高中PAGE1試題2024-2025學年高二數(shù)學上學期期末模擬卷（考試時間：120分鐘試卷滿分：150分）注意事項：1．答卷前，考生務必將自己的姓名、準考證號填寫在答題卡上。2．回答選擇題時，選出每小題答案后，用2B鉛筆把答題卡上對應題目的答案標號涂黑。如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標號。寫在本試卷上無效?；卮鸱沁x擇題時，將答案寫在答題卡上。寫在本試卷上無效。3．測試范圍：人教B版2019選擇性必修第一冊、第二冊（空間向量與立體幾何+平面解析幾何+排列、組合與二項式定理+概率與統(tǒng)計）。4．難度系數(shù)：0.7。第一部分（選擇題共58分）一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．1．已知向量，，若，，則的值是（

）A．或1 B．3或1 C． D．12．某市人民政府新招聘進名應屆大學畢業(yè)生，分配給甲、乙、丙、丁四個部門，每人只去一個部門，每個部門必須有人，若甲部門必須安排人，則不同的方案數(shù)為（

）A． B． C． D．3．已知5個成對數(shù)據(jù)的散點圖如下，若去掉點，則下列說法正確的是（）A．變量x與變量y呈正相關 B．變量x與變量y的相關性變強C．殘差平方和變大 D．樣本相關系數(shù)r變大4．隨機變量服從若則下列選項一定正確的是（

）A． B． C． D．5．芻甍是中國古代算數(shù)中的一種幾何體，是底面為矩形的屋脊狀的楔體.現(xiàn)有一個芻甍如圖所示，底面BCDE為矩形，平面BCDE，和是全等的正三角形，，，，則異面直線AE與BD所成角的余弦值為（

）A． B． C． D．6．已知圓與圓，過動點分別作圓、圓的切線，（，分別為切點），若，則的最小值是（

）A． B． C． D．7．已知，分別為雙曲線C:x2a2?y2b2=1a>0,b>0的左、右焦點，為第一象限內(nèi)一點，且滿足，，線段與雙曲線交于點，若，則雙曲線的離心率為（

A． B． C． D．8．已知，函數(shù)的值等于除以6得到的余數(shù)，．設，若存在，使得對于任意的，都不滿足，則函數(shù)的個數(shù)是（

）A．729 B．189 C．378 D．540二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求．全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分．9．下列說法正確的是（）A．若，若函數(shù)為偶函數(shù)，則B．數(shù)據(jù)7，5，3，10，2，6，8，9的上四分位數(shù)為8C．已知，，若，則，相互獨立D．根據(jù)分類變量與的成對樣本數(shù)據(jù)，計算得到，依據(jù)的獨立性檢驗（），可判斷與有關且犯錯誤的概率不超過0.0510．已知拋物線，為其焦點，直線與拋物線交于，兩點，則下列說法正確的是（

）A．若點為拋物線上的一點，點坐標為，則的最小值為B．若直線過焦點，則以為直徑的圓與相切C．若直線過焦點，當時，則D．設直線的中點坐標為，則該直線的斜率與無關，與有關11．如圖，內(nèi)接于圓O，為圓O的直徑，，，平面，E為的中點，若三棱錐的體積為2，則下列結論正確的有（

