷：第3題，5分。新課標(biāo)Ⅱ卷：第4題，5分。全國(guó)甲卷理數(shù)：第17題，5分。全國(guó)甲卷文數(shù)：第17題，5分。北京卷：第10題，5分。上海卷：第13題，5分。天津卷：第14題，5分（涉及平面向量取值范圍問(wèn)題）。題型與分值題型穩(wěn)定：平面向量在高考中主要以選擇題、填空題的形式出現(xiàn)，偶爾會(huì)在解答題中作為工具出現(xiàn)。分值固定：大部分試卷中平面向量的分值為5分，在一些試卷中可能會(huì)有涉及向量的綜合題，分值會(huì)有所增加，如2023年全國(guó)乙卷理數(shù)第19題，向量作為條件參與，部分分值涉及向量?？键c(diǎn)分布高頻考點(diǎn) 數(shù)量積運(yùn)算：三年來(lái)在多套試卷中均有考查，如2022年全國(guó)甲卷理數(shù)、2023年全國(guó)乙卷文數(shù)、2024年北京卷等。常涉及數(shù)量積的定義、運(yùn)算律及應(yīng)用，如利用數(shù)量積求向量的模、夾角，判斷向量的垂直關(guān)系等。 求模問(wèn)題：20222024年都有相關(guān)考題，如2023年新課標(biāo)全國(guó)Ⅱ卷、2024年新課標(biāo)全國(guó)Ⅱ卷、2023年北京卷等。求向量模的問(wèn)題常與向量的數(shù)量積、向量的坐標(biāo)運(yùn)算等知識(shí)結(jié)合，通過(guò)將向量模的平方轉(zhuǎn)化為向量的平方進(jìn)行求解。 求夾角問(wèn)題：2023年全國(guó)甲卷文數(shù)和理數(shù)、2022年新高考全國(guó)II卷等都有考查。一般根據(jù)向量的數(shù)量積公式來(lái)求解向量的夾角，需要先求出向量的數(shù)量積和向量的模。中頻考點(diǎn) 平行垂直問(wèn)題：如2024年上海夏季高考、2024年新課標(biāo)全國(guó)Ⅰ卷、2022年全國(guó)甲卷文數(shù)等。主要通過(guò)向量平行或垂直的條件來(lái)建立方程求解參數(shù)，若，，則的充要條件是；的充要條件是。 平面向量取值與范圍問(wèn)題：2024年天津高考、2023年全國(guó)乙卷理數(shù)、2022年新高考北京、天津、浙江數(shù)學(xué)高考等有涉及。此類問(wèn)題通常需要結(jié)合平面向量的運(yùn)算、幾何圖形的性質(zhì)以及函數(shù)、不等式等知識(shí)來(lái)求解。低頻考點(diǎn) 平面向量基本定理及其應(yīng)用：2022年新高考全國(guó)I卷有考查。主要是用已知的兩個(gè)不共線的向量作為基底來(lái)表示平面上的其他向量，將所求向量轉(zhuǎn)化到平行四邊形或三角形中，利用平面圖形的幾何特征建立關(guān)系。命題趨勢(shì)注重基礎(chǔ)：向量題考得比較基礎(chǔ)，突出向量的幾何運(yùn)算或代數(shù)運(yùn)算，不側(cè)重于與其他知識(shí)交匯，難度不大，有利于考查向量的基本運(yùn)算，符合課標(biāo)要求。