練習(xí)1-1

1.設(shè)4=(—8,-5)u(5,+a)),屏[一10,3),寫出XuB/MMW及

小(ZW)的表達(dá)式.

解4ub=(-oo,3)<j(5,+oo),

Jr^=[-10,-5),

力3=(—OO,—10)”5,+8),

J\(JW)=[-10,一5).

2.設(shè)4、5是任意兩個(gè)集合，證明對偶律:(ZM)C=4CD衣

證明因?yàn)?/p>

Xe(/c5),<=>x任Ncff

<=>x^A或x史B

<=>.veJc或x^EF

<=>x^AcLJB6,

所以(Nc8)c=/fci#^

3.設(shè)映射/：XfX4uX,5Gx.證明

證叨因?yàn)?/p>

y&f[A<jB)<^>3x&A<jB,使/(x)=y

=(因?yàn)閤&A或xw3)y^fiA)或

所以"

(2)f(AM印)MB).

證明因?yàn)?/p>

y&f{AryB)^>BxeAryB,彳吏./(工)可

O(因?yàn)閄G/H.x^B)yef(A).H.y^f{B)

所以"/c5)c4/)c/(a

4.設(shè)映射若存在個(gè)映射g:使g°/=/x，

f-g=IY,其中小、/?分別是X、y上的恒等映射，即對于每一

個(gè)xeX,有Zvxnc;對于每一?個(gè)ye匕WIry=y.證明:/是雙射，

且g是/的逆映射：gql.

證明因?yàn)閷τ谌我獾膟cK有

x=g(y)eX.目J(x)三/夙)，)]=/>.y=y,

即丫中任意元素都是X中某元素的像，所以/為X至UV的滿射.

又因?yàn)閷τ谌我獾腦yX2,必有./(h尾/(X2),否則若

A-V1)三/(X2)ngL/(x1)]=g[/(X2)]=X1^X2.

因此/既是單射,又是滿射,即/是雙射.

對于映射g:y—X,因?yàn)閷γ總€(gè)yex有的XeX,且滿足

./Cv)-/[g(y)]=Ay=y,按逆映射的定義,g是/的逆映射.

5.設(shè)映射廣XT^/uy.證明：

(1尸

證明因?yàn)?/p>

x^A^>f{x}=y^fiA)

二/一3口/04)),

所以/」(/()))?!.

(2)當(dāng)/是單射時(shí)，有.

證明由⑴知/」(/⑷a.

另一方面，對于任意的存在了。(力)，使

f~{(y)=x^f[x}=y.

因?yàn)樽?U)且/是單射，所以xe4這就證明了/」伽0)3.

因此廣川.

6.求下列函數(shù)的自然定義域：

(l)y=T3x+2；

解由”+220得X〉一；,故函數(shù)的定義域?yàn)閚=[-|,+oo).

解由J*2M得訐±i,故函數(shù)的定義域?yàn)?/p>

Z)=(-oo,-l)u(-l,l)u(l,+oo).

(3)尸L-J1-x2;

X

解由xM11l-x2>0得函數(shù)的定義域D=[-l,0)u(0,1].

⑷產(chǎn)；

A/4-X2

解由4-->0得m<2,故函數(shù)的定義域?yàn)橛?-2,2).

(5)y=sin'/r;

解由xNO得函數(shù)的定義Z)=[0,+oo).

⑹片tanG+1);

解山X+1K等(占0,土1,±2,…)得函數(shù)的定義域?yàn)?/p>

x*k兀、—1(&=0,±1,±2,■?-).

⑺尸arcsin(c-3);

解由3Kl得函數(shù)的定義域。42,4].

(8)=y/3-x+arctan—；

解由3-x>0且xM得函數(shù)的定義域￡>=(-oo,0)u(0,3).

⑼尸ln(t+l);

解由x+l>0得函數(shù)的定義域。=(-1,+8).

1

(10)y=ex.

解由XH0得函數(shù)的定義域。=(-8,0)50,+8).

7.下列各題中，函數(shù)")和弟)是否相同？為什么？

(l)/(x)=lgx2,g(x)=21gx;

解不同.因?yàn)槎x域不同.

(2)./(x)=x,g(x)=E;

解不同因?yàn)閷?yīng)法則不同,X<0時(shí),g(x)=T.

(3)/(x)=Vx4-x3,g(x)=xVx-l;

解相同.因?yàn)槎x域、對應(yīng)法則均相相同.

92

(4)/(x)=l,g(x)=sec_x-tarTx.

解不同.因?yàn)槎x域不同.

?<4

Isim-

o3

8.設(shè)次x)=?IX4

A-

L3

并作出函數(shù)產(chǎn)dx)的圖形.

解以為十由今|=］，

ooZ

嗚用sin"坐,

9(一夕木布(1)1=孝，

d-2)=0.

9.試證下列函數(shù)在指定區(qū)間內(nèi)的單調(diào)性：

1-x

證明對于任意的Xl,X2W(-8,1),Wl-X|>0,l-X2>0.