）A．異面直線與所成角的余弦值為B．直線與平面所成的角的余弦值為C．點A到平面的距離為D．平面與平面所成的角的大小為第二部分（非選擇題共92分）三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分．12．的展開式中，含的項的系數(shù)為．（用數(shù)字作答）13．為培養(yǎng)學生體育鍛煉的習慣，以及強化科學健身的理念，某校創(chuàng)建了田徑類、球類、武術類三個體育社團．甲、乙、丙三位同學各自參加其中一個社團，每位同學參加各個社團的可能性相同，記三位同學所參加的社團種類的個數(shù)為，則．14．甲乙兩人射擊一架進入禁飛區(qū)的無人機．已知甲乙兩人擊中無人機的概率分別為，且甲乙射擊互不影響，則無人機被擊中的概率為．若無人機恰好被一人擊中，則被擊落的概率為；若恰好被兩人擊中，則被擊落的概率為，那么無人機被擊落的概率為四、解答題：本題共5小題，共77分．解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟．15．（13分）已知．(1)求；(2)指出，，，?，中最大的項．16．（15分）如圖，已知等腰梯形中，，，是的中點，，將沿著翻折成，使平面.(1)求證：平面；(2)求平面與平面夾角的余弦值；(3)在線段上是否存在點，使得平面，若存在，求出的值；若不存在，說明理由.17．（15分）為了給學生提供更為豐富的校園文化生活，學校增設了兩門全新的課程，學生根據(jù)自己的興趣愛好在這兩門課程中任選一門進行學習.學校統(tǒng)計了學生的選課情況，得到如下表格.選擇課程選擇課程男生4060女生2080(1)根據(jù)上表，依據(jù)小概率值的獨立性檢驗，能否據(jù)此推斷選擇課程與性別有關？(2)現(xiàn)從男生的樣本中，按分層抽樣的方法選出5人組成一個小組，再從這5名男生中抽取3人做問卷調(diào)查，求這3人中選擇課程的人數(shù)比選擇課程的人數(shù)多的概率.附：.0.050.010.0050.0013.8416.6357.87910.82818．（17分）某工廠生產(chǎn)一批機器零件，現(xiàn)隨機抽取100件對某一項性能指標進行檢測，得到一組數(shù)據(jù)，如下表：性能指標X6677808896產(chǎn)品件數(shù)102048193(1)求該項性能指標的樣本平均數(shù)的值．若這批零件的該項指標近似服從正態(tài)分布其中近似為樣本平均數(shù)的值，，試求的值．(2)若此工廠有甲、乙兩臺機床加工這種機器零件，且甲機床的生產(chǎn)效率是乙機床的生產(chǎn)效率的2倍，甲機床生產(chǎn)的零件的次品率為0.02，乙機床生產(chǎn)的零件的次品率為0.01，現(xiàn)從這批零件中隨機抽取一件．①求這件零件是次品的概率：②若檢測出這件零件是次品，求這件零件是甲機床生產(chǎn)的概率；③若從這批機器零件中隨機抽取300件，零件是否為次品與該項性能指標相互獨立，記抽出的零件是次品，且該項性能指標恰好在內(nèi)的零件個數(shù)為，求隨機變量的數(shù)學期望（精確到整數(shù)）．參考數(shù)據(jù)：若隨機變量服從正態(tài)分布則，19．（17分）如圖，軸垂足為點，點在的延長線上，且.當點在圓上運動時，點的軌跡方程為.

(1)求點的軌跡的方程；(2)當時，點的軌跡方程記為.（i）若動點為軌跡外一點，且點到軌跡的兩條切線互相垂直，記點的軌跡方程記為，試判斷與圓是否存在交點？若存在，求出交點的坐標；若不存在，請說明理由；（ii）軌跡的左右頂點分別記為，圓上有一動點，在軸上方，，直線交軌跡于點，連接，，設直線，的斜率存在且分別為，，若，求的取值范圍.2024-2025學年高二數(shù)學上學期期末模擬卷（考試時間：120分鐘試卷滿分：150分）注意事項：1．答卷前，考生務必將自己的姓名、準考證號填寫在答題卡上。2．回答選擇題時，選出每小題答案后，用2B鉛筆把答題卡上對應題目的答案標號涂黑。如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標號。寫在本試卷上無效?；卮鸱沁x擇題時，將答案寫在答題卡上。寫在本試卷上無效。3．測試范圍：人教B版2019選擇性必修第一冊、第二冊（空間向量與立體幾何+平面解析幾何+排列、組合與二項式定理+概率與統(tǒng)計）。4．難度系數(shù)：0.7。第一部分（選擇題共58分）一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．1．已知向量，，若，，則的值是（

）A．或1 B．3或1 C． D．1【答案】A【詳解】因為，，且，，所以，解得或，所以或.故選：A2．某市人民政府新招聘進名應屆大學畢業(yè)生，分配給甲、乙、丙、丁四個部門，每人只去一個部門，每個部門必須有人，若甲部門必須安排人，則不同的方案數(shù)為（

）A． B． C． D．【答案】A【詳解】名應屆大學畢業(yè)生，分配給甲、乙、丙、丁四個部門，甲部門先安排人有種，剩余個人分配到乙、丙、丁三個部門有種，故由分步乘法計數(shù)原理得，故選：A.3．已知5個成對數(shù)據(jù)的散點圖如下，若去掉點，則下列說法正確的是（）A．變量x與變量y呈正相關 B．變量x與變量y的相關性變強C．殘差平方和變大 D．樣本相關系數(shù)r變大【答案】B【詳解】由散點圖可知，去掉點后，與的線性相關加強，且為負相關，所以B正確，A錯誤；由于與的線性相關加強，所以殘差平方和變小，所以C錯誤，由于與的線性相關加強，且為負相關，所以相關系數(shù)的絕對值變大，而相關系數(shù)為負的，所以樣本相關系數(shù)r變小，所以D錯誤.故選：B.4．隨機變量服從若則下列選項一定正確的是（

