課程基本信息

課例編號(hào)2020QJ10SXRA011學(xué)科數(shù)學(xué)年級(jí)高一學(xué)期第一學(xué)期

課題基本不等式（2）

書名：普通高中教科書數(shù)學(xué)必修第一冊(cè)

教科書

出版社：人民教育出版社出版日期：2019年6月

教學(xué)人員

姓名單位

授課教師范立軍北京市第二十二中學(xué)

指導(dǎo)教師李穎東城區(qū)研修中心

教學(xué)目標(biāo)

教學(xué)目標(biāo)：1．使學(xué)生進(jìn)一步理解基本不等式，能用基本不等式解決簡(jiǎn)單的最值問題；

2．通過運(yùn)用基本不等式解決實(shí)際問題中的最值問題，使學(xué)生經(jīng)歷數(shù)學(xué)建模

的過程，并體會(huì)基本不等式在解決實(shí)際問題中的作用；

3．在運(yùn)用基本不等式解決實(shí)際問題的過程中，提高學(xué)生分析問題和解決問

題的能力，發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)建模素養(yǎng)．

教學(xué)重點(diǎn)：運(yùn)用基本不等式解決實(shí)際問題中最值問題的過程與步驟．

教學(xué)難點(diǎn)：如何運(yùn)用基本不等式解決實(shí)際問題中的最值問題．

教學(xué)過程

時(shí)間教學(xué)環(huán)節(jié)主要師生活動(dòng)

教師與學(xué)生共同回顧基本不等式的基本內(nèi)容，以及運(yùn)用基本不等式

研究最值問題的兩個(gè)重要模型，為本節(jié)課的進(jìn)一步學(xué)習(xí)做好鋪墊.

ab

1.基本不等式：如果a>0，b>0，那么ab，當(dāng)且僅當(dāng)a=b時(shí)，

2

等號(hào)成立．

42.已知x，y都是正數(shù)，

分復(fù)習(xí)引入（1）如果積xy等于定值P，那么當(dāng)x=y時(shí)，和x+y有最小值2P．

鐘S2

（2）如果和x+y等于定值S，那么當(dāng)x=y時(shí)，積xy有最大值．

4

教師追問：請(qǐng)同學(xué)們嘗試用自然語(yǔ)言，一句話表達(dá)出上述（1）和（2）

這兩個(gè)基本問題．

學(xué)生：當(dāng)兩個(gè)正數(shù)變量的積或和為定值時(shí)，它們的和有最小值或積有最

大值．

問題一

（1）用籬笆圍一個(gè)面積為100m2的矩形菜園，當(dāng)這個(gè)矩形的邊長(zhǎng)為多

少時(shí)，所用籬笆最短？最短籬笆的長(zhǎng)度是多少？

（2）用一段長(zhǎng)為36m的籬笆圍成一個(gè)矩形菜園，當(dāng)這個(gè)矩形的邊長(zhǎng)為

10多少時(shí)，菜園的面積最大？最大面積是多少？

分研究新知在此環(huán)節(jié)中，教師從以下兩個(gè)方面引導(dǎo)學(xué)生對(duì)問題進(jìn)行思考與分

鐘析：

①教師引導(dǎo)學(xué)生回顧根據(jù)數(shù)學(xué)建模思想研究實(shí)際問題的一般過程．

②通過審題，教師分別針對(duì)（1）和（2）兩個(gè)問題引導(dǎo)學(xué)生識(shí)別問

題中的數(shù)量關(guān)系，判斷是否符合利用基本不等式解決最值問題的兩個(gè)基

本模型的條件，即有兩個(gè)正數(shù)變量，且它們的積或和為定值．

教師與學(xué)生共同完成問題一的解答過程如下．

解：設(shè)矩形菜園的相鄰兩條邊的長(zhǎng)分別為xm，ym，則籬笆的長(zhǎng)度

為2(x+y)m.

（1）由已知，得xy=100，

教師追問：當(dāng)我們已知兩個(gè)正數(shù)的積為定值時(shí)，如何求它們的和的最小

值呢？

學(xué)生：運(yùn)用基本不等式.

xy

根據(jù)基本不等式xy，

2

可得xy2xy210020，

所以，2(x+y)≥40.

當(dāng)且僅當(dāng)==10時(shí)，上式等號(hào)成立.

因此，當(dāng)這個(gè)矩形菜園是邊長(zhǎng)為10m的正方形時(shí)，所用籬笆最短，

??

最短籬笆的長(zhǎng)度為40m.