因?yàn)楫?dāng)X|<X2時(shí)，

X.

y.-y,=—i——.x2=-——X.-x2——<0n,

-1—X|1—x2(1—x()(l—x2)

所以函數(shù)丫=4在區(qū)間(-8,1)內(nèi)是單調(diào)增加的.

1-x

(2)y=x+lnx,(0,+oo).

證明對于任意的Xl,X2€(0,+00),”'lX|O2時(shí)，有

J'l一,2=(芭+In演)一(》2+InX2)=(再一)+In立<0,

了2

所以函數(shù)尸r+lnx在區(qū)間(0,+8)內(nèi)是單調(diào)增加的.

10.設(shè)Hx)為定義在內(nèi)的奇函數(shù)，若")在(0,。內(nèi)單調(diào)增

加，證明人x)在(-1,0)內(nèi)也單調(diào)增加.

證明對于VXI,工2口一/,0)且X\<X2,有Tl,T2W(0,。且T1>T2.

因?yàn)開/(')在(0,。內(nèi)單調(diào)增加且為奇函數(shù)，所以

A-Xl)<f{-XI),-f(X2)<-f(X1),.A^2)>A-V|),

這就證明了對于VXI,X2G(-/,O),有?口)<於2),所以於)在(-/,0)內(nèi)

也單調(diào)增加.

11.設(shè)下面所考慮的函數(shù)都是定義在對稱區(qū)間(-/,/)上的，證明:

。)兩個(gè)偶函數(shù)的和是偶函數(shù)，兩個(gè)奇函數(shù)的和是奇函數(shù)；

證明設(shè)&x)=/(x)+g(x).如果.反)和其丫)都是偶函數(shù)，則

H--vM--v)+g(-xMx)+g(x)=F(x),

所以尸(X)為偶函數(shù)，即兩個(gè)偶函數(shù)的和是偶函數(shù).

如果大外和鼠外都是奇函數(shù)，則

F(-x)=A--v)+g(-x)=-J[x)-g(x)=-F(x),

所以依X)為奇函數(shù)，即兩個(gè)奇函數(shù)的和是奇函數(shù).

(2)兩個(gè)偶函數(shù)的乘積是偶函數(shù)，兩個(gè)奇函數(shù)的乘積是偶函數(shù)，

偶函數(shù)與奇函數(shù)的乘積是奇函數(shù).

證明設(shè)廠(xXADg(x).如果凡。和虱工)都是偶函數(shù)，則

F(-x)=/(-x)g(-x)=/(x)g(x)=F(x),

所以尸(X)為偶函數(shù)，即兩個(gè)偶函數(shù)的積是偶函數(shù).

如果火X)和?X)都是奇函數(shù),則

廠(一X月八一x)g(-x)=[Mx)]|-g(x)]三/(x)g(x)=F(x),

所以尸(X)為偶函數(shù)，即兩個(gè)奇函數(shù)的積是偶函數(shù).

如果外丫)是偶函數(shù)，而g(x)是奇函數(shù)，則

F(-x)=f{-x)-g(-x)=A-v)[-g(x)]=-A-v)g(A-)=-F(x),

所以方(x)為奇函數(shù)，即偶函數(shù)與奇函數(shù)的積是奇函數(shù).

12.下列函數(shù)中哪些是偶函數(shù)，哪些是奇函數(shù)，哪些既非奇函

數(shù)又非偶函數(shù)？

(iy=x2(i-x2)；

解因?yàn)镠-X)=(T)2[1-(TfkfaL/x),所以於)是偶函數(shù).

(2)y=3x2-x3;

解由HT)=3(—4―(—4=3/+工3可見人)既非奇函數(shù)乂非偶函

1*

(3)片

1+x2

］一(_')2=J，

解因?yàn)?(-X)==f(x),所以人X)是偶函數(shù).

l+(-x)r1+x2

(4>=x(x-l)(x+l);

解因?yàn)?/p>

人-+(-》)(7-1)(-X+1)=-X(X+1)(X-1)=如)，

所以./)是奇函數(shù).

(5)y=sinx-cosx+1;

解lilfl~x)=sin(-x)-cos(-.v)+1=-sinx-cosx+1可見./)既非奇函

數(shù)乂非偶函數(shù).

解因?yàn)?(-何二貯告士二二^：〃》)，所以.幾丫)是偶函數(shù).

13.下列各函數(shù)中哪些是周期函數(shù)？對于周期函數(shù)，指出其

周期：

{1)y=cos(x-2);

解是周期函數(shù)，周期為/=2兀

(2)y=cos4x;

解是周期函數(shù)，周期為/=5.

(3)y=l+sin亦；

解是周期函數(shù)，周期為/=2.

(4)y=xcosx;

解不是周期函數(shù).

(5)y=siifx.

解是周期函數(shù)，周期為/=兀

14.求下列函數(shù)的反函數(shù):

(1).=爽+1；

解由y-l/x+\得

x=/-l,

所以^=時(shí)的反函數(shù)為

y=x3-1.

⑵產(chǎn)

1+x'

解由v=]~-得

1+X

_l-,v

x=T+v,

所以片P的反函數(shù)為

1+x

1-x

——?