強(qiáng)調(diào)應(yīng)用：向量是數(shù)形結(jié)合的產(chǎn)物，在平面幾何、解析幾何、三角函數(shù)等問(wèn)題中常作為工具出現(xiàn)，用來(lái)解決長(zhǎng)度、距離、垂直、平行等問(wèn)題，體現(xiàn)出數(shù)與形的完美結(jié)合。綜合創(chuàng)新：可能會(huì)出現(xiàn)一些與其他知識(shí)綜合的問(wèn)題，或者在向量的背景下進(jìn)行創(chuàng)新，考查學(xué)生的綜合運(yùn)用能力和創(chuàng)新思維。三：考點(diǎn)梳理【題型一：平面向量的概念與線性運(yùn)算】【知識(shí)點(diǎn)講解】平面向量的概念1.向量的定義：既有大小又有方向的量叫做向量。向量可以用有向線段來(lái)表示，有向線段的長(zhǎng)度表示向量的大小，箭頭所指的方向表示向量的方向。2.向量的模：向量的大小叫做向量的模，記作。模是一個(gè)非負(fù)實(shí)數(shù)，它表示向量的長(zhǎng)度。3.零向量：長(zhǎng)度為的向量叫做零向量，記作。零向量的方向是任意的。4.單位向量：長(zhǎng)度等于個(gè)單位的向量叫做單位向量。與非零向量同向的單位向量為。5.平行向量：方向相同或相反的非零向量叫做平行向量，也叫共線向量。規(guī)定零向量與任意向量平行。6.相等向量：長(zhǎng)度相等且方向相同的向量叫做相等向量。相等向量經(jīng)過(guò)平移后可以完全重合。平面向量的線性運(yùn)算1.向量的加法 三角形法則：已知非零向量，，在平面內(nèi)任取一點(diǎn)，作，，則向量叫做與的和，記作，即。 平行四邊形法則：已知兩個(gè)不共線向量，，以同一點(diǎn)為起點(diǎn)的兩個(gè)向量，為鄰邊作平行四邊形$OACB$，則以為起點(diǎn)的對(duì)角線就是與的和，記作。 運(yùn)算律：向量加法滿足交換律和結(jié)合律。2.向量的減法 相反向量：與向量長(zhǎng)度相等、方向相反的向量，叫做的相反向量，記作。。 減法法則：。通常用三角形法則來(lái)求向量的減法，即已知，，在平面內(nèi)任取一點(diǎn)，作，，則。3.向量的數(shù)乘 定義：實(shí)數(shù)與向量的積是一個(gè)向量，這種運(yùn)算叫做向量的數(shù)乘，記作。當(dāng)時(shí)，與方向相同；當(dāng)時(shí)，與方向相反；當(dāng)時(shí)，。。 運(yùn)算律：設(shè)，為實(shí)數(shù)，則有，，。線性運(yùn)算結(jié)論1.三點(diǎn)共線結(jié)論：若存在實(shí)數(shù)，使得，則，，三點(diǎn)共線。反之，若，，三點(diǎn)共線，則存在實(shí)數(shù)，使得（）。2.向量線性運(yùn)算與中點(diǎn)關(guān)系：若是線段$AB$的中點(diǎn)，則，其中為平面內(nèi)任意一點(diǎn)。3.向量線性運(yùn)算與重心關(guān)系：在中，為重心，則。反之，若，則為的重心?！究枷蛞唬浩矫嫦蛄康南嚓P(guān)概念】例題精選【高考真題+模擬精選】例題精選【例題1】（2324高一下·廣東江門·階段練習(xí)）設(shè)是非零向量，則是成立的（

