PAGEPAGE6其次節(jié)參數(shù)方程2024考綱考題考情1．參數(shù)方程的概念一般地，在平面直角坐標(biāo)系中，假如曲線上隨意一點(diǎn)的坐標(biāo)x，y都是某個(gè)變數(shù)t的函數(shù)：eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝ft，,y＝gt。))①并且對(duì)于t的每一個(gè)允許值，由方程組①所確定的點(diǎn)M(x，y)都在這條曲線上，那么方程組①就叫做這條曲線的參數(shù)方程，t叫做參變數(shù)，簡(jiǎn)稱參數(shù)。相對(duì)于參數(shù)方程而言，干脆給出點(diǎn)的坐標(biāo)間關(guān)系的方程叫做一般方程。2．直線的參數(shù)方程過(guò)定點(diǎn)P0(x0，y0)且傾斜角為α的直線的參數(shù)方程為eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝x0＋tcosα，,y＝y(tǒng)0＋tsinα))(t為參數(shù))，則參數(shù)t的幾何意義是有向線段eq\o(P0P,\s\up16(→))的數(shù)量。3．圓的參數(shù)方程圓心為(a，b)，半徑為r，以圓心為頂點(diǎn)且與x軸同向的射線，按逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)到圓上一點(diǎn)所在半徑形成的角α為參數(shù)的圓的參數(shù)方程為eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝a＋rcosα，,y＝b＋rsinα))(α為參數(shù))α∈[0,2π)。4．橢圓的參數(shù)方程以橢圓的離心角θ為參數(shù)，橢圓eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a＞b＞0)的參數(shù)方程為eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝acosθ，,y＝bsinθ))(θ為參數(shù))，θ∈[0,2π)。1．將參數(shù)方程化為一般方程時(shí)，要留意防止變量x和y取值范圍的擴(kuò)大或縮小，必需依據(jù)參數(shù)的取值范圍，確定函數(shù)f(t)和g(t)的值域，即x和y的取值范圍。2．直線的參數(shù)方程中，參數(shù)t的系數(shù)的平方和為1時(shí)，t才有幾何意義且?guī)缀我饬x為：|t|是直線上任一點(diǎn)M(x，y)到M0(x0，y0)的距離。一、走進(jìn)教材1．(選修4－4P26T4改編)在平面直角坐標(biāo)系中，曲線C：eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝2＋\f(\r(2),2)t，,y＝1＋\f(\r(2),2)t))(t為參數(shù))的一般方程為_(kāi)_______。解析消去t，得x－y＝1，即x－y－1＝0。答案x－y－1＝02．(選修4－4P37例2改編)在平面直角坐標(biāo)系xOy中，若直線l：eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝t，,y＝t－a))(t為參數(shù))過(guò)橢圓C：eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝3cosφ，,y＝2sinφ))(φ為參數(shù))的右頂點(diǎn)，求常數(shù)a的值。解直線l的一般方程為x－y－a＝0，橢圓C的一般方程為eq\f(x2,9)＋eq\f(y2,4)＝1，所以橢圓C的右頂點(diǎn)坐標(biāo)為(3,0)，若直線l過(guò)(3,0)，則3－a＝0，所以a＝3。二、走出誤區(qū)微提示：①不留意互化的等價(jià)性致誤；②直線參數(shù)方程中參數(shù)t的幾何意義不清致誤；③交點(diǎn)坐標(biāo)計(jì)算出錯(cuò)致錯(cuò)。3．若曲線C的參數(shù)方程為eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝1＋cos2θ，,y＝sin2θ))(θ為參數(shù))，則曲線C上的點(diǎn)的軌跡是()A．直線x＋2y－2＝0B．以(2,0)為端點(diǎn)的射線C．圓(x－1)2＋y2＝1D．以(2,0)和(0,1)為端點(diǎn)的線段解析將曲線C的參數(shù)方程化為一般方程得x＋2y－2＝0(0≤x≤2,0≤y≤1)。故選D。答案D4．