課程基本信息

課例編

2020QJ11SXRA009學(xué)科數(shù)學(xué)年級(jí)高二學(xué)期上學(xué)期

號(hào)

課題用空間向量研究直線、平面的位置關(guān)系（3）

書名：選擇性必修第一冊(cè)數(shù)學(xué)（A版）

教科書

出版社：人教社出版日期：年月

教學(xué)人員

姓名單位

授課教李健北京景山學(xué)校

師

指導(dǎo)教雷曉莉北京市東城區(qū)教師研修中心

師

教學(xué)目標(biāo)

教學(xué)目標(biāo)：

能用向量語(yǔ)言表述直線與直線、直線與平面、平面與平面的垂直關(guān)系．

能用向量方法證明必修內(nèi)容中有關(guān)直線、平面垂直關(guān)系的判定定理．

教學(xué)重點(diǎn)：用向量方法解決空間圖形的垂直問(wèn)題．

教學(xué)難點(diǎn)：建立空間圖形基本要素與向量之間的關(guān)系，把立體幾何問(wèn)題轉(zhuǎn)化為空間向量

問(wèn)題．

教學(xué)過(guò)程

教

時(shí)學(xué)

主要師生活動(dòng)

間環(huán)

節(jié)

今天我們繼續(xù)來(lái)學(xué)習(xí)用空間向量研究直線、平面的位置關(guān)系.

上節(jié)課，我們討論了空間中直線、平面平行的向量表示并用它們解決了立體

幾何中的一些平行問(wèn)題.我們先回顧一下.

問(wèn)題1:由直線、平面的平行關(guān)系，可以得到直線的方向向量、平面的法向

量有什么關(guān)系呢？

類似地，在直線與直線、直線與平面、平面與平面的垂直關(guān)系中，直線的方

向向量與平面的法向量之間有什么關(guān)系？

本節(jié)課，我們就研究這些內(nèi)容.

問(wèn)題2：由直線與直線的垂直關(guān)系，可以得到這兩條直線的方向向量間有什

么關(guān)系？

如圖，設(shè)u1，u2分別是直線l1，l2的方向向量.由方向向量的定義可知，如果

兩條直線垂直，那么它們的方向向量一定垂直；反過(guò)來(lái)，如果兩條直線的方向向

量垂直，那么這兩條直線也垂直.又由向量的數(shù)量積運(yùn)算，可以得到

l1l2u1u2u1u2=0.

問(wèn)題3：由直線與平面的垂直關(guān)系，可以得到直線的方向向量、平面的法向

量間有什么關(guān)系？

如圖，設(shè)u是直線l的方向向量，n是平面的法向量.如果l，根據(jù)直

線的方向向量和平面的法向量的定義可知，u//n；反過(guò)來(lái)，如果u//n，那么l.

又由向量共線定理可知，

lu//nR,使得un.

問(wèn)題4：由平面與平面的垂直關(guān)系，可以得到兩個(gè)平面的法向量間有什么關(guān)

系？

如圖，設(shè)n1，n2分別是平面,的法向量.由法向量的定義可知，如果兩個(gè)

平面垂直，那么它們的法向量一定垂直；反過(guò)來(lái)，如果兩個(gè)平面的法向量垂直，

那么這兩個(gè)平面也垂直.由向量的數(shù)量積運(yùn)算，可以得到

n1n2n1n20.

追問(wèn)：前面的學(xué)習(xí)中，我們深刻感受到向量運(yùn)算的作用.你同意“向量是軀

體，運(yùn)算是靈魂”“沒有運(yùn)算的向量只能起路標(biāo)的作用”“因?yàn)橛辛诉\(yùn)算，向量的

威力無(wú)限”的說(shuō)法嗎？

我們知道，向量能夠表示空間中的點(diǎn)、直線、平面，但是空間圖形的位置關(guān)

系，還有今后要學(xué)的距離、角度等度量問(wèn)題，都可以通過(guò)向量的運(yùn)算來(lái)研究的.例

如，直線與直線垂直可以用其方向向量的數(shù)量積為0表示，即l⊥m等價(jià)于a

﹒b＝0．這樣我們就可以通過(guò)向量運(yùn)算研究空間圖形的位置關(guān)系．

因此我們說(shuō)向量的作用是通過(guò)其運(yùn)算來(lái)體現(xiàn)的．如果沒有運(yùn)算，那么向量?jī)H

能表示空間中的點(diǎn)、直線和平面，只是“路標(biāo)”，無(wú)法獲得空間圖形的幾何性質(zhì)．

下面我們看一個(gè)例題，這個(gè)例題是前面我們學(xué)習(xí)的一個(gè)判定定理，當(dāng)時(shí)沒有

給出證明.

