第六章平面向量及其應(yīng)用

6.4.3第3課時(shí)余弦定理、正弦定理應(yīng)用舉例

一、教學(xué)目標(biāo)

1.了解實(shí)際問題中常用的測量相關(guān)術(shù)語，能夠運(yùn)用余弦定理、正弦定理等知識和方法解決一

些有關(guān)測量距離、高度、角度的實(shí)際問題；

2.通過對余弦定理、正弦定理應(yīng)用的學(xué)習(xí)，培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)抽象、數(shù)學(xué)運(yùn)算、數(shù)學(xué)建模等數(shù)學(xué)

素養(yǎng)。

二、教學(xué)重難點(diǎn)

1.由實(shí)際問題中抽象出一個(gè)或幾個(gè)三角形，然后逐個(gè)解決三角形，得到實(shí)際問題的解；

2.由實(shí)際問題建立數(shù)學(xué)模型，畫出示意圖。

三、教學(xué)過程：

1、創(chuàng)設(shè)情境：

如圖所示，A，B兩點(diǎn)都在河的對岸（不可到達(dá)），設(shè)計(jì)一種測量A，B兩點(diǎn)間的距離的

方法.并求出A，B間的距離。

教師提出本節(jié)課解決的問題---------應(yīng)用余弦定理、正弦定理解決實(shí)際問題

探究1：你能把它轉(zhuǎn)化成數(shù)學(xué)問題，寫出已知量和要求的量嗎？

測量者可以在河岸邊選定兩點(diǎn)C，D，測得CD=a，并且在C，D兩點(diǎn)分別測得∠BCA=α，

∠ACD=β，∠CDB=γ，∠BDA=δ，

問題1：如何求AB間的距離？

學(xué)生小組活動(dòng)探究

二.建構(gòu)數(shù)學(xué)

1．（1）基線的概念

在測量中，根據(jù)測量需要適當(dāng)確定的線段叫做基線

（2）選擇原則

在測量過程中，應(yīng)根據(jù)實(shí)際需要選取合適的基線長度，使測量具有較高的精確度．一般

來說，基線越長，測量的精確度越高．

2．測量中的有關(guān)角的概念

(1)仰角和俯角

如下圖所示，與目標(biāo)視線在同一鉛垂平面內(nèi)的水平視線和目標(biāo)視線的夾角，目標(biāo)視線在

水平視線上方時(shí)叫仰角，目標(biāo)視線在水平視線下方時(shí)叫俯角。

(2)方向角

如下圖所示，從指定方向線到目標(biāo)方向線所成的水平角．如南偏西60°，即以正南方向

為始邊，順時(shí)針方向向西旋轉(zhuǎn)60°.

三.數(shù)學(xué)應(yīng)用

例1完成探究1

解：在ADC和BDC中，應(yīng)用正弦定理得

△△

于是，在ABC中，應(yīng)用余弦定理可得A，B兩點(diǎn)間的距離

△

變式訓(xùn)練：1.如圖，設(shè)A，B兩點(diǎn)在河的兩岸，在A所在河岸邊選一定點(diǎn)C，測量AC的距

離為502m，ACB300，CAB1050，則A，B兩點(diǎn)間的距離是m．

解：ACB30，CAB105，ABC45，

ABAC

在三角形ABC中，由正弦定理，得，

sinACBsinABC

1

502

ACsinACB502sin30

AB250，

sinABCsin452

2

A、B兩點(diǎn)的距離為50m，

2.如圖，地面四個(gè)5G中繼站A、B、C、D，已知CD62km，ADBCDB30，

DCA45，ACB60，則A、B兩個(gè)中繼站的距離是（）

A．43kmB．210kmC．10kmD．62km

【答案】C

【解析】由題意可得DAC75，DBC45，

3

62

在ADC中，由正弦定理得CDsinADC，

AC223

sinDACsin75

1

62

CDsinBDC2

在BDC中，由正弦定理得BC31，

sinDBC2

2

在△ACB中，由余弦定理得AB2AC2BC22ACBCcosACB

221

2331223311

2，所以AB10km.

例2圖，在A點(diǎn)和B點(diǎn)測得淮安電視塔塔頂P的仰角分別為45和60（點(diǎn)A、B與塔底O

在同一直線上）又測得AB135米，根據(jù)所測數(shù)據(jù)可求淮安電視塔PO的高度.

解:ACB30，CAB105，ABC45，

ABAC

在三角形ABC中，由正弦定理，得，

sinACBsinABC

1

502

ACsinACB502sin30

AB250，

sinABCsin452

2

A、B兩點(diǎn)的距離為50m，

答：淮安電視塔PO的高度50m．

變式訓(xùn)練：如圖所示，要測量底部不能到達(dá)的電視塔AB的高度，在C點(diǎn)測得塔頂A的仰角

是45°，在D點(diǎn)測得塔頂A的仰角是30°，并測得水平面上的∠BCD＝120°，CD＝40m，求

電視塔的高度．

解：設(shè)電視塔AB的高為x，

則在RtABC中，

由∠AC△B＝45°，得BC＝x.

在RtADB中，∠ADB＝30°，∴BD＝3x.

在B△DC中，由余弦定理，得

BD△2＝BC2＋CD2－2BC×CDcos120°，

即(3x)2＝x2＋402－2·x·40·cos120°，

解得x＝40，

答：電視塔的高為40m.

例3.如圖，A、B是海面上位于東西方向相距533海里的兩個(gè)觀測點(diǎn)，現(xiàn)位于A點(diǎn)北偏

東45°，B點(diǎn)北偏西60°的D點(diǎn)有一艘輪船發(fā)出求救信號，位于B點(diǎn)南偏西60°且與B點(diǎn)

相距203海里的C點(diǎn)的救援船立即前往營救，其航行速度為30海里/小時(shí)，試求：

則求救援船到達(dá)D點(diǎn)所需要的時(shí)間．

【答案】1小時(shí).

【解析】由題意可知：在△ADB中，DAB45，DBA30，則ADB105，

ABDB533DB

由正弦定理得：，

sinADBsinDABsin105sin45

62

由sin105sin4560sin45cos60cos45sin60，

4

代入上式得：DB103，輪船D與觀測點(diǎn)B的距離為103海里.

在△BCD中，BC203，DB103，CBD60，

由余弦定理得：CD2BC2BD22BCBDcos60

221

2031032203103302，

2

s30

CD30，t1，

v30

即該救援船到達(dá)D點(diǎn)所需的時(shí)間1小時(shí).

故答案為:1小時(shí).

變式訓(xùn)練：如圖所示，甲船以每小時(shí)302海里的速度向正北方向航行，乙船按固定方向勻

速直線航行．當(dāng)甲船位于A1處時(shí)，乙船位于甲船的南偏西75°方向的B1處，此時(shí)兩船相距

20海里．當(dāng)甲船航行20分鐘到達(dá)A2處時(shí)，乙船航行到甲船的南偏西60°方向的B2處，此

時(shí)兩船相距102海里．乙船每小時(shí)航行_____________海里

【答案】302

20

【解析】連接A1B2，由題意知，A1B1＝20，A2B2＝102，A1A2＝×302＝102(海里)．又

60

∵∠B2A2A1＝180°－120°＝60°，∴△A1A2B2是等邊三角形，

∠B1A1B2＝105°－60°＝45°.

22222

在△A1B2B1中，由余弦定理得B1B2＝A1B1＋A1B2－2A1B1·A1B2cos45°＝20＋(102)－

2

2×20×102×＝200，∴B1B2＝102(海里)．

2

102

因此乙船的速度大小為×60＝302(海里/小時(shí))．