多元函數(shù)的極值及其求法上頁下頁鈴結(jié)束返回首頁一、多元函數(shù)的極值及最大值、最小值下頁極值的定義

設(shè)函數(shù)z

f(x

y)在點(diǎn)(x0

y0)的某個(gè)鄰域內(nèi)有定義

如果對(duì)于該鄰域內(nèi)任何異于(x0

y0)的點(diǎn)(x

y)

都有f(x

y)<f(x0

y0)(或f(x

y)>f(x0

y0))

則稱函數(shù)在點(diǎn)(x0

y0)有極大值(或極小值)f(x0

y0)

極大值、極小值統(tǒng)稱為極值

使函數(shù)取得極值的點(diǎn)稱為極值點(diǎn)

一、多元函數(shù)的極值及最大值、最小值極值的定義

設(shè)函數(shù)z

f(x

y)在點(diǎn)(x0

y0)的某個(gè)鄰域內(nèi)有定義

如果對(duì)于該鄰域內(nèi)任何異于(x0

y0)的點(diǎn)(x

y)

都有f(x

y)<f(x0

y0)(或f(x

y)>f(x0

y0))

則稱函數(shù)在點(diǎn)(x0

y0)有極大值(或極小值)f(x0

y0)

例1

函數(shù)z

3x2

4y2在點(diǎn)(0,0)處有極小值.提示:

當(dāng)(x,

y)=(0,0)時(shí),z=0,而當(dāng)(x,

y)

(0,0)時(shí),z

0.

因此z=0是函數(shù)的極小值.下頁一、多元函數(shù)的極值及最大值、最小值極值的定義

設(shè)函數(shù)z

f(x

y)在點(diǎn)(x0

y0)的某個(gè)鄰域內(nèi)有定義

如果對(duì)于該鄰域內(nèi)任何異于(x0

y0)的點(diǎn)(x

y)

都有f(x

y)<f(x0

y0)(或f(x

y)>f(x0

y0))

則稱函數(shù)在點(diǎn)(x0

y0)有極大值(或極小值)f(x0

y0)

提示:

例2

當(dāng)(x,

y)=(0,0)時(shí),z=0,而當(dāng)(x,

y)

(0,0)時(shí),z

0.因此z=0是函數(shù)的極大值.下頁提示:

因?yàn)樵邳c(diǎn)(0,0)處的函數(shù)值為零,而在點(diǎn)(0,0)的任一鄰域內(nèi),總有使函數(shù)值為正的點(diǎn),也有使函數(shù)值為負(fù)的點(diǎn).

例3

函數(shù)z

xy在點(diǎn)(0,0)處既不取得極大值也不取得極小值.下頁一、多元函數(shù)的極值及最大值、最小值極值的定義

設(shè)函數(shù)z

f(x

y)在點(diǎn)(x0

y0)的某個(gè)鄰域內(nèi)有定義

如果對(duì)于該鄰域內(nèi)任何異于(x0

y0)的點(diǎn)(x

y)

都有f(x

y)<f(x0

y0)(或f(x

y)>f(x0

y0))

則稱函數(shù)在點(diǎn)(x0

y0)有極大值(或極小值)f(x0

y0)

說明

下頁定理1(取得極值的必要條件)

設(shè)函數(shù)z

f(x

y)在點(diǎn)(x0

y0)具有偏導(dǎo)數(shù)

且在點(diǎn)(x0

y0)處有極值

則有fx(x0

y0)

0

fy(x0

y0)

0

類似地可推得

如果三元函數(shù)u

f(x

y

z)在點(diǎn)(x0

y0

z0)具有偏導(dǎo)數(shù)

則它在點(diǎn)(x0

y0

z0)具有極值的必要條件為fx(x0

y0

z0)

0

fy(x0

y0

z0)

0

fz(x0

y0

z0)

0

從幾何上看

這時(shí)如果曲面z

f(x

y)在點(diǎn)(x0

y0

z0)處有切平面

則切平面z

z0

fx(x0

y0)(x

x0)

fy(x0

y0)(y

y0)成為平行于xOy坐標(biāo)面的平面z

z0

>>>

凡是能使fx(x

y)

0

fy(x

y)

0同時(shí)成立的點(diǎn)(x0

y0)稱為函數(shù)z

f(x

y)的駐點(diǎn)

駐點(diǎn)

設(shè)函數(shù)z

f(x

y)在點(diǎn)(x0

y0)具有偏導(dǎo)數(shù)