）A． B． C． D．【答案】C【詳解】因為由正態(tài)分布的對稱性，可得，正態(tài)分布方差無法判斷，，，所以ABD錯誤.故選：C.5．芻甍是中國古代算數(shù)中的一種幾何體，是底面為矩形的屋脊狀的楔體.現(xiàn)有一個芻甍如圖所示，底面BCDE為矩形，平面BCDE，和是全等的正三角形，，，，則異面直線AE與BD所成角的余弦值為（

）A． B． C． D．【答案】A【詳解】依題意得，，所以，又，，所以設異面直線AE與BD所成的角為，則故選：A.6．已知圓與圓，過動點分別作圓、圓的切線，（，分別為切點），若，則的最小值是（

）A． B． C． D．【答案】B【詳解】由題意得，，因為，又，即，即，化簡得點的軌跡為，即在直線上，表示的幾何意義為點到原點距離的平方，故只需計算原點到直線的距離再平方就可得最小值，即最小值為.故選：B.

7．已知，分別為雙曲線C:x2a2?y2b2=1a>0,b>0的左、右焦點，為第一象限內(nèi)一點，且滿足，，線段與雙曲線交于點，若，則雙曲線的離心率為（

A． B． C． D．【答案】C【詳解】由題意可知：，，且，

在中，由余弦定理可得，在中，由余弦定理可得，即，可得，所以雙曲線的離心率為.故選：C.8．已知，函數(shù)的值等于除以6得到的余數(shù)，．設，若存在，使得對于任意的，都不滿足，則函數(shù)的個數(shù)是（

）A．729 B．189 C．378 D．540【答案】B【詳解】，函數(shù)與的關系如下圖所示：可以看出，由于函數(shù)的對應關系固定，函數(shù)的個數(shù)只取決于的到的對應關系．因為存在，使得對于任意的，都不滿足y=fx，所以的沒有對應滿中的所有元素．考慮其反面，即對于任意的，總存在，使得y=fx，即的對應滿了中的所有元素．求滿足反面的的個數(shù)的問題等價于“6名工人到3間工廠應聘，每名工人只去一間工廠，每間工廠至少有一名工人前來應聘，求應聘情況的總數(shù)”，一共有種情況，即滿足反面的有540個，沒有限制條件的有個，因此滿足題目條件的有個，故B正確．故選：B.二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求．全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分．9．下列說法正確的是（）A．若，若函數(shù)為偶函數(shù)，則B．數(shù)據(jù)7，5，3，10，2，6，8，9的上四分位數(shù)為8C．已知，，若，則，相互獨立D．根據(jù)分類變量與的成對樣本數(shù)據(jù)，計算得到，依據(jù)的獨立性檢驗（），可判斷與有關且犯錯誤的概率不超過0.05【答案】ACD【詳解】對A：因為為偶函數(shù)，即f?x=f可得：，故可得，故A正確；對B：將個數(shù)據(jù)按照從小到大的順序排序：2，3，5，6，7，8，9，10，故，故上四分位數(shù)為，故B錯誤；對C：根據(jù)題意，，即，即，故相互獨立，C正確；對D：，根據(jù)獨立性檢驗，可判斷與有關且犯錯誤的概率不超過0.05，故D正確.故選：.10．已知拋物線，為其焦點，直線與拋物線交于，兩點，則下列說法正確的是（

）A．若點為拋物線上的一點，點坐標為，則的最小值為B．若直線過焦點，則以為直徑的圓與相切C．若直線過焦點，當時，則D．設直線的中點坐標為，則該直線的斜率與無關，與有關【答案】BCD【詳解】對于A選項，如下圖所示：拋物線的焦點為，準線為，設點在直線上的射影點為，由拋物線的定義可得，則，當且僅當、、三點共線時，即當時，取最小值，A錯；對于B選項，若直線過焦點，則，線段的中點到直線的距離為，所以，，因此，以為直徑的圓與相切，B對；對于C選項，當時，直線的方程為，聯(lián)立可得，不妨取、，則，此時，，C對；對于D選項，線段的中點坐標為，若軸，則線段的中點在軸上，不合乎題意，所以直線的斜率存在，由題意可得，由作差得，所以，，D對.故選：BCD.11．如圖，內(nèi)接于圓O，為圓O的直徑，，，平面，E為的中點，若三棱錐的體積為2，則下列結論正確的有（