已知直線eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝x0＋at，,y＝y(tǒng)0＋bt))(t為參數(shù))上兩點(diǎn)A，B對(duì)應(yīng)的參數(shù)值是t1，t2，則|AB|＝()A．|t1＋t2| B．|t1－t2|C.eq\r(a2＋b2)|t1－t2| D.eq\f(|t1－t2|,\r(a2＋b2))解析依題意，A(x0＋at1，y0＋bt1)，B(x0＋at2，y0＋bt2)，則|AB|＝eq\r([x0＋at1－x0＋at2]2＋[y0＋bt1－y0＋bt2]2)＝eq\r(a2＋b2)|t1－t2|。故選C。答案C5．在平面直角坐標(biāo)系xOy中，以原點(diǎn)O為極點(diǎn)，x軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系。曲線C1的極坐標(biāo)方程為ρ(cosθ＋sinθ)＝－2，曲線C2的參數(shù)方程為eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝t2，,y＝2\r(2)t))(t為參數(shù))，則C1與C2交點(diǎn)的直角坐標(biāo)為_(kāi)_______。解析由ρ(cosθ＋sinθ)＝－2，得x＋y＝－2①。又eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝t2，,y＝2\r(2)t))消去t，得y2＝8x②。聯(lián)立①②得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝2，,y＝－4，))即交點(diǎn)坐標(biāo)為(2，－4)。答案(2，－4)考點(diǎn)一參數(shù)方程與一般方程的互化【例1】把下列參數(shù)方程化為一般方程。(1)eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝1＋\f(1,2)t，,y＝5＋\f(\r(3),2)t))(t為參數(shù))。(2)eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝sinθ，,y＝cos2θ))(θ為參數(shù)，θ∈[0,2π))。解(1)由已知得t＝2x－2，代入y＝5＋eq\f(\r(3),2)t中得y＝5＋eq\f(\r(3),2)(2x－2)。即它的一般方程為eq\r(3)x－y＋5－eq\r(3)＝0。(2)因?yàn)閟in2θ＋cos2θ＝1，所以x2＋y＝1，即y＝1－x2。又因?yàn)閨sinθ|≤1，所以其一般方程為y＝1－x2(|x|≤1)。將曲線的參數(shù)方程化為一般方程的關(guān)鍵是消去其中的參數(shù)，此時(shí)要留意其中的x，y(它們都是參數(shù)的函數(shù))的取值范圍，即在消去參數(shù)的過(guò)程中肯定要留意普通方程與參數(shù)方程的等價(jià)性。參數(shù)方程化一般方程常用的消參技巧有：代入消元、加減消元、平方后相加減消元、整體消元等?！咀兪接?xùn)練】在直角坐標(biāo)系xOy中，曲線C1的參數(shù)方程為eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝\r(3)sinα－cosα，,y＝3－2\r(3)sinαcosα－2cos2α))(α為參數(shù))，以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)，x軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，曲線C2的極坐標(biāo)方程為ρsineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(θ－\f(π,4)))＝eq\f(\r(2),2)m。(1)求曲線C1的一般方程和曲線C2的直角坐標(biāo)方程；(2)若曲線C1與曲線C2有公共點(diǎn)，求實(shí)數(shù)m的取值范圍。解(1)由曲線C1的參數(shù)方程為eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝\r(3)sinα－cosα，,y＝3－2\r(3)sinαcosα－2cos2α))(α為參數(shù))，可得其一般方程為y＝x2(－2≤x≤2)，由曲線C2的極坐標(biāo)方程為ρsineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(θ－\f(π,4)))＝eq\f(\r(2),2)m，可得其直角坐標(biāo)方程為x－y＋m＝0。(2)聯(lián)立曲線C1與曲線C2的方程，可得x2－x－m＝0，所以m＝x2－x＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(1,2)))2－eq\f(1,4)，因?yàn)椋?