第八章立體幾何初步

8.5.3平面與平面平行（第2課時）

一、教學(xué)目標(biāo)

1.理解平面和平面平行的性質(zhì)定理；

2.能運用平面和平面平行的性質(zhì)定理進(jìn)行簡單應(yīng)用；

3.通過對平面與平面平行性質(zhì)定理的學(xué)習(xí)，培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)抽象、邏輯推理、直觀想象等數(shù)學(xué)

素養(yǎng).

二、教學(xué)重難點

1.掌握平面和平面平行的性質(zhì)定理；

2.平面和平面平行的性質(zhì)定理的應(yīng)用

三、教學(xué)過程：

（1）創(chuàng)設(shè)情景

請大家觀察教室,天花板與地面被墻面截得兩條直線平行嗎？

（2）新知探究

問題1:如果兩個平面平行，那么其中一個平面內(nèi)的任意一條直線平行于另一個平面嗎？

學(xué)生回答（平行），教師點撥

問題2:如果兩個平面平行，那么分別在兩個平面的直線是什么位置關(guān)系？

學(xué)生回答（平行或者異面，教師點撥

問題3:如果兩個平行平面同時和第三個平面相交，那么它們的交線平行嗎？

學(xué)生回答（平行），教師點撥(提出本節(jié)課所學(xué)內(nèi)容平面與平面平行性質(zhì)定理)

問題3:平行于同一個平面的兩個平面什么關(guān)系?

學(xué)生回答（平行），教師點撥

（3）新知建構(gòu)

平面和平面平行的性質(zhì)定理：如果兩個平行平面同時和第三個平面相交，那么它們的交線平

行．

符號語言：已知：∥,a,b；

則a∥b．

圖形語言：

（4）數(shù)學(xué)運用

例1.如圖,//,//,且∈,∈,∈,∈.求證：=.

??????????????????

【答案】證明見解析

【解析】因為//，

所以過，?可?作??平面，

且平面?與?平?面?和分別?相交于和.

因為//?，所以?/?/.????

因此四?邊?形??是平??行四邊形.

所以=????

????

變式訓(xùn)練1:如圖，在三棱柱ABCA1B1C1中，E，F(xiàn)，G分別為B1C1，A1B1，AB的中點．

若平面A1C1GBCH，求證：H為BC的中點．

【答案】答案見解析

【解析】

如圖，E，F(xiàn)分別為B1C1，A1B1的中點，EF//A1C1，

A1C1平面A1C1G，EF平面A1C1G，EF//平面A1C1G，

又F，G分別為A1B1，AB的中點，A1FBG，

又A1F//BG，四邊形A1GBF為平行四邊形，則BF//A1G，

A1G平面A1C1G，BF平面A1C1G，BF//平面A1C1G，

又EFBFF，

平面A1C1G//平面BEF；

2平面ABC//平面A1B1C1，平面A1C1G平面A1B1C1A1C1，

平面A1C1G與平面ABC有公共點G，則有經(jīng)過G的直線，設(shè)交BCH，

則A1C1//GH，得GH//AC，

G為AB的中點，H為BC的中點．

例2.如圖,在正方體ABCD-ABCD中,O為底面ABCD的中心,P是DD的中點,設(shè)Q是CC

111111

上的點,問:當(dāng)點Q在什么位置時,平面DBQ與平面PAO平行?

1

【答案】證明見解析

【解析】如圖,設(shè)平面DBQ∩平面ADDA=DM,點M在AA上,平面DBQ∩平面BCCB=BQ,

11111111

平面ADDA∥平面BCCB,由面面平行的性質(zhì)定理可得BQ∥DM.

11111

假設(shè)平面DBQ∥平面PAO,由平面DBQ∩平面ADDA=DM,平面PAO∩平面ADDA=AP,

1111111

可得AP∥DM,所以BQ∥DM∥AP.因為P為DD的中點,

111

所以M為AA的中點,Q為CC的中點,

11

故當(dāng)Q為CC的中點時,平面DBQ∥平面PAO.

11

變式訓(xùn)練:如圖所示,P是三角形ABC所在平面外點,平面//平面ABC,分別交線段

AB

PA,PB,PC于點A,B,C,若PA:AA2:3,則_______,VABC與ABC

AB

面積的比為_______．

2424

【答案】;;

525525

【解析】∵平面//平面ABC,平面PAB平面AB,平面PAB平面ABCAB,

由面面平行得性質(zhì)定理可得AB//AB.又

PA:AA2:3,AB:ABPA:PA2:5.同

理,BC:BCAC:AC2:5,ABC與ABC相似,SABC:SABC4:25.

2424

故答案為：;;

525525

例3:如圖,四棱柱ABCD-A1B1C1D1中,ABCD為平行四邊形,E,F分別在線段DB,DD1上,且

DE1CG

,G在CC1上且平面AEF∥平面BD1G,則_________

EB2CC1

1

【答案】

3

【解析】∵平面AEF∥平面BD1G,且平面AEF∩平面BB1D1D=EF,平面BD1G∩平面BB1D1D=BD1,

DFDE1

∴EF∥BD1,∴

FD1EB2

易得平面ADD1A1∥平面BCC1B1,又BG?平面BCC1B1,∴BG∥平面ADD1A1,

又∵平面AEF∥平面BD1G,BG?平面BD1G,∴BG∥平面AEF,

∵平面AEF∩平面ADD1A1=AF,

∴BG∥AF,∴BG、AF可確定平面ABGF,

又知平面ABB1A1∥平面CDD1C1,

平面ABGF∩平面ABB1A1=AB,平面ABGF∩平面CDD1C1=FG,

∴AB∥FG,∴CD∥FG.

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