課程基本信息

學(xué)第一學(xué)

課例編號(hào)2020QJ11SXRA033數(shù)學(xué)年級(jí)高二學(xué)期

科期

課題3.1橢圓及其標(biāo)準(zhǔn)方程（1）

書(shū)名：普通高中教科書(shū)數(shù)學(xué)選擇性必修第一冊(cè)（A版）

教科書(shū)

出版社：人民教育出版社出版日期：2020年5月

教學(xué)人員

姓名單位

授課教師許綺菲北京一七一中學(xué)教育集團(tuán)

指導(dǎo)教師雷曉莉北京市東城區(qū)教師研修中心

教學(xué)目標(biāo)

教學(xué)目標(biāo)：

1.能通過(guò)觀察平面截圓錐認(rèn)識(shí)到：當(dāng)平面與圓錐的軸所成的角不同時(shí)，可以分別得到

圓、橢圓、雙曲線和拋物線．能通過(guò)實(shí)例知道圓錐曲線在生產(chǎn)、生活中有廣泛的應(yīng)用．能通

過(guò)章引言初步認(rèn)識(shí)本章的學(xué)習(xí)內(nèi)容、學(xué)習(xí)方法與學(xué)習(xí)價(jià)值．

2.認(rèn)識(shí)形成能通過(guò)實(shí)際繪制橢圓的過(guò)程認(rèn)識(shí)橢圓上點(diǎn)的幾何特征，給出橢圓的定義，并

能用它解決簡(jiǎn)單的問(wèn)題，發(fā)展數(shù)學(xué)抽象素養(yǎng)．

3.能通過(guò)建立適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系，根據(jù)橢圓上的點(diǎn)滿足的幾何條件列出橢圓上的點(diǎn)的坐標(biāo)滿

足的方程，化簡(jiǎn)所列出的方程，得到橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，發(fā)展直觀想象、數(shù)學(xué)運(yùn)算素養(yǎng)．

重點(diǎn)：橢圓的幾何特征，橢圓的定義及橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程．

難點(diǎn)：橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程的推導(dǎo)．

教學(xué)過(guò)程

時(shí)教學(xué)

主要師生活動(dòng)

間環(huán)節(jié)

４引導(dǎo)語(yǔ)：前面我們用坐標(biāo)法研究了直線、圓及它們的位置關(guān)系，生產(chǎn)、

分立足生活中還有一些非常有用、有趣、我們還不大熟悉的曲線需要研究．

鐘全章，

問(wèn)題1：如圖1，用一個(gè)垂直于圓錐的軸的平面

建構(gòu)

截圓錐，截口曲線（截面與圓錐側(cè)面的交線）是一

“先個(gè)圓.如果改變截面與圓錐的軸所成的角，會(huì)得到

行組怎樣的截口曲線呢？

織師生活動(dòng)：教師通過(guò)信息技術(shù)演示，引導(dǎo)學(xué)生

認(rèn)識(shí)截面與圓錐的軸所成的角不同時(shí)得到的不同的

者”

截口曲線，并指出它們分別是橢圓、雙曲線、拋物

圖1

線（圖1）．教師介紹圓錐曲線的研究歷史，指出圓

錐曲線在生產(chǎn)、生活中的應(yīng)用，并指出圓錐曲線有如此廣泛的應(yīng)用與它們的

幾何特征和幾何性質(zhì)有關(guān)，而這些幾何特征和幾何性質(zhì)都是本章要研究的內(nèi)

容．

設(shè)計(jì)意圖：?jiǎn)栴}1重在引發(fā)學(xué)生思考，并不要求學(xué)生解決．這個(gè)環(huán)節(jié)的

教學(xué)目的是明確本章內(nèi)容的意義與價(jià)值，促進(jìn)學(xué)生形成積極探究的心理傾

向．

問(wèn)題2：歷史上，古希臘人曾經(jīng)用純幾何的方法研究圓錐曲線，但17世

紀(jì)后，人們開(kāi)始用坐標(biāo)法研究圓錐曲線．你能猜測(cè)這些變化的大致原因嗎？

如果本章我們用坐標(biāo)法來(lái)研究圓錐曲線，大家能在回顧用坐標(biāo)法研究直線與

圓的基礎(chǔ)上，猜想研究的大致思路與構(gòu)架嗎？

師生活動(dòng)：在學(xué)生回顧、討論的基礎(chǔ)上，明確采用坐標(biāo)法研究圓錐曲線

的最大好處是可以程序化地、精確地計(jì)算．本章研究的基本思路：現(xiàn)實(shí)背景

—曲線的概念—曲線的方程—曲線的性質(zhì)—實(shí)際應(yīng)用．其中，現(xiàn)實(shí)背景揭示

了研究的必要性，曲線的概念是建立曲線的方程的依據(jù)，曲線的方程是研究

曲線的性質(zhì)的工具，曲線的概念、曲線的方程、曲線的性質(zhì)共同為曲線的實(shí)

際應(yīng)用奠定基礎(chǔ)．

設(shè)計(jì)意圖：讓學(xué)生從整體上把握本章的學(xué)習(xí)內(nèi)容與基本框架，為后續(xù)學(xué)