1+x

(3)y=^±4(ad-bcM);

cx+d

解由—"±4得

“cx+d

-dv+b

?^=—cy-—a,

所以片小4的反函數(shù)為

“cx+d

-dx+b

V---------.

cx-a

(4)尸2sin3t;

解由v=2sin3v得

1.v

.v=-arcsin^-,

32

所以尸2sin3t的反函數(shù)為

y=.arcsi嗎.

⑸片1+lnk+2);

解由尸l+ln（Y+2）得

x=^v-1-2,

所以尸l+ln”+2）的反函數(shù)為

產(chǎn)/」-2.

⑹廠工.

/2、+1

解由y=——得

-2r+l

x=log2-^—,

l-y

所以歹=篇的反函數(shù)為

尸一吉

15.設(shè)函數(shù)火x）在數(shù)集X上有定義，試證：函數(shù)火x）在X上有

界的充分必要條件是它在X上既有上界又有下界.

證明先證必要性.

設(shè)函數(shù)在X上有界，則存在正數(shù)M使

斤）區(qū)M即一

這就證明了/U）在X上有下界-〃和上界M

再證充分性.

設(shè)函數(shù)在X上有下界K和上界K2,即

Ki.

WM=max%|,|K2|},則

-M<K^f（x）<K2<M,gP]/（x）|<M.

這就證明了./U）在X上有界.

16.在下列各題中，求由所給函數(shù)復(fù)合而成的函數(shù)，并求這

函數(shù)分別對應(yīng)于給定自變量值M和X2的函數(shù)值：

（1）y="，〃=sinx,再=[,

163

解,v=siiTx,M=sin2亳=（；）2=",n=sinq=（乎）2=（.

⑵尸sin”,〃=2x,%|=px2=^;

解J=sin2r,y1=sin（2-）=sin^=^y-,_y2=sin（2-^）=siny=1.

(3)y=\[u,w=l+x2,xi=l,X2=2;

22

解.二川+,2,yx=71+1=V2,y2=y/1+2=V5.

(4)y=eM,w=x2,xi=0,X2=l;

2,2

解y=e嚴(yán)，^|=e°=1,y2=e=e,

(5)尸〃,w=e,xi=l,%2=-l.

解y=e2A,^i=e2J=e2,j2=e2(-1)=e-2.

17.設(shè)危)的定義域。=[0,1],求下列各函數(shù)的定義域：

。)加2)；

解由04&1得

比1,

所以函數(shù)幾產(chǎn))的定義域?yàn)?/p>

[-1JL

⑵.小加)；

解由OSsinxR得

2〃脛”(2〃+1))(〃=0*±1,±2---),

所以函數(shù)/(sinx)的定義域?yàn)?/p>

[2〃乃,(2〃+1)不](〃=0,±1,±2-.-).

(3).危+a)(a>0);

解由0^x+a<}得

-aWl-a,

所以函數(shù),/(x+a)的定義域?yàn)?/p>

[-a,\-d\.

(4)/(x+a>t/{x_a)(a>0).

解由0<.v+a<l旦O^v-a<l得：

當(dāng)0<。4時(shí),a—;

當(dāng)a>]時(shí)，無解.

因此當(dāng)時(shí)函數(shù)的定義域?yàn)榭冢?-a],當(dāng)a>；時(shí)函數(shù)無意義.

1|x|<i

18.設(shè)/(x)=(0|x|=l,g(x)=/,求/k(x)]和g[/(x)],并作

-1|x|>l

出這兩個(gè)函數(shù)的圖形.

1[1x<0

解/[g(x)]=0?1,即/[g(x)]=0x=0

-1>X|>1[-1x>0

e'|x|<le|.*1

如/(x)]=e"x)=e。|x|=l,即g[/(x)]=<Il.v|=l.

e~l|x|>l[e-1|x|>l

19.已知水渠的橫斷面為等腰梯形，斜

角行40。(如圖).當(dāng)過水?dāng)嗝媪?8的面積為

定值So時(shí)，求濕周￡(￡=45+5C+C￡>)與水深h

之間的函數(shù)關(guān)系式，并指明其定義域.

解AB=DC=—^,又從《〃伊。+(8C+2cot40°-/7)]=So得

sin402

8。=甌-cot40°?/z,所以

h

￡=^+2-COS40°A

hsin40

自變量力的取值范圍應(yīng)由不等式組

h>0,學(xué)-cot40°./?>()

h

確定，定義域?yàn)?(力<，SoCot40”.

20.收斂音機(jī)每臺(tái)售價(jià)為90元，成本為60元.廠方為鼓勵(lì)銷

售商大量采購，決定凡是訂購量超過100臺(tái)以上的，每多訂購1

臺(tái)，售價(jià)就降低1分，但最低價(jià)為每臺(tái)75元.

(1)將每臺(tái)的實(shí)際售價(jià)P表示為訂購量x的函數(shù)；

解當(dāng)04M100時(shí)，片90.

令0.0l(xo-100)=90-75,得xo=1600.

