高中PAGE1試題2024-2025學(xué)年高二數(shù)學(xué)上學(xué)期期末模擬卷（考試時間：120分鐘試卷滿分：150分）注意事項：1．答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號填寫在答題卡上。2．回答選擇題時，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目的答案標(biāo)號涂黑。如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號?；卮鸱沁x擇題時，將答案寫在答題卡上。寫在本試卷上無效。3．考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回。4．測試范圍：滬教版2020必修第三冊+空間向量+數(shù)列。5．難度系數(shù)：0.62。一、填空題（本大題共有12題，滿分54分，第1-6題每題4分，第7-12題每題5分）1．用符號表示平面經(jīng)過直線：．2．袋子里裝有大小與質(zhì)地均相同的1個紅球、1個白球和1個黑球，從中任取一個球，觀察其顏色，該隨機試驗的樣本空間中的樣本點為．（只需寫出一個）3．設(shè)，，是空間中的三個向量，且共面，則．4．若直線平面，直線在平面上，則直線與的位置關(guān)系是．5．第33屆夏季奧林匹克運動會女子10米跳臺跳水決賽中，全紅禪以425.60分的高分拿下冠軍.下面統(tǒng)計某社團(tuán)一位運動員10次跳臺跳水的訓(xùn)練成績：68，80，74，63，66，84，78，66，70，76，則這組數(shù)據(jù)的60%分位數(shù)為．6．已知為等差數(shù)列，，，則．7．某工廠對一批產(chǎn)品進(jìn)行了抽樣檢測．下圖是根據(jù)抽樣檢測后的產(chǎn)品凈重（單位：克）數(shù)據(jù)繪制的頻率分布直方圖，其中產(chǎn)品凈重的范圍是，樣本數(shù)據(jù)分組為，，，，，已知樣本中產(chǎn)品凈重小于100克的個數(shù)是36，則樣本中凈重大于或等于98克并且小于104克的產(chǎn)品的個數(shù)是．8．已知一個圓臺的上下底面面積分別為和，高為2，則它的體積為．9．梯形的直觀圖是一個如圖所示的等腰梯形，且面積為，則原平面圖形的面積為．10．兩個籃球運動員甲和乙罰球時命中的概率分別是0.7和0.6，兩人各投一次，假設(shè)事件“甲命中”與“乙命中”是獨立的，則至少一人命中的概率是．11．已知為空間五個點，若兩兩垂直，且，，則點到平面的距離的最大值為．12．對于項數(shù)為10的數(shù)列，若滿足（其中為正整數(shù)，），且，設(shè)，則的最大值為．二、選擇題(本題共有4題，滿分18分，第13-14題每題4分，第15-16題每題5分；每題有且只有一個正確選項)13．?dāng)?shù)列是各項均為實數(shù)的等比數(shù)列，則“”是“數(shù)列為遞增數(shù)列”的（

）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件14．某同學(xué)將觀察學(xué)校柚子樹生長習(xí)性作為自主研究課題，他觀察了校園內(nèi)6株柚子樹成熟結(jié)果個數(shù)（兩位數(shù)）并用莖葉圖（如圖所示）做了記錄，則這6株柚子樹成熟結(jié)果個數(shù)的中位數(shù)為（

）A．21 B．21.5 C．22 D．22.515．將一枚質(zhì)地均勻的骰子連續(xù)拋擲2次，設(shè)事件“第一次點數(shù)為偶數(shù)”，事件“第二次點數(shù)為3的倍數(shù)”，則（

）A．與是互斥事件 B．與是互為對立事件C． D．16．已知正方體，點，，分別是線段，和上的動點，觀察直線與，與給出下列結(jié)論：①對于任意給定的點，存在點，使得；②對于任意給定的點，存在點，使得；③對于任意給定的點，存在點，使得；④對于任意給定的點，存在定點，使得．其中正確的結(jié)論是（

