22.2二次函數(shù)與一元二次方程

一、新課導(dǎo)入

1.導(dǎo)入課題：

問題:以40m/s的速度將小球沿與地面成30°角的方向擊出時(shí)，球的飛行路線將是一條

拋物線．如果不考慮空氣阻力，球的飛行高度h（單位：m）與飛行時(shí)間t（單位：s）之間

具有關(guān)系h＝20t－5t2.球的飛行高度能否達(dá)到15m或20m或20.5m？如能，需要多少飛行時(shí)

間呢？要解決這個(gè)問題，我們一起學(xué)習(xí)本節(jié)——二次函數(shù)與一元二次方程.

2.學(xué)習(xí)目標(biāo)：

（1）知道拋物線y=ax2+bx+c與x軸交點(diǎn)情況與一元二次方程ax2+bx+c=0(a,b,c為常數(shù)，

a≠0)的根的情況之間的關(guān)系.

（2）會(huì)用二次函數(shù)的圖象求一元二次方程的近似解.

3.學(xué)習(xí)重、難點(diǎn)：

重點(diǎn)：拋物線y=ax2+bx+c與x軸交點(diǎn)情況與一元二次方程ax2+bx+c=0(a,b,c為常數(shù)，a≠0)

的根的情況之間的關(guān)系.

難點(diǎn)：數(shù)形之間的互相轉(zhuǎn)化.

二、分層學(xué)習(xí)

1.自學(xué)指導(dǎo)：

（1）自學(xué)內(nèi)容：教材第43頁(yè)到第44頁(yè)“思考”之前的內(nèi)容.

（2）自學(xué)時(shí)間：5分鐘.

（3）自學(xué)方法：認(rèn)真看書，結(jié)合自學(xué)參考提綱進(jìn)行學(xué)習(xí).

（4）自學(xué)參考提綱：

①球的飛行高度h與飛行時(shí)間t的關(guān)系是二次函數(shù)h=20t－5t2.課本四個(gè)問題都是已知h

求t(均選填t或h),因此可以將函數(shù)問題轉(zhuǎn)化為一元二次方程問題.

②結(jié)合課本圖22.2—1，分別對(duì)四個(gè)方程的解給一個(gè)合理的解釋.

方程（1）：小球在某一時(shí)間高度達(dá)到15m,然后繼續(xù)上升，達(dá)到最大高度后下落，經(jīng)過(guò)

一段時(shí)間，高度又回落到15m，所以在兩個(gè)時(shí)間球的高度為15m.

方程（2）：20m是小球的最大高度，小球只能在一個(gè)時(shí)間達(dá)到最大高度.

方程（3）：小球最大高度為20m,不可能達(dá)到20.5m，所以方程無(wú)實(shí)數(shù)根.

方程（4）：小球最初被打出時(shí)高度為0，經(jīng)過(guò)一段時(shí)間落地后高度再次為0，中間的時(shí)

間差即為飛行的時(shí)間.

③從課本中問題的解法中，可以發(fā)現(xiàn)：

求y=ax2+bx+c的值為k時(shí)的自變量x的值的問題，可以通過(guò)解一元二次方程ax2+bx+c=k

解決；

求y=ax2+bx+c的值為0時(shí)的自變量x的值的問題，可以通過(guò)解一元二次方程ax2+bx+c=0

解決.

2.自學(xué)：學(xué)生可參考自學(xué)指導(dǎo)進(jìn)行自學(xué).

3.助學(xué)：

（1）師助生：

①明了學(xué)情：關(guān)注學(xué)生自學(xué)參考提綱第③題的情況.

②差異指導(dǎo)：指導(dǎo)學(xué)生思考二次函數(shù)與一元二次方程的關(guān)系.

（2）生助生：小組內(nèi)相互交流、研討.

4.強(qiáng)化：二次函數(shù)與一元二次方程關(guān)系密切，如：已知二次函數(shù)y=ax2+bx+c的值為k

時(shí)，求自變量x的值，可以看作是解一元二次方程ax2+bx+c=k；已知二次函數(shù)y=ax2+bx+c

的值為0時(shí)，求自變量x的值，可以看作是解一元二次方程ax2+bx+c=0.