因此當(dāng)xN1600時(shí)，片75.

當(dāng)100<r<1600時(shí)，

p=90-(.v-100)x0.01=91-0,Olx.

綜合上述結(jié)果得到

900<x<100

p=^91-0.01x100<x<1600.

75x>1600

(2)將廠方所獲的利潤P表示成訂購量x的函數(shù);

30%0<x<100

解F=(p-60)x=J3Lv-0.01.r2

100<x<1600.

15xx>1600

。)某一商行訂購了1000臺(tái)，廠方可獲利潤多少?

解尸=31x1000-0.01x10002=21000(元).

練習(xí)1-2

1.觀察一般項(xiàng).%如下的數(shù)列隊(duì)“｝的變化趨勢，寫出它們的極限:

⑴x”=/；

解當(dāng)〃-8時(shí)，士=篙-0,)見/=()?

(2)x?=(-iri；

解當(dāng)時(shí)，/=(一1)"1->0,lim(-ir-=0.

n〃一>8n

⑶xn=2+3；

解當(dāng)〃foo時(shí)，.=2+4-2,lim(2+-^)=2.

⑷V;

解當(dāng)…M『得磊'0,,吧鬻4

(5)x?=n(-l)n.

解當(dāng)"->00時(shí),xn=〃(-l)"沒有極限.

cos等

2.設(shè)數(shù)列任”｝的一般項(xiàng)xn=一2_.問Hmx”=?求出N,使

〃〃T8

當(dāng)〃〉N時(shí),X”與其極限之差的絕對值小于正數(shù)￡,當(dāng)￡=0.001時(shí),

求出數(shù)N.

解limX”=0.

/?—>8

|COS^y^i

因?yàn)閰^(qū)一0|=——2_<1,所以\/￡〉0,要使除L0|<C,只要

nn

1<￡，也就是〃〉L.

ns

因此取N=g],貝i」V〃>N,有|x〃—0|<￡.

當(dāng)”0.001時(shí)，AT=[1]=1OOO.

E

3.根據(jù)數(shù)列極限的定義證明

(1)lim^-=0;

分析要使

|斗-0|=,

n~

只須〃2>_L,即〃>4.

￡心

證明因?yàn)閂QOTN=[9],當(dāng)〃〉NHt,有

」-0|<￡,

所以lim」=0.

〃一>00〃一

分析要使

|如一斗1<_L<￡

%+12'2(2〃+1)4/7'

｝<￡,即〃>；.

4〃%

證明因?yàn)閂QO「N=[%],當(dāng)，?N時(shí)，有

所以

〃TX2〃+12

⑶Hm返還=1;

分析要使

|7/r+a2i[_y/n2+a2-na2a2

|------------1尸--------------=----/----<---<O,

〃〃〃(J〃2+q2+〃)〃

只須〃>1.

7

證明因?yàn)閈/￡>07乂=["],時(shí)，有

8

n

所以lim近運(yùn)=1.

n-^Xi〃

(4)lim0.999…9=1.

〃個(gè)

分析要使

。99…i點(diǎn)。，

只須看<￡,KP?>l+lg1.

1v/

證明因?yàn)閈/￡>O「N=[l+lgJ,當(dāng)X/〃>N時(shí)；有

|0.99...9-1|<f,

所以IimO.999…9=1.

w—>XS----------,-------------'

〃個(gè)

4.limu?=a,證明lim|〃“|=|a|.并舉例說明：如果數(shù)列｛除|｝

〃一>8/I—>00

有極限，但數(shù)列｛X”｝未必有極限.

證明因?yàn)閘im葭/a,所以VQOTNEN,當(dāng)〃〉N時(shí)，有

71—>00

1"廠水￡,

從而

\\u?\-\a\\<\un-a\<￡.

這就證明了.

n—?ao

數(shù)列｛除|｝有極限，但數(shù)列｛X”｝未必有極限.

例如,lim|(-1)"|=1，但不存在.

5.設(shè)數(shù)列｛x〃｝有界，又limy”=0,證明：limx^?=0.

W—>00/J->00

證明因?yàn)閿?shù)列｛必｝有界，所以存在M使V〃eZ,有乂區(qū)M

又limy”=0,所以VoO^NeN,當(dāng)〃〉又時(shí),有|歹”|〈名.從而

"TOOM

當(dāng)〃>乂時(shí)，有

優(yōu)必-。小"”區(qū)加山<加令=￡,

所以limA-vrt=0.

oo

6.對于數(shù)列｛x〃｝,若X2hifa%->oo),X2K->a(〃->oo),

證明:X"T”(〃->8).

證明因?yàn)閄2hifa(上一>oo),X2￡fa(左->oo),所以X/GO,

—i,當(dāng)2?1>2M一1時(shí),有"-水￡；

3Ki,當(dāng)2左>2Kz時(shí)，有l(wèi)x2i|<￡.

I&N=max(/I_1JK2｝,只要，〉N,就有

因此X”->a(〃->20).