例1：證明“平面與平面垂直的判定定理”：若一個(gè)平面過(guò)另一個(gè)平面的垂線，

則這兩個(gè)平面垂直.

定理的條件和結(jié)論都很清楚，為了證明的方便和簡(jiǎn)介，我們用符號(hào)語(yǔ)言、圖

形語(yǔ)言表示這個(gè)定理中用自然語(yǔ)言表達(dá)的條件和結(jié)論.

已知：如圖，l,l.

求證：.

這個(gè)判定定理我們上學(xué)期學(xué)習(xí)立體幾何的時(shí)候?qū)W過(guò)，當(dāng)時(shí)沒有給出證明.因

為用面面垂直的定義證明這個(gè)判定定理，要用兩個(gè)平面所成的二面角，有一定的

難度.現(xiàn)在我們有了空間向量這個(gè)工具，可以嘗試用平面的法向量來(lái)證明，完善

立體幾何中定理的學(xué)習(xí).

分析：要用向量法證明兩個(gè)平面是垂直的，就是要證明這兩個(gè)平面的法向量

是互相垂直的，設(shè)平面的法向量為n.根據(jù)已知條件l，所以l的方向向量

u就是平面的法向量.

要證明，就是要證明n⊥u，而直線l恰好是平面內(nèi)的一條直線，平

面的法向量?⊥為?n，根據(jù)法向量的定義，它垂直于平面內(nèi)任意一條直線的方向

向量，所以l的方向向量u與n垂直，

也就是說(shuō)，平面的法向量與平面的法向量垂直.

所以，這兩個(gè)平面垂直.

證明：取直線l的方向向量為u，平面的法向量為n.

因?yàn)閘，所以u(píng)是平面的法向量.

因?yàn)閘，而n是平面的法向量，所以u(píng)n.

即平面,的法向量互相垂直.

所以.

例題小結(jié)：在本例中，我們體會(huì)到了，要解決立體幾何中面面垂直問(wèn)題的時(shí)

候，可以轉(zhuǎn)化為證明這兩個(gè)平面的法向量的垂直關(guān)系，再將向量運(yùn)算的結(jié)果“翻

譯”為幾何結(jié)論.

用向量法證明兩個(gè)平面的垂直關(guān)系回避了找這兩個(gè)平面的二面角，利用向量

運(yùn)算容易判定向量的位置關(guān)系，從而確定兩個(gè)平面的位置關(guān)系.這也是用向量法

判定立體幾何問(wèn)題中圖形位置關(guān)系的通性通法.

當(dāng)題目中有明顯的線面垂直關(guān)系時(shí)，我們要利用好直線的方向向量作為平面

的法向量，引入的符號(hào)越少越好，解決問(wèn)題就越方便.當(dāng)沒有明顯的線面垂直關(guān)

系時(shí)，我們?cè)偃ピO(shè)這個(gè)平面的法向量.

下面我們?cè)賮?lái)看一個(gè)問(wèn)題.

例2：如圖，在平行六面體ABCD-A1B1C1D1中，AB=AD=AA1=1，

求證：直線⊥平面

A1ABA1ADBAD60.A1CBDD1B1.

分析：證明線面垂直，到目前為止，有兩種方法：一種是應(yīng)用上學(xué)期我們?cè)?/p>

必修里面學(xué)過(guò)的“線面垂直的判定定理”，即找到平面BDD1B1內(nèi)的兩條相交直線，

都是與A1C垂直的,即可得到結(jié)論.而這個(gè)垂直關(guān)系也可以轉(zhuǎn)化為兩個(gè)向量的數(shù)量

積為0來(lái)判斷.另一種方法就是我們今天學(xué)習(xí)的通過(guò)判斷直線的方向向量和平面

的法向量是平行的來(lái)證明.