）A．充要條件 B．充分不必要條件 C．必要不充分條件 D．既不充分也不必要條件【例題2】（2425高一下·海南三亞·階段練習(xí)）下列命題正確的是（

）A．若與共線，與共線，則與共線B．與向量共線的單位向量為C．若，則存在唯一的實(shí)數(shù)，使D．相似練習(xí)相似練習(xí)【相似題1】多選題．（2022·海南·模擬預(yù)測(cè)）下列說(shuō)法錯(cuò)誤的是（

）A．向量可以用有向線段表示B．非零向量與非零向量共線，則與的方向相同或相反C．向量與向量共線，則，，，四點(diǎn)在一條直線上D．如果，那么【相似題2】多選題（2425高一下·貴州遵義·階段練習(xí)）下列說(shuō)法正確的是（

）A．我們把既有大小又有方向的量叫作向量 B．單位向量是相等向量C．零向量與任意向量平行 D．向量的?？梢员容^大小【考向二：平面向量的線性運(yùn)算】例題精選【高考真題+模擬精選】例題精選【例題1】（2025·貴州銅仁·模擬預(yù)測(cè)）在平行四邊形中，是對(duì)角線上靠近點(diǎn)的三等分點(diǎn)，則（

）A． B．C． D．【例題2】（2025·吉林長(zhǎng)春·二模）在中，，點(diǎn)E在上，若，則（

）A． B． C． D．【例題3】（2024·四川·一模）如圖，在中，點(diǎn)分別在邊上，且，點(diǎn)為中點(diǎn)，則（

）

A． B．C． D．相似練習(xí)相似練習(xí)【相似題1】（2024·廣東·模擬預(yù)測(cè)）已知等邊的邊長(zhǎng)為1，點(diǎn)分別為的中點(diǎn)，若，則（

）A． B．C． D．【相似題2】（2024·四川德陽(yáng)·模擬預(yù)測(cè)）在△ABC中，點(diǎn)D在邊BC上，且E為AD的中點(diǎn)，則（

）A． B． C． D．【相似題3】（2024·重慶·模擬預(yù)測(cè)）已知點(diǎn)是的重心，點(diǎn)是線段的中點(diǎn)，若，則（

）A． B． C． D．【考向三：平面向量的共線定理】例題精選【高考真題+模擬精選】例題精選【例題1】（2025·湖南·模擬預(yù)測(cè)）如圖，在中，點(diǎn)是線段上靠近點(diǎn)的三等分點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)的直線分別交直線、于點(diǎn)、.設(shè)，，則的值為（

）A． B． C． D．【例題2】（2024·黑龍江齊齊哈爾·一模）已知向量不共線，，其中，若三點(diǎn)共線，則的最小值為（

）A．5 B．4 C．3 D．2【例題3】（2022·四川綿陽(yáng)·二模）已知平面向量，不共線，，，，則（）A．三點(diǎn)共線 B．三點(diǎn)共線C．三點(diǎn)共線 D．三點(diǎn)共線相似練習(xí)相似練習(xí)【相似題1】（2024·內(nèi)蒙古赤峰·二模）已知，是兩個(gè)不共線的向量，命題甲：向量與共線；命題乙:則甲是乙的（

）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件【相似題2】（2024·河北衡水·模擬預(yù)測(cè)）在中，是的中點(diǎn)，直線分別與交于點(diǎn)，且，，則（