練習(xí)1-3

1.根據(jù)函數(shù)極限的定義證明：

(l)lim(3x-l)=8;

x->3

分析因?yàn)?/p>

|(3.v-l)-8|=|3x-9|=3|x-3|,

所以要使|(3X-1)-8|<￡,只須|X-3K+.

證明因?yàn)閈/￡>0,蜻=；￡,當(dāng)0<卜-3]<5時(shí)，有

|(3X-1)-8|<￡,

所以lim(3x-l)=8.

XT3

(2)lim(5x+2)=12;

XT2

分析因?yàn)?/p>

|(5x+2)-12|=|5x-10|=5pc-2|,

所以要使|(5X+2)-12|<￡,只須X-2|<$.

證明因?yàn)閂￡>O,mS=：￡,當(dāng)0<歸一2]<5時(shí)，有

|(5x+2)-12|<f,

所以lim(5x+2)=12.

x->2

(3)lim^^=-4;

XT-2X+2

分析因?yàn)?/p>

所以要使I軍-(-4)|<￡,只須|X-(-2)|<￡.

證明因?yàn)閂QO「金￡,當(dāng)0<|x-(―2)|<6時(shí),有

所以媽

=2?

X2

分析因?yàn)?/p>

|需一2|邛—2x—2孫一（母，

所以要使I抬一2|<￡,只須|x_（Y）|<9.

12x+l122

證明因?yàn)閂QO,M=N，當(dāng)0<|A（T）k6時(shí),有

1-4.?-21<￡

2x+l

所以膽霽

=2.

2

2.根據(jù)函數(shù)極限的定義證明:

⑴lim"=4；

XT0C2x2

分析因?yàn)?/p>

Il+x311+》3一》31_1

12x322x3l~2|xp,

所以要使|1+X31I<￡’只須會(huì)出即曲會(huì)

2x32

證明因?yàn)閂QO「X=在，時(shí)，有

12+xX33撲￡，

1+X31

所以lim

XT82/2

⑵lim罕=0.

XT+OOJr

分析因?yàn)?/p>

Isinx_i_|sinx|1

W0卜丁

所以要使I窄-—°。||<￡,只須力，即心?

7x

證明因?yàn)閂Q0VX/,當(dāng)zm,有

I^^-o|<f

1y/X?

所以lim平=0.

KT+8VX

3.當(dāng)x->2時(shí)，產(chǎn)f-4.問b等于多少，使當(dāng)（x-2|<K時(shí)，

[y-4|<0,001?

解由于當(dāng)XT2時(shí)，歸-2|5）,故可設(shè)h-2|<1,即l<r<3.

要使

*_4]=,+2|^-2|<5lx-2|<0,001,

只要|x-2|<^^=0.0002.

取足Q0002,則當(dāng)0<#-2]<內(nèi)時(shí)，就有|%2_4|<（）ooi.

4.當(dāng)xfoo時(shí)，>=耳二1->1,問X等于多少，使當(dāng)|x|>X時(shí)，

x2+3

[y-l|<0.01?

解要使|44一1|=3<0.01,只要沖、鳥_3二師.

?x/+31x~+3v0.01

因此可取丫=病7.

5.證明函數(shù).危上網(wǎng)當(dāng)x->0時(shí)極限為零.

分析因?yàn)?/p>

師-0|=|陽一0|=—

所以要使]Z（x）-O|<￡,只須|x|<￡.

證明因?yàn)閷QO「應(yīng)￡，使當(dāng)0小-0|<4時(shí)有

■卜0|=假卜0|<￡,

所以lim|x|=0.

x-^0

6.求/（》）=三，例》）=因當(dāng)》-0時(shí)的左、右極限，并說明它們

XX

在xrO時(shí)的極限是否存在.

證明因?yàn)?/p>

lim/(x)=lim工=lim1=1,

XT。-,XT。-XATT

limf(x)=lim—=lim1=1,

xfo+x-?0+xx-?o+

limf(x)=lim/(x),

XT。-X-?0+

所以極限limf(x)存在.

XTO

因?yàn)?/p>

lim(p(x)=lim—=lim—=-l,

kt0-xf(TXXT0-x

lim(p(x)=lim—=lim-=1,

xfo+XT0+xXTO+x

limlim(p(x),

XTO-XTO+

所以極限lim(p(x)不存在.

x->0

7.證明：若Xf+8及Xf-00時(shí)，函數(shù).危)的極限都存在且都等

于A,則limf(x)=A.

證明因?yàn)閘imf(x)=A,limf(x)=A,所以V￡>0,

X->-00X—>+00

mx>o,使時(shí)，有

封2>0.使當(dāng)X>M時(shí)，有庇卜川<乩

取先max(￥i,上｝,則當(dāng)|%|>X時(shí),有火?|<￡,即lim/(x)=/.

X—>00

8.根據(jù)極限的定義證明：函數(shù)/(X)當(dāng)xfxo時(shí)極限存在的充分

必要條件是左極限、右極限各自存在并且相等.

證明先證明必要性.設(shè)則VQO,三心0、使當(dāng)

O<|x-xo|<J時(shí)，有

因此當(dāng)XO-&X<XO和xo<xoo+3時(shí)都有

\f｛x)-A\<￡.