）A．① B．②③ C．①④ D．②④三、解答題(本大題共有5題，滿分78分，第17-19題每題14分，第20、21題每題18分.)17．已知等差數(shù)列的首項為1，前項和為，且是3與的等比中項.(1)求數(shù)列的通項公式：(2)若是數(shù)列的前項和，求的最小值.18．如圖，在四面體中，，是的中點.(1)求證：平面；(2)求二面角的大小.19．法國著名的數(shù)學(xué)家笛卡爾曾經(jīng)說過：“閱讀優(yōu)秀的書籍，就是和過去時代中最杰出的人們——書籍的作者一一進(jìn)行交談，也就是和他們傳播的優(yōu)秀思想進(jìn)行交流”.閱讀會讓精神世界閃光．某大學(xué)為了解大一新生的閱讀情況，通過隨機抽樣調(diào)查了100位大一新生，對這些學(xué)生每天的閱讀時間（單位：分鐘）進(jìn)行統(tǒng)計，得到樣本的頻率分布直方圖如圖所示：(1)求的值；(2)根據(jù)頻率分布直方圖，估計該校大一新生每天閱讀時間的平均數(shù)（精確到0.1）（單位：分鐘）；(3)為了進(jìn)一步了解大一新生的閱讀方式，該大學(xué)采用分層抽樣的方法從每天閱讀時間位于分組，和的學(xué)生中抽取5人，再從中任選2人進(jìn)行調(diào)查，求其中恰好有1人每天閱讀時間位于的概率．20．如圖，在長方體中，，，點在棱上運動.(1)證明：；(2)設(shè)為棱的中點，在棱上是否存在一點，使得平面，若存在，求的值，若不存在，說明理由；(3)求直線與平面所成角的取值范圍.21．設(shè)且，數(shù)列的各項均為整數(shù)，其前n項和為、定義：若滿足前r項依次成公差為1的等差數(shù)列，從第項起往后依次成公比為2的等比數(shù)列，則稱為“r關(guān)聯(lián)數(shù)列”；(1)若為“3關(guān)聯(lián)數(shù)列”，求；(2)若為“6關(guān)聯(lián)數(shù)列”，證明：對任意正整數(shù)n，都有；(3)設(shè)k、m為正整數(shù)且．若為“r關(guān)聯(lián)數(shù)列”，且，是否存在k、m，使得?若存在，求出所有滿足條件的k、m；若不存在，請說明理由．2024-2025學(xué)年高二數(shù)學(xué)上學(xué)期期末模擬卷（考試時間：120分鐘試卷滿分：150分）注意事項：1．答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號填寫在答題卡上。2．回答選擇題時，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目的答案標(biāo)號涂黑。如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號?；卮鸱沁x擇題時，將答案寫在答題卡上。寫在本試卷上無效。3．考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回。4．測試范圍：滬教版2020必修第三冊+空間向量+數(shù)列。5．難度系數(shù)：0.7。一、填空題（本大題共有12題，滿分54分，第1-6題每題4分，第7-12題每題5分）1．用符號表示平面經(jīng)過直線：．【答案】【解析】用符號表示平面經(jīng)過直線為：.2．袋子里裝有大小與質(zhì)地均相同的1個紅球、1個白球和1個黑球，從中任取一個球，觀察其顏色，該隨機試驗的樣本空間中的樣本點為．（只需寫出一個）【答案】（白球）（答案不唯一）【解析】所有的樣本點為（白球），（黑球），（紅球），故答案為：（白球）（答案不唯一）3．設(shè)，，是空間中的三個向量，且共面，則．【答案】【解析】由向量，，是空間中的三個向量，因為共面，則存在實數(shù)使得成立，可得，可得.故答案為：.4．若直線平面，直線在平面上，則直線與的位置關(guān)系是．【答案】平行或異面【解析】由直線平面得直線與平面沒有公共點，由直線在平面上可知直線與直線沒有公共點，故直線與直線的位置關(guān)系為平行或異面.故答案為：平行或異面.5．第33屆夏季奧林匹克運動會女子10米跳臺跳水決賽中，全紅禪以425.60分的高分拿下冠軍.下面統(tǒng)計某社團(tuán)一位運動員10次跳臺跳水的訓(xùn)練成績：68，80，74，63，66，84，78，66，70，76，則這組數(shù)據(jù)的60%分位數(shù)為．【答案】75【解析】先將成績進(jìn)行排序：63，66，66，68，70，74，76，78，80，84.由于，60%分位數(shù)為第6和第7個數(shù)據(jù)的平均值.即.故答案為：75.6．已知為等差數(shù)列，，，則．【答案】1【解析】設(shè){an}的公差為d，∴，∴，故答案為17．某工廠對一批產(chǎn)品進(jìn)行了抽樣檢測．下圖是根據(jù)抽樣檢測后的產(chǎn)品凈重（單位：克）數(shù)據(jù)繪制的頻率分布直方圖，其中產(chǎn)品凈重的范圍是，樣本數(shù)據(jù)分組為，，，，，已知樣本中產(chǎn)品凈重小于100克的個數(shù)是36，則樣本中凈重大于或等于98克并且小于104克的產(chǎn)品的個數(shù)是．【答案】90【解析】∵樣本中產(chǎn)品凈重小于100克的頻率為(0.050＋0.100)×2＝0.3，頻數(shù)為36，∴樣本容量為＝120.∵樣本中凈重大于或等于98克并且小于104克的產(chǎn)品的頻率為(0.100＋0.150＋0.125)×2＝0.75，∴樣本中凈重大于或等于98克并且小于104克的產(chǎn)品的個數(shù)為120×0.75＝90.故答案為：908．已知一個圓臺的上下底面面積分別為和，高為2，則它的體積為．【答案】【解析】圓臺的體積為.故答案為：.9．梯形的直觀圖是一個如圖所示的等腰梯形，且面積為，則原平面圖形的面積為．

