第九章統(tǒng)計案例

9.1.2分層隨機(jī)抽樣

一、教學(xué)目標(biāo)

1.理解分層抽樣的概念與特征，鞏固簡單隨機(jī)抽樣、系統(tǒng)抽樣兩種抽樣方法；

2.掌握簡單隨機(jī)抽樣與分層抽樣的區(qū)別與聯(lián)系;

3.通過對分層隨機(jī)抽樣的學(xué)習(xí)，培養(yǎng)學(xué)生數(shù)據(jù)分析、數(shù)學(xué)運(yùn)算、數(shù)學(xué)建模等數(shù)學(xué)素養(yǎng).

二、教學(xué)重難點(diǎn)

1.正確理解分層抽樣的定義，靈活應(yīng)用分層抽樣抽取樣本;

2.恰當(dāng)?shù)倪x擇兩種抽樣方法解決現(xiàn)實(shí)生活中的抽樣問題.

三、教學(xué)過程：

（1）創(chuàng)設(shè)情景

某校高一、高二和高三年級分別有學(xué)生1000,800,700名，為了了解全校學(xué)生的視力情

況，從中抽取容量為100的樣本，怎樣抽取較為合理？

（2）新知探究

問題1:能否用簡單隨機(jī)抽樣或系統(tǒng)抽樣進(jìn)行抽樣，為什么？

學(xué)生回答，教師點(diǎn)撥

指出由于不同年級的學(xué)生視力狀況有一定的差異，用簡單隨機(jī)抽樣或系統(tǒng)抽樣進(jìn)行抽樣

不能準(zhǔn)確反映客觀實(shí)際，在抽樣時不僅要使每個個體被抽到的機(jī)會相等，還要注意總體中個

體的層次性。

問題2:你認(rèn)為哪些因素影響學(xué)生視力？抽樣要考慮哪些因素？

學(xué)生回答，教師點(diǎn)撥(提出本節(jié)課所學(xué)內(nèi)容:分層抽樣)

（3）新知建構(gòu)

分層抽樣的定義:當(dāng)已知總體由差異明顯的幾部分組成時，為了使樣本更客觀地反映總體的

情況，常將總體按不同的特點(diǎn)分成層次比較分明的幾部分，然后按各部分在總體中所占的

比進(jìn)行抽樣，這種抽樣叫做分層抽樣，其中所分成的各部分叫“層”．

說明：

①分層抽樣時，由于各部分抽取的個體數(shù)與這一部分個體數(shù)的比等于樣本容量與總體的個體

數(shù)的比，每一個個體被抽到的可能性都是相等的；

②由于分層抽樣充分利用了我們所掌握的信息，使樣本具有較好的代表性，而且在各層抽樣

時可以根據(jù)具體情況采取不同的抽樣方法，所以分層抽樣在實(shí)踐中有著非常廣泛的應(yīng)用．

分層抽樣的步驟：

（1）分層：將總體按某種特征分成若干部分。

（2）確定比例：計算各層的個體數(shù)與總體的個體數(shù)的比。

（3）確定各層應(yīng)抽取的樣本容量。

（4）在每一層進(jìn)行抽樣（各層分別按簡單隨機(jī)抽樣或系統(tǒng)抽樣的方法抽取），綜合每層抽

樣，組成樣本。

注：在抽樣中，如果每次抽出個體后不再將它放回總體，稱這樣的抽樣為不放回抽樣；如果

每次抽出個體后再將它放回總體，稱這樣的抽樣為放回抽樣．實(shí)際抽樣多采用不放回抽

樣，我們介紹的兩種抽樣都是不放回抽樣，而放回抽樣則在理論研究中用得較多．

兩種抽樣方法的特點(diǎn)及其適用范圍如下表：

共同

類別各自特點(diǎn)相互聯(lián)系適用范圍

點(diǎn)