這說明./U)當(dāng)XfX0時(shí)左右極限都存在并且都等于A.

再證明充分性.設(shè)九吁。后危0+0M,則VQO,

38>0,使"1XO-KI-O時(shí)，有|/(X)-4<￡；

三%>0,使當(dāng)X0<X8)+投時(shí)，旬麻)-*<￡.

取應(yīng)min/1,而｝,則當(dāng)O<|x-xo|<3時(shí)，有xo-3<x<xo及xo<x<xo+而,

從而有

\flx)-A\<￡,

即xo).

9.試給出x->oo時(shí)函數(shù)極限的局部有界性的定理，并加以證明.

解XT8時(shí)函數(shù)極限的局部有界性的定理：如果/(X)當(dāng)時(shí)

的極限存在，則存在X>0及M〉O,使當(dāng)M>X時(shí),]

證明設(shè).危)f4(XT8),則對于￡=1,封>0,時(shí)，有

\f{x)-A\<￡=\.

所以

■)|=]所卜4+川4危)-4|+同<1+14

這就是說存在X>0及M〉o,使當(dāng)時(shí)，師)|<M其中M=l+I4

練習(xí)1-4

1.兩個(gè)無窮小的商是否一定是無窮??？舉例說明之.

解不一定.

例如，當(dāng)x-?0時(shí),a(x)=2x,/X-v)=3x都是無窮小,但

lim件2,

ioJ3(x)3

歙不是無窮小.

伙X)

2.根據(jù)定義證明：

⑴方正?當(dāng)xf3時(shí)為無窮??；

證明當(dāng)中3時(shí)|田=|奈卜x—3|.

因?yàn)橐?gt;03%￡，當(dāng)o<|x-3|<b時(shí),有

所以當(dāng)X—3時(shí)為無窮小.

(2)j；=xsin-當(dāng)x->0時(shí)為無窮小.

X

證明當(dāng)xM時(shí)|y|=|刈sinL|Wx-O|.

因?yàn)閂GOV鼻￡,當(dāng)0<卜-0|<3時(shí),有

Wx||sin』傘-0|<6=￡,

A

所以"1X—>0時(shí)v=xsin—為無窮小.

x

3.根據(jù)定義證明：函數(shù)”=1±空為當(dāng)x-0時(shí)的無窮大.問x

x

應(yīng)滿足什么條件，能使用>1。4?

證明分析

?|=|l±2x|=|2+l|>1,2,

1X11X1|x|

要使》|>M只須工—2>M,即國

\x\M+2

證明因?yàn)閈，使當(dāng)0<任一°1<方時(shí)，有

I啜〉乩

所以當(dāng)x-0時(shí)，函數(shù)丁=土區(qū)是無窮大.

X

取M=1O\則》=7—.當(dāng)OVX-OK—JL-時(shí)，明〉1()4

104+2、104+2

4.求下列極限并說明理由：

W-HCX

解因?yàn)?=2+上而當(dāng)xfg時(shí),是無窮小，

XXX

所以1而主里=2.

X

(2)1呵畀.

X—>01—X

解因?yàn)?而當(dāng)X—0時(shí)X為無窮小，

1-X

所以.

XTO1-X

5.根據(jù)函數(shù)極限或無窮大定義，填寫下表:

八X)->8y(.r)->-Kc

VoO,3<S>0,使

x->xo當(dāng)O<|x-xo|<^l>j,

有恒歐上川<8

X—>xo+

x-^xo-

x/QO,mx>o,使當(dāng)卜|>x時(shí),

Xf8

有恒|/(K)|>M

X—>+8

XT-00

6.函數(shù)尸851在(-00,+00)內(nèi)是否有界？這個(gè)函數(shù)是否為當(dāng)

Xf+oo時(shí)的無窮大？為什么？

解函數(shù)y=xcosx在(-co,+8)內(nèi)無界.

這是因?yàn)閂M>0,在(-8,+oo)內(nèi)總能找到這樣的x,使得

例如

y(2kn)=2k^cos2k^=2kn,(k=0,1,2,?■

當(dāng)上充分大時(shí)，就有3(2左砂〉M

當(dāng)Xf+oo時(shí)，函數(shù)產(chǎn)=xcosx不是無窮大.

這是因?yàn)檎也坏竭@樣個(gè)時(shí)刻N(yùn),使對切大于N的

x,都有

例如

M2左乃+鄉(xiāng)=(2左4+9COS(2ATT+9=0(左=0,1,2,…)，

對任何大的N,當(dāng)左充分大時(shí)，總有x=2版■+3>N,但孤x)|=O<M

7.證明：函數(shù)y=Lin1在區(qū)間(0,1］上無界，但這函數(shù)不是當(dāng)

XX

Xf0,時(shí)的無窮大.

證明函數(shù)片LiJ在區(qū)間(0,1］上無界.

XX

這是因?yàn)?，x/M>0,在(0,1］中總可以找到點(diǎn)打，使武雙)>加

例如當(dāng)

4=—―%=0,1,2,…)

2k^+-

2

時(shí)，有

當(dāng)％充分大時(shí)j(x&)>M.