）A． B． C． D．【相似題3】（2024·陜西西安·一模）在中，點(diǎn)是線段上一點(diǎn)，點(diǎn)是線段上一點(diǎn)，且，，則（

）A． B． C． D．【題型二：平面向量的基本定理以及坐標(biāo)表示】【知識(shí)點(diǎn)講解】平面向量基本定理定理內(nèi)容：如果，是同一平面內(nèi)的兩個(gè)不共線向量，那么對(duì)于這一平面內(nèi)的任一向量，有且只有一對(duì)實(shí)數(shù)，，使。其中，不共線的向量，叫做表示這一平面內(nèi)所有向量的一組基底。理解要點(diǎn)：平面內(nèi)任何向量都可以沿兩個(gè)不共線的方向分解成兩個(gè)向量的和，并且這種分解是唯一的。這為向量的運(yùn)算和解決幾何問(wèn)題提供了有力工具。定理的意義：平面向量基本定理是向量進(jìn)行坐標(biāo)表示的基礎(chǔ)，它將向量的研究從圖形轉(zhuǎn)化為代數(shù)運(yùn)算，使得我們可以通過(guò)數(shù)的運(yùn)算來(lái)研究向量問(wèn)題，把幾何問(wèn)題代數(shù)化，從而簡(jiǎn)化問(wèn)題的解決過(guò)程。平面向量的坐標(biāo)表示向量的坐標(biāo)定義：在平面直角坐標(biāo)系中，分別取與軸、軸方向相同的兩個(gè)單位向量，作為基底。對(duì)于平面內(nèi)的一個(gè)向量，由平面向量基本定理可知，有且只有一對(duì)實(shí)數(shù)，，使得，這樣，平面內(nèi)的任一向量都可由，唯一確定，我們把有序數(shù)對(duì)叫做向量的坐標(biāo)，記作，其中叫做在軸上的坐標(biāo)，叫做在軸上的坐標(biāo)。特殊向量坐標(biāo)：零向量，單位向量，。向量坐標(biāo)與點(diǎn)坐標(biāo)的關(guān)系：若，，則。即向量的坐標(biāo)等于終點(diǎn)的坐標(biāo)減去起點(diǎn)的坐標(biāo)。平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算向量加法的坐標(biāo)運(yùn)算：設(shè)，，則。向量減法的坐標(biāo)運(yùn)算：設(shè)，，則。向量數(shù)乘的坐標(biāo)運(yùn)算：設(shè)，是實(shí)數(shù)，則。向量平行的坐標(biāo)表示：設(shè)，，其中，則的充要條件是。重要結(jié)論平面向量基本定理的唯一性：若，且，則且。這進(jìn)一步強(qiáng)調(diào)了平面向量在一組基底下分解的唯一性，有助于我們?cè)诮鉀Q向量問(wèn)題時(shí)準(zhǔn)確運(yùn)用定理。向量坐標(biāo)運(yùn)算與幾何意義的聯(lián)系：向量的坐標(biāo)運(yùn)算結(jié)果與向量的幾何性質(zhì)緊密相關(guān)。例如，向量模長(zhǎng)的坐標(biāo)公式為（設(shè)），這是通過(guò)勾股定理從向量坐標(biāo)得到向量模長(zhǎng)的計(jì)算方法，體現(xiàn)了向量坐標(biāo)與幾何長(zhǎng)度的聯(lián)系。又如，向量的夾角公式（設(shè)，），將向量的夾角問(wèn)題轉(zhuǎn)化為坐標(biāo)運(yùn)算，從而能方便地通過(guò)坐標(biāo)來(lái)求解向量間的夾角。中點(diǎn)坐標(biāo)公式：若，，則線段$AB$的中點(diǎn)的坐標(biāo)為。這一公式可由向量的加法和中點(diǎn)的向量表示推導(dǎo)得出，在解決涉及線段中點(diǎn)的幾何問(wèn)題和向量問(wèn)題中經(jīng)常用到?！究枷蛞唬浩矫嫦蛄康幕径ɡ響?yīng)用】例題精選【高考真題+模擬精選】例題精選【例題1】（2024·上海浦東新·三模）給定平面上的一組向量、，則以下四組向量中不能構(gòu)成平面向量的基底的是（

）A．和 B．和C．和 D．和【例題2】（2025高三·全國(guó)·專題練習(xí)）已知中，點(diǎn)，滿足，，設(shè)，，則(

)A． B． C． D．【例題3】（2022·河南鄭州·三模）在中，是BC上一點(diǎn)，是線段AD上一點(diǎn)，，則（

）A． B． C． D．相似練習(xí)相似練習(xí)【相似題1】（2024·廣東廣州·模擬預(yù)測(cè)）設(shè)平面向量，，若與不能作為平面向量的一組基底，則（

）A． B． C． D．【相似題2】（2025·山東·模擬預(yù)測(cè)）在中，．若，則的值為（

）A． B． C． D．【相似題3】（2025·廣東廣州·一模）在平行四邊形中，點(diǎn)是邊上的點(diǎn)，，點(diǎn)是線段的中點(diǎn)，若，則（

）A． B．1 C． D．【考向二：平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算】例題精選【高考真題+模擬精選】例題精選【例題1】（2025·貴州遵義·模擬預(yù)測(cè)）已知向量，，在正方形網(wǎng)格中的位置如圖所示，將繞著起點(diǎn)順時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)后得到向量，若，則（

）

A． B． C． D．【例題2】（2425高一下·廣東廣州·階段練習(xí)）已知點(diǎn)與，點(diǎn)在直線上，且，則點(diǎn)的坐標(biāo)為（

