第三章一元函數(shù)的導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用（測試）（考試時間：120分鐘試卷滿分：150分）注意事項：1．答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、準考證號填寫在答題卡上。2．回答選擇題時，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡對應(yīng)題目的答案標號涂黑。如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標號?；卮鸱沁x擇題時，將答案寫在答題卡上。寫在本試卷上無效。3．考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回。第一部分（選擇題共58分）一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．已知函數(shù)，則（

）A．1 B． C．2 D．4【答案】B【解析】由題意知，，則.所以.故選：B2．曲線在點處的切線與兩坐標軸所圍成的三角形的面積為（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】由，得，則，，所以曲線在點處的切線方程為.令，得，令，得，故該切線與兩坐標軸所圍成的三角形的面積為.故選：C3．若函數(shù)在上單調(diào)遞減，則實數(shù)的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】易知函數(shù)在上單調(diào)遞增，又函數(shù)在上單調(diào)遞減，所以且，解得．即實數(shù)a的取值范圍為故選：B4．已知函數(shù).若，對，則（

）A． B．C． D．【答案】B【解析】，由條件可知在有極小值點，根據(jù)零點存在定理可得：且，即且，所以。故選：B5．已知函數(shù)，則函數(shù)（

）A．既有極大值也有極小值 B．有極大值無極小值C．有極小值無極大值 D．既無極大值也無極小值【答案】B【解析】函數(shù)的定義域為，且，當時，當時，所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，所以在處取得極大值，無極小值.故選：B6．已知函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)為，且，當時，，則不等式的解集為（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】不等式等價于，即，構(gòu)造函數(shù)，所以，因為時，，所以對恒成立，所以在單調(diào)遞減，又因為，所以不等式等價于，所以，即的解集為.故選：A.7．若函數(shù)有極值，則實數(shù)的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】函數(shù)的定義域為，且，因為函數(shù)有極值，所以在上有變號零點，即在上有解（若有兩個解，則兩個解不能相等），因為二次函數(shù)的對稱軸為，開口向上，所以只需，解得，即實數(shù)的取值范圍是.故選：C8．函數(shù)，若關(guān)于的不等式有且僅有三個整數(shù)解，則的取值范圍是（

）A． B．C． D．【答案】A【解析】對函數(shù)求導(dǎo)可得，令，解得，令，解得，又時，，所以的遞增區(qū)間為，遞減區(qū)間為和，作出圖象如圖所示：當時，由，可得，由圖象可知，不存在整數(shù)點滿足條件，當時，由，可得，由圖象可知，不存在整數(shù)點滿足條件，當時，由，可得，又，，，由的遞增區(qū)間為，所以，所以要使有三個整數(shù)解，則，所以關(guān)于的不等式有且僅有三個整數(shù)解，則的取值范圍為.故選：A.二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求．全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分．9．丹麥數(shù)學(xué)家琴生（Jensen）是19世紀對數(shù)學(xué)分析做出卓越貢獻的巨人，特別是在函數(shù)的凸凹性與不等式方面留下了很多寶貴的成果，設(shè)函數(shù)在上的導(dǎo)函數(shù)為，在上的導(dǎo)函數(shù)為，若在上恒成立，則稱函數(shù)在上為“凸函數(shù)”，以下四個函數(shù)在上是凸函數(shù)的是（）A． B．C． D．【答案】ABC【解析】對于A，由，得，則，因為，所以，所以此函數(shù)是凸函數(shù)；對于B，由，得，則，因為，所以，所以此函數(shù)是凸函數(shù)；對于C，由，得，則，因為，所以，所以此函數(shù)是凸函數(shù)；對于D，由，得，則，因為，所以，所以此函數(shù)不是凸函數(shù)，故選：ABC10．已知函數(shù)，則（

）A．為奇函數(shù)B．的單調(diào)遞增區(qū)間為C．的極小值為D．若關(guān)于的方程恰有3個不等的實根，則的取值范圍為【答案】ACD【解析】由函數(shù)，可得，對于A中，由，定義域為關(guān)于原點對稱，且，所以函數(shù)為奇函數(shù)，所以A正確；對于B中，由，解得或，即函數(shù)的遞增區(qū)間為，所以B不正確；對于C中，由，解得，所以函數(shù)的遞減區(qū)間為，所以，當時，函數(shù)取得極小值，極小值為，所以C正確；對于D中，由函數(shù)在上單調(diào)遞增，在區(qū)間上單調(diào)遞減，在區(qū)間上單調(diào)遞增，所以極大值為，極小值為，且時，；時，；又由關(guān)于的方程恰有3個不等的實根，即函數(shù)與的圖象有3個不同的交點，可得，所以實數(shù)的取值范圍為，所以D正確.故選：ACD.11．已知函數(shù)及其導(dǎo)函數(shù)的定義域均為，若是奇函數(shù)，滿足，且對任意，，，則（

