課程基本信息

課例編號(hào)2020QJ10SXRA042學(xué)科數(shù)學(xué)年級(jí)高一學(xué)期第一學(xué)期

課題任意角

書名：普通高中教科書數(shù)學(xué)必修第一冊(cè)A版

教科書

出版社：人民教育出版社出版日期：2019年6月

教學(xué)人員

姓名單位

授課教師汪敏北京市第二十二中學(xué)

指導(dǎo)教師李穎北京市東城區(qū)教師研修中心

教學(xué)目標(biāo)

教學(xué)目標(biāo)：

1.了解任意角和象限角的概念，會(huì)判斷一個(gè)任意角是第幾象限角；

2.了解角的概念的推廣的必要性，認(rèn)識(shí)終邊相同角的代數(shù)特征，發(fā)展數(shù)學(xué)抽象的素養(yǎng)；

3.在角的概念的推廣過程中，感受數(shù)學(xué)的應(yīng)用價(jià)值，提升數(shù)學(xué)運(yùn)算的素養(yǎng).

教學(xué)重點(diǎn)：任意角，象限角，終邊相同的角的概念.

教學(xué)難點(diǎn)：用符號(hào)代表方向的意義.

教學(xué)過程

時(shí)教學(xué)

主要師生活動(dòng)

間環(huán)節(jié)

引導(dǎo)語：我們知道，現(xiàn)實(shí)世界中存在著各種各樣的“周而復(fù)始”變化現(xiàn)象，圓周運(yùn)

創(chuàng)設(shè)

動(dòng)是這類現(xiàn)象的代表.

1情境，

問題：⊙上的點(diǎn)以為起點(diǎn)做逆時(shí)針方向的旋轉(zhuǎn)．如何刻畫點(diǎn)的位置變化呢？

分引出

師生活動(dòng)：學(xué)生獨(dú)立思考，教師通過PPT讓學(xué)生清楚：圓周上點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)可以通過角

鐘問題????

的變化進(jìn)行刻畫.

設(shè)計(jì)意圖：通過具體問題引出本節(jié)課的研究主題——角.

問題：你還記得初中是怎么定義角的嗎？

師生活動(dòng)：一起回顧初中角的概念.預(yù)設(shè)答案：有公共頂點(diǎn)的兩條射線組成的圖形.

設(shè)計(jì)意圖：這里要讓學(xué)生先回顧初中學(xué)習(xí)角的定義，是靜態(tài)的圖形，就因?yàn)殪o所以

限制了交的范圍，所以高中的定義中特別突出了動(dòng)態(tài)-旋轉(zhuǎn)

問題：我們以前所學(xué)角都在的范圍內(nèi)，生活中有超出角的例子

嗎？請(qǐng)你舉例說明.

0°~360°0°~360°

分析師生活動(dòng)：學(xué)生獨(dú)立思考，并回答問題.預(yù)設(shè)答案：體操中“前空翻轉(zhuǎn)體540度”

2

實(shí)例，“后空翻轉(zhuǎn)體720度”；互相咬合的齒輪.

分

歸納追問：這些角的不同，體現(xiàn)在哪幾個(gè)方面？

鐘

特征師生活動(dòng)：可以通過學(xué)生簡單的討論，發(fā)現(xiàn)角的不同體現(xiàn)在兩個(gè)方面：一是大小；

二是方向.

設(shè)計(jì)意圖：一方面加強(qiáng)數(shù)學(xué)與我們現(xiàn)實(shí)生活的聯(lián)系，說明學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)是有用的；另一

方面，學(xué)生在用語言描述這些超出角的時(shí)候，會(huì)發(fā)現(xiàn)用靜態(tài)角的定義不再

適合，讓他們體會(huì)到：要想說清楚這些角，有必要將角的范圍進(jìn)行拓展，而且需要

0°~360°

從動(dòng)態(tài)的角度重新定義角.

追問：以上問題中對(duì)角的描述的共性是什么？

師生活動(dòng)：學(xué)生共同回答出角的大小及旋轉(zhuǎn)方向.

設(shè)計(jì)意圖：通過這個(gè)具體的例子進(jìn)一步讓學(xué)生體會(huì)：要想說清楚一個(gè)角，包括兩個(gè)

方面：一是旋轉(zhuǎn)方向；二是旋轉(zhuǎn)量.

問題：請(qǐng)同學(xué)們先閱讀課本第168頁最后一段至第169頁最后一段，再回答下列問

題：根據(jù)旋轉(zhuǎn)方向的不同，角可以分為哪幾類？分別是什么？這種定義方法和分類

辦法是與之前的哪個(gè)知識(shí)進(jìn)行類比的？

通過

1師生活動(dòng)：學(xué)生獨(dú)立閱讀課文，再舉手回答上述問題.預(yù)設(shè)答案：一條射線繞其端

閱讀，

分點(diǎn)按逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)形成的角叫做正角，按順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)形成的角叫做負(fù)角.如

獲得

鐘果一條射線沒有做任何旋轉(zhuǎn)，就稱它形成了一個(gè)零角，因此，角可以分為正角、負(fù)

概念

角、零角.這種定義方法和分類辦法都是與實(shí)數(shù)進(jìn)行類比的.