≤x≤2，曲線C1與曲線C2有公共點(diǎn)，所以－eq\f(1,4)≤m≤6?？键c(diǎn)二直線參數(shù)方程的應(yīng)用【例2】(2024·全國(guó)卷Ⅱ)在直角坐標(biāo)系xOy中，曲線C的參數(shù)方程為eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝2cosθ，,y＝4sinθ))(θ為參數(shù))，直線l的參數(shù)方程為eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝1＋tcosα，,y＝2＋tsinα))(t為參數(shù))。(1)求C和l的直角坐標(biāo)方程；(2)若曲線C截直線l所得線段的中點(diǎn)坐標(biāo)為(1,2)，求l的斜率。解(1)曲線C的直角坐標(biāo)方程為eq\f(x2,4)＋eq\f(y2,16)＝1。當(dāng)cosα≠0時(shí)，l的直角坐標(biāo)方程為y＝tanα·x＋2－tanα，當(dāng)cosα＝0時(shí)，l的直角坐標(biāo)方程為x＝1。(2)將l的參數(shù)方程代入C的直角坐標(biāo)方程，整理得關(guān)于t的方程(1＋3cos2α)t2＋4(2cosα＋sinα)t－8＝0①。因?yàn)榍€C截直線l所得線段的中點(diǎn)(1,2)在C內(nèi)，所以①有兩個(gè)解，設(shè)為t1，t2，則t1＋t2＝0。又由①得t1＋t2＝－eq\f(42cosα＋sinα,1＋3cos2α)，故2cosα＋sinα＝0，于是直線l的斜率k＝tanα＝－2。1．直線的參數(shù)方程有多種形式，只有標(biāo)準(zhǔn)形式中的參數(shù)才具有幾何意義，即參數(shù)t的肯定值表示對(duì)應(yīng)的點(diǎn)到定點(diǎn)的距離。2．依據(jù)直線的參數(shù)方程的標(biāo)準(zhǔn)形式中t的幾何意義，有如下常用結(jié)論：(1)若直線與圓錐曲線相交，交點(diǎn)對(duì)應(yīng)的參數(shù)分別為t1，t2，則弦長(zhǎng)l＝|t1－t2|。(2)若定點(diǎn)M0(標(biāo)準(zhǔn)形式中的定點(diǎn))是線段M1M2(點(diǎn)M1，M2對(duì)應(yīng)的參數(shù)分別為t1，t2，下同)的中點(diǎn)，則t1＋t2＝0。(3)設(shè)線段M1M2的中點(diǎn)為M，則點(diǎn)M對(duì)應(yīng)的參數(shù)為tM＝eq\f(t1＋t2,2)?！咀兪接?xùn)練】(2024·西安八校聯(lián)考)以平面直角坐標(biāo)系的坐標(biāo)原點(diǎn)O為極點(diǎn)，以x軸的非負(fù)半軸為極軸建立極坐標(biāo)系。已知直線l的參數(shù)方程為eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝2－3t，,y＝－1＋2t))(t為參數(shù))，曲線C的極坐標(biāo)方程為ρsin2θ＝4cosθ。(1)求曲線C的直角坐標(biāo)方程；(2)設(shè)直線l與曲線C相交于A，B兩點(diǎn)，求|AB|。解(1)由ρsin2θ＝4cosθ，可得ρ2sin2θ＝4ρcosθ，所以曲線C的直角坐標(biāo)方程為y2＝4x。(2)將直線l的參數(shù)方程代入y2＝4x，整理得4t2＋8t－7＝0，所以t1＋t2＝－2，t1t2＝－eq\f(7,4)，所以|AB|＝eq\r(－32＋22)|t1－t2|＝eq\r(13)×eq\r(t1＋t22－4t1t2)＝eq\r(13)×eq\r(4＋7)＝eq\r(143)?？键c(diǎn)三圓與橢圓參數(shù)方程的應(yīng)用【例3】(2024·全國(guó)卷Ⅰ)在直角坐標(biāo)系xOy中，曲線C的參數(shù)方程為eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝3cosθ，,y＝sinθ))(θ為參數(shù))，直線l的參數(shù)方程為eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝a＋4t，,y＝1－t))(t為參數(shù))。(1)若a＝－1，求C與l的交點(diǎn)坐標(biāo)；(2)若C上的點(diǎn)到l距離的最大值為eq\r(17)，求a。解(1)曲線C的一般方程為eq\f(x2,9)＋y2＝1。當(dāng)a＝－1時(shí)，直線l的一般方程為x＋4y－3＝0。