）A． B． C． D．【答案】BD【解析】對于A中，令，可得，因為，所以，所以A不正確；對于B中，令，可得，所以，因為函數(shù)為奇函數(shù)，則為偶函數(shù)，所以，聯(lián)立可得，即，所以，所以函數(shù)是周期為3的函數(shù)，所以，所以B正確；對于C中，由，可得，且，因為數(shù)是周期為3的函數(shù)，可得，所以C錯誤；對于D中，由，可得令，可得，所以，因為函數(shù)周期為3的函數(shù)，即，可得所以函數(shù)是周期為3的函數(shù)，可得，所以，令，可得，所以，所以，可得所以，所以D正確.故選：BD.第二部分（非選擇題共92分）三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分。12．燒水時，水溫隨著時間的推移而變化.假設(shè)水的初始溫度為，加熱后的溫度函數(shù)（是常數(shù)，表示加熱的時間，單位：min），加熱到第10min時，水溫的瞬時變化率是.【答案】【解析】因為水的初始溫度為，所以，解得，所以，則，所以加熱到第時，水溫的瞬時變化率是.故答案為：13．已知函數(shù)，若函數(shù)恰有一個零點，則的取值范圍是.【答案】【解析】，由于為對勾函數(shù)，最小值為2，而，所以在單調(diào)遞減，故，作出的大致圖象如下：故要使恰有一個零點，只需要只有一個交點，故，即，故答案為：14．已知，對任意的，不等式恒成立，則的取值范圍為.【答案】【解析】由題意，不等式即，進而轉(zhuǎn)化為，令，則，當時，，所以在上單調(diào)遞增.則不等式等價于恒成立.因為，所以，所以對任意恒成立，即恒成立.設(shè)，可得，當時，單調(diào)遞增，當時，單調(diào)遞減．所以時，有最大值，于是，解得．故答案為：.四、解答題：本題共5小題，共77分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步棸。15．（13分）已知.(1)求并寫出的表達式；(2)證明：.【解析】（1）由有，取得到，解得.將代入可得.（6分）（2）設(shè)，則，故當時，當時.所以在上遞減，在上遞增，故.從而.（13分）16．（15分）某種兒童適用型防蚊液儲存在一個容器中，該容器由兩個半球和一個圓柱組成（其中上半球是容器的蓋子，防蚊液儲存在下半球及圓柱中），容器軸截面如題圖所示，兩頭是半圓形，中間區(qū)域是矩形，其外周長為100毫米．防蚊液所占的體積為圓柱體體積和一個半球體積之和．假設(shè)的長為毫米．(1)求容器中防蚊液的體積（單位：立方毫米）關(guān)于的函數(shù)關(guān)系式；(2)如何設(shè)計與的長度，使得最大？【解析】（1）由得，由且得，所以防蚊液的體積，.（6分）（2）由，.所以，令得；令得；所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，（9分）所以當時，有最大值，此時，，所以當為毫米，為毫米時，防蚊液的體積有最大值.（13分）17．（15分）已知函數(shù)．(1)若，求函數(shù)在上的最大值和最小值；(2)討論函數(shù)的單調(diào)性．【解析】（1）當時，，則，令，得或，由于，所以當，，在單調(diào)遞減，所以當，，在單調(diào)遞增，所以在時取到極小值，且，（3分）又因為，，綜上，函數(shù)在上的最大值為，最小值為.（6分）（2）因為，所以，當，即時，，在單調(diào)遞增，當，即時，令，則，（9分）所以當，，在單調(diào)遞增，當，，在單調(diào)遞減，（12分）當，，在單調(diào)遞增.綜上所述，當時，在單調(diào)遞增，當時，在，單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減.（15分）18．（17分）已知，，是自然對數(shù)的底數(shù).(1)當時，求函數(shù)的極值；(2)若關(guān)于的方程有兩個不等實根，求的取值范圍；(3)當時，若滿足，求證：.【解析】（1）當時，，定義域為，求導(dǎo)可得，令，得，當時，，函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減，當時，，函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，所以在處取到極小值為0，無極大值.（4分）（2）方程，當時，顯然方程不成立，所以，則，方程有兩個不等實根，即與有2個交點，，當或時，，在區(qū)間和上單調(diào)遞減，并且時，，當時，，當時，，在區(qū)間上單調(diào)遞增，時，當時，取得最小值，，（8分）作出函數(shù)的圖象，如圖所示：因此與有2個交點時，，故的取值范圍為.（10分）（3）證明：，由，得，所以函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增.由題意，且，則，.要證，只需證，而，且函數(shù)在上單調(diào)遞減，故只需證，又，所以只需證，（12分）即證，令，即，，由均值不等式可得，當且僅當，即時，等號成立.所以函數(shù)在上單調(diào)遞增.（15分）由，可得，即，所以，又函數(shù)在上單調(diào)遞減，所以，即得證.（17分）19．（17分）對給定的在定義域內(nèi)連續(xù)且存在導(dǎo)函數(shù)的函數(shù)，若對在定義域內(nèi)的給定常數(shù)，存在數(shù)列滿足在的定義域內(nèi)且，且對在區(qū)間的圖象上有且僅有在一個點處的切線平行于和的連線，則稱數(shù)列為函數(shù)的“關(guān)聯(lián)切線伴隨數(shù)列”.(1)若函數(shù)，證明：都存在“關(guān)聯(lián)切線伴隨數(shù)列”；(2)若函數(shù)，數(shù)列為函數(shù)的“1關(guān)聯(lián)切線伴隨數(shù)列”，且，求的通項公式；(3)若函數(shù)，數(shù)列為函數(shù)的“關(guān)聯(lián)切線伴隨數(shù)列”，記數(shù)列的前項和為，證明：當時，.【解析】（1）因為，則，由題意可得：，則，即，且，可知數(shù)列為以為首項，為公比的等比數(shù)列，（34分）顯然這樣的數(shù)列對于給定的是存在的，所以都存在“關(guān)聯(lián)切線伴隨數(shù)列”.（4分）（2）因為，