）A．異面直線與所成角的余弦值為B．直線與平面所成的角的余弦值為C．點A到平面的距離為D．平面與平面所成的角的大小為【答案】AC【詳解】∵為圓O的直徑，且，，∴為直角三角形，，設，由E為的中點可得，解得，以為坐標原點，所在直線分別為軸建立空間坐標系如下圖所示：則，，，，，，，，，對于A，易知，所以異面直線與所成角的余弦值為，選項A正確；對于B，設平面的法向量為，，即，取，，設與平面所成的角為，則，選項B不正確；對于C，點A到平面的距離為，選項C正確.對于D，設平面的法向量為，，則，即，取，，，所以平面與平面的夾角大小為90°，選項D不正確.故選：AC.第二部分（非選擇題共92分）三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分．12．的展開式中，含的項的系數(shù)為．（用數(shù)字作答）【答案】【詳解】由題意得的展開式的通項為，所以的展開式中，含的項為，所以展開式中含的項的系數(shù)為.故答案為：.13．為培養(yǎng)學生體育鍛煉的習慣，以及強化科學健身的理念，某校創(chuàng)建了田徑類、球類、武術類三個體育社團．甲、乙、丙三位同學各自參加其中一個社團，每位同學參加各個社團的可能性相同，記三位同學所參加的社團種類的個數(shù)為，則．【答案】/【詳解】依題意的可能取值為，當時，甲、乙、丙三位同學選擇同一個社團，有3種選法；當時，甲、乙、丙三位同學僅選擇兩個社團，有種選法；當時，甲、乙、丙三位同學選擇不同的社團，有種選法；則，，，所以．故答案為：14．甲乙兩人射擊一架進入禁飛區(qū)的無人機．已知甲乙兩人擊中無人機的概率分別為，且甲乙射擊互不影響，則無人機被擊中的概率為．若無人機恰好被一人擊中，則被擊落的概率為；若恰好被兩人擊中，則被擊落的概率為，那么無人機被擊落的概率為【答案】0.70.22.【詳解】設甲擊中無人機為事件，乙擊中無人機為事件，無人機被擊中為事件，無人機被擊落為事件，則，所以，所以，若無人機恰好被一人擊中，即事件，則，若無人機被兩人擊中，即事件，則，所以.故答案為：，.解答題：本題共5小題，共77分．解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟．15．（13分）已知．(1)求；(2)指出，，，?，中最大的項．【詳解】（1）令，得，令，得，所以；5分（2）判斷中誰最大即判斷展開式的系數(shù)誰最大．展開式的通項，由，得，因為，所以或6．故中最大的項為．13分16．（15分）如圖，已知等腰梯形中，，，是的中點，，將沿著翻折成，使平面.(1)求證：平面；(2)求平面與平面夾角的余弦值；(3)在線段上是否存在點，使得平面，若存在，求出的值；若不存在，說明理由.【詳解】（1）如圖，在梯形ABCD中，連接DE，因為E是BC的中點，所以，又，所以，又因為，所以四邊形是平行四邊形，因為，所以四邊形是菱形，從而，沿著AE翻折成后，有又平面，所以平面，由題意，易知，所以四邊形是平行四邊形，故，所以平面.5分（2）因為平面，平面，則有，由（1）知，故兩兩垂直，以為坐標原點，所在直線分別為軸，建立空間直角坐標系，因為，所以為等邊三角形，同理也為等邊三角形，則，設平面的一個法向量為，則，令得，故，又平面的一個法向量為，則，故平面與平面夾角的余弦值為；10分（3）假設線段上存在點，使得平面，過點作交于，連接，如圖所示：所以，所以四點共面，又因為平面，所以，所以四邊形為平行四邊形，所以，所以是的中點，故在線段上存在點，使得平面，且.15分17．（15分）為了給學生提供更為豐富的校園文化生活，學校增設了兩門全新的課程，學生根據(jù)自己的興趣愛好在這兩門課程中任選一門進行學習.學校統(tǒng)計了學生的選課情況，得到如下表格.選擇課程選擇課程男生4060女生2080(1)根據(jù)上表，依據(jù)小概率值的獨立性檢驗，能否據(jù)此推斷選擇課程與性別有關？(2)現(xiàn)從男生的樣本中，按分層抽樣的方法選出5人組成一個小組，再從這5名男生中抽取3人做問卷調(diào)查，求這3人中選擇課程的人數(shù)比選擇課程的人數(shù)多的概率.附：.0.050.010.0050.0013.8416.6357.87910.828【詳解】（1）零假設：選擇課程與性別無關.根據(jù)小概率值的獨立性檢驗，推斷不成立，即認為選擇課程與性別有關.5分（2）選出的5名男生中，選擇課程的人數(shù)為，選擇課程的人數(shù)為，9分這3人中選擇課程的人數(shù)比選擇課程的人數(shù)多有如下兩種可能：選擇課程有3人，數(shù)選擇課程有0人，此種有種選法；選擇課程有2人，數(shù)選擇課程有1人，此種有種選法；記“這3人中選擇課程的人數(shù)比選擇課程的人數(shù)多”為事件,.15分18．（17分）某工廠生產(chǎn)一批機器零件，現(xiàn)隨機抽取100件對某一項性能指標進行檢測，得到一組數(shù)據(jù)，如下表：性能指標X6677808896產(chǎn)品件數(shù)102048193(1)求該項性能指標的樣本平均數(shù)的值．若這批零件的該項指標近似服從正態(tài)分布其中近似為樣本平均數(shù)的值，，試求的值．(2)若此工廠有甲、乙兩臺機床加工這種機器零件，且甲機床的生產(chǎn)效率是乙機床的生產(chǎn)效率的2倍，甲機床生產(chǎn)的零件的次品率為0.02，乙機床生產(chǎn)的零件的次品率為0.01，現(xiàn)從這批零件中隨機抽取一件．①求這件零件是次品的概率：②若檢測出這件零件是次品，求這件零件是甲機床生產(chǎn)的概率；③若從這批機器零件中隨機抽取300件，零件是否為次品與該項性能指標相互獨立，記抽出的零件是次品，且該項性能指標恰好在內(nèi)的零件個數(shù)為，求隨機變量的數(shù)學期望（精確到整數(shù)）．參考數(shù)據(jù)：若隨機變量服從正態(tài)分布則，【詳解】（1），因為，所以，則；5分（2）①設“抽取的零件為甲機床生產(chǎn)”記為事件，“抽取的零件為乙機床生產(chǎn)”記為事件，“抽取的零件為次品”記為事件，則，，，，8分則；11分②；13分③由（1）及（2）①可知，這批零件是次品且性能指標在內(nèi)的概率，且隨機變量，所以，所以隨機變量Y的數(shù)學期望為4.17分（17分）如圖，軸垂足為點，點在的延長線上，且.當點在圓上運動時，點的軌跡方程為.

