第六章平面向量及其應(yīng)用

6.2.1向量的加法

一、教學(xué)目標(biāo)

1．理解向量加法的概念及向量加法的幾何意義；

2．熟練掌握向量加法的三角形法則和平行四邊形法則，會(huì)作已知兩向量的和向量；

3．理解向量加法運(yùn)算律，并能熟練地運(yùn)用它們進(jìn)行向量計(jì)算。

4.通過對(duì)向量加法的學(xué)習(xí)，培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)抽象、邏輯推理、直觀想象等數(shù)學(xué)素養(yǎng)。

二、教學(xué)重難點(diǎn)

1．兩個(gè)向量的和的概念及其幾何意義；

2．向量加法的運(yùn)算律。

三、教學(xué)過程：

1、情景引入

在大型生產(chǎn)車間里，一重物被天車從A處搬運(yùn)到B處，如圖所示．它的

實(shí)際位移AB，可以看作水平運(yùn)動(dòng)的分位移AC與豎直運(yùn)動(dòng)的分位移AD的合位

移．

問題1：根據(jù)物理中位移的合成與分解，你認(rèn)為AB，AD，AC之間有什么關(guān)系？

【答案】AB＝AC＋AD.

問題2：向量AB，AC，CB之間有什么關(guān)系？

【答案】AB＝AC＋CB.

2、探索新知

（1）向量的加法：求兩個(gè)向量和的運(yùn)算叫做向量的加法。表示：ABBCAC．

規(guī)定：零向量與任一向量a，都有a00aa．

說明：①共線向量的加法：abab

ABC

②不共線向量的加法：如圖（1），已知向量a，b，求作向量ab.

作法：在平面內(nèi)任取一點(diǎn)（如圖（）），作，，則

O2OAaABbOBab.

bA

O

aB

（1）（2）

（2）．向量加法的法則：

三角形法則：根據(jù)向量加法定義得到的求向量和的方法，稱為向量加法的三角形法則。

表示：OAABOB．【口訣】尾首相接首尾相連。

平行四邊形法則：以同一點(diǎn)A為起點(diǎn)的兩個(gè)已知向量a，b為鄰邊作ABCD，則

則以A為起點(diǎn)的對(duì)角線AC就是a與b的和，這種求向量和的方法稱為向量加法的平行

四邊形法則。

DC

baa

AB

b

【口訣】共起點(diǎn)，和為對(duì)角線。

小組合作探究：

問題1：若向量a和b共線，它們的加法與數(shù)的加法有什么關(guān)系？你能否做出向量ab嗎？

【答案】（1）當(dāng)a和b同向時(shí)，abABBCAC；

（2）當(dāng)a和b反向時(shí)，abABBCAC。

問題2：|ab|,|a|,|b|之間具有什么樣的關(guān)系。

【答案】當(dāng)a和b反向或不共線時(shí)，|ab||a||b|；當(dāng)a和b同向時(shí)，|ab||a||b|。

綜上，|ab||a||b|。

問題3：向量的加法能否像數(shù)的加法也滿足交換律和結(jié)合律呢？

【答案】如圖所示：在平行四邊形ABCD中，ACABBCab,

ACADDCba，所以abba。

在圖（2）中，ADABBCCDACCD(ab)c，

ADABBCCDABBDa(bc)，所以，

(ab)ca（bc）。

運(yùn)算律：

交換律：abba．結(jié)合律：(ab)ca(bc)．

4．例題分析：

例1.化簡(jiǎn)下列各式：

(1)PB＋OP＋BO；

(2)(AB＋MB)＋BO＋OM；

(3)AB＋BC＋CD＋DE.

解：(1)PB＋OP＋BO＝(OP＋PB)＋BO＝OB＋BO＝0；

(2)(AB＋MB)＋BO＋OM＝(AB＋BO)＋(OM＋MB)

＝AO＋OB＝AB；

(3)AB＋BC＋CD＋DE＝AC＋CD＋DE＝AD＋DE

＝AE.

例2.如圖，點(diǎn)O是平行四邊形ABCD兩條對(duì)角線的交點(diǎn)，則下列兩個(gè)等式一定成立的是哪個(gè)？

①ABADAC;②BOOCDA.

解：ABADAC,故①正確；

BOOCBCAD，故②錯(cuò)誤

注意：向量求和，注意“首尾順次相連”；向量加法的結(jié)果還是向量.

例3.小雨滴在無風(fēng)時(shí)以4m/s的速度勻速下落．一陣風(fēng)吹來，使得小雨滴以3m/s的速

度向東移動(dòng)．那么小雨滴將以多大的速度落地？方向如何？

3

(提示：tan37°＝)

4

解：如圖，設(shè)OA表示小雨滴無風(fēng)時(shí)下落的速度，OB表示風(fēng)的速度，以O(shè)A，OB為鄰邊作

平行四邊形OACB，則OC就是小雨滴實(shí)際飛行的速度．在Rt△OAC中，|OA|＝4m/s，

3

|AC|＝3m/s，所以|OC|＝5m/s.且tan∠AOC＝，即∠AOC≈37°.