第一種方法我們比較熟悉，留給大家課后作為練習(xí)，我們現(xiàn)在考慮用第二種

方法證明.

剛剛我們說(shuō)過(guò)，為了證明線面垂直，只需要證明直線的方向向量和平面的法

向量是平行的.或轉(zhuǎn)化為證明直線的方向向量就是平面的法向量.

由于本題的前提條件是在平行六面體中考慮問(wèn)題，沒有明顯的垂直關(guān)系，這

個(gè)時(shí)候我們就不能像上節(jié)課的例題一樣，通過(guò)建系，寫點(diǎn)的坐標(biāo)，表示向量的坐

標(biāo)，再通過(guò)向量運(yùn)算的的坐標(biāo)表示求解.

由于平行六面體中由一個(gè)頂點(diǎn)A出發(fā)的三條棱有相應(yīng)的長(zhǎng)度和夾角關(guān)系，所

以我們可以用作為這個(gè)空間的基底，用這三個(gè)基向量表示空間中

AB,AD,AA1

的任意一個(gè)向量，再對(duì)向量進(jìn)行運(yùn)算，看看能否解決問(wèn)題.

證明：為了敘述方便，設(shè)，

ABa,ADb,AA1c

由于a，b，c是不在同一平面內(nèi)的，則a,b,c為空間的一個(gè)基底，且

A1Cabc,BDba,BB1c.

因?yàn)?，?/p>

AB=AD=AA1=1A1ABA1ADBAD60

1

所以a2b2c21a2=b2=c2=1，abbcca.

2

在平面上，取向量，向量為基向量，

BDD1B1BD,BB1BDBB1

則對(duì)于平面BDD1B1上任意一點(diǎn)P，存在唯一的有序?qū)崝?shù)對(duì),，使得

BPBDBB1.

所以，

A1CBPA1CBDA1CBB1

abcbaabcc0.

所以是平面的法向量

A1CBDD1B1.

所以

A1C平面BDD1B1.

例題小結(jié)：前面我們講過(guò)，判斷直線與平面垂直，可以轉(zhuǎn)化為判斷直線的方

向向量與平面的法向量平行，或證明直線的方向向量就是平面的法向量，兩者是

一致的.此時(shí)，我們可以結(jié)合平面的向量表示和直線的方向向量與平面內(nèi)任意向

量的數(shù)量積為0，得到結(jié)論.

值得注意的是，我們是利用基向量進(jìn)行計(jì)算，而不是利用向量運(yùn)算的坐標(biāo)表

示進(jìn)行運(yùn)算，這種方法比坐標(biāo)法具有一般性.

當(dāng)問(wèn)題中沒有明顯的線線垂直關(guān)系時(shí)，即不具備建系的條件時(shí)，我們可以考

慮尋找一組適當(dāng)?shù)幕?，用基向量?lái)表示直線的方向向量和平面的法向量，再通

過(guò)向量的運(yùn)算解決問(wèn)題.

課堂小結(jié)：

問(wèn)題5：本節(jié)課我們主要學(xué)習(xí)了哪些知識(shí)內(nèi)容？

其中，分別是直線的方向向量；分別是平面的法向量.

結(jié)合上?節(jié),?課1,直?2線、平面的平?,?行1,?關(guān)2系：?1,?2α,β

我們完成了用向量表示直線、平面的位置關(guān)系的學(xué)習(xí).

問(wèn)題6：本節(jié)課的地位和作用是什么？通過(guò)本節(jié)課的學(xué)習(xí)，我們學(xué)會(huì)了用直

線的方向向量和平面的法向量表示直線和平面，進(jìn)行的向量運(yùn)算，由運(yùn)算結(jié)果研

究向量的位置關(guān)系，再將所得的結(jié)果“翻譯”為幾何體中線面的位置關(guān)系.后續(xù)

我們還會(huì)繼續(xù)研究如何用向量及其運(yùn)算刻畫空間中直線、平面的距離、夾角等度

量問(wèn)題.

課后作業(yè)