(1)求點的軌跡的方程；(2)當時，點的軌跡方程記為.（i）若動點為軌跡外一點，且點到軌跡的兩條切線互相垂直，記點的軌跡方程記為，試判斷與圓是否存在交點？若存在，求出交點的坐標；若不存在，請說明理由；（ii）軌跡的左右頂點分別記為，圓上有一動點，在軸上方，，直線交軌跡于點，連接，，設直線，的斜率存在且分別為，，若，求的取值范圍.【詳解】（1）設Mx,y因為，則，又因為點在圓上，則，所以點的軌跡的方程為.5分（2）若，則的方程為，即，（i）與圓沒有交點，理由如下：由題意可知：圓在橢圓內(nèi)（有且僅有兩個交點），但動點為軌跡外一點，所以與圓沒有交點；8分（ⅱ）由題意可知：，

設，則直線，聯(lián)立方程，消去y可得，10分則，可得，則，13分令，解得，由題意可知，因為，則，15分又因為，可得，所以的取值范圍為.17分2024-2025學年高二數(shù)學上學期期末模擬卷參考答案一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．12345678AABCABCB二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求．全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分．91011ACDBCDAC三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分．12．13．14．0.70.22.四、解答題：本題共5小題，共77分．解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟．15．（13分）【詳解】（1）令，得，令，得，所以；5分（2）判斷中誰最大即判斷展開式的系數(shù)誰最大．展開式的通項，由，得，因為，所以或6