1.自學(xué)指導(dǎo)：

（1）自學(xué)內(nèi)容：教材第44頁(yè)“思考”到第46頁(yè)例題之前的內(nèi)容.

（2）自學(xué)時(shí)間：8分鐘.

（3）自學(xué)方法：認(rèn)真看書，結(jié)合圖象，認(rèn)真思考.

（4）自學(xué)參考提綱：

①拋物線y＝x2＋x－2與x軸有2個(gè)公共點(diǎn)，其交點(diǎn)坐標(biāo)為（-2，0），（1，0）.

方程x2＋x－2=0有幾個(gè)實(shí)數(shù)根？分別是什么？

2個(gè)-2,1

②拋物線y＝x2－6x＋9與x軸有1個(gè)公共點(diǎn)，其交點(diǎn)坐標(biāo)為（3，0）.

方程x2－6x＋9=0有幾個(gè)實(shí)數(shù)根？分別是什么？

1個(gè)3

③拋物線y＝x2－x＋1與x軸有0個(gè)公共點(diǎn)，方程x2－x＋1=0有幾個(gè)實(shí)數(shù)根？

無(wú)實(shí)數(shù)根

④由上述三個(gè)問題，你可以得到什么結(jié)論呢？

歸納：當(dāng)拋物線y=ax2+bx+c與x軸有公共點(diǎn)時(shí)，若x取公共點(diǎn)的橫坐標(biāo)，則此時(shí)的函

數(shù)值是0，由此可得出，方程ax2+bx+c=0的解就是公共點(diǎn)的橫坐標(biāo)，當(dāng)拋物線與x軸沒

有公共點(diǎn)時(shí)，說(shuō)明對(duì)應(yīng)的方程無(wú)實(shí)數(shù)根.

2.自學(xué)：學(xué)生可參考自學(xué)指導(dǎo)進(jìn)行自學(xué).

3.助學(xué)：

（1）師助生：

①明了學(xué)情：關(guān)注學(xué)生自學(xué)參考提綱的完成情況.

②差異指導(dǎo)：根據(jù)學(xué)情進(jìn)行針對(duì)性的指導(dǎo).

（2）生助生：小組內(nèi)相互交流、研討、修正.

4.強(qiáng)化：

拋物線y=ax2+bx+c與x軸有兩個(gè)交點(diǎn)方程ax2+bx+c=0有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根b2-4ac

＞0；

拋物線y=ax2+bx+c與x軸只有一個(gè)交點(diǎn)方程ax2+bx+c=0有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根

b2-4ac=0；

拋物線y=ax2+bx+c與x軸沒有交點(diǎn)方程ax2+bx+c=0沒有實(shí)數(shù)根b2-4ac＜0.

1.自學(xué)指導(dǎo)：

（1）自學(xué)內(nèi)容：教材第46頁(yè)例題.

（2）自學(xué)時(shí)間：5分鐘.

（3）自學(xué)方法：認(rèn)真看書，結(jié)合自學(xué)參考提綱進(jìn)行學(xué)習(xí).

（4）自學(xué)參考提綱：

①說(shuō)說(shuō)利用函數(shù)圖象求x2-2x-2=0的近似根的一般步驟.

先畫出函數(shù)圖象，再通過(guò)函數(shù)圖象找點(diǎn)

②觀察課本圖22.2-3，分別指出x2-2x-2＜0和x2-2x-2＞0的解集.

2

∵x-2x-2=0的兩根為x1≈-0.7,x2≈2.7,

∴x2-2x-2<0的解集為-0.7<x<2.7,

x2-2x-2>0的解集為x>2.7或x<-0.7.

222

③如果拋物線y=ax+bx+c（a＞0）與x軸有兩個(gè)不同的交點(diǎn)（x1,0）,(x,0)（x1＜x），請(qǐng)

你指出何時(shí)ax2+bx+c=0，何時(shí)ax2+bx+c＞0，何時(shí)ax2+bx+c＜0.

2

x=x1和x=x2時(shí)，ax+bx+c=0.

2

x>x2或x<x1時(shí)ax+bx+c>0.

2

x1<x<x2時(shí)，ax+bx+c<0.