抽樣總體中的

簡單隨機(jī)從總體中逐個

過程個體數(shù)較

抽樣抽取

中每少

個個

體被

各層抽樣總體由差

抽取將總體分成幾

時采用簡異明顯的

分層抽樣的概層，分層進(jìn)行抽

單隨機(jī)抽幾部分組

率是取

樣或系統(tǒng)成

相同

的

（4）數(shù)學(xué)運(yùn)用

例1.現(xiàn)要完成下列兩項抽樣調(diào)查：①從20罐奶粉中抽取4罐進(jìn)行食品安全衛(wèi)生檢查；②從

某社區(qū)100戶高收入家庭，270戶中等收入家庭，80戶低收入家庭中選出45戶進(jìn)行消費(fèi)水

平調(diào)查.較為合理的抽樣方法是（）

A．①簡單隨機(jī)抽樣，②簡單隨機(jī)抽樣B．①分層隨機(jī)抽樣，②分層隨機(jī)抽樣

C．①分層隨機(jī)抽樣，②簡單隨機(jī)抽樣D．①簡單隨機(jī)抽樣，②分層隨機(jī)抽樣

【答案】D

【解析】①中個體數(shù)量較少，且個體間無明顯差異，故采用簡單隨機(jī)抽樣；

②中高收入家庭、中等收入家庭和低收入家庭的消費(fèi)水平差異明顯，故采用分層隨機(jī)抽樣.

故選：D.

變式訓(xùn)練1:分層隨機(jī)抽樣又稱類型抽樣，即將相似的個體歸入一類（層），然后每類抽取若

干個個體構(gòu)成樣本，所以分層隨機(jī)抽樣為保證每個個體等可能抽樣，必須進(jìn)行（）

A．每層等可能抽樣B．每層可以不等可能抽樣

C．所有層按同一抽樣比等可能抽樣D．所有層抽取的個體數(shù)量相同

【答案】C

【解析】保證每個個體等可能入樣是三種基本抽樣方式的共同特征，為了保證這一點(diǎn)，分層

隨機(jī)抽樣時必須在所有層都按同一抽樣比等可能抽取.故選：C

變式訓(xùn)練2:(多選)從某地區(qū)中小學(xué)生中抽取部分學(xué)生，進(jìn)行肺活量調(diào)查.經(jīng)了解，該地區(qū)小

學(xué)、初中、高中三個學(xué)段學(xué)生的肺活量有較大差異，而同一學(xué)段男女生的肺活量差異不大.

在下面的抽樣方法中，不合理的抽樣方法是（）

A．抽簽法B．按性別分層隨機(jī)抽樣C．按學(xué)段分層隨機(jī)抽樣D．隨機(jī)數(shù)法

【答案】ABD

【解析】小學(xué)、初中、高中三個學(xué)段學(xué)生的肺活量有較大差異學(xué)段對統(tǒng)計結(jié)果影

響較大

同一學(xué)段男女生肺活量差異不大性別對統(tǒng)計結(jié)果無明顯影響

最合理的抽樣方法是按學(xué)段分層隨機(jī)抽樣故選：ABD

例2.某防疫站對學(xué)生進(jìn)行身體健康調(diào)查，欲采用分層抽樣的方法抽取樣本．某中學(xué)共有學(xué)

生2000名，抽取了一個容量為200的樣本，已知樣本中女生比男生少6人，則求該校共有

女生人數(shù)．

【答案】970

【解析】樣本容量為200，女生比男生少6人，

樣本中女生數(shù)為97人，

又分層抽樣的抽取比例為，

總體中女生數(shù)為970人．

變式訓(xùn)練:為了解某高中學(xué)生的身高情況，現(xiàn)采用分層抽樣的方法從三個年級中抽取一個容

量為100的樣本，其中高一年級抽取24人，高二年級抽取26人．若高三年級共有學(xué)生600

人，則該校學(xué)生總?cè)藬?shù)為（）

A.900B.1200C.1500D.1800

【答案】B

【解析】由題意知，高三年級抽取了：100262450人，

50

高三年級抽取的人數(shù)占總抽取人數(shù)的比例數(shù)為：0.5

100

600

所以該校學(xué)生總?cè)藬?shù)為：1200人，故選：B.

0.5

例3:某高中在校學(xué)生2000人.為了響應(yīng)“陽光體育運(yùn)動”號召，學(xué)校舉行了跑步和登山比

賽活動.每人都參加而且只參與了其中一項比賽，各年級參與比賽人數(shù)情況如表：

高一年級高二年級高三年級

跑步abc

登山xyz

3

其中a：b：c2：3：5，全校參與登山的人數(shù)占總?cè)藬?shù)的，為了了解學(xué)生對本次活動的

5

滿意程度，現(xiàn)用分層抽樣方式從中抽取一個100個人的樣本進(jìn)行調(diào)查，則求高二年級參與跑

步的學(xué)生中應(yīng)抽取的人數(shù)

【答案】12

2

【解析】根據(jù)題意可知樣本中參與跑步的人數(shù)為10040人，所以高二年級參與跑步的

5

3

學(xué)生中應(yīng)抽取的人數(shù)