（2）由已知，得2(+)=36，矩形菜園的面積為m2.

教師追問：當(dāng)我們已知兩個(gè)正數(shù)的和為定值時(shí)，如何求它們的積的最大

????

值呢？

學(xué)生：仍然是運(yùn)用基本不等式

xy18

根據(jù)基本不等式可得，xy9，

22

所以，xy≤81.

當(dāng)且僅當(dāng)x=y=9時(shí)，上式等號(hào)成立.

因此，當(dāng)這個(gè)矩形菜園是邊長(zhǎng)為9m的正方形時(shí)，菜園面積最大，

最大面積是81m2.

【設(shè)計(jì)意圖】通過對(duì)上述兩個(gè)問題的研究，使學(xué)生體會(huì)如何運(yùn)用基本不

等式模型來理解和識(shí)別實(shí)際問題，從而利用基本不等式解決實(shí)際問題.

特別地，在解決這兩個(gè)問題的過程中，分別有不同的側(cè)重點(diǎn)：對(duì)于問題

（1）重點(diǎn)分析變量的個(gè)數(shù)、已知條件、是否符合基本不等式的模型等

特征，以說明解決問題中每一步的必要性；對(duì)于問題（2）側(cè)重于運(yùn)用

基本不等式時(shí)判斷等號(hào)是否成立的必要性的再認(rèn)識(shí)，從而對(duì)實(shí)際問題的

結(jié)果的合理性作出解釋．

問題二

某工廠要建造一個(gè)長(zhǎng)方體形無蓋貯水池，其容積為4800m3，深為

3m.如果池底每平方米的造價(jià)為150元，池壁每平方米的造價(jià)為120元，

那么怎樣設(shè)計(jì)水池能使總造價(jià)最低？最低總造價(jià)是多少？

在此環(huán)節(jié)中，首先由學(xué)生獨(dú)立思考與分析，教師可建議學(xué)生畫出幾

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何示意圖進(jìn)行研究．

分思維提升

然后，教師與學(xué)生共同進(jìn)行分析，識(shí)別問題中的數(shù)量關(guān)系，結(jié)合已

鐘

知條件，引入適當(dāng)?shù)淖兞?；根?jù)題意可知，水池的總造價(jià)由池壁面積（也

就是長(zhǎng)方體的側(cè)面積）和池底面積（也就是長(zhǎng)方體的底面積）及相應(yīng)的

單價(jià)來確定的，從而可以將水池的總造價(jià)轉(zhuǎn)化為關(guān)于池底邊長(zhǎng)的解析

式，進(jìn)而可以考慮如何求出總造價(jià)的最小值．

教師與學(xué)生共同完成問題二的解答過程如下．

解：設(shè)貯水池池底的相鄰兩條邊的長(zhǎng)分別為xm，ym，水池的總

造價(jià)為z元.

根據(jù)題意，得z=150xy+120(2×3x+2×3y)

=150xy+720(x+y)

由容積為4800m3，可得3xy=4800，

因此xy=1600，

根據(jù)基本不等式可得，xy2xy，

根據(jù)不等式的基本性質(zhì)可得，720(x+y)≥720×2xy，

所以，240000+720(x+y)≥240000+720×2xy，

則z=240000+720(x+y)≥240000+720×2xy

=240000+720×21600

=297600.

當(dāng)且僅當(dāng)x=y=40時(shí)，上式等號(hào)成立.

所以，將貯水池的池底設(shè)計(jì)成邊長(zhǎng)為40m的正方形時(shí)總造價(jià)最低，

最低總造價(jià)是297600元.

教師追問：同學(xué)們，你能自己設(shè)計(jì)一個(gè)有關(guān)最值問題的實(shí)際問題嗎？并

解決它.你可以改變上述問題二中的某個(gè)條件或某些條件，或者另外設(shè)

計(jì)一個(gè)問題.

預(yù)案：①將問題二中的“容積為4800m3”改為“容積為6000m3”；

②將問題二中的“深為3m”改為“深為4m”；

③將問題二中的“池底每平方米的造價(jià)為150元”改為“池底每

平方米的造價(jià)為180元”；……

【設(shè)計(jì)意圖】通過對(duì)問題二中的實(shí)際問題的研究過程，使學(xué)生能夠根據(jù)

數(shù)學(xué)建模的數(shù)學(xué)思想，將實(shí)際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題，再利用基本不等式

模型進(jìn)行求解，最后將數(shù)學(xué)問題回歸到實(shí)際問題中，得出實(shí)際問題的設(shè)