且在點(diǎn)(x0

y0)處有極值

則有fx(x0

y0)

0

fy(x0

y0)

0

下頁討論

駐點(diǎn)與極值點(diǎn)的關(guān)系怎樣？提示

具有偏導(dǎo)數(shù)的函數(shù)的極值點(diǎn)必定是駐點(diǎn)

函數(shù)的駐點(diǎn)不一定是極值點(diǎn)

>>>定理1(取得極值的必要條件)下頁定理2(取得極值的充分條件)

設(shè)函數(shù)z

f(x

y)在點(diǎn)(x0

y0)的某鄰域內(nèi)連續(xù)且有一階及二階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)

又fx(x0

y0)

0

fy(x0

y0)

0

令fxx(x0

y0)

A

fxy(x0

y0)

B

fyy(x0

y0)

C

則f(x

y)在(x0

y0)處是否取得極值的條件如下

(1)AC

B2>0時(shí)具有極值

且當(dāng)A<0時(shí)有極大值

當(dāng)A>0時(shí)有極小值

(2)AC

B2<0時(shí)沒有極值

(3)AC

B2

0時(shí)可能有極值

也可能沒有極值

極值的求法第一步解方程組fx(x

y)

0

fy(x

y)

0

求得一切實(shí)數(shù)解

即可得一切駐點(diǎn).

第二步對(duì)于每一個(gè)駐點(diǎn)(x0

y0)

求出fxx(x0

y0)

fxy(x0

y0)

fyy(x0

y0)

第三步定出fxx(x0

y0)

fyy(x0

y0)

-fxy2(x0

y0)的符號(hào)

判定f(x0

y0)是否是極值、是極大值還是極小值

函數(shù)f(x

y)在駐點(diǎn)處如果fxx

fyy-fxy2>0

則函數(shù)在駐點(diǎn)處取得極值

如果fxx

fyy-fxy2>0

則函數(shù)在駐點(diǎn)處不取得極值

在極值點(diǎn)處

當(dāng)fxx<0時(shí)有極大值

當(dāng)fxx>0時(shí)有極小值

下頁

解

下頁

例4

求函數(shù)f(x

y)

x3

y3

3x2

3y2

9x的極值

求得函數(shù)的駐點(diǎn)為(1

0)、(1

2)、(

3

0)、(

3

2)

函數(shù)的二階偏導(dǎo)數(shù)為

fxx(x

y)

6x

6

fxy(x

y)

0

fyy(x

y)

6y

6

所以函數(shù)的(

3

2)處有極大值f(

3

2)

31

又A<0

在點(diǎn)(

3

2)處

fxx

fyy-fxy2

12

(

6)>0

所以f(

3

0)不是極值

在點(diǎn)(

3

0)處

fxx

fyy-fxy2

12

6<0

所以f(1

2)不是極值

在點(diǎn)(1

2)處

fxx

fyy-fxy2

12

(

6)<0

所以函數(shù)在(1

0)處有極小值f(1

0)

5

又fxx>0

在點(diǎn)(1

0)處

fxx

fyy-fxy2

12

6>0

應(yīng)注意的問題不是駐點(diǎn)也可能是極值點(diǎn).

因此,在考慮函數(shù)的極值問題時(shí),除了考慮函數(shù)的駐點(diǎn)外,如果有偏導(dǎo)數(shù)不存在的點(diǎn),那么對(duì)這些點(diǎn)也應(yīng)當(dāng)考慮.下頁但(0

0)不是函數(shù)的駐點(diǎn)

最大值和最小值問題如果f(x,y)在有界閉區(qū)域D上連續(xù),則f(x,y)在D上必定能取得最大值和最小值.討論:

比較極值的大小就能確定函數(shù)的最大值和最小值嗎？提示:

不能,最大值和最小值也可能在區(qū)域的邊界上取得,而極值是在區(qū)域的內(nèi)部求得的.下頁

使函數(shù)取得最大值或最小值的點(diǎn)既可能在D的內(nèi)部,也可能在D的邊界上.最大值和最小值的求法

將函數(shù)f(x,y)在D內(nèi)的所有駐點(diǎn)處的函數(shù)值及在D的邊界上的最大值和最小值相互比較,其中最大的就是最大值,最小的就是最小值.