設(shè)計(jì)意圖：明確了通過推廣以后角的定義，知道了角是“轉(zhuǎn)”出來的，關(guān)鍵是對(duì)旋

轉(zhuǎn)方向的量化可以通過類比實(shí)數(shù)，用符號(hào)表示方向.

練習(xí)：你能讀出下圖中的各個(gè)角度

嗎？

師生活動(dòng)：學(xué)生作答，教師點(diǎn)評(píng).

設(shè)計(jì)意圖：熟悉正角、負(fù)角的定義，

理解“符號(hào)”與“方向”之間的關(guān)

系，從形到數(shù)的認(rèn)識(shí).

追問：兩個(gè)角有什么關(guān)系？

師生活動(dòng)：可叫學(xué)生個(gè)別回答問題.預(yù)設(shè)答案：它們有大小關(guān)系和相等關(guān)系；

追問：兩個(gè)角能相等嗎？

初步

師生活動(dòng)：可叫學(xué)生個(gè)別回答問題.預(yù)設(shè)答案：如果一個(gè)角的旋轉(zhuǎn)量和旋轉(zhuǎn)方向與

3應(yīng)用，

另一個(gè)角的旋轉(zhuǎn)量和旋轉(zhuǎn)方向都一樣，我們就稱這兩個(gè)角相等.

分理解

追問：兩個(gè)角也能像兩個(gè)實(shí)數(shù)那樣進(jìn)行加減運(yùn)算嗎？

鐘定義

師生活動(dòng)：引入角的加法的概念：設(shè)，是任意兩個(gè)角．我們規(guī)定，把角的終邊

旋轉(zhuǎn)角，這時(shí)終邊所對(duì)應(yīng)的角是．

???

追問：兩個(gè)角能進(jìn)行減法運(yùn)算嗎？

??+?

師生活動(dòng)：引入相反角的概念：類似于實(shí)數(shù)的相反數(shù)是，我們引入任意角的

相反角的概念．我們把射線繞端點(diǎn)按不同方向旋轉(zhuǎn)相同的量所成的兩個(gè)角叫做

????

互為相反角．進(jìn)而引入角的減法的概念：像實(shí)數(shù)減法的“減去一個(gè)數(shù)等于加上這個(gè)

???

數(shù)的相反數(shù)”一樣，我們有?=+(?)．這樣，角的減法可以轉(zhuǎn)化為角的加法．

設(shè)計(jì)意圖：定義了一個(gè)具有數(shù)量特征的數(shù)學(xué)概念之后，緊接著需要研究的就是兩個(gè)

????

這種數(shù)學(xué)對(duì)象之間的關(guān)系以及運(yùn)算問題.類比實(shí)數(shù)，得到相反角的定義及兩個(gè)任意

角之間的減法運(yùn)算.

問題：在直角坐標(biāo)系中研究角，其頂點(diǎn)和始邊的位置是如何規(guī)定的？根據(jù)其終邊位

置的不同，又可以把角分為哪幾類？在直角坐標(biāo)系內(nèi)討論角有什么好處呢？

師生活動(dòng)：學(xué)生互相交流后，再回答.預(yù)設(shè)答案：為了方便，使角的頂點(diǎn)與原點(diǎn)重

研究合，角的始邊與軸的非負(fù)半軸重合；根據(jù)角終邊所在象限，將角又可以分為第一、

7分類，二、三、四象限角以及軸線角；在直角坐標(biāo)系中討論角可以很好地表現(xiàn)角的“周而

?

分精致復(fù)始”的變化規(guī)律.

鐘概念設(shè)計(jì)意圖：讓學(xué)生明確在直角坐標(biāo)系中討論角需要有一個(gè)統(tǒng)一的標(biāo)準(zhǔn).在這個(gè)統(tǒng)一

前提下，才能對(duì)象限角進(jìn)行定義.另外，終邊落在坐標(biāo)軸上是一種“邊界”狀態(tài)，

因此規(guī)定它不屬于任何一個(gè)象限更方便.這樣討論角的好處就是：在同一“參照系”

下，可以使角的討論得到簡化，由此還能使角的終邊位置“周而復(fù)始”現(xiàn)象得到有

效表示.

練習(xí)：銳角是第幾象限角？第一象限角一定是銳角嗎？再分別就直角、鈍角來回答

這兩個(gè)問題．三角形的內(nèi)角涵蓋了哪幾個(gè)象限呢？

師生活動(dòng)：由學(xué)生逐題給出答案.預(yù)設(shè)答案：銳角是第一象限角，第一象限角不一

定是銳角；直角是終邊落在軸正半軸上的角，終邊落在軸正半軸上的角不一定是

直角；鈍角是第二象限角，第二象限角不一定是鈍角.三角形的內(nèi)角取值范圍可以

??

用區(qū)間角表示，即，它從軸的正半軸逆時(shí)間旋轉(zhuǎn)到軸的負(fù)半軸，經(jīng)歷

了第一象限，軸的正半軸和第二象限.

0°,180°??

設(shè)計(jì)意圖：檢驗(yàn)學(xué)生對(duì)象限角的理解情況.