習(xí)提供先行組織者，同時(shí)深化為學(xué)生對(duì)坐標(biāo)法研究問(wèn)題的基本思路與基本方

法的理解．

問(wèn)題3：在平面內(nèi)到定點(diǎn)距離等于定長(zhǎng)的點(diǎn)的集合為圓，我們?nèi)∫粭l定

長(zhǎng)的細(xì)繩，把它的兩端都固定在圖板的同一點(diǎn)，套

上鉛筆，拉緊繩子，移動(dòng)筆尖，這時(shí)筆尖（動(dòng)點(diǎn)）

畫(huà)出的軌跡是一個(gè)圓．如果把細(xì)繩的兩端拉開(kāi)一段

距離，分別固定在圖板的兩點(diǎn)F1，F(xiàn)2（圖2），套

上鉛筆，拉緊繩子，移動(dòng)筆尖，畫(huà)出的軌跡是什么

６圖2

曲線？

分

追問(wèn)1：在這一過(guò)程中，移動(dòng)的筆尖（動(dòng)點(diǎn)）滿足的幾何條件是什么？

鐘歸納

抽象，追問(wèn)2：當(dāng)動(dòng)點(diǎn)到兩定點(diǎn)間距離和與兩定點(diǎn)間距離的大小關(guān)系發(fā)

建構(gòu)

生變化時(shí)動(dòng)點(diǎn)的軌跡會(huì)發(fā)生什么變化？

橢圓

的概追問(wèn)3：當(dāng)動(dòng)點(diǎn)到兩定點(diǎn)間距離和等于兩定點(diǎn)間的距離時(shí)動(dòng)點(diǎn)的軌跡是

念什么？

追問(wèn)4：動(dòng)點(diǎn)到兩定點(diǎn)間距離和能小于兩定點(diǎn)間的距離嗎？

師生活動(dòng)：教師利用Ggb軟件模擬演示橢圓繪制過(guò)程，呈現(xiàn)所畫(huà)的曲線

具有共同的特點(diǎn)，然后用數(shù)學(xué)語(yǔ)言刻畫(huà)這些曲線上點(diǎn)的幾何特征．

設(shè)計(jì)意圖：由實(shí)際操作，強(qiáng)化學(xué)生對(duì)橢圓的幾何特征的認(rèn)識(shí).在探討定

點(diǎn)間距離與動(dòng)點(diǎn)到兩定點(diǎn)間距離和的大小關(guān)系發(fā)生變化（量變）時(shí)動(dòng)點(diǎn)的軌

跡相應(yīng)發(fā)生的變化（質(zhì)變）的過(guò)程中再一次滲透辯證唯物主義思想。

問(wèn)題4：你能用精確的數(shù)學(xué)語(yǔ)言刻畫(huà)橢圓嗎？

追問(wèn)：橢圓定義中我們應(yīng)該特別關(guān)注那些要素?

師生活動(dòng)：嘗試用精確的數(shù)學(xué)語(yǔ)言給出橢圓的定義．在此基礎(chǔ)上，教師

關(guān)注學(xué)生對(duì)定義中相關(guān)用語(yǔ)及符號(hào)表示：“平面內(nèi)”“定點(diǎn)”“距離之和”“常

數(shù)”“常數(shù)大于兩定點(diǎn)間的距離”“點(diǎn)的軌跡”的使用是否準(zhǔn)確．

設(shè)計(jì)意圖：通過(guò)強(qiáng)化橢圓的概念的抽象與建立過(guò)程，增強(qiáng)學(xué)生思維的嚴(yán)

謹(jǐn)性與語(yǔ)言表達(dá)能力．

問(wèn)題5：遵循解析幾何研究幾何圖形的基本思路，在了解橢圓的概念后，

我們下一步應(yīng)該研究什么？

追問(wèn)1：利用坐標(biāo)法求曲線方程的步驟是什么？

１

師生活動(dòng)：呈現(xiàn)解析幾何研究問(wèn)題的基本思路，明確建立橢圓的方程的

０

大致步驟：根據(jù)橢圓的幾何特征建立適當(dāng)?shù)闹苯亲鴺?biāo)系—明確橢圓上的點(diǎn)滿

分

足的幾何條件—將幾何條件轉(zhuǎn)化為代數(shù)表示列出方程—化簡(jiǎn)方程—檢驗(yàn)方

鐘

建系程．

推導(dǎo)，追問(wèn)2：橢圓是否具有某種對(duì)稱性？你能猜測(cè)出橢圓的對(duì)稱軸嗎？

建立追問(wèn)3：請(qǐng)大家類比圓的方程猜測(cè)橢圓的方程形式？

橢圓利用坐標(biāo)法求曲線方程首先要選取恰當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系，坐標(biāo)系選取的不同方

的標(biāo)程的形式也會(huì)產(chǎn)生差異，也就是說(shuō)選取恰當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系會(huì)給我們的化簡(jiǎn)過(guò)程帶