由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＋4y－3＝0，,\f(x2,9)＋y2＝1))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝3，,y＝0))或eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝－\f(21,25)，,y＝\f(24,25)。))從而C與l的交點(diǎn)坐標(biāo)為(3,0)，eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(21,25)，\f(24,25)))。(2)直線l的一般方程為x＋4y－a－4＝0，故C上的點(diǎn)(3cosθ，sinθ)到l的距離為d＝eq\f(|3cosθ＋4sinθ－a－4|,\r(17))＝eq\f(|5sinθ＋φ－a－4|,\r(17))，其中sinφ＝eq\f(3,5)，cosφ＝eq\f(4,5)。當(dāng)a≥－4時(shí)，d的最大值為eq\f(a＋9,\r(17))。由題設(shè)得eq\f(a＋9,\r(17))＝eq\r(17)，所以a＝8；當(dāng)a<－4時(shí)，d的最大值為eq\f(－a＋1,\r(17))。由題設(shè)得eq\f(－a＋1,\r(17))＝eq\r(17)，所以a＝－16。綜上，a＝8或a＝－16。橢圓的參數(shù)方程實(shí)質(zhì)是三角代換，有關(guān)橢圓上的動(dòng)點(diǎn)距離的最大值、最小值以及取值范圍的問(wèn)題，通常利用橢圓的參數(shù)方程轉(zhuǎn)化為三角函數(shù)的最大值、最小值求解。【變式訓(xùn)練】(2024·安徽質(zhì)檢)在平面直角坐標(biāo)系xOy中，以原點(diǎn)O為極點(diǎn)，x軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，已知曲線C1的極坐標(biāo)方程為ρ2－2eq\r(2)ρsineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(θ－\f(π,4)))－2＝0，曲線C2的極坐標(biāo)方程為θ＝eq\f(π,4)(ρ∈R)，C1與C2相交于A，B兩點(diǎn)。(1)把C1和C2的極坐標(biāo)方程化為直角坐標(biāo)方程，并求點(diǎn)A，B的直角坐標(biāo)；(2)若P為C1上的動(dòng)點(diǎn)，求|PA|2＋|PB|2的取值范圍。解(1)由題意知，C1：(x＋1)2＋(y－1)2＝4，C2：x－y＝0。聯(lián)立eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＋12＋y－12＝4，,x－y＝0，))解得A(－1，－1)，B(1,1)或A(1,1)，B(－1，－1)。(2)設(shè)P(－1＋2cosα，1＋2sinα)，不妨設(shè)A(－1，－1)，B(1,1)，則|PA|2＋|PB|2＝(2cosα)2＋(2sinα＋2)2＋(2cosα－2)2＋(2sinα)2＝16＋8sinα－8cosα＝16＋8eq\r(2)sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α－\f(π,4)))，所以|PA|2＋|PB|2的取值范圍為[16－8eq\r(2)，16＋8eq\r(2)]?？键c(diǎn)四求曲線的參數(shù)方程【例4】在平面直角坐標(biāo)系xOy中，⊙O的參數(shù)方程為eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝cosθ，,y＝sinθ))(θ為參數(shù))，過(guò)點(diǎn)(0，－eq\r(2))且傾斜角為α的直線l與⊙O交于A，B兩點(diǎn)。(1)求α的取值范圍；(2)求AB中點(diǎn)P的軌跡的參數(shù)方程。解(1)⊙O的直角坐標(biāo)方程為x2＋y2＝1。當(dāng)α＝eq\f(π,2)時(shí)，l與⊙O交于兩點(diǎn)。當(dāng)α≠eq\f(π,2)時(shí)，記tanα＝k，則l的方程為y＝kx－eq\r(2)。l與⊙O交于兩點(diǎn)當(dāng)且僅當(dāng)eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(\f(\r(2),\r(1＋k2))))<1，解得k<－1或k>1，即α∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)，\f(π,2)))或α∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)，\f(3π,4)))。綜上，α的取值范圍是eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)，\f(3π,4)))。