）A． B． C． D．或【例題3】（2425高一下·山東·階段練習(xí)）已知向量，則（

）A． B． C． D．相似練習(xí)相似練習(xí)【相似題1】（2425高一下·江蘇淮安·階段練習(xí)）若向量，則與方向相反的單位向量為.【相似題2】（2425高一下·湖北·階段練習(xí)）已知，，，且，，，若，．(1)求；(2)求滿足的實(shí)數(shù)m，n的值；(3)求M，N的坐標(biāo)及向量的坐標(biāo)．【考向三：平面向量共線的坐標(biāo)表示】例題精選【高考真題+模擬精選】例題精選【例題1】（2025·遼寧遼陽(yáng)·一模）已知向量，，.若、、三點(diǎn)共線，則（

）A． B． C． D．【例題2】（2020·陜西渭南·一模）在中，角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，，若，，且，則的面積為（

）A．3 B．C． D．3【例題3】（2025·山東聊城·一模）已知角，向量，，若，則（

）A． B． C． D．相似練習(xí)相似練習(xí)【相似題1】（2024·江西新余·模擬預(yù)測(cè)）已知平面直角坐標(biāo)系中，，，，若，則的坐標(biāo)為：（

）.A． B． C． D．【相似題2】（2025·江西新余·一模）已知向量，若與是共線向量，則實(shí)數(shù).【相似題3】（2025·湖南岳陽(yáng)·一模）已知向量.若，則.【題型三：平面向量的數(shù)量積及其應(yīng)用】【知識(shí)點(diǎn)講解】平面向量數(shù)量積的定義定義：已知兩個(gè)非零向量與，它們的夾角為（），把數(shù)量叫做與的數(shù)量積（或內(nèi)積），記作，即。規(guī)定：零向量與任一向量的數(shù)量積為。理解要點(diǎn)：向量的數(shù)量積是一個(gè)數(shù)量，其值的大小不僅與向量，的模長(zhǎng)有關(guān)，還與它們夾角的余弦值有關(guān)。當(dāng)兩向量夾角為銳角時(shí)，數(shù)量積為正；夾角為鈍角時(shí)，數(shù)量積為負(fù)；夾角為直角時(shí)，數(shù)量積為。幾何意義：等于的長(zhǎng)度與在方向上的投影的乘積，也等于的長(zhǎng)度與在方向上的投影的乘積。平面向量數(shù)量積的運(yùn)算律交換律：。兩個(gè)向量進(jìn)行數(shù)量積運(yùn)算時(shí)，交換向量順序，結(jié)果不變。數(shù)乘結(jié)合律：，其中為實(shí)數(shù)。分配律：。在向量運(yùn)算中常用于展開(kāi)式子化簡(jiǎn)計(jì)算。平面向量數(shù)量積的坐標(biāo)表示若，，則。向量模長(zhǎng)的坐標(biāo)公式：由可得，若，則。向量夾角的坐標(biāo)公式：設(shè)，，它們的夾角為（），則。平面向量數(shù)量積的應(yīng)用判斷向量垂直：若，為非零向量，則的充要條件是。從坐標(biāo)角度看，若，，則。求向量的模：通過(guò)，將求向量模的問(wèn)題轉(zhuǎn)化為數(shù)量積運(yùn)算。求向量的夾角：利用，可求出兩向量夾角的余弦值，進(jìn)而確定夾角。重要結(jié)論。常用于求向量模長(zhǎng)的平方或化簡(jiǎn)含向量平方的式子。，當(dāng)且僅當(dāng)與共線時(shí)取等號(hào)。在證明題或求最值問(wèn)題中常被用于放縮。設(shè)，，則的面積。通過(guò)向量數(shù)量積將三角形面積與向量聯(lián)系起來(lái)，方便解決涉及三角形面積且已知向量條件的問(wèn)題?！究枷蛞唬浩矫嫦蛄繑?shù)量積的計(jì)算】例題精選【高考真題+模擬精選】例題精選【例題1】（2025·江西上饒·一模）在平行四邊形中，，，，，則（

）A．1 B． C．2 D．3【例題2】（2024·浙江寧波·模擬預(yù)測(cè)）已知△ABC是邊長(zhǎng)為1的正三角形，是BN上一點(diǎn)且，則（