【答案】【解析】由斜二測畫法原理知，平面中的圖形與直觀圖中的圖形上下底邊的長度是一樣的，不一樣的是兩個梯形的高，其高的關(guān)系是這樣的：平面圖中的高是直觀圖長度的倍，在直觀圖中，易得的長度是直觀圖中梯形的高的倍，由此平面圖中梯形的高的長度是直觀圖中梯形高的倍，故其面積是梯形面積的倍，因為梯形的面積為，所以原梯形的面積是.

故答案為：10．兩個籃球運動員甲和乙罰球時命中的概率分別是0.7和0.6，兩人各投一次，假設(shè)事件“甲命中”與“乙命中”是獨立的，則至少一人命中的概率是．【答案】【解析】記事件“甲和乙至少一人命中”，則其對立事件為“甲和乙兩人都未命中”，由相互獨立事件同時發(fā)生的概率乘法公式得，，所以.故答案為：.11．已知為空間五個點，若兩兩垂直，且，，則點到平面的距離的最大值為．【答案】【解析】由于，故點在以為球心，半徑為的球面上，設(shè)到平面的距離為，則由等體積法可得,而,所以,故，因此點到平面的距離的最大值為，故答案為：12．對于項數(shù)為10的數(shù)列，若滿足（其中為正整數(shù)，），且，設(shè)，則的最大值為．【答案】【解析】因為，所以或，設(shè)，則數(shù)列中相鄰兩項的差最大為，要保證，則數(shù)列的項有增有減，假如中有個，增量最大為，則有項是減少的，則必有，所以，則或，取，取最大值，按最大連續(xù)增量計算，有，即中有最大值為，所以的最大值為.故答案為：.二、選擇題(本題共有4題，滿分18分，第13-14題每題4分，第15-16題每題5分；每題有且只有一個正確選項)13．?dāng)?shù)列是各項均為實數(shù)的等比數(shù)列，則“”是“數(shù)列為遞增數(shù)列”的（

）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件【答案】A【解析】設(shè)數(shù)列的公比為q（），，，可得，于是數(shù)列為遞增數(shù)列；反之不成立，例如數(shù)列是遞增數(shù)列，但．“”是“數(shù)列為遞增數(shù)列”的充分不必要條件．故選：A．14．某同學(xué)將觀察學(xué)校柚子樹生長習(xí)性作為自主研究課題，他觀察了校園內(nèi)6株柚子樹成熟結(jié)果個數(shù)（兩位數(shù)）并用莖葉圖（如圖所示）做了記錄，則這6株柚子樹成熟結(jié)果個數(shù)的中位數(shù)為（

）A．21 B．21.5 C．22 D．22.5【答案】B【解析】由莖葉圖知，這6株柚子樹成熟結(jié)果個數(shù)的中位數(shù)為.故選：B15．將一枚質(zhì)地均勻的骰子連續(xù)拋擲2次，設(shè)事件“第一次點數(shù)為偶數(shù)”，事件“第二次點數(shù)為3的倍數(shù)”，則（