(2)l的參數(shù)方程為eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝tcosα，,y＝－\r(2)＋tsinα))eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(t為參數(shù)，\f(π,4)<α<\f(3π,4)))。設(shè)A，B，P對(duì)應(yīng)的參數(shù)分別為tA，tB，tP，則tp＝eq\f(tA＋tB,2)，且tA，tB滿意t2－2eq\r(2)tsinα＋1＝0。于是tA＋tB＝2eq\r(2)sinα，tP＝eq\r(2)sinα。又點(diǎn)P的坐標(biāo)(x，y)滿意eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝tPcosα，,y＝－\r(2)＋tPsinα，))所以點(diǎn)P的軌跡的參數(shù)方程是eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝\f(\r(2),2)sin2α，,y＝－\f(\r(2),2)－\f(\r(2),2)cos2α))eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α為參數(shù)，\f(π,4)<α<\f(3π,4)))。求曲線的參數(shù)方程最為關(guān)鍵的一點(diǎn)是依據(jù)題意合理恰當(dāng)?shù)剡x擇參數(shù)，比如本題選擇了直線的傾斜角α為參數(shù)，并且也要留意參數(shù)的取值范圍。【變式訓(xùn)練】如圖，以過(guò)原點(diǎn)的直線的傾斜角θ為參數(shù)，求圓x2＋y2－x＝0的參數(shù)方程。解圓的半徑為eq\f(1,2)，記圓心為Ceq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，0))，連接CP，則∠PCx＝2θ，故xP＝eq\f(1,2)＋eq\f(1,2)cos2θ＝cos2θ，yP＝eq\f(1,2)sin2θ＝sinθcosθ(θ為參數(shù))。所以圓的參數(shù)方程為eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝cos2θ，,y＝sinθcosθ))(θ為參數(shù))。eq\b\lc\\rc\(\a\vs4\al\co1(老師備用題))1．(協(xié)作例2運(yùn)用)已知直線l的參數(shù)方程為eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝2＋\f(\r(2),2)t，,y＝1＋\f(\r(2),2)t))(t為參數(shù))，以直角坐標(biāo)系xOy的原點(diǎn)為極點(diǎn)，x軸的正半軸為極軸，建立極坐標(biāo)系，圓C的極坐標(biāo)方程為ρ＝4eq\r(2)sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(θ＋\f(π,4)))。(1)求直線l的一般方程與圓C的直角坐標(biāo)方程；(2)設(shè)圓C與直線l交于A，B兩點(diǎn)，若P點(diǎn)的直角坐標(biāo)為(2,1)，求||PA|－|PB||的值。解(1)易得直線l的一般方程為y＝x－1。因?yàn)榍€C的極坐標(biāo)方程為ρ＝4eq\r(2)sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(θ＋\f(π,4)))＝4sinθ＋4cosθ，即ρ2＝4ρsinθ＋4ρcosθ，所以圓C的直角坐標(biāo)方程為x2＋y2－4x－4y＝0(或?qū)懗?x－2)2＋(y－2)2＝8)。(2)點(diǎn)P(2,1)在直線l上，且在圓C內(nèi)，把eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝2＋\f(\r(2),2)t，,y＝1＋\f(\r(2),2)t))代入x2＋y2－4x－4y＝0，得t2－eq\r(2)t－7＝0，設(shè)A，B兩點(diǎn)對(duì)應(yīng)的參數(shù)分別為t1，t2，則t1＋t2＝eq\r(2)，t1t2＝－7<0，即t1，t2異號(hào)，所以||PA|－|PB||＝||t1|－|t2||＝|t1＋t2|＝eq\r(2)。2．(協(xié)作例3運(yùn)用)在直角坐標(biāo)系xOy中，曲線C1的參數(shù)方程為eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝t，,y＝m＋t))(t為參數(shù)，m∈R)，以原