?

問題：那如果角的終邊沒有落在四個(gè)象限里，你會(huì)表示這些角嗎？比如你會(huì)表示終

邊落在軸的負(fù)半軸上的所有的角的集合嗎？

師生活動(dòng)：學(xué)生觀察并思考后，再舉手回答.共同尋找終邊落在軸的負(fù)半軸上角的

?

共同特征：我們的第一反應(yīng)應(yīng)該是，但如果是順時(shí)針轉(zhuǎn)過來的話也可以是

?

，這兩個(gè)角相差，如果逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)一個(gè)周角即的話，這個(gè)角

180°

還可以是，繼續(xù)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)一個(gè)周角的話，這個(gè)角又變成了

?180°360°180°360°

180°+360°=，5推40而°廣之，我們只要在上加上個(gè)（）就

1能8表0°示+所2有×3終6邊0°落=在900軸°的負(fù)半軸上的角，寫成集合18的0°形式就是?：?∈?360°

進(jìn)而再推廣到一般情形，所有與角終邊相同的

?

角，連同角在內(nèi)，可構(gòu)成一個(gè)集合，

?=??=180°+??360°,?∈??

即任一與角終邊相同的角，都可以表示成角與整數(shù)個(gè)周角的和．

??=??=?+??360°,?∈?

問題：終邊落在軸上的所有的角的集合又怎么表示？

??

師生活動(dòng)：將軸正半軸上所有角的集合與軸負(fù)半軸上所有角的集合取并集即可；

?

也可以理解成找到一個(gè)軸正半軸上角的代表，比如，使其逆時(shí)針（或順時(shí)針）

??

旋轉(zhuǎn)一個(gè)平角即就可以到達(dá)軸負(fù)半軸，如果繼續(xù)使其逆時(shí)針（或順時(shí)針）旋

?0°

轉(zhuǎn)一個(gè)平角即就可以回到軸正半軸，繼續(xù)做下去，角的終邊就會(huì)在軸負(fù)半

180°?

軸和正半軸上循環(huán)往復(fù)的出現(xiàn)，就涵蓋了所有的終邊落在軸上的所有角，其集合

180°??

表示形式是：，同理終邊落在軸上的所有角的集合

?

是；如果要表示終邊落在坐標(biāo)軸上的所有角，我們

?=??=0°+??180°,?∈??

只需找到一個(gè)角的代表，比如，使其不斷地旋轉(zhuǎn)比如就能涵蓋所有的坐標(biāo)軸，

?=??=90°+??180°,?∈?

其集合表達(dá)形式是：.

0°90°

設(shè)計(jì)意圖：對(duì)象限角概念進(jìn)行必要的補(bǔ)充，使得終邊落到任何位置都能表示.應(yīng)引

?=??=0°+??90°,?∈?

導(dǎo)學(xué)生體會(huì)用集合表示終邊相同的角時(shí)，表示方式不唯一，要注意采用簡約的形式.

另外，分析終邊與y軸的正半軸、負(fù)半軸分別重合的兩個(gè)角的集合的聯(lián)系，可以簡

化集合的表示，實(shí)質(zhì)是“終邊組成一條直線”的代數(shù)解釋：“兩個(gè)集合中的元素相

差180°的整數(shù)倍.”

問題：有了終邊落在坐標(biāo)軸上角的表示方法，你能表示出第二象限角嗎？

師生活動(dòng)：寫出第二象限角的集合表示方法.

，.

例1在范圍內(nèi)，找出與角終邊相同的角，并判定它是第幾象限

初步?=?90°+??360°<?<180°+??360°?∈?

角.'

5應(yīng)用，0°~360°?950°12

追問：與角終邊相同的角都有什么共同點(diǎn)？

分理解

師生活動(dòng)：先由學(xué)生'獨(dú)立計(jì)算，再回答.預(yù)設(shè)答案：相差的整數(shù)倍；與

鐘關(guān)系?950°12

角終邊相同的角可以寫成，當(dāng)時(shí)，'

360°?950°12

，它是第二象限角.'

??=?950°12+??360°,?∈??=3?=

'

129°48

設(shè)計(jì)意圖：這個(gè)題目有兩種處理策略讓學(xué)生都可以嘗試，一種幾何法，把角畫出來

之后再出去轉(zhuǎn)圈，或者先寫出終邊相同角集合，再讓分別取值，后者雖然是一般

方法，但前者可以讓學(xué)生體會(huì)到終邊相同角處理的意義所在，一類角可以用一個(gè)角

?

來替代研究.

例2寫出終邊在直線軸的非負(fù)半軸上的角的集合.中適合不等式≤

?=????360°

＜的元素有哪些？

?追問7：20在°求出角?之前，你能判斷滿足條件角的個(gè)數(shù)嗎？判斷的根據(jù)是什么？

師生活動(dòng)：由學(xué)生獨(dú)立完成后，讓學(xué)生代表進(jìn)行展示.預(yù)設(shè)答案：六個(gè)；所求角的

范圍包含了三周；；，，，，

，.

?=??=45°+??180°,?∈??315°?135°45°225°