）A．與是互斥事件 B．與是互為對立事件C． D．【答案】C【解析】依題意，一枚質(zhì)地均勻的骰子連續(xù)拋擲2次的基本事件有件，事件的基本事件有件，事件的基本事件有件，事件的基本事件有件，事件的基本事件有件，所以，故，，所以與不是互斥事件，更不是對立事件，故ABD錯誤，C正確.故選：C.16．已知正方體，點，，分別是線段，和上的動點，觀察直線與，與給出下列結(jié)論：①對于任意給定的點，存在點，使得；②對于任意給定的點，存在點，使得；③對于任意給定的點，存在點，使得；④對于任意給定的點，存在定點，使得．其中正確的結(jié)論是（

）A．① B．②③ C．①④ D．②④【答案】A【解析】①當(dāng)點與重合時，，，且，所以平面，因為對于任意給定的點，都有平面，所以對于任意給定的點，存在點，使得，所以①正確；②只有平面，即平面時，才能滿足對于任意給定的點，存在點，使得，因為過點與平面垂直的直線只有一條，而，所以②錯誤；③當(dāng)與重合時，在線段上找不到點，使，所以③錯誤；④只有當(dāng)平面時，④才正確，所以對于任意給定的點不存在點，使，故④錯誤．故選：A．三、解答題(本大題共有5題，滿分78分，第17-19題每題14分，第20、21題每題18分.)17．已知等差數(shù)列的首項為1，前項和為，且是3與的等比中項.(1)求數(shù)列的通項公式：(2)若是數(shù)列的前項和，求的最小值.【解析】（1）設(shè)等差數(shù)列的公差為，由題意，即，解得，所以，即數(shù)列的通項公式為.（2）由，.因為時，，即，所以為嚴(yán)格增數(shù)列，所以時，有最小值.18．如圖，在四面體中，，是的中點.(1)求證：平面；(2)求二面角的大小.【解析】（1）在四面體中，由，是的中點，得，而平面，所以平面.（2）由（1）知，是二面角的平面角，在等腰中，，，則，同理，而，因此是正三角形，，所以二面角的大小為.19．法國著名的數(shù)學(xué)家笛卡爾曾經(jīng)說過：“閱讀優(yōu)秀的書籍，就是和過去時代中最杰出的人們——書籍的作者一一進(jìn)行交談，也就是和他們傳播的優(yōu)秀思想進(jìn)行交流”.閱讀會讓精神世界閃光．某大學(xué)為了解大一新生的閱讀情況，通過隨機抽樣調(diào)查了100位大一新生，對這些學(xué)生每天的閱讀時間（單位：分鐘）進(jìn)行統(tǒng)計，得到樣本的頻率分布直方圖如圖所示：(1)求的值；(2)根據(jù)頻率分布直方圖，估計該校大一新生每天閱讀時間的平均數(shù)（精確到0.1）（單位：分鐘）；(3)為了進(jìn)一步了解大一新生的閱讀方式，該大學(xué)采用分層抽樣的方法從每天閱讀時間位于分組，和的學(xué)生中抽取5人，再從中任選2人進(jìn)行調(diào)查，求其中恰好有1人每天閱讀時間位于的概率．【解析】（1）因為頻率分布直方圖的所有矩形面積之和為1，所以，得，（2）各區(qū)間的中點值為55、65、75、85、95對應(yīng)的頻數(shù)分別為10、20、45、20、5這100名大一新生每天閱讀時間的平均數(shù)為所以估計該校大一新生每天閱讀時間的平均數(shù)為74分鐘.（3）由題意，閱讀時間位于分組，和的學(xué)生數(shù)分別為10人、20人、20人，因此中抽取1人，記為a,中抽取2人，記為b,c，中抽取2人，記為d,e，再從中任選2人進(jìn)行調(diào)查，樣本空間共10個樣本點，設(shè)事件A為“恰好有1人每天閱讀時間位于”，共6個樣本點，故其中恰好有1人每天閱讀時間位于的概率為.20．如圖，在長方體中，，，點在棱上運動.(1)證明：；(2)設(shè)為棱的中點，在棱上是否存在一點，使得平面，若存在，求的值，若不存在，說明理由；(3)求直線與平面所成角的取值范圍.【解析】（1）建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系，，設(shè)，則，，所以.