2.自學(xué)：學(xué)生可參考自學(xué)指導(dǎo)進(jìn)行自學(xué).

3.助學(xué)：

（1）師助生：

①明了學(xué)情：怎樣利用函數(shù)圖象，求相應(yīng)方程的近似根.

②差異指導(dǎo)：根據(jù)學(xué)情進(jìn)行個(gè)別指導(dǎo)或分類指導(dǎo).

（2）生助生：小組內(nèi)相互交流、研討.

4.強(qiáng)化：

222

若拋物線y=ax+bx+c（a＞0）與x軸有兩個(gè)不同的交點(diǎn)（x1,0），(x,0)（x1＜x），則：

22

（1）當(dāng)x=x1和x時(shí)，ax+bx+c=0；

22

（2）當(dāng)x＞x或x＜x1時(shí)，ax+bx+c＞0；

22

（3）當(dāng)x1＜x＜x時(shí)，ax+bx+c＜0.

三、評(píng)價(jià)

1.學(xué)生的自我評(píng)價(jià)（圍繞三維目標(biāo)）：這節(jié)課你學(xué)到了哪些知識(shí)？對(duì)哪些內(nèi)容的學(xué)習(xí)感

到困難？

2.教師對(duì)學(xué)生的評(píng)價(jià)：

（1）表現(xiàn)性評(píng)價(jià)：點(diǎn)評(píng)學(xué)生學(xué)習(xí)的態(tài)度、積極性、學(xué)習(xí)方法、學(xué)習(xí)效果等.

（2）紙筆評(píng)價(jià)：課堂評(píng)價(jià)檢測(cè).

3.教師的自我評(píng)價(jià)（教學(xué)反思）：本課時(shí)對(duì)于一元二次方程與二次函數(shù)的關(guān)系作了重點(diǎn)

論述，教學(xué)過(guò)程中向?qū)W生講述數(shù)形結(jié)合思想的重要性，把解一元二次方程用圖形的形式表示

出來(lái).教師應(yīng)讓學(xué)生體驗(yàn)過(guò)程，反過(guò)來(lái)，確定二次函數(shù)與x軸的位置關(guān)系，也可由一元二次

方程的根的情況得到.

(時(shí)間：12分鐘滿分：100分)

一、基礎(chǔ)鞏固（70分）

1.(10分)已知二次函數(shù)y=x2-3x+m（m為常數(shù)）的圖象與x軸的一個(gè)交點(diǎn)為（1，0），

則關(guān)于x的一元二次方程x2-3x+m=0的兩實(shí)數(shù)根是（B）

A.x1=1，x2=-1B.x1=1，x2=2C.x1=1，x2=0D.x1=1，x2=3

2.(10分）拋物線y=ax2+bx+c與x軸的公共點(diǎn)是(-1，0)，(3，0)，則這條拋物線的對(duì)稱

軸是（C）

A.直線x=-1B.直線x=0C.直線x=1D.直線x=3

3.(10分）拋物線y=-2(x+4)(x-2)與x軸的兩個(gè)交點(diǎn)坐標(biāo)為（-4，0），（2，0）.

4.(10分）拋物線y=x2-x-2與直線y=4的交點(diǎn)坐標(biāo)是（-2，4），（3，4），與y軸的交點(diǎn)

坐標(biāo)是（0，-2）.

5.(30分）在圖中畫出函數(shù)y=x2-2x-3的圖象,利用圖象回答

(1)方程x2-2x-3=0的解是什么;

(2)x取什么值時(shí),函數(shù)值大于0;

(3)x取什么值時(shí),函數(shù)值小于0.

解：圖象如圖所示.

2

（1）方程x-2x-3=0的解為x1=-1,x2=3.

（2）x>3或x<-1時(shí)，函數(shù)值大于0.

（3）-1<x<3時(shí)，函數(shù)值小于0.

二、綜合應(yīng)用（20分）

6.（20分）一名男生推鉛球,鉛球行進(jìn)高度y(單位：m)與水平距離x(單位：m)之間的關(guān)

125

系是y－x2x.

1233

(1)畫出函數(shù)的圖象；

(2)觀察圖象,指出鉛球推出的距離.

解：（1）如圖所示.