來(lái)便捷。

準(zhǔn)方

追問(wèn)4：如何選取坐標(biāo)系可能使所得的橢圓方程形式簡(jiǎn)單？

程

師生活動(dòng)：討論、明確如何建立適當(dāng)?shù)闹苯亲鴺?biāo)系．觀察橢圓發(fā)現(xiàn)：它

具有對(duì)稱性，并且過(guò)兩個(gè)焦點(diǎn)的直線是它的對(duì)稱軸．受圓心在原點(diǎn)時(shí)圓的標(biāo)

準(zhǔn)方程最簡(jiǎn)單啟發(fā)，以經(jīng)過(guò)橢圓兩焦點(diǎn)F1，F(xiàn)2的直線為x軸，線段F1F2的

垂直平分線為y軸，建立直角坐標(biāo)系Oxy．

建立適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系，用有序數(shù)對(duì)(x,y)表示曲線上任意一點(diǎn)M的坐

標(biāo)是用坐標(biāo)法研究問(wèn)題的前提與基礎(chǔ)；分析點(diǎn)在曲線上的條件（記為P），

寫(xiě)出適合條件P的點(diǎn)M的集合P{MP(M)}是建立曲線的方程的依據(jù)；

用坐標(biāo)表示條件P(M)，列出方程f(x,y)0這是建立曲線的方程的關(guān)鍵；

化方程f(x,y)0為最簡(jiǎn)形式，以化簡(jiǎn)后的方程的解為坐標(biāo)的點(diǎn)都在曲線

上，反之也對(duì)，這是保證方程與曲線等價(jià)性的需要．

問(wèn)題6：如何用坐標(biāo)表示橢圓上點(diǎn)的所滿足的條件？

根據(jù)橢圓定義得到(xc)2y2(xc)2y22a

追問(wèn)1：進(jìn)行化簡(jiǎn)的目標(biāo)是什么？通過(guò)什么手段達(dá)到這一目的？

追問(wèn)2：把兩個(gè)根式分別于等號(hào)兩側(cè)再進(jìn)行平方運(yùn)算比兩個(gè)根式

置于等號(hào)同側(cè)即平方運(yùn)算有哪些優(yōu)勢(shì)？

問(wèn)題7：我們化簡(jiǎn)得到方程(a2c2)x2a2y2a2(a2c2)*從

簡(jiǎn)化、美化的角度出發(fā)希望繼續(xù)優(yōu)化方程，如果令b2a2c2，*式變形為

b2x2a2y2a2b2；觀察這一方程的特點(diǎn)，如何對(duì)這一等式進(jìn)一步變形？

x2y2

通過(guò)同除a2b2得到1(ab0)．

a2b2

x2y2

以上方程的變形是同解變形，方程1與所給橢圓是等價(jià)的，

a2b2

稱為橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程．方程所蘊(yùn)含了簡(jiǎn)潔美、對(duì)稱性、和諧美，“數(shù)”與“形”

內(nèi)在的一致性．

追問(wèn)1：推導(dǎo)出的橢圓方程的形式與猜想的形式是否一致？橢圓方程

中的b有什么幾何意義？

追問(wèn)2：我們從尋找a2c2的幾何意義入手明晰了b的幾何意

義，在利用繩子繪制橢圓的過(guò)程中，如何使你畫(huà)出的橢圓變得“癟”一些？

追問(wèn)3：為什么要用2a,2c而不是a,c表示橢圓的定長(zhǎng)與焦距？

設(shè)計(jì)意圖：（1）明確求曲線的方程的大致步驟，避免推導(dǎo)過(guò)程中思維

的盲目性；（2）明確如何建立適當(dāng)?shù)闹苯亲鴺?biāo)系，引導(dǎo)學(xué)生學(xué)會(huì)建立恰當(dāng)?shù)?/p>

直角坐標(biāo)系；（3）以橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程的推導(dǎo)為載體，引導(dǎo)學(xué)生掌握推導(dǎo)圓錐

曲線的方程的一般思路與方法；（4）以橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程概念為載體，深化學(xué)

生對(duì)曲線與方程的關(guān)系的理解．

例1已知橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)坐標(biāo)分別是（－2，0），（2，0），并且經(jīng)

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過(guò)點(diǎn)(，－)，求它的標(biāo)準(zhǔn)方程．

22

x2y2

解：由于橢圓的焦點(diǎn)在x軸上，所以設(shè)它的標(biāo)準(zhǔn)方程為1（a

a2b2

＞b＞0）.

由橢圓的定義知c＝2，

2222

5353

2a22

2222

210

所以a＝10．

所以b2＝a2－c2＝10－4＝6.

所以，所求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為

x2y2

1.

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請(qǐng)同學(xué)們課后思考還能用其他方法求它的標(biāo)準(zhǔn)方程嗎？試比較不同方

法的特點(diǎn)．

本章研究的基本思路：現(xiàn)實(shí)背景—曲線的概念—曲線的方程—曲線的性

質(zhì)—實(shí)際應(yīng)用．曲線的概念是建立曲線的方程的依據(jù)，曲線的方程是研究曲

線的性質(zhì)的工具，曲線的概念、曲線的方