（2）若是的中點，則，，設(shè)平面的法向量為，則，故可設(shè)，設(shè)，，若平面，平面，則，所以是的中點，所以.（3），設(shè)，設(shè)平面的法向量為，則，故可設(shè)，設(shè)直線與平面所成角為，則，由于，所以，所以.21．設(shè)且，數(shù)列的各項均為整數(shù)，其前n項和為、定義：若滿足前r項依次成公差為1的等差數(shù)列，從第項起往后依次成公比為2的等比數(shù)列，則稱為“r關(guān)聯(lián)數(shù)列”；(1)若為“3關(guān)聯(lián)數(shù)列”，求；(2)若為“6關(guān)聯(lián)數(shù)列”，證明：對任意正整數(shù)n，都有；(3)設(shè)k、m為正整數(shù)且．若為“r關(guān)聯(lián)數(shù)列”，且，是否存在k、m，使得?若存在，求出所有滿足條件的k、m；若不存在，請說明理由．【解析】（1）因為數(shù)列為“3關(guān)聯(lián)數(shù)列”，所以前3項依次成公差為1的等差數(shù)列，從第2項起往后依次成公比為2的等比數(shù)列，則而且，解得（2）因為數(shù)列為“6關(guān)聯(lián)數(shù)列”，所以前6項依次成公差為1的等差數(shù)列，從第5項起往后依次成公比為2的等比數(shù)列，則而且，解得，根據(jù)等差，等比數(shù)列通項公式可得：，所以數(shù)列前十項列舉為：，則數(shù)列前十項列舉為：所以數(shù)列前十項列舉為：通過上述列舉可猜想對任意正整數(shù)n，都有，證明：當(dāng)時，由數(shù)列列舉可得，當(dāng)時，，所以當(dāng)時，，所以，而，所以仍然滿足，綜上可得：對任意正整數(shù)n，都有；（3）由數(shù)列為“r關(guān)聯(lián)數(shù)列”，且，則有且，解得，所以數(shù)列通項公式為：，而當(dāng)時，，當(dāng)時，，所以，當(dāng)時，由二次函數(shù)對稱性計算可得：當(dāng)時，是一個遞增數(shù)列，所以要使得，，則有，即滿足，變形得：，當(dāng)，；當(dāng)，；當(dāng)，；而當(dāng)時，，而當(dāng)時，，所以，不可能滿足，綜合上述使得的k、m為，，，2024-2025學(xué)年高二數(shù)學(xué)上學(xué)期期末模擬卷參考答案一、填空題（本大題共有12題，滿分54分，第1-6題每題4分，第7-12題每題5分）1．2．（白球）（答案不唯一）3．4．平行或異面5．756．17．908．9．10．11．12．二、選擇題(本題共有4題，滿分18分，第13-14題每題4分，第15-16題每題5分；每題有且只有一個正確選項)13141516ABCA三、解答題(本大題共有5題，滿分78分，第17-19題每題14分，第20、21題每題18分.)17．（1）設(shè)等差數(shù)列的公差為，由題意，即，解得，(2分)所以，即數(shù)列的通項公式為.(6分)（2）由，.(9分)因為時，，即，所以為嚴(yán)格增數(shù)列，所以時，有最小值.(14分)18．（1）在四面體中，由，是的中點，得，(2分)而平面，所以平面.(6分)（2）由（1）知，是二面角的平面角，(7分)在等腰中，，，則，(9分)同理，而，因此是正三角形，，所以二面角的大小為.(14分)19．（1）因為頻率分布直方圖的所有矩形面積之和為1，所以，得，(2分)（2）各區(qū)間的中點值為55、65、75、85、95對應(yīng)的頻數(shù)分別為10、20、45、20、5這100名大一新生每天閱讀時間的平均數(shù)為所以估計該校大一新生每天閱讀時間的平均數(shù)為74分鐘.(6分)（3）由題意，閱讀時間位于分組，和的學(xué)生數(shù)分別為10人、20人、20人，因此中抽取1人，記為a,中抽取2人，記為b,c，中抽取2人，記為d,e，再從中任選2人進(jìn)行調(diào)查，樣本空間共10個樣本點，(9分)設(shè)事件A為“恰好有1人每天閱讀時間位于”，共6個樣本點，