如果函數(shù)f(x,y)的最大值(最小值)一定在D的內(nèi)部取得,而函數(shù)在D內(nèi)只有一個(gè)駐點(diǎn),那么該駐點(diǎn)處的函數(shù)值就是函數(shù)f(x,y)在D上的最大值(最小值).下頁最大值和最小值問題如果f(x,y)在有界閉區(qū)域D上連續(xù),則f(x,y)在D上必定能取得最大值和最小值.下頁

例5

某廠要用鐵板做成一個(gè)體積為8m3的有蓋長方體水箱

問當(dāng)長、寬、高各取多少時(shí)

才能使用料最省

解

根據(jù)題意可知

水箱所用材料面積的最小值一定存在

并在開區(qū)域D

{(x

y)|x>0

y>0}內(nèi)取得

又因?yàn)楹瘮?shù)在D內(nèi)只有一個(gè)駐點(diǎn)(2

2)

所以此駐點(diǎn)一定是A的最小值點(diǎn)

設(shè)水箱的長為xm

寬為ym

則所用材料的面積為水箱所用的材料最省

例6

有一寬為24cm的長方形鐵板

把它兩邊折起來做成一斷面為等腰梯形的水槽

問怎樣折可使斷面的面積最大？提示:

解

則斷面面積為下頁設(shè)折起來的邊長為xcm

傾角為a

(0<x<12

0

a<90

)

A

24x

sina

2x2sina

x2sina

cosa

根據(jù)題意可知斷面面積的最大值一定存在

并且在D

{(x

y)|0<x<12

0

a

90

}內(nèi)取得

又函數(shù)在D內(nèi)只有一個(gè)駐點(diǎn)

因此可以斷定

當(dāng)x

8cm

a

60

時(shí)

就能使斷面的面積最大

首頁

令A(yù)x

24sina

4xsina

2xsinacosa

0

Aa

24xcosa

2x2cosa

x2(cos2a

sin2a)

0

解這方程組

得a

60

x

8cm

例6

有一寬為24cm的長方形鐵板

把它兩邊折起來做成一斷面為等腰梯形的水槽

問怎樣折可使斷面的面積最大？

解

則斷面面積為設(shè)折起來的邊長為xcm

傾角為a

A

24x

sina

2x2sina

x2sina

cosa

(0<x<12

0

a<90

)

二、條件極值拉格朗日乘數(shù)法條件極值對(duì)自變量有附加條件的極值稱為條件極值.

上述問題就是求函數(shù)V

xyz在條件2(xy

yz

xz)

a2下的最大值問題,這是一個(gè)條件極值問題.

例如,求表面積為a2而體積為最大的長方體的體積問題.

設(shè)長方體的三棱的長為x,y,z,則體積V

xyz.

又因假定表面積為a2,所以自變量x,y,z還必須滿足附加條件2(xy

yz

xz)

a2.下頁求條件極值的方法

(1)將條件極值化為無條件極值

例如,求V

xyz在條件2(xy

yz

xz)

a2下的最大值.

有時(shí)可以把條件極值問題化為無條件極值問題.這就把求條件極值問題轉(zhuǎn)化成了求無條件極值問題.下頁二、條件極值拉格朗日乘數(shù)法條件極值對(duì)自變量有附加條件的極值稱為條件極值.

(2)用拉格朗日乘數(shù)法

在多數(shù)情況下較難把條件極值轉(zhuǎn)化為無條件極值,需要用一種求條件極值的專用方法,這就是拉格朗日乘數(shù)法.

下面導(dǎo)出函數(shù)z

f(x,y)在條件j(x,y)

0下取得的極值的必要條件.假定f(x,y)及j(x,y)有各種所需要的條件.下頁求條件極值的方法

(1)將條件極值化為無條件極值二、條件極值拉格朗日乘數(shù)法條件極值對(duì)自變量有附加條件的極值稱為條件極值.提示

取得極值的必要條件設(shè)函數(shù)z

f(x,y)在附加條件j(x,y)

0下在(x0,y0)取得極值,

把由方程j(x,y)

0所確定函數(shù)y

y(x)代入函數(shù)z

f(x,y),得一元函數(shù)z

f[x,y(x)].于是x

x0是函數(shù)z

f[x,y(x)]的極值點(diǎn),因此有下頁則j(x0,y0)

0,提示

取得極值的必要條件設(shè)函數(shù)z

f(x,y)在附加條件j(x,y)

0下在(x0,y0)取得極值,則j(x0,y0)

0