當(dāng)X->0*時(shí),函數(shù)丫=—sin，不是無窮大.這是因?yàn)?/p>

XX

VA/>0,對所有的方0,總可以找到這樣的點(diǎn)打，使0。右稔但

y(Xk)<M.

例如可,取

1

4=而a=0,1,2,…),

當(dāng)k充分大時(shí),但六必>=2左然吊來；?=0<41.

練習(xí)1-5

1.計(jì)算下列極限:

⑴期萼

X2-2X+1

(3)lim

X->1x2-l

解物力=lim—.d、)、2——=lim——-=^=0

.v—>i(x-l)(x+l).v->ix+l2

⑷㈣

32

解|im4x-2.v4-x=lim4.v^-2.v+l=l

A—>o3X2+2XIO3X+22

⑸L尸

(x+/i)2-x2加主攻貯正

解=1=lirn(2x+/i)=2.v.

回h20h

⑹lim(2-1十』);

XT8XX

解lim(2---+-^-)=2-lim—4-lim[=2.

Zz

x->ocXXxfocxXTCCx

⑺圾馬;

x2+x

(8)lim

X—>00*4-3x2-1

解lim,=0（分子次數(shù)低于分母次數(shù),極限為零）.

18/一3X一1

j_+J_

或lim-1+：—=lim--工>=0

x4-3x2-lA->X.21

⑼螞賁鬻;

-6.V+8(x-2)(x-4)xz2￡-21

解lim=lim}im==

.￥-?4x2-5x+4-v->4(x-l)(x-4)x-^4x-14-13

(10)lim(l+^-)(2-4)；

X-HOxX

解lim(1+—)(2--y)=lim(14--)-lim(2--y)=lx2=2.

XT8Xx1XXT8Xz

⑴腐（吐+…+卦

解lim(l+《+】4-----F-)=lim=2.

7/->0C242〃

(12)liml+2+3+;+(D；

n—>oo〃幺

(n-\)n

解lim14-2+3+---+(/7-l)=lim_L=1limHzl=l

〃->8〃一>8〃幺2〃-?8772

(13)lim(〃+l)(〃+,(〃+3);

"Too5〃3

解lim(〃+D(〃+2)(〃+3)=2(分子與分分的次數(shù)相同,極限為

〃T85〃’5

最高次項(xiàng)系數(shù)之比).

或lim("+l)("+2)("+3giim(i+l)(]+2)(1+3)=l

3

〃TQC5/75x〃nn5

(1曬匕*;

解哪七一金尸則尚治rr呷告匿號(hào)

x+2

=-lim~

1l+X+Y

2.計(jì)算下列極限:

⑴畸等

解因?yàn)棰韬趓=4肛所以!吧浮-

X2

(2)lim

XT002x4-1

解lim1T=8(因?yàn)榉肿哟螖?shù)高于分母次數(shù)).

2x4-1

(3)lim(2x3-x+l).

X—>00

解lim(2X3-X+1)=OO(W為分子次數(shù)高于分母次數(shù)).

3.計(jì)算下列極限：

(l)limx2sin—;

XTOx

解lirrudsinL。(當(dāng)X-0時(shí):工？是無窮小，而sin^是有界變量).

10xx

(2)limarctanx

XT8X

解limarctanx=1而LarctanxOClx—>oo時(shí),工是無窮小,

XT8XXT8XX

而'arctan工是有界變量).

練習(xí)1-6

1.計(jì)算下列極限：

⑴

10X

解lim血jlim也^

XTOX10COX

⑵lim里嗎

XTOX

解|加3=3.嚶.」=3.

-0xx->o3xcos3x

⑶既需;

解］im吟=lim唱?昌-5A

x->osm5xioZXsm5x55

(4)Iimxcotx；

x->0

解limxcotx=limY-cosx=lim-^-limcosx=l.

XTOX->Osinxxfosinxx—o

(5)lim上空盤

x->oxsinx

解]im上空迎=|im上嚕=|im純也=2lim(皿)2=2.

x->oxsinxA->oxLioxlA—>ox

或lim上空心=hm辿M=21im血=2.

XTOxsinxA->oxsinx工fox

(6)lim2〃sin二(x為不等于零的常數(shù)).

〃T82，1

sin—

解lim2"sin—=lim---x=x.

“TOO2〃X

F

2.計(jì)算下列極限：

(l)lim(l-x)*;

x->0

1—(-1)-1—

(

解x)x=Iim[l+(-x)](r)={iim[l+(-x)]-^}-'.

A->0A->0X->0

⑵呵(l+2x);

XTO

1J_.2—

解lim(l+2x)x=1im(l+2x)2Y-=[lim(l+2x)2v]2=e2.

.V—>0x->0XTO

(3)lim(g汽

4f8X

解lim(^-^)2v=[lim(l+—)x]2=e2.

XT8XXf8X

（4）聲/為正整數(shù)）.