）A． B． C． D．1【例題3】（2025高三·全國(guó)·專題練習(xí)）在矩形中，，，動(dòng)點(diǎn)在以點(diǎn)為圓心，且與相切的圓上，則的取值范圍為．相似練習(xí)相似練習(xí)【相似題1】（2024·河南周口·模擬預(yù)測(cè)）已知中，，，AD為BC上的高，垂足為，點(diǎn)為AB上一點(diǎn)，且，則（

）A． B． C． D．【相似題2】（2025·天津河西·一模）如圖所示，四邊形內(nèi)接于圓，，，則；設(shè)，且，則四邊形的面積為．【相似題3】（2024·遼寧·模擬預(yù)測(cè)）如圖，圓內(nèi)接四邊形中，為直徑，，.則的長(zhǎng)度為；.

【考向二：平面向量數(shù)量積的應(yīng)用（夾角與垂直+模長(zhǎng)）】例題精選【高考真題+模擬精選】例題精選【例題1】（2025·安徽合肥·二模）已知向量，，設(shè)，，則與的夾角為（

）A． B． C． D．【例題2】（2025·河南南陽(yáng)·模擬預(yù)測(cè)）已知向量在上的投影向量為，且，則（

）A． B． C． D．【例題3】（2025·山東泰安·一模）已知向量，且，則（

）A． B． C． D．相似練習(xí)相似練習(xí)【相似題1】（2025·山西·一模）已知向量，，滿足，，且在上的投影向量為，則（

）A． B． C． D．【相似題2】（2025·河北秦皇島·一模）已知，均為平面上的單位向量，若，則（

）A．2 B． C． D．【相似題3】（2425高三下·安徽·階段練習(xí)）已知平面向量滿足，且，則（

）A．2 B． C． D．1【相似題4】（2025·山西晉中·模擬預(yù)測(cè)）已知、是互相垂直的兩個(gè)單位向量，若向量與的夾角為，則實(shí)數(shù)（

）A． B． C． D．【相似題5】（2025·新疆·二模）已知向量滿足，則（

）A． B． C． D．【相似題6】（2025·福建福州·模擬預(yù)測(cè)）已知向量，，滿足，，，，則（

）A． B． C． D．【考向三：平面向量與三角函數(shù)的綜合】例題精選例題精選【例題1】（2025·江西·一模）設(shè)向量，，．(1)求的單調(diào)遞減區(qū)間；(2)在銳角中，角所對(duì)的邊分別為，若，，，求的面積【例題2】（2024·上海靜安·一模）已知向量，且.(1)求及；(2)記，求函數(shù)的最小值.相似練習(xí)相似練習(xí)【相似題1】（2324高三上·四川內(nèi)江·階段練習(xí)）已知向量，，函數(shù).(1)求的最小正周期和單調(diào)遞減區(qū)間；(2)已知為銳角三角形，，，為的內(nèi)角，，的對(duì)邊，，且，求面積的取值范圍.【相似題2】（2024·湖北恩施·二模）在中，角所對(duì)的邊分別為，設(shè)向量，，，.(1)求函數(shù)的最大值；(2)若，，，求的面積.課后針對(duì)訓(xùn)練課后針對(duì)訓(xùn)練【第一部分：真題感悟】一、單選題1．（2024·北京·高考真題）設(shè)，是向量，則“”是“或”的（

）．A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件2．（2024·全國(guó)甲卷·高考真題）設(shè)向量，則（

）A．“”是“”的必要條件 B．“”是“”的必要條件C．“”是“”的充分條件 D．“”是“”的充分條件3．（2024·新課標(biāo)Ⅱ卷·高考真題）已知向量滿足，且，則（

）A． B． C． D．14．（2023·全國(guó)乙卷·高考真題）正方形的邊長(zhǎng)是2，是的中點(diǎn)，則（

）A． B．3 C． D．55．（2023·全國(guó)甲卷·高考真題）已知向量，則（

）A． B． C． D．6．（2023·全國(guó)甲卷·高考真題）已知向量滿足，且，則（

）A． B． C． D．7．（2024·廣東江蘇·高考真題）已知向量，若，則（

）A． B． C．1 D．28．（2023·全國(guó)乙卷·高考真題）已知的半徑為1，直線PA與