Xf8X

解1淅（1一！產(chǎn)=1加（1+」-）（-項(xiàng)-公=。-".

X-?00XXT8-X

3.根據(jù)函數(shù)極限的定義，證明極限存在的準(zhǔn)則P.

證明僅對XfXO的情形加以證明.

因?yàn)?/p>

limg(x)=A,limh(x)=A,

X->x0x—>x0

所以對任給定的QO,存在品0,使得當(dāng)O<?TO|<對，恒有

典》)一11<￡?及以X)-Z\<￡,

BPA-s<g(x)<A+￡^A-s<h(x)<A+￡.

乂因?yàn)間(x)W/(x)幼(X),

所以A-￡<f(X)<A+￡,

即\fixy-A\<￡,

因此limf(x)=A.

lx。

4.利用極限存在準(zhǔn)則證明：

(l)limAS+I=l;

/i->oovn

證明因?yàn)?<Jl+工vl+，,

Vnn

而lim1=1且lim(14-—)=1,

n->oo〃

由極限存在準(zhǔn)則I,

〃TOOvn

(2)lim—+JT--1」—)=1；

lac〃'+乃〃'+24〃/+〃乃

證明因?yàn)?/p>

M//1.1,,1\,〃2

-2----<^(-5---+2c+…+~2----)---'

+〃4〃-+乃〃/+2乃〃~+〃乃，廠+4

而lim---=1,lim———=1,

〃乃〃Too〃

所以lim〃(?，1--J---F…4J—)=1.

〃f8〃幺+乃〃/+2〃〃—+〃乃

(3)數(shù)列72+72,J2+J2+應(yīng)，?.?的極限存在；

證明x,=V2,x”+]=j2+x“(〃=1,2,3,…).

先證明數(shù)列｛.%｝有界.

當(dāng)〃=1時(shí)x產(chǎn)&<2,假定〃=k時(shí)?辦<2,則當(dāng)〃=1+1時(shí),

4+1=j2+4<72+2=2,

所以必<2(〃=1,2,3,??.),即數(shù)列｛X”｝有界.

再證明數(shù)列單調(diào)增.因?yàn)?/p>

__/2_i___2+X“-~K1__(X"-2)(X〃+1)

Xr"+l4v〃-4/十工r"rh-/c，

j2+x”+K"j2+x”+X”

而x〃-2<0,X"+l>0,所以X"+i-X">0,即數(shù)列｛x”｝單調(diào)增.

因?yàn)閿?shù)列｛xj單調(diào)增加有上界，所以此數(shù)列是有極限的.

(4)limVT+x=l;

XTO

證明當(dāng)陽時(shí)，則有

l+x<l+pr|<(l+|x|)/,,

l+x>l-|x|>(l-|x|)\

從而有1-|X|<J:/1+7<1+|X|.

因?yàn)閘im(l-|x|)=lim(l+|x|)=l,

XTOJCTO

根據(jù)夾逼準(zhǔn)則，有

lim”l+x=l.

xf0

(5)lim]=1-

10+x

證明因?yàn)楣ぁ?依』，所以

XXXX

又因?yàn)閘im(l-x)=lim1=1,根據(jù)夾逼準(zhǔn)則，有l(wèi)im.v[-]=l.

x->0+x->0+x->0+X

練習(xí)1-7

1.當(dāng)x->0時(shí),Zr-x?與產(chǎn)-1相比，哪一個(gè)是高階無窮小?

解因?yàn)?/p>

所以當(dāng)Xf0時(shí)是高階無窮小，即X2-X3=O(2X-X2).

2.當(dāng)x->l時(shí)，無窮小IT和川)是否同階？是否等價(jià)？其中

⑴加H--；

解因?yàn)?/p>

liml=^-=lim(1-Y)(1+x+v2)=lim(l+x+x2)=3,

XT11-Xx->l1—Xx-?l

所以當(dāng)XTl時(shí)，1-X和1-1是同階的無窮小，但不是等價(jià)無窮小

⑵/㈤得。-/).

解因?yàn)?/p>

^(1-，)

lim-......=^-lim(l+x)=l,

11-x2XTI

所以當(dāng)XTI時(shí)，IT和3。-/)是同階無窮小，而且是等價(jià)無窮小.

3.證明：當(dāng)x->0時(shí)，有：

(1)arctanx~x;

證明因?yàn)?/p>

limarctanx=lim^=1

XTOxy-?otany

所以當(dāng)x->0時(shí),arctanx~x(提示：令尸arctanx,則XTO時(shí),y—0).

(2)secx-l~1r-.

2

證明因?yàn)?/p>

2sin2^2sin]

lim罕d=2lim央衛(wèi)=lim丁^廁二1)2T

10]Y2A->OJ2COSXXTO

2T2

7

所以當(dāng)XfO時(shí)，SCCX-1?、.

4.利用等價(jià)無窮小的性質(zhì)，求下列極限:

(l)lim哽；

tan3x

解lim

XTO2x已MH

(n,m為正整數(shù));

1n=m

解把

lim3=limE=0n>m.

io(sin

00n<m

tanx-sinx